Skip to main content
Global

11.7: Kuelewa mteremko wa Line (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173380

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Tumia geoboards kwa mfano mteremko
    • Pata mteremko wa mstari kutoka kwenye grafu yake
    • Pata mteremko wa mistari ya usawa na wima
    • Tumia formula ya mteremko ili kupata mteremko wa mstari kati ya pointi mbili
    • Grafu mstari uliotolewa uhakika na mteremko
    • Kutatua maombi ya mteremko
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha:\(\dfrac{1 − 4}{8 − 2}\). Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 4.6.12.
    2. Gawanya:\(\dfrac{0}{4}, \dfrac{4}{0}\). Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 7.5.5.
    3. Kurahisisha:\(\dfrac{15}{-3}, \dfrac{−15}{3}, \dfrac{−15}{−3}\). Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 4.6.11.

    Kama tumekuwa graphing equations linear, tumeona kwamba baadhi ya mistari slant juu kama wao kwenda kutoka kushoto kwenda kulia na baadhi ya mistari slant chini. Baadhi ya mistari ni mwinuko sana na baadhi ya mistari ni flatter. Nini huamua kama mstari hupanda juu au chini, na ikiwa slant yake ni mwinuko au gorofa?

    Mwinuko wa slant ya mstari huitwa mteremko wa mstari. Dhana ya mteremko ina maombi mengi katika ulimwengu wa kweli. Upeo wa paa na daraja la barabara kuu au barabara ya magurudumu ni mifano tu ambayo unaona mteremko. Na unapopanda baiskeli, unasikia mteremko unapopiga kupanda au pwani kuteremka.

    Tumia Geoboards kwa Mfano Slope

    Katika sehemu hii, tutazingatia dhana za mteremko.

    Kutumia bendi za mpira kwenye geoboard hutoa njia halisi ya mfano mistari kwenye gridi ya kuratibu. Kwa kunyoosha bendi ya mpira kati ya magogo mawili kwenye geoboard, tunaweza kugundua jinsi ya kupata mteremko wa mstari. Na unapopanda baiskeli, unasikia mteremko unapopiga kupanda au pwani kuteremka.

    Tutaanza kwa kunyoosha bendi ya mpira kati ya magogo mawili ili kufanya mstari kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari wa 4 na uhakika katika safu ya 4 mstari wa 2.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Je, inaonekana kama mstari?

    Sasa tunaweka sehemu moja ya bendi ya mpira moja kwa moja kutoka kwenye kigingi cha kushoto na karibu na kilele cha tatu ili kufanya pande za pembetatu sahihi kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Tunafanya kwa makini angle ya 90° karibu na kigingi cha tatu, ili upande mmoja uwe wima na mwingine ni usawa.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 2, safu ya 1 mstari 4, na safu ya 4 mstari 2.

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Ili kupata mteremko wa mstari, tunapima umbali pamoja na miguu ya wima na ya usawa ya pembetatu. Umbali wa wima huitwa kupanda na umbali usio na usawa huitwa kukimbia, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\).

    Takwimu hii inaonyesha mishale miwili. Mshale wa kwanza ni wima na umeandikwa “kupanda”. Mshale wa pili huanza mwishoni mwa mshale wa kwanza unaoenea kwa haki na umeandikwa “kukimbia”.

    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Ili kusaidia kukumbuka maneno, inaweza kusaidia kufikiria picha zilizoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

    ...

    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Kwenye geoboard yetu, kupanda ni vitengo 2 kwa sababu bendi ya mpira inakwenda nafasi 2 kwenye mguu wima. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{5}\).

    Kukimbia ni nini? Hakikisha kuhesabu nafasi kati ya magogo badala ya magogo wenyewe! Bendi ya mpira inakwenda kwenye nafasi 3 kwenye mguu usio na usawa, hivyo kukimbia ni vitengo 3.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 2, safu ya 1 mstari 4, na safu ya 4 mstari 2. Pembetatu ina kupanda kwa vitengo 2 na kukimbia kwa vitengo 3.

    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    Mteremko wa mstari ni uwiano wa kupanda kwa kukimbia. Hivyo mteremko wa mstari wetu ni\(\dfrac{2}{3}\). Katika hisabati, mteremko daima unawakilishwa na barua m.

