13.5: Ufafanuzi wa Coefficients ya kurudi nyuma- Elasticity na Mabadiliko ya Logarithmic

Kama tulivyoona, mgawo wa equation inakadiriwa kutumia OLS regression uchambuzi hutoa makadirio ya mteremko wa mstari wa moja kwa moja ambayo inadhaniwa kuwa uhusiano kati ya kutofautiana tegemezi na angalau moja ya kujitegemea kutofautiana. Kutoka kwa calculus, mteremko wa mstari ni derivative ya kwanza na inatuambia ukubwa wa athari za mabadiliko ya kitengo kimoja katika\(X\) kutofautiana juu ya thamani ya\(Y\) kutofautiana kipimo katika vitengo vya\(Y\) kutofautiana. Kama tulivyoona katika kesi ya vigezo vya dummy, hii inaweza kuonekana kama mabadiliko ya sambamba katika mstari wa makadirio au hata mabadiliko katika mteremko wa mstari kupitia kutofautiana kwa maingiliano. Hapa tunataka kuchunguza dhana ya elasticity na jinsi tunavyoweza kutumia uchambuzi wa kurudi nyuma ili kukadiria elasticities mbalimbali ambazo wachumi wana riba.

Dhana ya elasticity imekopwa kutoka uhandisi na fizikia ambapo hutumiwa kupima mwitikio wa nyenzo kwa nguvu, kwa kawaida nguvu ya kimwili kama nguvu ya kunyoosha/kuunganisha. Ni kutoka hapa tunapata neno “elastic” bendi. Katika uchumi, nguvu katika swali ni baadhi ya nguvu ya soko kama vile mabadiliko katika bei au mapato. Elasticity hupimwa kama mabadiliko ya asilimia/majibu katika maombi yote ya uhandisi na katika uchumi. Thamani ya kupima kwa maneno ya asilimia ni kwamba vitengo vya kipimo havikuwa na jukumu katika thamani ya kipimo na hivyo inaruhusu kulinganisha moja kwa moja kati ya elasticities. Kwa mfano, kama bei ya petroli iliongezeka kusema senti 50 kutoka bei ya awali ya $3.00 na kuzalisha kushuka kwa matumizi ya kila mwezi kwa walaji kutoka galoni 50 hadi 48 galoni sisi mahesabu elasticity kuwa 0.25. Elasticity ya bei ni mabadiliko ya asilimia kwa wingi kutokana na mabadiliko ya asilimia fulani kwa bei. A 16 asilimia ongezeko la bei imezalisha tu 4 asilimia kupungua kwa mahitaji: 16% mabadiliko ya bei\(\rightarrow\) 4% mabadiliko wingi au\(.04/.16 = .25\). Hii inaitwa mahitaji ya inelastic maana ya majibu madogo kwa mabadiliko ya bei. Hii inakuja kwa sababu kuna wachache kama yoyote mbadala halisi ya petroli; labda usafiri wa umma, baiskeli au kutembea. Kitaalam, bila shaka, mabadiliko ya asilimia katika mahitaji kutokana na ongezeko la bei ni kushuka kwa mahitaji, hivyo elasticity ya bei ni idadi hasi. Mkataba wa kawaida, hata hivyo, ni kuzungumza juu ya elasticity kama thamani kamili ya idadi. Bidhaa zingine zina mbadala nyingi: pears kwa apples kwa squash, zabibu, nk Elasticity kwa bidhaa hizo ni kubwa kuliko moja na huitwa elastic katika mahitaji. Hapa mabadiliko ya asilimia ndogo katika bei yatasababisha mabadiliko makubwa ya asilimia kwa kiasi kinachohitajika. Mtumiaji atabadilisha kwa urahisi mahitaji kwa mbadala ya karibu.

Wakati mjadala huu umekuwa kuhusu mabadiliko ya bei, yoyote ya vigezo huru katika equation mahitaji itakuwa na elasticity kuhusishwa. Kwa hiyo, kuna elasticity ya mapato ambayo inachukua uelewa wa mahitaji ya mabadiliko katika mapato: sio sana kwa mahitaji ya chakula, lakini ni nyeti sana kwa yachts. Kama equation mahitaji ina muda kwa ajili ya bidhaa mbadala, kusema pipi baa katika equation mahitaji kwa cookies, basi mwitikio wa mahitaji ya cookies kutokana na mabadiliko katika bei ya baa pipi inaweza kupimwa. Hii inaitwa elasticity ya bei ya msalaba wa mahitaji na kwa kiasi inaweza kufikiriwa kama uaminifu wa bidhaa kutoka kwa mtazamo wa masoko. Jinsi msikivu ni mahitaji ya Coca-Cola na mabadiliko katika bei ya Pepsi?

