13.6: Kutabiri na Equation ya Kurudi

Thamani moja muhimu ya equation inakadiriwa kurudi nyuma ni uwezo wake\(Y\) wa kutabiri madhara juu ya mabadiliko katika maadili moja au zaidi ya vigezo huru. Thamani ya hii ni dhahiri. Sera makini haiwezi kufanywa bila makadirio ya madhara ambayo yanaweza kusababisha. Hakika, ni tamaa ya matokeo fulani ambayo husababisha kuundwa kwa sera nyingi. Mifano ya kurudi nyuma inaweza kuwa, na imekuwa, misaada muhimu katika kutengeneza sera hizo.

Theorem ya Gauss-Markov inatuhakikishia kwamba makadirio ya hatua ya athari kwa variable tegemezi inayotokana na kuweka katika equation maadili nadharia ya vigezo huru mtu anataka kuiga itasababisha makadirio ya kutofautiana tegemezi ambayo ni ugomvi wa chini na unbiased. Hiyo ni kusema kwamba kutokana na equation hii inakuja bora unbiased uhakika makadirio ya y kutokana na maadili ya\(x\).

\[\hat{y}=b_{0}+b, X_{1 i}+\cdots+b_{k} X_{k i}\nonumber\]

Kumbuka kwamba makadirio ya uhakika hayana kiwango fulani cha uwezekano, au kiwango cha kujiamini, kwa sababu pointi hazina “upana” juu ambayo kuna eneo la kupima. Hii ndiyo sababu sisi maendeleo vipindi kujiamini kwa maana na uwiano mapema. Wasiwasi huo unatokea hapa pia. Kuna kweli mbinu mbili tofauti na suala la kuendeleza makadirio ya mabadiliko katika variable huru, au vigezo, juu ya kutofautiana tegemezi. Njia ya kwanza inataka kupima thamani ya maana inayotarajiwa ya y kutokana na mabadiliko maalum kwa thamani ya\(x\): thamani hii maalum ina maana thamani inayotarajiwa. Hapa swali ni: nini ni matokeo ya maana juu ya\(y\) kwamba matokeo kutokana na majaribio mbalimbali nadharia juu ya\(y\) saa thamani hii maalum ya\(x\). Kumbuka kwamba kuna ugomvi karibu parameter makadirio ya\(x\) na hivyo kila majaribio itasababisha kidogo ya makadirio tofauti ya thamani alitabiri ya\(y\).

Njia ya pili ya kukadiria athari za thamani maalum ya x juu ya y inachukua tukio kama jaribio moja: unachagua x na kuzidisha mara mgawo na hutoa makadirio moja ya y Kwa sababu mbinu hii hufanya kama kulikuwa na jaribio moja ugomvi uliopo katika parameter makadirio ni kubwa kuliko ugomvi kuhusishwa na inatarajiwa mbinu thamani.

Hitimisho ni kwamba tuna njia mbili tofauti za kutabiri athari za maadili ya variable huru (s) juu ya kutofautiana tegemezi na hivyo tuna vipindi viwili tofauti. Wote ni majibu sahihi kwa swali lililoulizwa, lakini kuna maswali mawili tofauti. Ili kuepuka kuchanganyikiwa, kesi ya kwanza ambapo tunaomba thamani inayotarajiwa ya maana ya makadirio\(y\), inaitwa muda wa kujiamini kama tulivyoita dhana hii kabla. Kesi ya pili, ambapo tunaomba makadirio ya athari kwa kutofautiana kwa y tegemezi ya jaribio moja kwa kutumia thamani ya\(x\), inaitwa muda wa utabiri. Takwimu za mtihani kwa hatua hizi mbili za muda ambazo thamani ya makadirio ya\(y\) kuanguka ni:

\[\text { Confidence Interval for Expected Value of Mean Value of y for } \mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathrm{p}}\nonumber\]

\[\hat{y}=\pm t_{\alpha / 2} s_{e}\left(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(x_{p}-\overline{x}\right)^{2}}{s_{x}}}\right)\nonumber\]

\[\text { Prediction Interval for an Individual y for } x=x_{p}\nonumber\]

\[\hat{y}=\pm t_{\alpha / 2} s_{e}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{\left(x_{p}-\overline{x}\right)^{2}}{s_{x}}}\right)\nonumber\]

Ambapo\(s_e\) ni kupotoka kwa kiwango cha muda wa hitilafu na\(s_x\) ni kupotoka kwa kiwango cha\(x\) kutofautiana.

Mahesabu ya hisabati ya takwimu hizi mbili za mtihani ni ngumu. Mbalimbali kompyuta regression programu paket kutoa mipango ndani ya kazi regression kwa Kielelezo\(\PageIndex{15}\).

Kielelezo 13.15 Utabiri na kujiamini vipindi kwa regression equation; 95% ngazi ya kujiamini.

