8.1: Muda wa Kujiamini kwa Kupotoka kwa Kiwango cha Idadi ya Watu, Ukubwa wa Mfano unaojulikana

muda kujiamini kwa idadi ya watu maana na inayojulikana idadi ya watu kiwango kupotoka ni msingi wa hitimisho la kati Limit Theorem kwamba sampuli usambazaji wa sampuli ina maana kufuata usambazaji wastani wa kawaida.

Kuhesabu Muda wa Uaminifu

Fikiria formula ya kusanifisha kwa usambazaji wa sampuli uliotengenezwa katika majadiliano ya Theorem ya Kati ya Limit:

\[Z_{1}=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\nonumber\]

Taarifa kwamba\(\mu\) ni kubadilishwa kwa\(\mu_{\overline{x}}\) sababu tunajua kwamba inatarajiwa thamani ya\(\mu_{\overline{x}}\) ni\(\mu\) kutoka Theorem Central Limit na\(\sigma_{\overline{x}}\) ni kubadilishwa na\(\sigma / \sqrt{n}\), pia kutoka Central Limit Theorem.

Katika formula hii tunajua\(\overline X\),\(\sigma_{\overline{x}}\) na\(n\), ukubwa wa sampuli. (Kwa kweli hatujui idadi ya watu kiwango kupotoka, lakini hatuna uhakika makadirio kwa ajili yake,\(s\), kutoka sampuli sisi alichukua. Zaidi juu ya hili baadaye.) Nini hatujui ni\(\mu\) au\(Z_1\). Tunaweza kutatua kwa mojawapo ya haya kwa upande mwingine. Kutatua\(\mu\) kwa suala la\(Z_1\) kutoa:

\[\mu=\overline{X} \pm Z_{1} {\sigma} / \sqrt{n}\nonumber\]

Kumbuka kwamba Theorem ya Kati ya Limit inatuambia kwamba usambazaji wa\(\overline X\), usambazaji wa sampuli kwa njia, ni ya kawaida, na kwamba usambazaji wa kawaida ni wa kawaida, tunaweza kupanga upya maneno hivyo:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

Hii ni formula kwa muda wa kujiamini kwa maana ya idadi ya watu.

Taarifa kwamba\(Z_\alpha\) imekuwa kubadilishwa kwa\(Z_1\) katika equation hii. Hii ndio ambapo uchaguzi lazima ufanywe na mtaalam wa takwimu. Mchambuzi lazima aamua kiwango cha kujiamini wanayotaka kulazimisha wakati wa kujiamini. \ alpha ni uwezekano kwamba muda hautakuwa na idadi ya watu wa kweli maana. Ngazi ya kujiamini inaelezwa kama\((1-\alpha)\). \(Z_\alpha\)ni idadi ya upungufu wa kawaida\(\overline X\) unatokana na maana na uwezekano fulani. Ikiwa tulichagua\(Z_\alpha = 1.96\) tunaomba muda wa kujiamini wa 95% kwa sababu tunaweka uwezekano kwamba maana ya kweli iko ndani ya kiwango cha 0.95. Ikiwa tunaweka\(Z_\alpha\) saa 1.64 tunaomba muda wa kujiamini wa 90% kwa sababu tumeweka uwezekano wa 0.90. Nambari hizi zinaweza kuthibitishwa kwa kushauriana na meza ya kawaida ya kawaida. Gawanya ama 0.95 au 0.90 kwa nusu na kupata uwezekano huo ndani ya mwili wa meza. Kisha soma kwenye pembezoni za juu na za kushoto idadi ya upungufu wa kawaida inachukua ili kupata kiwango hiki cha uwezekano.

Kwa kweli, tunaweza kuweka kiwango chochote cha kujiamini tunayotaka tu kwa kubadilisha\(Z_\alpha\) thamani katika formula. Ni uchaguzi mchambuzi wa. Mkataba wa kawaida katika Uchumi na sayansi nyingi za kijamii huweka vipindi vya kujiamini katika viwango vya asilimia 90, 95, au 99. Ngazi chini ya 90% zinachukuliwa kuwa na thamani kidogo. Kiwango cha kujiamini kwa makadirio fulani ya muda huitwa na\((1-\alpha)\).