Sasa fikiria mahitaji ya bidhaa ambayo ni ghali sana. Tena, kipimo cha elasticity ni katika suala la asilimia hivyo elasticity inaweza kuwa moja kwa moja ikilinganishwa na ile ya petroli: elasticity ya 0.25 kwa petroli hutoa taarifa sawa na elasticity ya 0.25 kwa $25,000 gari. Bidhaa zote mbili zinachukuliwa na walaji kuwa na mbadala chache na hivyo kuwa na curves inelastic mahitaji, elasticities chini ya moja.

Fomu ya hisabati kwa elasticities mbalimbali ni:

\[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

\(\eta\)Wapi Kigiriki ndogo kesi barua eta kutumika kuteua elasticity. inasoma kama “mabadiliko”.

\[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

Ambapo\(Y\) hutumiwa kama ishara ya mapato.

\[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

Ambapo P2 ni bei ya mbadala nzuri.

Kuchunguza karibu na elasticity ya bei tunaweza kuandika formula kama:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Ambapo\(b\) ni mgawo wa makadirio ya bei katika kurudi kwa OLS.

Fomu ya kwanza ya equation inaonyesha kanuni kwamba elasticities hupimwa kwa maneno ya asilimia. Bila shaka, kawaida angalau mraba coefficients kutoa makadirio ya athari za mabadiliko ya kitengo katika variable huru\(X\), juu ya variable tegemezi kipimo katika vitengo vya\(Y\). Coefficients hizi si elasticities, hata hivyo, na zinaonyeshwa kwa njia ya pili ya kuandika formula kwa elasticity kama\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\), derivative ya makadirio ya mahitaji kazi ambayo ni tu mteremko wa mstari regression. Kuzidisha nyakati za mteremko\(\frac{P}{Q}\) hutoa elasticity kipimo katika suala la asilimia.

Pamoja na mstari wa mahitaji ya mstari wa moja kwa moja mabadiliko ya asilimia, hivyo elasticity, hubadilika kwa kuendelea kama mabadiliko ya kiwango, wakati mteremko, mgawo wa kurudi nyuma, unabaki mara kwa mara. Kwenda nyuma na mahitaji ya petroli. Mabadiliko ya bei kutoka $3.00 hadi $3.50 ilikuwa ongezeko la asilimia 16 kwa bei. Ikiwa bei ya mwanzo ilikuwa $5.00 basi ongezeko sawa la 50 lingekuwa ongezeko la asilimia 10 tu linalozalisha elasticity tofauti. Kila moja kwa moja line mahitaji Curve ina mbalimbali ya elasticities kuanzia juu kushoto, bei ya juu, na idadi kubwa elasticity, mahitaji elastic, na kupungua kama moja inakwenda chini Curve mahitaji, mahitaji inelastic.

Ili kutoa makadirio yenye maana ya elasticity ya mahitaji mkataba ni kukadiria elasticity katika hatua ya njia. Kumbuka kwamba mistari yote ya kurudi kwa OLS itapita kupitia njia ya njia. Kwa hatua hii ni uzito mkubwa wa data inayotumiwa kukadiria mgawo. Fomu ya kukadiria elasticity wakati Curve ya mahitaji ya OLS imekadiriwa inakuwa:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Wapi\(\overline{\mathrm{P}}\) na\(\overline{\mathrm{Q}}\) ni maadili ya maana ya data hizi zinazotumiwa kukadiria\(b\), mgawo wa bei.

Njia hiyo inaweza kutumika kukadiria elasticities nyingine kwa kazi ya mahitaji kwa kutumia maadili sahihi maana ya vigezo vingine; mapato na bei ya bidhaa mbadala kwa mfano.