Kielelezo\(\PageIndex{15}\) kinaonyesha kuibua tofauti ya kupotoka kwa kiwango hufanya kwa ukubwa wa vipindi vinavyohesabiwa. Muda wa kujiamini, kupima thamani inayotarajiwa ya kutofautiana kwa tegemezi, ni ndogo kuliko muda wa utabiri kwa kiwango sawa cha kujiamini. Njia ya thamani inayotarajiwa inadhani kwamba jaribio hufanyika mara nyingi badala ya mara moja tu kama ilivyo kwa njia nyingine. Mantiki hapa ni sawa, ingawa si sawa, na ile iliyojadiliwa wakati wa kuendeleza uhusiano kati ya ukubwa wa sampuli na muda wa kujiamini kwa kutumia Theorem ya Kati ya Limit. Huko, kama idadi ya majaribio iliongezeka, usambazaji ulipungua na muda wa kujiamini ukawa zaidi karibu na thamani inayotarajiwa ya maana.

Pia ni muhimu kutambua kwamba vipindi karibu na makadirio ya uhakika ni tegemezi sana juu ya aina mbalimbali ya data kutumika kukadiria equation bila kujali mbinu ni kuwa kutumika kwa ajili ya utabiri. Kumbuka kwamba equations zote za kurudi nyuma hupitia njia ya njia, yaani, thamani ya maana ya\(y\) na maadili ya maana ya vigezo vyote vya kujitegemea katika equation. Kama thamani ya\(x\) waliochaguliwa kukadiria thamani ya kuhusishwa ya\(y\) ni zaidi kutoka hatua ya maana upana wa muda inakadiriwa karibu Kielelezo\(\PageIndex{16}\) inaonyesha uhusiano huu.

Kielelezo 13.16 Muda wa kujiamini kwa thamani ya mtu binafsi\(x\)\(X_p\), katika ngazi ya 95% ya kujiamini

Kielelezo\(\PageIndex{16}\) kinaonyesha wasiwasi kwa ubora wa muda wa makadirio ikiwa ni muda wa utabiri au muda wa kujiamini. Kama thamani waliochaguliwa kutabiri\(y\),\(X_p\) katika grafu, ni zaidi kutoka uzito kati ya data\(\overline X\), tunaona muda kupanua kwa upana hata wakati kufanya mara kwa mara kiwango cha kujiamini. Hii inaonyesha kwamba usahihi wa makadirio yoyote yatapungua kama mtu anajaribu kutabiri zaidi ya uzito mkubwa wa data na kwa hakika utaharibu haraka kwa utabiri zaidi ya data mbalimbali. Kwa bahati mbaya, hii ndio tu ambapo utabiri wengi unahitajika. Wanaweza kufanywa, lakini upana wa muda wa kujiamini inaweza kuwa kubwa sana ili kutoa utabiri usio na maana. Hesabu halisi tu na maombi fulani yanaweza kuamua hili, hata hivyo.

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Kumbuka mtihani wa tatu/mfano wa mwisho wa mtihani.

Tuligundua equation ya mstari bora fit kwa ajili ya daraja la mwisho mtihani kama kazi ya daraja juu ya mtihani wa tatu. Sasa tunaweza kutumia mstari wa kurudi nyuma wa mraba kwa utabiri. Fikiria mgawo wa kuamua\(X\) kuwa tofauti sana na sifuri.

Tuseme unataka kukadiria, au kutabiri, alama ya mwisho ya mtihani wa takwimu za wanafunzi ambao walipata 73 kwenye mtihani wa tatu. Alama za mtihani (\(\bf x\)-maadili) zinaanzia 65 hadi 75. Tangu 73 ni kati ya x-maadili 65 na 75, sisi kujisikia vizuri badala\(x = 73\) katika equation. Kisha:

\[\hat{y}=-173.51+4.83(73)=179.08\nonumber\]

Tunatabiri kuwa takwimu za wanafunzi wanaopata daraja la 73 kwenye mtihani wa tatu watapata daraja la 179.08 kwenye mtihani wa mwisho, kwa wastani.

Ungependa kutabiri alama ya mwisho ya mtihani kuwa kwa mwanafunzi ambaye alifunga 66 kwenye mtihani wa tatu?

Jibu

Suluhisho 13.6

a. 145.27

b Je, unaweza kutabiri alama ya mwisho ya mtihani kuwa kwa mwanafunzi ambaye alifunga 90 kwenye mtihani wa tatu?

Jibu

Suluhisho 13.6

b.\(x\) maadili katika data ni kati ya 65 na 75. Tisini ni nje ya uwanja wa\(x\) maadili aliona katika data (kujitegemea variable), hivyo huwezi kutabiri reliably mtihani alama ya mwisho kwa mwanafunzi huyu. (Ingawa inawezekana kuingia 90 katika equation kwa\(x\) na kuhesabu\(y\) thamani sambamba, thamani\(y\) unayopata itakuwa na muda wa kujiamini ambao hauwezi kuwa na maana.)

Ili kuelewa kwa kweli jinsi utabiri usioaminika unaweza kuwa nje ya\(x\) maadili yaliyozingatiwa katika data, fanya uingizwaji\(x = 90\) katika equation.

\(\hat{y}=-173.51+4.83(90)=261.19\)

Alama ya mwisho ya mtihani inatabiriwa kuwa 261.19. Kubwa alama ya mwisho ya mtihani inaweza kuwa ni 200.