Njia nzuri ya kuona maendeleo ya muda wa kujiamini ni kuonyesha graphically suluhisho la tatizo kuomba muda wa kujiamini. Hii imewasilishwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kwa mfano katika kuanzishwa kuhusu idadi ya downloads kutoka iTunes. Kesi hiyo ilikuwa kwa muda wa kujiamini wa 95%, lakini viwango vingine vya kujiamini vinaweza kuchaguliwa kwa urahisi kulingana na haja ya mchambuzi. Hata hivyo, kiwango cha kujiamini lazima iwe kabla ya kuweka na si chini ya marekebisho kama matokeo ya mahesabu.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

Kwa mfano huu, hebu sema tunajua kwamba idadi halisi ya idadi ya watu ina maana ya downloads iTunes ni 2.1. Idadi ya watu wa kweli inamaanisha iko ndani ya muda wa kujiamini wa 95%. Hakuna chochote cha kuhakikisha kwamba hii itatokea. Zaidi ya hayo, ikiwa maana ya kweli iko nje ya muda ambao hatutaijua kamwe. Lazima tukumbuke daima kwamba hatuwezi kamwe kujua maana ya kweli. Takwimu zinatuwezesha tu, na kiwango kilichopewa cha uwezekano (kujiamini), kusema kwamba maana ya kweli ni ndani ya mahesabu. Hili ndilo lililoitwa katika utangulizi, “kiwango cha ujinga kilichokubaliwa”.

Kubadilisha Ngazi ya Kuamini au Ukubwa wa Mfano

Hapa tena ni formula kwa muda kujiamini kwa idadi ya watu haijulikani maana kuchukua tunajua idadi ya watu kiwango kupotoka:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

Ni wazi kwamba muda wa kujiamini unaendeshwa na mambo mawili, kiwango cha kujiamini kilichochaguliwa\(Z_\alpha\), na kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli. Kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli kunaathiriwa zaidi na mambo mawili, kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu na ukubwa wa sampuli tuliyochagua kwa data zetu. Hapa tunataka kuchunguza madhara ya kila moja ya uchaguzi tumefanya juu ya mahesabu ya muda kujiamini, kiwango cha kujiamini na ukubwa wa sampuli.

Kwa muda tunapaswa kuuliza tu kile tunachotaka katika muda wa kujiamini. Lengo letu lilikuwa kukadiria idadi ya watu maana kutoka sampuli. Tumeacha matumaini kwamba tutawahi kupata idadi ya watu wa kweli maana, na idadi ya watu kupotoka kwa jambo hilo, kwa hali yoyote isipokuwa ambapo tuna idadi ndogo sana na gharama ya kukusanya data ya riba ni ndogo sana. Katika kesi nyingine zote ni lazima kutegemea sampuli. Kwa Theorem ya Kati ya Limit tuna zana za kutoa muda wa kujiamini wa maana na kiwango kilichopewa cha kujiamini, maana ya uwezekano unaojulikana wa kuwa na makosa. Kwa maana kujiamini muda tunamaanisha moja ambayo ni muhimu. Fikiria kwamba unaulizwa kwa muda wa kujiamini kwa umri wa wanafunzi wenzako. Umechukua sampuli na kupata maana ya miaka 19.8. Unataka kuwa na ujasiri sana ili ueleze muda kati ya miaka 9.8 na miaka 29.8. Kipindi hiki bila shaka kina idadi ya watu kweli maana na kuwa na kiwango cha juu sana kujiamini. Hata hivyo, ni vigumu qualifies kama maana. Muda bora zaidi wa kujiamini ni nyembamba wakati una ujasiri mkubwa. Kuna mvutano wa asili kati ya malengo haya mawili. Kiwango cha juu cha kujiamini, pana muda wa kujiamini kama ilivyo kwa umri wa wanafunzi hapo juu. Tunaweza kuona mvutano huu katika equation kwa muda kujiamini.

