8.3: Muda wa kujiamini kwa Uwiano wa Idadi ya Watu

Wakati wa mwaka wa uchaguzi, tunaona makala katika gazeti kwamba hali ya kujiamini vipindi katika suala la idadi au asilimia. Kwa mfano, uchaguzi kwa mgombea fulani anayeendesha urais unaweza kuonyesha kwamba mgombea ana 40% ya kura ndani ya pointi tatu za asilimia (ikiwa sampuli ni kubwa ya kutosha). Mara nyingi, uchaguzi wa uchaguzi ni mahesabu kwa kujiamini 95%, hivyo, wapiga kura itakuwa 95% uhakika kwamba idadi ya kweli ya wapiga kura ambao Maria mgombea itakuwa kati ya 0.37 na 0.43.

Wawekezaji katika soko la hisa ni nia ya idadi ya kweli ya hifadhi ya kwamba kwenda juu na chini kila wiki. Biashara zinazouza kompyuta binafsi zinavutiwa na uwiano wa kaya nchini Marekani ambazo zina kompyuta binafsi. Vipindi vya kujiamini vinaweza kuhesabiwa kwa uwiano wa kweli wa hifadhi ambazo huenda juu au chini kila wiki na kwa uwiano wa kweli wa kaya nchini Marekani ambazo zina kompyuta binafsi.

Utaratibu wa kupata muda wa kujiamini kwa idadi ya watu ni sawa na ile kwa maana ya idadi ya watu, lakini formula ni tofauti kidogo ingawa conceptually kufanana. Wakati formula ni tofauti, zinategemea msingi huo wa hisabati uliotolewa na Theorem ya Kati ya Limit. Kwa sababu hii tutaona muundo huo wa msingi kwa kutumia vipande vitatu vya habari sawa: thamani ya sampuli ya parameter katika swali, kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli husika, na idadi ya upungufu wa kawaida tunahitaji kuwa na ujasiri katika makadirio yetu tunayotaka.

Unajuaje unashughulika na tatizo la uwiano? Kwanza, usambazaji msingi ina binary random variable na kwa hiyo ni usambazaji binomial. (Hakuna kutaja maana au wastani.) Ikiwa\(X\) ni variable ya binomial random, basi\(X \sim B(n, p)\) wapi\(n\) idadi ya majaribio na\(p\) ni uwezekano wa mafanikio. Ili kuunda uwiano wa sampuli, kuchukua\(X\), kutofautiana kwa random kwa idadi ya mafanikio na ugawanye na\(n\), idadi ya majaribio (au ukubwa wa sampuli). kutofautiana kwa random\(P^{\prime}\) (soma “P mkuu”) ni uwiano wa sampuli,

\[P^{\prime}=\frac{X}{n} \nonumber\]

(Wakati mwingine variable random ni ulionyehsa kama\(\hat{P}\), kusoma “P kofia”.)

• \(P^{\prime}\)= makadirio ya idadi ya mafanikio au sampuli uwiano wa mafanikio (\(P^{\prime}\)ni uhakika makadirio kwa\(p\), idadi ya watu wa kweli idadi ya watu, na hivyo\(q\) ni uwezekano wa kushindwa katika kesi yoyote moja.)
• \(x\)= idadi ya mafanikio katika sampuli
• \(n\)= ukubwa wa sampuli

Fomu ya muda wa kujiamini kwa idadi ya watu ifuatavyo muundo sawa na kwamba kwa makadirio ya maana ya idadi ya watu. Kumbuka usambazaji wa sampuli kwa uwiano kutoka Sura ya 7, kupotoka kwa kiwango kilipatikana kuwa:

\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\nonumber\]

Muda wa kujiamini kwa idadi ya watu, kwa hiyo, inakuwa:

\[p=p^{\prime} \pm\left[Z_{\left(\frac{a}{2}\right)} \sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}\right]\nonumber\]

\(Z_{\left(\frac{a}{2}\right)}\)imewekwa kulingana na shahada yetu ya kujiamini na\(\sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}\) ni kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli.

idadi ya sampuli\(\bf{p^{\prime}}\) na\(\bf{q^{\prime}}\) ni makadirio ya idadi haijulikani idadi ya watu\(\bf{p}\) na\(\bf{q}\). Idadi ya makadirio\(p^{\prime}\) na\(q^{\prime}\) hutumiwa kwa sababu\(p\) na\(q\) haijulikani.

Kumbuka kwamba kama\(p\) hatua zaidi kutoka 0.5 usambazaji wa binomial unakuwa chini ya ulinganifu. Kwa sababu tunakadiria binomial na usambazaji wa kawaida wa kawaida, zaidi mbali na ulinganifu binomial inakuwa chini ya kujiamini tuna katika makadirio.