    Ufafanuzi: Mteremko wa mstari

    Mteremko wa mstari ni m =\(\dfrac{rise}{run}\).

    Kuongezeka kwa hatua mabadiliko ya wima na kukimbia hatua za mabadiliko ya usawa.

    Je, ni mteremko wa mstari kwenye geoboard katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\)?

    \[\begin{split} m &= \dfrac{rise}{run} \\ m &= \dfrac{2}{3} \\ The\; line\; &has\; slope\; \dfrac{2}{3} \ldotp \end{split}\]

    Tunapofanya kazi na geoboards, ni wazo nzuri ya kupata tabia ya kuanzia kwenye kigingi upande wa kushoto na kuunganisha kwenye kigingi upande wa kulia. Kisha sisi kunyoosha bendi ya mpira ili kuunda pembetatu sahihi.

    Kama sisi kuanza kwa kwenda juu kupanda ni chanya, na kama sisi kunyoosha ni chini kupanda ni hasi. Tutahesabu kukimbia kutoka kushoto kwenda kulia, kama vile unasoma aya hii, hivyo kukimbia itakuwa chanya.

    Kwa kuwa formula ya mteremko imeongezeka juu ya kukimbia, inaweza kuwa rahisi daima kuhesabu kupanda kwanza na kisha kukimbia.

    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Je! Mteremko wa mstari kwenye geoboard umeonyeshwa nini?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari wa 5 na uhakika katika safu ya 5 mstari wa 2.

    Suluhisho

    Tumia ufafanuzi wa mteremko.

    \[m = \dfrac{rise}{run}\]

    Anza kwenye kigingi cha kushoto na ufanye pembetatu sahihi kwa kunyoosha bendi ya mpira juu na kulia kufikia kilele cha pili. Hesabu kupanda na kukimbia kama inavyoonekana.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 2, safu ya 1 mstari 5, na safu ya 5 mstari wa 2.

    Kuongezeka ni vitengo 3. \[m = \dfrac{3}{run}\]

    Kukimbia ni vitengo 4. \[m = \dfrac{3}{4}\]

    Mteremko ni\(\dfrac{3}{4}\).

    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Je! Mteremko wa mstari kwenye geoboard umeonyeshwa nini?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari wa 5 na uhakika katika safu ya 4 mstari 1.

    Jibu

    \(\frac{4}{3}\)

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Je! Mteremko wa mstari kwenye geoboard umeonyeshwa nini?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari wa 4 na uhakika katika safu ya 5 mstari 3.

    Jibu

    \(\frac{1}{4}\)

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Je! Mteremko wa mstari kwenye geoboard umeonyeshwa nini?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari 3 na hatua katika safu ya 4 mstari 4.

    Suluhisho

    Tumia ufafanuzi wa mteremko.

    \[m = \dfrac{rise}{run}\]

    Anza kwenye nguruwe ya kushoto na ufanye pembetatu sahihi kwa kunyoosha bendi ya mpira kwenye nguruwe upande wa kulia. Wakati huu tunahitaji kunyoosha bendi ya mpira chini ili kufanya mguu wa wima, hivyo kupanda ni hasi.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari 3, safu ya 1 mstari 4, na safu ya 4 mstari 4.

    Kuongezeka ni -1.

    \[m = \dfrac{−1}{run}\]

    Kukimbia ni 3.

    \[\begin{split} m &= \dfrac{−1}{3} \\ m &= − \dfrac{1}{3} \end{split}\]

    Mteremko ni\(− \dfrac{1}{3}\).

    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Je, ni mteremko wa mstari kwenye geoboard?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari 2 na hatua katika safu ya 4 mstari 4.

    Jibu

    \(-\frac{2}{3}\)

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Je, ni mteremko wa mstari kwenye geoboard?

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna kitanzi cha mtindo wa bendi ya mpira kinachounganisha hatua katika safu ya 1 mstari 1 na hatua katika safu ya 4 mstari wa 5.

    Jibu

    \(-\frac{4}{3}\)

    Angalia kwamba katika mfano wa kwanza, mteremko ni chanya na katika mfano wa pili mteremko ni hasi. Je, taarifa tofauti yoyote katika mistari miwili inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{6}\).