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

Muda wa kujiamini utaongezeka kwa upana kama\(Z_\alpha\) ongezeko,\(Z_\alpha\) huongezeka kama kiwango cha kujiamini kinaongezeka. Kuna biashara kati ya kiwango cha kujiamini na upana wa muda. Sasa hebu tuangalie fomu tena na tunaona kwamba ukubwa wa sampuli pia una jukumu muhimu katika upana wa muda wa kujiamini. Ukubwa wa sampuli, nn, unaonekana katika denominator ya kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli. Kama ukubwa wa sampuli huongezeka, kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli hupungua na hivyo upana wa muda wa kujiamini, huku ukifanya kiwango cha kujiamini mara kwa mara. Uhusiano huu ulionyeshwa katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\). Tena tunaona umuhimu wa kuwa na sampuli kubwa kwa uchambuzi wetu ingawa tunakabiliwa na kikwazo cha pili, gharama ya kukusanya data.

Kuhesabu Muda wa Kujiamini: Njia Mbadala

Njia nyingine ya kukabiliana na vipindi vya kujiamini ni kupitia matumizi ya kitu kinachoitwa Hitilafu imefungwa. Hitilafu imefungwa inapata jina lake kutokana na kutambua kwamba hutoa mipaka ya muda inayotokana na kosa la kawaida la usambazaji wa sampuli. Katika equations hapo juu ni kuonekana kwamba muda ni tu wastani wastani, sampuli maana, pamoja au minus kitu. Kwamba kitu ni makosa Bound na inaendeshwa na uwezekano tunataka kudumisha katika makadirio yetu\(Z_\alpha\), mara kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli. Hitilafu imefungwa kwa maana hupewa jina, Hitilafu imefungwa Maana, au\(EBM\).

Kujenga muda kujiamini kwa moja haijulikani idadi ya watu maana\(\mu\), ambapo idadi ya watu kiwango kupotoka inajulikana, tunahitaji\(\overline x\) kama makadirio ya\(\mu\) na tunahitaji kiasi cha makosa. Hapa, kiasi cha kosa\((EBM)\) kinaitwa kosa lililofungwa kwa maana ya idadi ya watu (iliyofupishwa EBM). Maana ya sampuli\(\overline x\) ni makadirio ya uhakika ya maana ya idadi ya watu haijulikani\(\mu\).

Makadirio ya muda wa kujiamini yatakuwa na fomu:

(makadirio ya uhakika - kosa lililofungwa, makadirio ya uhakika + kosa lililofungwa) au, kwa alama,\((\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)\)

Fomu ya hisabati kwa muda huu wa kujiamini ni:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\]

Kiwango cha hitilafu (EBM) inategemea kiwango cha kujiamini (kifupi CL). Ngazi ya kujiamini mara nyingi inachukuliwa kuwa uwezekano wa kuwa makadirio ya muda wa kujiamini yatakuwa na parameter ya kweli ya idadi ya watu. Hata hivyo, ni sahihi zaidi kusema kwamba kiwango cha kujiamini ni asilimia ya vipindi vya kujiamini ambavyo vina parameter ya kweli ya idadi ya watu wakati sampuli za mara kwa mara zinachukuliwa. Mara nyingi, ni uchaguzi wa mtu anayejenga muda wa kujiamini kuchagua kiwango cha kujiamini cha 90% au zaidi kwa sababu mtu huyo anataka kuwa na uhakika wa hitimisho lake.

Kuna uwezekano mwingine unaoitwa alpha (\(\alpha\)). \(\alpha\)ni kuhusiana na kiwango cha kujiamini,\(CL\). \(\alpha\)ni uwezekano kwamba muda hauna parameter haijulikani idadi ya watu.
Kihisabati,\(1 - \alpha = CL\).

