Skip to main content
Global

8.2: Muda wa Kujiamini kwa Ukengeuko wa Kiwango cha Idadi ya Watu Haijulikani,

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    179227

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Katika mazoezi, sisi mara chache tunajua kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu. Katika siku za nyuma, wakati ukubwa wa sampuli ulikuwa mkubwa, hii haikuwasilisha tatizo kwa wanatakwimu. Walitumia sampuli kiwango kupotoka s kama makadirio ya\(\sigma\) na aliendelea kama kabla ya mahesabu ya muda kujiamini na matokeo ya karibu kutosha. Hili ndilo tulilofanya katika Mfano\(\PageIndex{4}\) hapo juu. Makadirio ya uhakika kwa kupotoka kwa kiwango\(s\),, ilibadilishwa katika formula kwa muda wa kujiamini kwa kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu. Katika kesi hii kuna uchunguzi wa 80 vizuri juu ya uchunguzi uliopendekezwa 30 ili kuondokana na upendeleo wowote kutoka kwa sampuli ndogo. Hata hivyo, wanatakwimu walikimbia matatizo wakati ukubwa wa sampuli ulikuwa mdogo. Ukubwa wa sampuli ndogo unasababishwa na usahihi katika muda wa kujiamini.

    William S. Goset (1876—1937) wa kampuni ya bia ya Guinness huko Dublin, Ireland alikimbia tatizo hili. Majaribio yake na humle na shayiri yalizalisha sampuli chache sana. Kubadilisha tu\(\sigma\) na\(s\) hakuzalisha matokeo sahihi wakati alijaribu kuhesabu muda wa kujiamini. Aligundua kwamba hakuweza kutumia usambazaji wa kawaida kwa hesabu; aligundua kuwa usambazaji halisi unategemea ukubwa wa sampuli. Tatizo hili lilimpelekea “kugundua” kile kinachoitwa t-usambazaji wa Mwanafunzi. Jina linatokana na ukweli kwamba Gosset aliandika chini ya jina la kalamu “Mwanafunzi.”

    Hadi katikati ya miaka ya 1970, baadhi ya wanatakwimu walitumia makadirio ya usambazaji wa kawaida kwa ukubwa mkubwa wa sampuli na walitumia usambazaji wa t wa Mwanafunzi tu kwa ukubwa wa sampuli ya uchunguzi zaidi wa 30.

    Kama kuteka rahisi random sampuli ya ukubwa\(n\) kutoka idadi ya watu na wastani\(\mu\) na haijulikani idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\) na mahesabu ya t-alama

    \[t=\frac{\overline{x}-\mu}{\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)}\]

    kisha t-alama kufuata mwanafunzi t-usambazaji na\(\bf{n – 1}\) digrii ya uhuru. Alama ya t-ina tafsiri sawa na alama ya z-. Ni hatua jinsi mbali katika vitengo kiwango kupotoka\(\overline x\) ni kutoka maana yake\ mu. Kwa kila ukubwa sampuli\(n\), kuna tofauti Mwanafunzi t-usambazaji.

    Daraja la uhuru\(\bf{n – 1}\), huja kutoka kwa hesabu ya kupotoka kwa kiwango cha sampuli\(\bf{s}\). Kumbuka wakati sisi kwanza mahesabu sampuli kiwango kupotoka sisi kugawanya jumla ya deviations mraba na\(n – 1\), lakini sisi kutumika\(n\) deviations (\(\overline x\)maadili) kwa mahesabu\(\bf{s}\). Kwa sababu jumla ya kupotoka ni sifuri, tunaweza kupata kupotoka mwisho mara tu tunajua\(\bf{n – 1}\) kupotoka nyingine. \(\bf{n – 1}\)Ukosefu mwingine unaweza kubadilisha au kutofautiana kwa uhuru. Tunaita namba digrii\(\bf{n – 1}\) za uhuru (\(df\)) kwa kutambua kwamba moja hupotea katika mahesabu. Athari ya kupoteza kiwango cha uhuru ni kwamba ongezeko la thamani ya t na muda wa kujiamini huongezeka kwa upana.

