8.4: Kuhesabu Ukubwa wa Mfano n- Vigezo vinavyoendelea na vya Binary

Kuendelea Random vigezo

Kwa kawaida hatuna udhibiti juu ya ukubwa wa sampuli ya kuweka data. Hata hivyo, ikiwa tuna uwezo wa kuweka ukubwa wa sampuli, kama katika hali ambapo tunachukua utafiti, ni muhimu sana kujua jinsi kubwa inapaswa kuwa kutoa habari zaidi. Sampuli inaweza kuwa na gharama kubwa sana wakati wote na bidhaa. Uchunguzi rahisi wa simu utapungua takriban $30.00 kila mmoja, kwa mfano, na sampuli fulani inahitaji uharibifu wa bidhaa.

Kama sisi kurudi formula yetu kusanifisha kwa ajili ya usambazaji sampuli kwa njia, tunaweza kuona kwamba inawezekana kutatua kwa n Kama sisi kufanya hivyo tuna\((\overline{X}-\mu)\) katika denominator.

\[n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \sigma^{2}}{(\overline{X}-\mu)^{2}}=\frac{Z_{\alpha}^{2} \sigma^{2}}{e^{2}}\nonumber\]

Kwa sababu sisi si kuchukuliwa sampuli bado hatujui yoyote ya vigezo katika formula isipokuwa tuweze kuweka\(Z_{\alpha}\) kiwango cha kujiamini tunataka tu kama tulivyofanya wakati kuamua vipindi kujiamini. Kama sisi kuweka predetermined makosa kukubalika, au uvumilivu, kwa tofauti kati\(\overline{X}\) na\(\mu\), aitwaye e katika formula, sisi ni mengi zaidi katika kutatua kwa ukubwa sampuli\(n\). Bado hawajui idadi ya watu kiwango kupotoka,\(\sigma\). Katika mazoezi, uchunguzi kabla ya kawaida hufanyika ambayo inaruhusu kufuta vizuri dodoso na itatoa sampuli ya kupotoka kwa kiwango ambacho kinaweza kutumika. Katika hali nyingine, maelezo ya awali kutoka kwa tafiti nyingine yanaweza kutumika\(\sigma\) kwa formula. Wakati ghafi, njia hii ya kuamua ukubwa wa sampuli inaweza kusaidia kupunguza gharama kwa kiasi kikubwa. Itakuwa data halisi zilizokusanywa kwamba huamua inferences kuhusu idadi ya watu, hivyo tahadhari katika ukubwa sampuli ni sahihi wito kwa viwango vya juu vya kujiamini na makosa madogo sampuli.

Binary Random vigezo

Nini kilifanyika katika kesi wakati wa kutafuta maana ya usambazaji pia inaweza kufanyika wakati sampuli kuamua parameter idadi ya watu\(p\) kwa idadi. Kudhibiti formula ya kusanifisha kwa idadi inatoa:

\[n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \mathrm{pq}}{e^{2}}\nonumber\]

ambapo\(e=\left(p^{\prime}-p\right)\), na ni kukubalika sampuli makosa, au uvumilivu, kwa ajili ya programu hii. Hii itapimwa kwa pointi za asilimia.

Katika kesi hii kitu sana ya utafutaji wetu ni katika formula,\(p\), na bila shaka\(q\) kwa sababu\(q =1-p\). Matokeo haya hutokea kwa sababu usambazaji wa binomial ni usambazaji wa parameter moja. Ikiwa tunajua\(p\) basi tunajua maana na kupotoka kwa kiwango. Kwa hiyo,\(p\) inaonyesha juu katika kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli ambayo ni ambapo sisi got formula hii. Kama, kwa wingi wa tahadhari, sisi badala 0.5 kwa\(p\) sisi kuteka kubwa required sampuli ukubwa ambayo itatoa kiwango cha kujiamini maalum\(Z \alpha\) na na uvumilivu tumechagua. Hii ni kweli kwa sababu ya mchanganyiko wote wa vipande viwili vinavyoongeza moja, nyingi kubwa ni wakati kila mmoja ni 0.5. Bila habari nyingine yoyote kuhusu parameter ya idadi ya watu\(p\), hii ni mazoezi ya kawaida. Hii inaweza kusababisha oversampling, lakini kwa hakika si chini ya sampuli, hivyo, hii ni mbinu tahadhari.

Kuna biashara ya kuvutia kati ya kiwango cha kujiamini na ukubwa wa sampuli inayoonekana hapa wakati wa kuzingatia gharama za sampuli. Jedwali\(\PageIndex{1}\) linaonyesha ukubwa wa sampuli sahihi katika ngazi tofauti za kujiamini na kiwango tofauti cha kosa linalokubalika, au uvumilivu.