Muda wa kujiamini kwa idadi ya watu unamaanisha na kupotoka kwa kiwango kinachojulikana kinategemea ukweli kwamba usambazaji wa sampuli wa sampuli unamaanisha kufuata usambazaji wa kawaida. Tuseme kwamba sampuli yetu ina maana ya\(\overline x = 10\), na tuna ujenzi 90% kujiamini muda\((5, 15)\) ambapo\(EBM = 5\).

Ili kupata muda wa kujiamini wa 90%, lazima tujumuishe kati ya 90% ya uwezekano wa usambazaji wa kawaida. Ikiwa tunajumuisha kati ya 90%, tunaacha jumla ya\(\alpha = 10%\) mkia wote, au 5% katika kila mkia, wa usambazaji wa kawaida.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

Ili kukamata kati ya 90%, lazima tuondoke upungufu wa kiwango cha 1.645 upande wowote wa maana ya sampuli iliyohesabiwa. Thamani 1.645 ni alama ya z-kutoka usambazaji wa kawaida wa uwezekano unaoweka eneo la 0.90 katikati, eneo la 0.05 kwenye mkia wa kushoto wa mbali, na eneo la 0.05 kwenye mkia wa mbali wa kulia.

Ni muhimu kwamba kiwango kupotoka kutumika lazima sahihi kwa parameter sisi ni kukadiria, hivyo katika sehemu hii tunahitaji kutumia kiwango kupotoka ambayo inatumika kwa usambazaji sampuli kwa njia ambayo sisi alisoma na Theorem Kati Limit na ni,\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Kuhesabu Muda wa Kujiamini Kutumia EMB

Kujenga makadirio ya muda wa kujiamini kwa maana ya idadi ya watu haijulikani, tunahitaji data kutoka sampuli ya random. Hatua za kujenga na kutafsiri muda wa kujiamini ni:

• Tumia maana ya sampuli\(\overline x\) kutoka kwa data ya sampuli. Kumbuka, katika sehemu hii tunajua idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\).
• Pata alama ya z-kutoka meza ya kawaida ambayo inalingana na kiwango cha kujiamini kinachohitajika.
• Tumia kosa lililofungwa\(EBM\).
• Kujenga muda wa kujiamini.
• Andika sentensi ambayo inatafsiri makadirio katika mazingira ya hali katika tatizo.

Sisi kwanza kuchunguza kila hatua kwa undani zaidi, na kisha kuonyesha mchakato na baadhi ya mifano.

Kupata alama ya z-kwa Ngazi ya Uaminifu Imesema

Tunapojua idadi ya watu kiwango kupotoka\ sigma, tunatumia usambazaji wa kawaida wa kawaida ili kuhesabu kosa lililofungwa\(EBM\) na kujenga muda wa kujiamini. Tunahitaji kupata thamani ya\(z\) kwamba unaweka eneo sawa na kiwango cha kujiamini (katika fomu decimal) katikati ya usambazaji wa kawaida\(Z \sim N(0, 1)\).

Ngazi ya kujiamini\(CL\),, ni eneo katikati ya usambazaji wa kawaida wa kawaida. \(CL = 1 – \alpha\), hivyo\(\alpha\) ni eneo ambalo linagawanyika sawa kati ya mikia miwili. Kila mkia ina eneo sawa na\(\frac{\alpha}{2}\).

Alama ya z-ambayo ina eneo la haki ya\(\frac{\alpha}{2}\) inaashiria\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\).

Kwa mfano, wakati\(CL = 0.95\),\(\alpha = 0.05\) na\(\frac{\alpha}{2} = 0.025\); tunaandika\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) = Z_ {0.025}\).

Eneo la kulia\(Z_{0.025}\) ni 0.025 na eneo upande wa kushoto wa\(Z_{0.025}\) ni\(1 – 0.025 = 0.975\).

\(Z_{\frac{\alpha}{2}} = Z_{0.025} = 1.96\), kwa kutumia meza ya kawaida ya uwezekano. Tutaona baadaye kwamba tunaweza kutumia tofauti uwezekano meza, Mwanafunzi t-usambazaji, kwa ajili ya kutafuta idadi ya kupotoka kiwango cha kawaida kutumika ngazi ya kujiamini.