    Mali ya usambazaji wa T wa Mwanafunzi

    • Grafu ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi ni sawa na kiwango cha kawaida cha kawaida na kwa digrii isiyo na kipimo cha uhuru ni usambazaji wa kawaida. Unaweza kuthibitisha hili kwa kusoma mstari wa chini katika digrii usio na kipimo cha uhuru kwa kiwango cha kawaida cha kujiamini, k.m. kwenye safu ya 0.05, kiwango cha 95% cha kujiamini, tunapata thamani ya t ya 1.96 kwa digrii isiyo na kipimo cha uhuru.
    • Maana ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi ni sifuri na usambazaji ni ulinganifu kuhusu sifuri, tena kama usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    • Usambazaji wa t-wa Mwanafunzi una uwezekano mkubwa katika mikia yake kuliko usambazaji wa kawaida wa kawaida kwa sababu kuenea kwa usambazaji wa t-ni mkubwa kuliko kuenea kwa kawaida ya kawaida. Hivyo grafu ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi itakuwa mzito katika mkia na mfupi katikati kuliko grafu ya usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    • Sura halisi ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi inategemea digrii za uhuru. Kama digrii za uhuru zinavyoongezeka, grafu ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi inakuwa zaidi kama grafu ya usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    • idadi ya msingi ya uchunguzi wa mtu binafsi ni kudhani kuwa kawaida kusambazwa na idadi haijulikani maana\\(mu\) na haijulikani idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\). Dhana hii linatokana na Theorem Central Limit kwa sababu uchunguzi wa mtu binafsi katika kesi hii ni\(\overline x\) s ya usambazaji sampuli. Ukubwa wa idadi ya watu msingi kwa ujumla si muhimu isipokuwa ni ndogo sana. Kama ni kawaida basi dhana ni alikutana na haina haja ya majadiliano.

    Jedwali la uwezekano wa usambazaji wa t wa Mwanafunzi hutumiwa kuhesabu maadili ya t katika ngazi mbalimbali za kawaida za kujiamini. Jedwali hutoa alama za t zinazohusiana na kiwango cha kujiamini (safu) na digrii za uhuru (mstari). Unapotumia meza ya t, kumbuka kuwa baadhi ya meza zimepangiliwa ili kuonyesha kiwango cha kujiamini katika vichwa vya safu, wakati vichwa vya safu katika meza fulani vinaweza kuonyesha eneo linalofanana tu katika mkia mmoja au wote wawili. Angalia kwamba chini meza itaonyesha thamani ya t-kwa digrii isiyo na kipimo cha uhuru. Kihisabati, kadiri digrii za uhuru zinavyoongezeka,\(t\) usambazaji unakaribia usambazaji wa kawaida wa kawaida. Unaweza kupata maadili ya Z ya kawaida kwa kuangalia safu ya alpha husika na thamani ya kusoma katika mstari wa mwisho.

    Mwanafunzi t meza (meza\(\PageIndex{6}\)) anatoa t-alama kutokana digrii ya uhuru na haki tailed uwezekano.

    Usambazaji wa Mwanafunzi wa t una moja ya mali zinazohitajika zaidi ya kawaida: ni sawa. Nini usambazaji wa Mwanafunzi hufanya ni kuenea nje mhimili usawa hivyo inachukua idadi kubwa ya kupotoka kiwango kukamata kiasi sawa cha uwezekano. Katika hali halisi kuna idadi usio wa t mgawanyo Mwanafunzi, moja kwa ajili ya kila marekebisho na ukubwa sampuli. Kama ukubwa wa sampuli unavyoongezeka, usambazaji wa Mwanafunzi unakuwa zaidi na zaidi kama usambazaji wa kawaida. Wakati ukubwa wa sampuli unafikia 30 usambazaji wa kawaida hubadilishwa kwa t ya Mwanafunzi kwa sababu ni sawa sana. Uhusiano huu kati ya Mwanafunzi t usambazaji na usambazaji wa kawaida ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\).

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Huu ni mfano mwingine wa usambazaji mmoja unaozuia mwingine, katika kesi hii usambazaji wa kawaida ni usambazaji wa kikomo wa t ya Mwanafunzi wakati digrii za uhuru katika t ya Mwanafunzi inakaribia infinity. Hitimisho hili linakuja moja kwa moja kutoka derivation ya Mwanafunzi t usambazaji na Mr. Gosset. Alitambua tatizo kama kuwa na uchunguzi machache na hakuna makadirio ya kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu. Alikuwa akibadilisha kiwango cha kupotoka kwa sampuli na kupata matokeo mazuri. Kwa hiyo aliunda usambazaji wa Mwanafunzi t kama uwiano wa usambazaji wa kawaida na usambazaji wa mraba wa Chi. Usambazaji wa mraba wa Chi yenyewe ni uwiano wa tofauti mbili, katika kesi hii ugomvi wa sampuli na ugomvi usiojulikana wa idadi ya watu. Usambazaji wa Mwanafunzi t hivyo umefungwa kwa usambazaji wa kawaida, lakini una digrii za uhuru zinazotokana na zile za usambazaji wa mraba wa Chi. Suluhisho la algebraic linaonyesha matokeo haya.

    Maendeleo ya mwanafunzi t-usambazaji:

    1. \(t=\frac{z}{\sqrt{\frac{\chi^{2}}{v}}}\)

      Ambapo\(Z\) ni usambazaji wa kawaida wa kawaida na\(X^2\) ni usambazaji wa chi-squared na\(v\) digrii za uhuru.