\ (\ UkurasaIndex {1}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{1}\)

Ukubwa wa sampuli unaohitajika (90%)	Ukubwa wa sampuli unaohitajika (95%)	Ngazi ya kuvumiliana
1691	2401	2%
752	1067	3%
271	384	5%
68	96	10%

Jedwali hili ni iliyoundwa kuonyesha upeo sampuli ukubwa required katika ngazi mbalimbali ya kujiamini kutokana\(p= 0.5\) na kudhani na\(q=0.5\) kama kujadiliwa hapo juu.

Hitilafu inayokubalika, inayoitwa uvumilivu katika meza, inapimwa kwa maadili ya pamoja au ya chini kutoka kwa uwiano halisi. Kwa mfano, hitilafu inayokubalika ya 5% inamaanisha kwamba ikiwa uwiano wa sampuli ulipatikana kuwa asilimia 26, hitimisho itakuwa kwamba idadi halisi ya idadi ya watu ni kati ya asilimia 21 na 31 na kiwango cha asilimia 90 ya kujiamini ikiwa sampuli ya 271 ilichukuliwa. Vivyo hivyo, ikiwa hitilafu iliyokubalika iliwekwa kwa 2%, basi idadi ya watu itakuwa kati ya asilimia 24 na 28 na kiwango cha asilimia 90 ya kujiamini, lakini itahitaji ukubwa wa sampuli uongezwe kutoka 271 hadi 1,691. Ikiwa tunataka kiwango cha juu cha kujiamini, tutahitaji ukubwa mkubwa wa sampuli. Kuhamia kutoka kiwango cha asilimia 90 ya kujiamini hadi kiwango cha asilimia 95 kwa uvumilivu wa 5% unahitaji kubadilisha ukubwa wa sampuli kutoka 271 hadi 384. Ukubwa wa sampuli ya kawaida sana mara nyingi huonekana kuripotiwa katika tafiti za kisiasa ni 384. Pamoja na matokeo ya utafiti ni mara nyingi alisema kuwa matokeo ni nzuri kwa pamoja au minus 5% ngazi ya “usahihi”.

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Tuseme kampuni ya simu ya mkononi anataka kuamua asilimia ya sasa ya wateja wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi. Wangapi wateja wenye umri wa miaka 50+lazima utafiti wa kampuni ili kuwa 90% imani kwamba wastani (sampuli) uwiano ni ndani ya pointi asilimia tatu ya idadi ya watu wa kweli idadi ya wateja wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi.

Jibu

Suluhisho 8.9

Kutoka tatizo, tunajua kwamba hitilafu inayokubalika\(e\), ni 0.03 (3% =0.03) na\(z_{\frac{\alpha}{2}} Z_{0.05}=1.645\) kwa sababu kiwango cha kujiamini ni 90%. Hitilafu ya kukubalika\(e\),, ni tofauti kati ya idadi halisi ya idadi ya watu p, na uwiano wa sampuli tunatarajia kupata kutoka sampuli.

Hata hivyo, ili kupata\(n\), tunahitaji kujua uwiano wa makadirio (sampuli)\(p^{\prime}\). Kumbuka hilo\(q^{\prime} = 1 – p^{\prime}\). Lakini, hatujui\(p^{\prime}\) bado. Kwa kuwa tunazidisha\(p^{\prime}\) na\(q^{\prime}\) pamoja, tunawafanya wote sawa na 0.5 kwa sababu\(p^{\prime}q^{\prime} = (0.5)(0.5) = 0.25\) matokeo katika bidhaa kubwa iwezekanavyo. (Jaribu bidhaa nyingine:\((0.6)(0.4) = 0.24; (0.3)(0.7) = 0.21; (0.2)(0.8) = 0.16\) na kadhalika). Hii inatupa kubwa ya kutosha sampuli ili tuweze kuwa 90% uhakika kwamba sisi ni ndani ya pointi asilimia tatu ya idadi ya watu kweli idadi ya watu. Ili kuhesabu ukubwa wa sampuli n, tumia formula na ufanye mbadala.

\(n=\frac{z^{2} p^{\prime} q^{\prime}}{e^{2}} \text { gives } n=\frac{1.645^{2}(0.5)(0.5)}{0.03^{2}}=751.7\)

Pande zote jibu kwa thamani ya juu ijayo. Ukubwa wa sampuli lazima 752 wateja simu ya mkononi wenye umri wa miaka 50+ili kuwa 90% imani kwamba wastani (sampuli) uwiano ni ndani ya pointi asilimia tatu ya idadi ya watu kweli idadi ya wateja wote wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi.

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Tuseme kampuni ya masoko ya mtandao inataka kuamua asilimia ya sasa ya wateja ambao wanabonyeza matangazo kwenye simu zao za mkononi. Ni wateja wangapi wanapaswa utafiti wa kampuni ili wawe na uhakika wa 90% kwamba idadi inakadiriwa iko ndani ya asilimia tano ya idadi ya watu halisi ya wateja ambao bonyeza matangazo kwenye simu zao za mkononi?