Kuhesabu Hitilafu imefungwa (EBM)

kosa amefungwa formula kwa idadi ya watu haijulikani maana\ mu wakati idadi ya watu kiwango kupotoka\ sigma inajulikana ni

• \(E B M=\left(Z \frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

Kujenga Muda wa Uaminifu

• Makadirio ya muda wa kujiamini ina muundo\((\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)\) au formula:\(\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\)

Grafu inatoa picha ya hali nzima.

\(C L+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=C L+\alpha=1\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme sisi ni nia ya alama maana juu ya mtihani. Sampuli ya random ya alama 36 inachukuliwa na inatoa sampuli maana (sampuli maana alama) ya 68 (X-X- = 68). Katika mfano huu tuna ujuzi usio wa kawaida kwamba kiwango cha idadi ya watu kupotoka ni pointi 3. Usihesabu kujua vigezo vya idadi ya watu nje ya mifano ya vitabu. Kupata kujiamini muda makadirio kwa idadi ya watu maana mtihani alama (alama maana juu ya mitihani yote).

Kupata 90% kujiamini muda kwa kweli (idadi ya watu) maana ya takwimu alama mtihani.

Jibu

Suluhisho 8.1

• Suluhisho linaonyeshwa hatua kwa hatua.

Ili kupata muda wa kujiamini, unahitaji sampuli maana\(\overline x\), na\(EBM\).

• \(\overline x = 68\)
• \(EBM = \left(Z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
• \(\sigma = 3\);\(n = 36\); Ngazi ya kujiamini ni 90%\((CL = 0.90)\)

\(CL = 0.90\)hivyo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\)

\(\frac{\alpha}{2}=0.05, Z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}\)

Eneo la kulia\(Z_{0.05}\) ni\(0.05\) na eneo upande wa kushoto wa\(Z_{0.05}\) ni\(1 – 0.05 = 0.95\).

\(Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645\)

Hii inaweza kupatikana kwa kutumia kompyuta, au kutumia meza ya uwezekano kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida. Kwa sababu viwango vya kawaida vya kujiamini katika sayansi ya kijamii ni 90%, 95% na 99% haitakuwa muda mrefu mpaka utakapofahamu idadi, 1.645, 1.96, na 2.56

\(E B M=(1.645)\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)=0.8225\)

\(\overline{x}-E B M=68-0.8225=67.1775\)

\(\overline{x}+E B M=68+0.8225=68.8225\)

Muda wa kujiamini wa 90% ni (67.1775, 68.8225).

Ufafanuzi

Tunakadiria kwa kujiamini 90% kwamba idadi ya watu wa kweli inamaanisha alama ya mtihani kwa wanafunzi wote wa takwimu ni kati ya 67.18 na 68.82.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Tuseme tunabadilisha tatizo la awali katika Mfano\(\PageIndex{1}\) kwa kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%. Kupata 95% kujiamini muda kwa kweli (idadi ya watu) maana takwimu mtihani alama.

Jibu

Suluhisho 8.2

Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

\[\mu=68 \pm 1.96\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)\nonumber\]

\[67.02 \leq \mu \leq 68.98\nonumber\]

\(\sigma = 3\);\(n = 36\); Ngazi ya kujiamini ni 95% (\(CL = 0.95\)).

\(CL = 0.95\)hivyo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

\(Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.025}=1.96\)

Kumbuka kwamba\(EBM\) ni kubwa kwa 95% ngazi ya kujiamini katika tatizo awali.