    ...

    Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

    Unaposoma kutoka kushoto kwenda kulia, mstari katika Kielelezo A, unakwenda; ina mteremko mzuri. Mstari Kielelezo B kinashuka; ina mteremko hasi.

    ...

    Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Tumia geoboard ili kuiga mstari na mteremko\(\frac{1}{2}\).

    Suluhisho

    Ili kutengeneza mstari na mteremko maalum kwenye geoboard, tunahitaji kujua kupanda na kukimbia.

    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha nafasi m na\(\dfrac{1}{2}\). $$\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$

    Hivyo, kupanda ni kitengo 1 na kukimbia ni vitengo 2.

    Anza kwenye kigingi upande wa kushoto wa geoboard. Kunyoosha bendi ya mpira up 1 kitengo, na kisha haki 2 vitengo.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 3, safu ya 1 mstari 4, na safu ya 3 mstari 3.

    Hypotenuse ya pembetatu sahihi iliyoundwa na bendi ya mpira inawakilisha mstari na mteremko wa\(\dfrac{1}{2}\).

    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Tumia geoboard kuiga mstari na mteremko uliopewa: m =\(\dfrac{1}{3}\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna mpira bendi style pembetatu kuunganisha tatu ya pointi tatu katika safu 2 mstari 3, safu 2 mstari 4, na safu 5 mstari 3.

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Tumia geoboard kuiga mstari na mteremko uliopewa: m =\(\dfrac{3}{2}\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 1, safu ya 1 mstari 4, na safu ya 3 mstari 1.

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Tumia geoboard ili kuiga mstari na mteremko\(\dfrac{−1}{4}\).

    Suluhisho

    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha nafasi m na\(− \dfrac{1}{4}\). $$-\ dfrac {1} {4} =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$

    Kwa hiyo, kupanda ni -1 na kukimbia ni 4.

    Tangu kupanda ni hasi, sisi kuchagua kigingi kuanzia juu ya kushoto ya juu ambayo itatupa nafasi ya kuhesabu chini. Sisi kunyoosha bendi ya mpira chini ya kitengo 1, kisha kwa vitengo 4 vya haki.

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 2, safu ya 1 mstari 3, na safu ya 5 mstari 3.

    Hypotenuse ya pembetatu sahihi iliyoundwa na bendi ya mpira inawakilisha mstari ambao mteremko ni\(− \dfrac{1}{4}\).

    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Tumia geoboard kuiga mstari na mteremko uliopewa: m =\(\dfrac{−3}{2}\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 2 mstari wa 3, safu ya 2 mstari 5, na safu ya 3 mstari wa 5.

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Tumia geoboard kuiga mstari na mteremko uliopewa: m =\(\dfrac{−1}{3}\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha gridi ya dots sawasawa spaced. Kuna safu 5 na nguzo 5. Kuna pembetatu ya mtindo wa bendi ya mpira inayounganisha pointi tatu kwenye safu ya 1 mstari wa 1, safu ya 1 mstari 2, na safu ya 4 mstari 2.

    Pata mteremko wa Mstari kutoka kwenye Grafu yake

    Sasa tutaangalia baadhi ya grafu kwenye gridi ya kuratibu ili kupata mteremko wao. Njia hiyo itakuwa sawa na kile tulichotaja tu kwenye geoboards zetu.

    Ili kupata mteremko, tunapaswa kuhesabu kupanda na kukimbia. Lakini tunaanza wapi?

    Tunapata pointi zozote mbili kwenye mstari. Tunajaribu kuchagua pointi na kuratibu ambazo ni integers ili kufanya mahesabu yetu iwe rahisi. Sisi kisha kuanza na uhakika upande wa kushoto na mchoro pembetatu sahihi, ili tuweze kuhesabu kupanda na kukimbia.

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka -4 hadi 2. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 5, 1” na “jozi iliyoamriwa 0, -3”.

    Suluhisho

    Pata pointi mbili kwenye grafu, ukichagua pointi ambazo kuratibu ni integers. Tutatumia (0, 1-3) na (5, 1).

    Kuanzia na hatua upande wa kushoto, (0, -3), mchoro pembetatu sahihi, kutoka hatua ya kwanza hadi hatua ya pili, (5, 1).