Mabadiliko ya Logarithmic ya Data

Kawaida angalau mraba makadirio kawaida kudhani kwamba uhusiano idadi ya watu kati ya vigezo ni linear hivyo ya fomu iliyotolewa katika Regression Equation. Kwa fomu hii tafsiri ya coefficients ni kama ilivyojadiliwa hapo juu; kabisa mgawo hutoa makadirio ya athari za mabadiliko ya kitengo kimoja katika\(X\) juu ya\(Y\) kipimo katika vitengo vya\(Y\). Haijalishi wapi tu kwenye mstari mmoja anataka kufanya kipimo kwa sababu ni mstari wa moja kwa moja na mteremko wa mara kwa mara hivyo kiwango cha wastani cha athari kwa kila mabadiliko ya kitengo. Inaweza kuwa, hata hivyo, kwamba mchambuzi anataka kukadiria si kitengo rahisi kipimo athari kwa\(Y\) variable, lakini ukubwa wa asilimia athari juu\(Y\) ya mabadiliko ya kitengo kimoja katika\(X\) kutofautiana. Kesi hiyo inaweza kuwa jinsi kitengo kinachobadilika katika uzoefu, sema mwaka mmoja, huathiri sio kiasi kamili cha mshahara wa mfanyakazi, lakini athari ya asilimia kwenye mshahara wa mfanyakazi. Au, inaweza kuwa kwamba swali aliuliza ni kitengo kipimo athari juu\(Y\) ya ongezeko maalum asilimia katika X. mfano inaweza kuwa “kwa dola ngapi mauzo kuongeza kama kampuni inatumia\(X\) asilimia zaidi juu ya matangazo?” Uwezekano wa tatu ni kesi ya elasticity iliyojadiliwa hapo juu. Hapa sisi ni nia ya athari asilimia kwa wingi alidai kwa ajili ya kupewa asilimia mabadiliko katika bei, au mapato au labda bei ya mbadala nzuri. Matukio yote matatu yanaweza kuhesabiwa kwa kubadilisha data kwa logarithms kabla ya kukimbia regression. Coefficients kusababisha kisha kutoa kipimo cha mabadiliko ya asilimia ya kutofautiana husika.

Kwa muhtasari, kuna matukio manne:

1. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)(Standard OLS kesi)
2. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
3. \(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
4. \(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)(kesi ya elasticity)

Uchunguzi 1: kesi ya kawaida ya mraba ndogo huanza na mfano wa mstari uliotengenezwa hapo juu:

\[Y=a+b X\nonumber\]

ambapo mgawo wa kutofautiana huru\(b=\frac{d Y}{d X}\) ni mteremko wa mstari wa moja kwa moja na hivyo hatua ya athari za mabadiliko ya kitengo katika\(X\) juu ya\(Y\) kipimo katika vitengo vya\(Y\).

Uchunguzi 2: msingi inakadiriwa equation ni:

\[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

Equation inakadiriwa kwa kubadili\(Y\) maadili kwa logarithms na kutumia mbinu za OLS ili kukadiria mgawo wa\(X\) kutofautiana,\(b\). Hii inaitwa makadirio ya nusu ya logi. Tena, kutofautisha pande zote mbili za equation inatuwezesha kuendeleza tafsiri ya\(X\) mgawo\(b\):

\[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

\[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

Kuzidisha kwa 100 kwa covert kwa asilimia na rearranging masharti anatoa:

\[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

\(100b\)ni hivyo mabadiliko ya asilimia\(Y\) kutokana na mabadiliko ya kitengo katika\(X\).

Uchunguzi 3: Katika kesi hii swali ni “mabadiliko ya kitengo ni nini\(Y\) kutokana na mabadiliko ya asilimia katika\(X\)?” Ni nini hasara ya dola katika mapato ya ongezeko la asilimia tano katika bei au ni nini jumla ya gharama ya dola athari ya ongezeko la asilimia tano katika gharama za ajira? Equation inakadiriwa kwa kesi hii itakuwa:

\[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

Hapa tofauti ya calculus ya equation inakadiriwa ni:

\[dY=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

Gawanya na 100 kupata asilimia na upya masharti inatoa:

\[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

Kwa hiyo,\(\frac{b}{100}\) ni ongezeko la\(Y\) kipimo katika vitengo kutoka ongezeko la asilimia moja katika\(X\).

Uchunguzi wa 4: Hii ni kesi ya elasticity ambapo vigezo vyote vya tegemezi na vya kujitegemea vinabadilishwa kuwa magogo kabla ya makadirio ya OLS. Hii inajulikana kama kesi ya logi ya logi au kesi mbili ya logi, na hutupa makadirio ya moja kwa moja ya elasticities ya vigezo vya kujitegemea. Equation inakadiriwa ni:

\[logY=a+blogX\nonumber\]

Kutofautisha tuna:

\[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

hivyo:

\[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

na ufafanuzi\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\) wetu wa elasticity. Tunahitimisha kwamba tunaweza kukadiria moja kwa moja elasticity ya kutofautiana kupitia mabadiliko ya logi mbili ya data. Mgawo inakadiriwa ni elasticity. Ni kawaida kutumia mabadiliko ya logi mbili ya vigezo vyote katika makadirio ya kazi za mahitaji ili kupata makadirio ya elasticities mbalimbali ya Curve ya mahitaji.