Hitimisho hili linaweza kuonyeshwa kupitia uchambuzi wafuatayo. Sehemu ni msingi wa usambazaji wa uwezekano wa binomial. Matokeo iwezekanavyo ni binary, ama “mafanikio” au “kushindwa”. Hii inatoa kupanda kwa uwiano, maana ya asilimia ya matokeo ambayo ni “mafanikio”. Ilionyeshwa kuwa usambazaji wa binomial unaweza kueleweka kikamilifu ikiwa tulijua tu uwezekano wa mafanikio katika jaribio lolote, lililoitwa\(p\). Maana na kupotoka kwa kiwango cha binomial zilipatikana kuwa:

\[\mu=\mathrm{np}\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{npq}\nonumber\]

Pia ilionyeshwa kuwa binomial inaweza kukadiriwa na usambazaji wa kawaida ikiwa WOTE\(np\) NA\(nq\) walikuwa mkubwa kuliko 5. Kutoka kwenye majadiliano hapo juu, iligundua kuwa formula ya kusanifisha kwa usambazaji wa binomial ni:

\[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\left(\frac{p q}{n}\right)}}\nonumber\]

ambayo si kitu zaidi ya upyaji wa formula ya jumla ya kusanifisha na mbadala zinazofaa\(\mu\) na\(\sigma\) kutoka binomial. Tunaweza kutumia usambazaji wa kawaida wa kawaida, sababu\(Z\) iko katika equation, kwa sababu usambazaji wa kawaida ni usambazaji wa kikwazo cha binomial. Huu ni mfano mwingine wa Theorem ya Kati ya Limit. Tayari tumeona kwamba usambazaji wa sampuli wa njia ni kawaida kusambazwa. Kumbuka majadiliano kupanuliwa katika Sura ya 7 kuhusu sampuli usambazaji wa idadi na hitimisho ya Theorem Kati Limit.

Sasa tunaweza kuendesha formula hii kwa njia sawa tulifanya kwa ajili ya kutafuta vipindi kujiamini kwa maana, lakini kupata muda kujiamini kwa parameter idadi ya watu binomial,\(p\).

\[\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber\]

Ambapo\(p^{\prime} = x/n\), makadirio ya uhakika ya\(p\) kuchukuliwa kutoka sampuli. Taarifa kwamba\(p^{\prime}\) imebadilishwa\(p\) katika formula. Hii ni kwa sababu hatujui\(p\), kwa kweli, hii ndiyo tu tunayojaribu kukadiria.

Kwa bahati mbaya, hakuna sababu ya kusahihisha kwa kesi ambapo ukubwa wa sampuli ni ndogo hivyo\(np^{\prime}\) na\(nq^{\prime}\) lazima iwe kubwa zaidi kuliko 5 ili kuendeleza makadirio ya muda\(p\).

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme kwamba kampuni ya utafiti wa soko imeajiriwa kukadiria asilimia ya watu wazima wanaoishi katika mji mkubwa ambao wana simu za mkononi. Wakazi wa watu wazima mia tano waliochaguliwa kwa nasibu katika mji huu wanachunguzwa ili kujua kama wana simu za mkononi. Kati ya watu 500 waliopigwa sampuli, 421 walijibu ndiyo - wana simu za mkononi. Kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%, compute makadirio ya muda wa kujiamini kwa uwiano wa kweli wa wakazi wazima wa mji huu ambao wana simu za mkononi.

Jibu

Suluhisho hatua kwa hatua.

Hebu\(X\) = idadi ya watu katika sampuli ambao wana simu za mkononi. \(X\)ni binomial: variable random ni binary, watu ama wana simu ya mkononi au hawana.

Ili kuhesabu muda wa kujiamini, tunapaswa kupata\(p^{\prime}, q^{\prime}\).

\(n = 500\)

\(x=\text { the number of successes in the sample }=421\)

\(p^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{421}{500}=0.842\)

\(p^{\prime}=0.842\)ni uwiano wa sampuli; hii ni makadirio ya uhakika ya idadi ya watu.

\(q^{\prime}=1-p^{\prime}=1-0.842=0.158\)

Kwa kuwa kiwango cha kujiamini kilichoombwa ni\(CL = 0.95\), basi\(\alpha=1-C L=1-0.95=0.05\left(\frac{\alpha}{2}\right)=0.025\).

Kisha\(z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96\)

Hii inaweza kupatikana kwa kutumia meza ya kawaida ya kawaida ya uwezekano katika Jedwali\(\PageIndex{6}\). Hii pia inaweza kupatikana katika meza ya wanafunzi t katika safu 0.025 na digrii infinity ya uhuru kwa sababu katika digrii usio wa uhuru wanafunzi t usambazaji inakuwa usambazaji wa kawaida,\(Z\).

Muda wa kujiamini kwa idadi ya kweli ya idadi ya watu ni

\[\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber\]

\(\text{Substituting in the values from above we find the confidence interval is : } 0.810 \leq p \leq 0.874\)

Ufafanuzi

Tunakadiria kwa kujiamini 95% kwamba kati ya 81% na 87.4% ya wakazi wote wazima wa mji huu wana simu za mkononi.