Kulinganisha matokeo

Muda wa kujiamini wa 90% ni (67.18, 68.82). Muda wa kujiamini 95% ni (67.02, 68.98). Muda wa kujiamini wa 95% ni pana. Ikiwa unatazama grafu, kwa sababu eneo 0.95 ni kubwa kuliko eneo 0.90, ni busara kwamba muda wa kujiamini wa 95% ni pana. Ili kuwa na uhakika zaidi kwamba muda wa kujiamini kwa kweli una thamani ya kweli ya idadi ya watu maana kwa alama zote za mtihani wa takwimu, muda wa kujiamini unahitaji kuwa pana. Hii inaonyesha kanuni muhimu sana ya vipindi vya kujiamini. Kuna biashara kati ya kiwango cha kujiamini na upana wa muda. Tamaa yetu ni kuwa na muda mdogo wa kujiamini, vipindi vingi vingi hutoa habari kidogo ambayo ni muhimu. Lakini tungependa pia kuwa na kiwango cha juu cha kujiamini katika kipindi chetu. Hii inaonyesha kwamba hatuwezi kuwa na wote wawili.

Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

Muhtasari: Athari ya Kubadilisha Ngazi ya U

• Kuongezeka kwa kiwango cha kujiamini hufanya muda wa kujiamini kuwa pana.
• Kupungua kwa kiwango cha kujiamini hufanya muda wa kujiamini kuwa nyepesi.

Na tena hapa ni formula kwa muda kujiamini kwa maana haijulikani kuchukua tuna idadi ya watu kiwango kupotoka:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

Mkengeuko wa kawaida wa usambazaji wa sampuli ulitolewa na Theorem ya Kati ya Limit kama\(\sigma / \sqrt{n}\). Wakati sisi mara nyingi kupata kuchagua ukubwa wa sampuli, ina jukumu muhimu katika muda wa kujiamini. Kwa sababu ukubwa wa sampuli ni katika denominator ya equation, kama\(n\) ongezeko husababisha kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli kupungua na hivyo upana wa muda wa kujiamini kupungua. Tumekutana hii kabla kama sisi upya madhara ya sampuli ukubwa juu ya Kati Limit Theorem. Huko tuliona kwamba kama\(n\) ongezeko usambazaji sampuli nyembamba mpaka katika kikomo ni collapses juu ya idadi ya watu kweli maana.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Tuseme tunabadilisha tatizo la awali katika Mfano\(\PageIndex{1}\) ili kuona nini kinatokea kwa muda wa kujiamini ikiwa ukubwa wa sampuli umebadilishwa.

Acha kila kitu sawa isipokuwa ukubwa wa sampuli. Tumia kiwango cha awali cha kujiamini cha 90%. Ni nini kinachotokea kwa muda wa kujiamini ikiwa tunaongeza ukubwa wa sampuli na kutumia\(n = 100\) badala ya\(n = 36\)? Nini kinatokea ikiwa tunapungua ukubwa wa sampuli\(n = 25\) badala ya\(n = 36\)?

Jibu

Suluhisho 8.3

Suluhisho A

\(\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

\(\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right)\)

\(67.5065 \leq \mu \leq 68.4935\)

Ikiwa tunaongeza ukubwa wa sampuli\(n\) hadi 100, tunapunguza upana wa muda wa kujiamini kuhusiana na ukubwa wa sampuli ya awali ya uchunguzi 36.

Jibu

Suluhisho 8.3

Suluhisho B

\(\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

\(\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{25}}\right)\)

\(67.013 \leq \mu \leq 68.987\)

Ikiwa tunapunguza ukubwa wa sampuli\(n\) hadi 25, tunaongeza upana wa muda wa kujiamini kwa kulinganisha na ukubwa wa awali wa sampuli ya uchunguzi 36.

Muhtasari: Athari ya Kubadilisha ukubwa wa Mfano

• Kuongezeka kwa ukubwa wa sampuli hufanya muda wa kujiamini kuwa nyepesi.
• Kupungua kwa ukubwa wa sampuli hufanya muda wa kujiamini kuwa pana.

Tumeona athari hii wakati tulipitia upya madhara ya kubadilisha ukubwa wa sampuli, n, kwenye Theorem ya Kati ya Limit. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{7}\) ili kuona athari hii. Kabla ya kuona kwamba kama ukubwa wa sampuli uliongezeka kiwango cha kupotoka kwa usambazaji wa sampuli hupungua. Hii ndiyo sababu sisi kuchagua sampuli maana kutoka sampuli kubwa ikilinganishwa na sampuli ndogo, mambo mengine yote uliofanyika mara kwa mara.