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka -4 hadi 2. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 5, 1” na “jozi iliyoamriwa 0, -3”. Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa usawa unaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, 1" na “jozi iliyoamriwa 5,1”. Sehemu ya mstari wa wima inaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, -3” na “jozi iliyoamriwa 0, 1”.

    Kuhesabu kupanda kwenye mguu wa wima wa pembetatu. Kuongezeka ni vitengo 4.
    Hesabu kukimbia kwenye mguu usio na usawa. Kukimbia ni vitengo 5.
    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia. $$ m =\ dfrac {4} {5} $$

    Mteremko wa mstari ni\(\dfrac{4}{5}\).

    Angalia kwamba mteremko ni chanya tangu mstari hupanda juu kutoka kushoto kwenda kulia.

    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -8 hadi 1. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 4. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa -8, 1” na “jozi iliyoamriwa 0, 3".

    Jibu

    \(\frac{2}{5}\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka -2 hadi 4. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 4, 2" na “jozi iliyoamriwa 0, -1”.

    Jibu

    \(\frac{3}{4}\)

    JINSI YA: TAFUTA MTEREMKO KUTOKA KWENYE GRAFU

    Hatua ya 1. Pata pointi mbili kwenye mstari ambao kuratibu ni integers.

    Hatua ya 2. Kuanzia na hatua upande wa kushoto, mchoro pembetatu sahihi, kutoka hatua ya kwanza hadi hatua ya pili.

    Hatua ya 3. Kuhesabu kupanda na kukimbia kwenye miguu ya pembetatu.

    Hatua ya 4. Chukua uwiano wa kupanda ili kukimbia ili kupata mteremko.

    \[m = \dfrac{rise}{run}\]

    Mfano\(\PageIndex{6}\):

    Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 9. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 4, 2" na “jozi iliyoamriwa 3, 3".

    Suluhisho

    Pata pointi mbili kwenye grafu. Angalia pointi na kuratibu ambazo ni integers. Tunaweza kuchagua pointi yoyote, lakini tutatumia (0, 5) na (3, 3). Kuanzia na hatua upande wa kushoto, mchoro pembetatu sahihi, kutoka hatua ya kwanza hadi hatua ya pili.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 9. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 0, 5” na “jozi iliyoamriwa 3, 3". Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa usawa unaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, 3" na “jozi iliyoamriwa 3, 3". Sehemu ya mstari wa wima inaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, 3" na “jozi iliyoamriwa 0, 5". Inaitwa “kupanda”.

    Hesabu kupanda — ni hasi. Kuongezeka ni -2.
    Hesabu kukimbia. Kukimbia ni 3.
    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia. $$ m =\ dfrac {-2} {3} $$
    Kurahisisha. $$m = -\ dfrac {2} {3} $$

    Mteremko wa mstari ni\(− \dfrac{2}{3}\).

    Angalia kwamba mteremko ni hasi tangu mstari hupanda chini kutoka kushoto kwenda kulia.

    Nini kama tungechagua pointi tofauti? Hebu tupate mteremko wa mstari tena, wakati huu ukitumia pointi tofauti. Tutatumia pointi (-3, 7) na (6, 1).

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 9. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 0, 5” na “jozi iliyoamriwa 3, 3".

    Kuanzia saa (-3, 7), mchoro pembetatu sahihi kwa (6, 1).

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 9. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 0, 5” na “jozi iliyoamriwa 3, 3". Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa wima unaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, 3" na “jozi iliyoamriwa 3, 3". Sehemu ya mstari wa wima inaunganisha “jozi iliyoamriwa 0, 3" na “jozi iliyoamriwa 0, 5".

    Hesabu kupanda. Kuongezeka ni -6.
    Hesabu kukimbia. Kukimbia ni 9.
    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia. $$ m =\ dfrac {-6} {9} $$
    Kurahisisha sehemu. $$m = -\ dfrac {2} {3} $$

    Mteremko wa mstari ni\(− \dfrac{2}{3}\).

    Haijalishi ni pointi gani unazotumia-mteremko wa mstari daima ni sawa. Mteremko wa mstari ni mara kwa mara!