    2. \(t=\frac{\frac{(\overline x-\mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{\frac{s^{2}}{(n-1)}}{\frac{\sigma^{2}}{(n-1)}}}}\)

      kwa badala, na hivyo t Mwanafunzi na\(v = n − 1\) digrii ya uhuru ni:

    3. \(t=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)

    Restating formula kwa muda kujiamini kwa maana kwa ajili ya kesi wakati ukubwa sampuli ni ndogo kuliko 30 na hatujui idadi ya watu kiwango kupotoka,\(\sigma\):

    \[\overline{x}-t_{\nu, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \leq \mu \leq \overline{x}+t_{\nu, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

    Hapa uhakika makadirio ya idadi ya watu kiwango kupotoka,\(s\) imekuwa kubadilishwa kwa idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\),\(t_{\nu}\), na,\(\alpha\) imekuwa kubadilishwa kwa\(Z_{\alpha}\). Barua ya Kigiriki\(\nu\) (inayojulikana nu) imewekwa katika formula ya jumla kwa kutambua kwamba kuna\(t_{\nu}\) mgawanyo wa Wanafunzi wengi, moja kwa kila ukubwa wa sampuli. \(\nu\)ni ishara ya digrii za uhuru wa usambazaji na inategemea ukubwa wa sampuli. Mara nyingi df hutumiwa kufupisha digrii za uhuru. Kwa aina hii ya tatizo, digrii za uhuru\(n\) ni\(\nu = n-1\) wapi ukubwa wa sampuli. Kuangalia uwezekano katika meza ya Mwanafunzi tunapaswa kujua digrii za uhuru katika tatizo.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    mapato ya wastani kwa kila hisa (EPS) kwa 10 hifadhi ya viwanda nasibu kuchaguliwa kutoka wale waliotajwa kwenye Dow-Jones Viwanda Average ilionekana kuwa\(\overline X = 1.85\) na kupotoka kiwango cha\(s=0.395\). mahesabu 99% kujiamini muda kwa EPS wastani wa viwanda wote waliotajwa kwenye\(DJIA\).

    \[\overline{x}-t_{v, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \leq \mu \leq \overline{x}+t_{\nu, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

    Jibu

    Ili kusaidia kutazama mchakato wa kuhesabu muda wa ujasiri tunapata usambazaji sahihi kwa tatizo. Katika hali hii hii ni t Mwanafunzi kwa sababu hatujui idadi ya watu kiwango kupotoka na sampuli ni ndogo, chini ya 30.

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Ili kupata thamani ya t-sahihi inahitaji vipande viwili vya habari, kiwango cha kujiamini kinachohitajika na digrii za uhuru. Swali liliomba kiwango cha kujiamini cha 99%. Kwenye grafu hii inavyoonyeshwa ambapo (\(1-\alpha\)), kiwango cha kujiamini, iko katika eneo lisilowekwa. Mkia, kwa hiyo, una uwezekano wa .005 kila mmoja,\(\alpha/2\). Daraja la uhuru kwa aina hii ya tatizo ni\(n-1= 9\). Kutoka meza ya Mwanafunzi t, katika mstari alama 9 na safu alama .005, ni idadi ya kupotoka kiwango kukamata 99% ya uwezekano, 3.2498. Hizi ni kisha kuwekwa kwenye grafu kukumbuka kwamba Mwanafunzi\(t\) ni symmetrical na hivyo t-thamani ni wote pamoja au minus kila upande wa maana.

    Kuingiza maadili haya katika formula hutoa matokeo. Maadili haya yanaweza kuwekwa kwenye grafu ili kuona uhusiano kati ya usambazaji wa njia za sampuli,\(\overline X\) na usambazaji wa Mwanafunzi.

    \[\mu=\overline{X} \pm t_{\alpha / 2, \mathrm{df}=n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}=1.851 \pm 3.2498 \frac{0.395}{\sqrt{10}}=1.8551 \pm 0.406\nonumber\]

    \[1.445 \leq \mu \leq 2.257\nonumber\]

    Tunasema hitimisho rasmi kama:

    Kwa kiwango cha kujiamini cha 99%, wastani\(EPS\) wa viwanda vyote vilivyoorodheshwa\(DJIA\) ni kutoka $1.44 hadi $2.26.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Unafanya utafiti wa hypnotherapy kuamua jinsi ufanisi ni katika kuongeza idadi ya masaa ya masomo ya usingizi kupata kila usiku. Unapima masaa ya usingizi kwa masomo 12 na matokeo yafuatayo. Jenga muda wa kujiamini wa 95% kwa idadi ya masaa ya kulala kwa idadi ya watu (kudhani kawaida) ambayo umechukua data.

    8.2; 9.1; 7.7; 8.6; 6.9; 11.2; 10.1; 9.9; 8.9; 9.2; 7.5; 10.5