Hadi sasa sisi kudhani kwamba sisi alijua idadi ya watu kiwango kupotoka. Hii itakuwa karibu kamwe kuwa kesi. Tutakuwa na sampuli kiwango kupotoka, s, hata hivyo. Hii ni hatua makadirio ya idadi ya watu kiwango kupotoka na inaweza kubadilishwa katika formula kwa vipindi kujiamini kwa maana katika hali fulani. Tuliona tu athari ukubwa wa sampuli ina juu ya upana wa muda wa kujiamini na athari kwa usambazaji wa sampuli kwa majadiliano yetu ya Theorem ya Kati ya Limit. Tunaweza kuomba hii ili kubadilisha makadirio ya uhakika kwa kupotoka kwa kiwango ikiwa ukubwa wa sampuli ni kubwa “ya kutosha”. Masomo simulation zinaonyesha kuwa 30 uchunguzi au zaidi itakuwa ya kutosha ili kuondoa upendeleo wowote maana katika makadirio ya kujiamini muda.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Mapumziko ya spring inaweza kuwa likizo ya gharama kubwa sana. Sampuli ya wanafunzi 80 inachunguzwa, na kiasi cha wastani kilichotumiwa na wanafunzi kusafiri na vinywaji ni $593.84. Kupotoka kwa kiwango cha sampuli ni takriban $369.34.

Kujenga muda wa kujiamini wa 92% kwa idadi ya watu inamaanisha kiasi cha fedha kilichotumiwa na wavunjaji wa spring.

Jibu

Suluhisho 8.4

Tunaanza na muda kujiamini kwa maana. Tunatumia formula kwa maana kwa sababu variable random ni dola alitumia na hii ni kuendelea random variable. Makadirio ya uhakika kwa kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu, s, imebadilishwa kwa kupotoka kwa kiwango cha kweli cha idadi ya watu kwa sababu kwa uchunguzi wa 80 hakuna wasiwasi wa upendeleo katika makadirio ya muda wa kujiamini.

\[\mu=\overline{x} \pm\left[Z_{(\mathrm{a} / 2)} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]\nonumber\]

Kubadilisha maadili katika formula, tuna:

\[\mu=593.84 \pm\left[1.75 \frac{369.34}{\sqrt{80}}\right]\nonumber\]

\(Z_{(a / 2)}\)hupatikana kwenye meza ya kawaida ya kawaida kwa kuangalia juu ya 0.46 katika mwili wa meza na kutafuta idadi ya upungufu wa kawaida upande na juu ya meza; 1.75. Suluhisho kwa muda ni hivyo:

\[\mu=593.84 \pm 72.2636=(521.57,666.10)\nonumber\]

\[\$ 521.58 \leq \mu \leq \$ 666.10\nonumber\]

Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

Mapitio ya Mfumo

Fomu ya jumla ya muda wa kujiamini kwa idadi ya watu moja inamaanisha, inayojulikana kupotoka kwa kiwango, usambazaji wa kawaida hutolewa na formula\(\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\) hii hutumiwa wakati kiwango cha kupotoka kwa idadi ya watu kinajulikana.

\(CL\)= kiwango cha kujiamini, au uwiano wa vipindi vya kujiamini viliundwa ambavyo vinatarajiwa kuwa na parameter ya kweli ya idadi ya watu

\(\alpha = 1 – CL\)= uwiano wa vipindi vya kujiamini ambavyo haitakuwa na parameter ya idadi ya watu

\(z_{\frac{\alpha}{2}}\)= alama ya z-na mali ambayo eneo la haki ya alama ya z-ni\(\frac{\propto}{2}\) hii ni alama ya z-kutumika katika hesabu ya "\(EBM\)" wapi\(\alpha = 1 – CL\).