    Zoezi\(\PageIndex{11}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 5. Mhimili wa y huendesha kutoka -6 hadi 1. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 3, -6" na “jozi iliyoamriwa 0, -2”.

    Jibu

    \(-\frac{4}{3}\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -3 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka -3 hadi 2. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 5, -2” na “jozi iliyoamriwa 0, 1”.

    Jibu

    \(-\frac{3}{5}\)

    Mistari katika mifano ya awali ilikuwa na y-intercepts na maadili integer, hivyo ilikuwa rahisi kutumia y-intercept kama moja ya pointi tulizotumia kupata mteremko. Katika mfano unaofuata, y-intercept ni sehemu. Mahesabu ni rahisi ikiwa tunatumia pointi mbili na kuratibu integer.

    Mfano\(\PageIndex{7}\):

    Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 2, 3" na “jozi iliyoamriwa 7, 6".

    Suluhisho

    Pata pointi mbili kwenye grafu ambazo kuratibu ni integers. (2, 3) na (7, 6)
    Ni hatua gani iliyo upande wa kushoto? (2, 3)

    Kuanzia saa (2, 3), mchoro angle kulia kwa (7, 6) kama inavyoonekana hapa chini.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Vipengele viwili visivyochaguliwa vinatolewa kwenye “jozi iliyoamriwa 2, 3" na “jozi iliyoamriwa 7, 6". Mstari unapita kupitia pointi. Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa wima unaunganisha “jozi iliyoamriwa 2, 3" na “jozi iliyoamriwa 2, 6". Inaitwa “kupanda”. Sehemu ya mstari wa usawa inaunganisha “jozi iliyoamriwa 2, 6" na “jozi iliyoamriwa 7, 6". Inaitwa “kukimbia”.

    Hesabu kupanda. Kuongezeka ni 3.
    Hesabu kukimbia. Kukimbia ni 5.
    Tumia formula ya mteremko. $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia} $$
    Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia. $$ m =\ dfrac {3} {5} $$

    Mteremko wa mstari ni\(\dfrac{3}{5}\).

    Zoezi\(\PageIndex{13}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -4 hadi 2. Mhimili wa y huendesha kutoka -5 hadi 2. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa -3, -4” na “jozi iliyoamriwa 1, 1”.

    Jibu

    \(\frac{5}{4}\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\):

    Pata mteremko wa mstari:

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka -2 hadi 3. Mstari unapita kupitia pointi “jozi iliyoamriwa 3, 2" na “jozi iliyoamriwa 1, -1”.

    Jibu

    \(\frac{3}{2}\)

    Pata mteremko wa Mistari ya Ulalo na Wima

    Je! Unakumbuka kile kilichokuwa maalum kuhusu mistari ya usawa na wima? Equations yao ilikuwa na variable moja tu.

    • mstari wa usawa y = b; y -kuratibu zote ni sawa.
    • mstari wa wima x = a; kila x -kuratibu ni sawa.

    Hivyo tunawezaje kupata mteremko wa mstari wa usawa y = 4? Njia moja itakuwa grafu mstari usawa, kupata pointi mbili juu yake, na kuhesabu kupanda na kukimbia. Hebu tuone nini kinatokea katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\). Tutaweza kutumia pointi mbili (0, 4) na (3, 4) kuhesabu kupanda na kukimbia.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 5. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. Mstari wa usawa unapita kupitia pointi zilizoandikwa “jozi iliyoamriwa 0, 4" na “jozi iliyoamriwa 3, 4".

    Kielelezo\(\PageIndex{8}\)

    Kuongezeka ni nini? Kuongezeka ni 0.
    Kukimbia ni nini? Kukimbia ni 3.
    Mteremko ni nini? $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia}\ tag {11.4.21} $$
      $$m =\ dfrac {0} {3}\ tag {11.4.22} $$
      $$m = 0\ tag {11.4.23} $$

    Mteremko wa mstari wa usawa y = 4 ni 0.

    Mistari yote ya usawa ina mteremko 0. Wakati kuratibu y-ni sawa, kupanda ni 0.

    Ufafanuzi: Mteremko wa Line ya Ulalo

    Mteremko wa mstari usio na usawa, y = b, ni 0.