Maelezo ya Ngazi ya kujiamini 95%

Asilimia tisini na tano ya vipindi kujiamini yalijengwa kwa njia hii ingekuwa na thamani ya kweli kwa idadi ya wakazi wote wazima wa mji huu ambao wana simu za mkononi.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Tuseme watu 250 waliochaguliwa kwa nasibu wanachunguzwa ili kuamua kama wana kibao. Kati ya utafiti wa 250, 98 waliripoti kumiliki kibao. Kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%, compute makadirio ya muda wa kujiamini kwa uwiano wa kweli wa watu ambao wana vidonge.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Shule ya Mafunzo ya Mbwa ya Dundee ina idadi kubwa kuliko wastani wa wateja ambao wanashindana katika matukio ya ushindani wa kitaaluma. Muda wa kujiamini kwa idadi ya watu wa mbwa ambao hushindana katika matukio ya kitaaluma kutoka shule 150 za mafunzo tofauti hujengwa. Kikomo cha chini kinaamua kuwa 0.08 na kikomo cha juu kinaamua kuwa 0.16. Kuamua kiwango cha kujiamini kutumika kujenga muda wa idadi ya idadi ya mbwa kwamba kushindana katika matukio ya kitaaluma.

Jibu

Tunaanza na formula kwa muda kujiamini kwa uwiano kwa sababu variable random ni binary; ama mteja hushindana katika matukio ya kitaalamu ushindani mbwa au hawana.

\[p=p^{\prime} \pm\left[Z_{\left(\frac{a}{2}\right)} \sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}\right]\nonumber\]

Kisha tunapata uwiano wa sampuli:

\[p^{\prime}=\frac{0.08+0.16}{2}=0.12\nonumber\]

Ya\(\pm\) kwamba hufanya juu ya muda kujiamini ni hivyo\(0.04; 0.12 + 0.04 = 0.16\) na\(0.12 − 0.04 = 0.08\), mipaka ya muda kujiamini. Hatimaye, sisi kutatua kwa\(Z\).

\(\left[Z \cdot \sqrt{\frac{0.12(1-0.12)}{150}}\right]=0.04, \textbf { therefore } \bf{z=1.51}\)

Na kisha angalia uwezekano wa upungufu wa kiwango cha 1.51 kwenye meza ya kawaida ya kawaida.

\(p(Z=1.51)=0.4345, p(Z) \cdot 2=0.8690 \textbf { or } 86.90 \%\).

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Afisa wa kifedha kwa kampuni anataka kukadiria asilimia ya akaunti zinazopokelewa ambazo ni zaidi ya siku 30 za muda mrefu. Anatafiti akaunti za 500 na anaona kuwa 300 ni zaidi ya siku 30 za muda mrefu. Compute 90% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya akaunti kupokewa kwamba ni zaidi ya 30 siku muafaka, na kutafsiri muda kujiamini.

Jibu

Suluhisho ni hatua kwa hatua:

Asilimia tisini ya vipindi vyote vya kujiamini vilivyojengwa kwa njia hii vina thamani ya kweli kwa asilimia ya idadi ya watu ya akaunti zinazopokelewa ambazo zimekwisha siku 30.

Maelezo ya Kiwango cha Uaminifu wa 90%

\(x = 300\)na\(n = 500\)

\(p^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{300}{500}=0.600\)

\(q^{\prime}=1-p^{\prime}=1-0.600=0.400\)

Tangu ngazi ya kujiamini =\(0.90\), basi\(a=1-\text { confidence level }=(1-0.90)=0.10\left(\frac{\alpha}{2}\right)=0.05\)

\(Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645\)

Thamani hii ya Z inaweza kupatikana kwa kutumia meza ya kawaida ya uwezekano. T-meza ya mwanafunzi pia inaweza kutumika kwa kuingia meza kwenye safu ya 0.05 na kusoma kwenye mstari kwa digrii isiyo na kipimo cha uhuru. Usambazaji wa t-ni usambazaji wa kawaida kwa digrii zisizo na kipimo cha uhuru. Hii ni hila Handy kukumbuka katika kutafuta Z-maadili kwa viwango vya kawaida kutumika ya kujiamini. Tunatumia formula hii kwa muda wa kujiamini kwa uwiano:

\[\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber\]

Kubadilisha katika maadili kutoka juu tunapata muda wa kujiamini kwa idadi ya kweli ya idadi ya watu ya binomial ni\(0.564 \leq p \leq 0.636\)

Ufafanuzi

Tunakadiria kwa kujiamini kwa 90% kwamba asilimia ya kweli ya akaunti zote zinazopokewa muda wa siku 30 ni kati ya 56.4% na 63.6%. Maneno mbadala: Tunakadiria kwa 90% kujiamini kwamba kati ya 56.4% na 63.6% ya akaunti zote zimekwisha muda wa siku 30.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Mwanafunzi anapiga kura shule yake ili kuona kama wanafunzi katika wilaya ya shule ni kwa au kupinga sheria mpya kuhusu sare za shule. Yeye tafiti 600 wanafunzi na anaona kwamba 480 ni kinyume na sheria mpya.

1. Compute 90% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya wanafunzi ambao ni kinyume sheria mpya, na kutafsiri kujiamini muda.
2. Katika sampuli ya wanafunzi 300, 68% walisema wanamiliki iPod na simu smart. Compute 97% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya wanafunzi ambao wana iPod na smartphone.