    Sasa tutazingatia mstari wa wima, kama mstari x = 3, umeonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{9}\). Tutaweza kutumia pointi mbili (3, 0) na (3, 2) kuhesabu kupanda na kukimbia.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Axes zote mbili zinaendesha kutoka -5 hadi 5. Mstari wa wima hupita kupitia pointi zilizoandikwa “jozi iliyoamriwa 3, 2" na “jozi iliyoamriwa 3, 0”.

    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

    Kuongezeka ni nini? Kuongezeka ni 2.
    Kukimbia ni nini? Kukimbia ni 0.
    Mteremko ni nini? $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia}\ tag {11.4.24} $$
      $$m =\ dfrac {2} {0}\ tag {11.4.25} $$

    Lakini hatuwezi kugawa na 0. Idara na 0 haijulikani. Kwa hiyo tunasema kwamba mteremko wa mstari wa wima x = 3 haijulikani. Mteremko wa mistari yote ya wima haijulikani, kwa sababu kukimbia ni 0.

    Ufafanuzi: Mteremko wa Line ya Wima

    Mteremko wa mstari wa wima, x = a, haijulikani.

    Mfano\(\PageIndex{8}\):

    Pata mteremko wa kila mstari: (a) x = 8 (b) y = -5

    Suluhisho

    (a) x = 8

    Hii ni mstari wa wima, hivyo mteremko wake haujafafanuliwa.

    (b) y = -5

    Hii ni mstari usio na usawa, hivyo mteremko wake ni 0.

    Zoezi\(\PageIndex{15}\):

    Pata mteremko wa mstari: x = -4.

    Jibu

    haijafafanuliwa

    Zoezi\(\PageIndex{16}\):

    Pata mteremko wa mstari: y = 7.

    Jibu

    0

    Mwongozo wa Haraka kwenye mteremko wa Mipangilio

    Takwimu inaonyesha mishale 4. Ya kwanza inatoka kutoka kushoto kwenda kulia na mshale unaonyesha juu. Inaitwa “chanya”. Ya pili inakwenda chini kutoka kushoto kwenda kulia na mshale unaoelekeza chini. Inaitwa “hasi”. Ya tatu ni ya usawa na vichwa vya mshale kwenye mwisho wote. Inaitwa “zero”. Mwisho ni wima na vichwa vya mshale kwenye mwisho wote. Ni kinachoitwa “haijulikani.”

    Tumia Mfumo wa Slope ili kupata mteremko wa Mstari kati ya Pointi mbili

    Wakati mwingine tunahitaji kupata mteremko wa mstari kati ya pointi mbili na hatuwezi kuwa na grafu kuhesabu kupanda na kukimbia. Tunaweza kupanga pointi kwenye karatasi ya gridi ya taifa, kisha uhesabu kupanda na kukimbia, lakini kuna njia ya kupata mteremko bila kuchora.

    Kabla ya kupata hiyo, tunahitaji kuanzisha notation mpya ya algebraic. Tumeona kwamba jozi kuamuru (x, y) anatoa kuratibu ya uhakika. Lakini tunapofanya kazi na mteremko, tunatumia pointi mbili. Je! Ishara hiyo (x, y) inaweza kutumiwa kuwakilisha pointi mbili tofauti?

    Wataalamu wa hisabati hutumia michango ili kutofautisha kati ya pointi. Subscript ni idadi ndogo iliyoandikwa na haki ya, na kidogo chini ya, variable.

    • (x 1, y 1) kusoma x ndogo 1, y ndogo 1
    • (x 2, y 2) kusoma x ndogo 2, y ndogo 2

    Tutatumia (x 1, y 1) kutambua hatua ya kwanza na (x 2, y 2) kutambua hatua ya pili. Kama tulikuwa na pointi zaidi ya mbili, tunaweza kutumia (x 3, y 3), (x 4, y 4), na kadhalika.

    Kuona jinsi kupanda na kukimbia kuhusiana na kuratibu ya pointi mbili, hebu tuangalie mwingine mteremko wa mstari kati ya pointi (2, 3) na (7, 6) katika Mchoro\(\PageIndex{10}\).

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 7. Mstari unaendesha kupitia pointi zilizoandikwa 2, 3 na 7, 6. Sehemu ya mstari inaendesha kutoka hatua ya 2, 3 hadi hatua isiyojulikana 2, 6. Ni kinachoitwa y ndogo 2 minus y ndogo 1, 6 minus 3, 3. Sehemu ya mstari inaendesha kutoka hatua ya 7, 6 hadi hatua isiyojulikana 2, 6. Ni kinachoitwa x ndogo 2 minus x ndogo 1, 7 minus 2, 5.

    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

    Kwa kuwa tuna pointi mbili, tutatumia nukuu ya usajili.

    \[\begin{split} x_{1}, y_{1} \qquad &x_{2}, y_{2} \\ (2, 3) \qquad &(7, 6) \end{split}\]

    Kwenye grafu, tulihesabu kuongezeka kwa 3. Kuongezeka pia kunaweza kupatikana kwa kuondoa y-kuratibu za pointi.

    \[\begin{split} y_{2} &- y_{1} \\ 6 &- 3 \\ &\; 3 \end{split}\]

    Tulihesabu kukimbia kwa 5. Kukimbia pia kunaweza kupatikana kwa kuondoa x-kuratibu.

    \[\begin{split} x_{2} &- x_{1} \\ 7 &- 2 \\ &\; 5 \end{split}\]

    Tunajua $$m =\ dfrac {kupanda} {kukimbia}\ tag {11.4.26} $$
    Hivyo $$m =\ dfrac {3} {5}\ tag {11.4.27} $$
    Tunaandika tena kupanda na kukimbia kwa kuweka katika kuratibu. $$m =\ dfrac {6 - 3} {7 - 2}\ tag {11.4.28} $$
    Lakini 6 ni kuratibu y-ya hatua ya pili, y 2 na 3 ni kuratibu y-ya hatua ya kwanza y 1. Hivyo tunaweza kuandika upya kupanda kwa kutumia nukuu Subscript. $$ m =\ dfrac {y_ {2} - y_ {1}} {7 - 2}\ tag {11.4.29} $$
    Pia 7 ni kuratibu x-ya hatua ya pili, x 2 na 2 ni kuratibu x-ya hatua ya kwanza x 2. Hivyo sisi kuandika upya kukimbia kwa kutumia nukuu Subscript. $$ m =\ dfrac {y_ {2} - y_ {1}} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.30} $$

    Tumekuwa umeonyesha kwamba m =\(\dfrac{y_{2} − y_{1}}{x_{2} − x_{1}}\) ni kweli toleo jingine la m =\(\dfrac{rise}{run}\). Tunaweza kutumia formula hii ili kupata mteremko wa mstari wakati tuna pointi mbili kwenye mstari.

    Ufafanuzi: Mfumo wa Slo

    Mteremko wa mstari kati ya pointi mbili (x 1, y 1) na (x 2, y 2) ni

    \[m = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \tag{11.4.31}\]

    Sema formula mwenyewe ili kukusaidia kukumbuka:

    Slope ni y ya hatua ya pili minus y ya hatua ya kwanza

    juu

    x ya hatua ya pili minus x ya hatua ya kwanza.

    Mfano\(\PageIndex{9}\):

    Pata mteremko wa mstari kati ya pointi (1, 2) na (4, 5).

    Suluhisho

    Tutaita (1, 2) hatua #1 na (4, 5) uhakika #2. $$\ kuanza {split} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\ (1, 2)\ qquad & (4, 5)\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Tumia formula ya mteremko. $$ m =\ dfrac {y_ {2} - y_ {1}} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.32} $$
    Weka maadili katika formula ya mteremko:  
    y ya hatua ya pili minus y ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {5 - 2} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.33} $$
    x ya hatua ya pili - bala x ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {5 - 2} {4 - 1}\ tag {11.4.34} $$
    Kurahisisha nambari na denominator. $$m =\ dfrac {3} {3}\ tag {11.4.35} $$
      m = 1

    Hebu tuhakikishe hili kwa kuhesabu mteremko kwenye grafu.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -1 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka -1 hadi 7. pointi mbili labeled ni inayotolewa katika “kuamuru jozi 1, 2" na “kuamuru jozi 4, 5”. Mstari unapita kupitia pointi. Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa wima unaunganisha “jozi iliyoamriwa 1, 2" na “jozi iliyoamriwa 1, 5". Inaitwa “kupanda”. Sehemu ya mstari wa usawa inaunganisha “jozi iliyoamriwa 1, 5" na “jozi iliyoamriwa 4, 5". Inaitwa “kukimbia”.

    Kuongezeka ni 3 na kukimbia ni 3, hivyo

    \[\begin{split} m &= \dfrac{rise}{run} \\ m &= \dfrac{3}{3} \\ m &= 1 \end{split}\]

    Zoezi\(\PageIndex{17}\):

    Pata mteremko wa mstari kupitia pointi zilizopewa: (8, 5) na (6, 3).

    Jibu

    1

    Zoezi\(\PageIndex{18}\):

    Pata mteremko wa mstari kupitia pointi zilizotolewa: (1, 5) na (5, 9).

    Jibu

    1

    Tunajuaje ni hatua gani ya kuwaita #1 na ni nani tunayoita #2? Hebu tupate mteremko tena, wakati huu ukibadilisha majina ya pointi ili kuona kinachotokea. Kwa kuwa sasa tutahesabu kukimbia kutoka kulia kwenda kushoto, itakuwa hasi.

    Tutaweza wito (4, 5) uhakika #1 na (1, 2) uhakika #2. $$\ kuanza {split} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\ (4, 5)\ qquad & (1, 2)\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Tumia formula ya mteremko. $$ m =\ dfrac {y_ {2} - y_ {1}} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.36} $$
    Weka maadili katika formula ya mteremko:  
    y ya hatua ya pili minus y ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {2 - 5} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.37} $$
    x ya hatua ya pili - bala x ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {2 - 5} {1 - 4}\ tag {11.4.38} $$
    Kurahisisha nambari na denominator. $$m =\ dfrac {-3} {-3}\ tag {11.4.39} $$
      m = 1

    Mteremko ni sawa bila kujali utaratibu gani tunatumia pointi.

    Mfano\(\PageIndex{10}\):

    Pata mteremko wa mstari kupitia pointi (-1, -3) na (-7, 4).

    Suluhisho

    Tutaita (-2, -3) kumweka #1 na (-7, 4) kumweka #2. $$\ kuanza {split} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\\ (-2, -3)\ qquad & (-7, 4)\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Tumia formula ya mteremko. $$ m =\ dfrac {y_ {2} - y_ {1}} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.40} $$
    Badilisha maadili.  
    y ya hatua ya pili minus y ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {4 - (-3)} {x_ {2} - x_ {1}}\ tag {11.4.41} $$
    x ya hatua ya pili - bala x ya hatua ya kwanza $$m =\ dfrac {4 - (-3)} {-7 - (-2)}\ tag {11.4.42} $$
    Kurahisisha. $$m =\ dfrac {7} {-5}\ tag {11.4.43} $$
      m =\(- \dfrac{7}{5}\)

    Hebu kuthibitisha hili kwenye grafu iliyoonyeshwa.

    Grafu inaonyesha ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka -8 hadi 2. Mhimili wa y huendesha kutoka -6 hadi 5. Vipengele viwili visivyochaguliwa vinatolewa kwenye “jozi iliyoamriwa -7, 4" na “jozi iliyoamriwa -2, -3”. Mstari unapita kupitia pointi. Makundi mawili ya mstari huunda pembetatu na mstari. Mstari wa wima unaunganisha “jozi iliyoamriwa -7, 4" na “jozi iliyoamriwa -7, -3”. Inaitwa “kupanda”. Sehemu ya mstari wa usawa inaunganisha “jozi iliyoamriwa -7, -3” na “jozi iliyoamriwa -2, -3”. Inaitwa “kukimbia”.

    \[\begin{split} m &= \dfrac{rise}{run} \\ m &= \dfrac{-7}{5} \\ m &= - \dfrac{7}{5} \end{split}\]

    Zoezi\(\PageIndex{19}\):

    Pata mteremko wa mstari kupitia jozi ya pointi: (-3, 4) na (2, -1).

    Jibu

    -1

    Zoezi\(\PageIndex{20}\):

    Pata mteremko wa mstari kupitia jozi ya pointi: (-1, 6) na (-3, -4).

    Jibu

    10