Skip to main content
Global

9.5: Tumia Mali ya Angles, Triangles, na Theorem ya Pythagorean (Sehemu ya 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173333

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Tumia Theorem ya Pythagorean

    Theorem ya Pythagorean ni mali maalum ya pembetatu sahihi ambayo imetumiwa tangu nyakati za kale. Ni jina la mwanafalsafa wa Kigiriki na mwanahisabati Pythagoras aliyeishi karibu 500 BCE.

    Kumbuka kwamba pembetatu ya kulia ina angle ya 90°, ambayo kwa kawaida tunaweka alama kwa mraba mdogo kwenye kona. Upande wa pembetatu kinyume cha angle 90° huitwa hypotenuse, na pande nyingine mbili huitwa miguu. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{8}\).

    Pembetatu tatu za kulia zinaonyeshwa. Kila mmoja ana sanduku anayewakilisha pembe ya kulia. Ya kwanza ina pembe ya kulia kwenye kona ya kushoto ya chini, ijayo kwenye kona ya juu kushoto, na ya mwisho juu. Pande mbili zinazogusa angle ya kulia zinaitwa “mguu” katika kila pembetatu. Pande zote kutoka pembe za kulia zimeandikwa “hypotenuse.”

    Kielelezo\(\PageIndex{8}\) - Katika pembetatu ya kulia, upande kinyume cha angle 90° huitwa hypotenuse na kila pande nyingine huitwa mguu.

    Theorem ya Pythagorean inaelezea jinsi urefu wa pande tatu za pembetatu sahihi zinahusiana na kila mmoja. Inasema kuwa katika pembetatu yoyote ya kulia, jumla ya mraba wa miguu miwili ni sawa na mraba wa hypotenuse.

    Ufafanuzi: Theorem ya Pythagorean

    Katika pembetatu yoyote ya haki ΔABC,

    \[a^{2} + b^{2} = c^{2}\]

    ambapo c ni urefu wa hypotenuse a na b ni urefu wa miguu.

    Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Hela kutoka sanduku ni upande c. pande kugusa angle haki ni alama na b.

    Ili kutatua matatizo ambayo hutumia Theorem ya Pythagorean, tutahitaji kupata mizizi ya mraba. Katika Kurahisisha na Tumia Mizizi ya Mraba tulianzisha nukuu m na tulielezea kwa njia hii:

    \[If\; m = n^{2}, then\; \sqrt{m} = n\; for\; n \geq 0\]

    Kwa mfano, tuligundua kwamba\(\sqrt{25}\) ni 5 kwa sababu 5 2 = 25.

    Tutatumia ufafanuzi huu wa mizizi ya mraba kutatua kwa urefu wa upande katika pembetatu sahihi.

    Mfano\(\PageIndex{7}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa hypotenuse.

    Pembetatu ya kulia na miguu iliyoandikwa kama 3 na 4.

    Suluhisho

    Hatua ya 1. Soma tatizo.  
    Hatua ya 2. Tambua unachotafuta. urefu wa hypotenuse ya pembetatu
    Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha.

    Hebu c = urefu wa hypotenuse

    CNX_BMath_Figure_09_03_025.jpg
    Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi. Mbadala. $$\ kuanza {kupasuliwa} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\ 3^ {2} + 4^ {2} &= c^ {2}\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 5. Kutatua equation. $$\ kuanza {kupasuliwa} 9 + 16 &= c^ {2}\\ 25 &= c^ {2}\\ sqrt {25} &= c^ {2}\\ 5 &= c\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 6. Angalia. $$\ kuanza {kupasuliwa} 3^ {2} + 4^ {2} &=\ textcolor {nyekundu} {5} ^ {2}\\ 9 + 16 &\ stackrel {?} {=} 25\\ 25 &= 25\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 7. Jibu swali. Urefu wa hypotenuse ni 5.
    Zoezi\(\PageIndex{13}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa hypotenuse.

    Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Hela kutoka sanduku ni upande c. pande kugusa angle haki ni alama 6 na 8.

    Jibu

    c = 10

    Zoezi\(\PageIndex{14}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa hypotenuse.

    Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande kutoka pembe ya kulia ni kinachoitwa kama c. pande moja kugusa angle kulia ni kinachoitwa kama 15, nyingine ni kinachoitwa “8".

    Jibu

    c = 17

    Mfano\(\PageIndex{8}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu mrefu.

    Pembetatu ya kulia inavyoonekana kwa mguu mmoja kinachoitwa kama 5 na hypotenuse kinachoitwa kama 13.

    Suluhisho

    Hatua ya 1. Soma tatizo.  
    Hatua ya 2. Tambua unachotafuta. Urefu wa mguu wa pembetatu
    Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha.

    Hebu b = mguu wa pembetatu

    Lebo upande b

    CNX_BMath_Figure_09_03_054_img-01.png
    Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi. Mbadala. $$\ kuanza {kupasuliwa} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\ 5 ^ {2} + b ^ {2} &= 13^ {2}\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 5. Kutatua equation. $$\ kuanza {kupasuliwa} 25 + b^ {2} &= 169\\ b ^ {2} &= 144\\ b ^ {2} &=\ sqrt {144}\ b &= 12\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 6. Angalia. $$\ kuanza {kupasuliwa} 5^ {2} +\ textcolor {nyekundu} {12} ^ {2} &\ stackrel {?} {=} 13^ {2}\\ 25 + 144 &\ stackrel {?} {=} 169\\ 169 &= 169\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 7. Jibu swali. Urefu wa mguu ni 12.
    Zoezi\(\PageIndex{15}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu.

    Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pembeni kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 17. Moja ya pande inayogusa angle ya kulia imeandikwa kama 15, nyingine inaitwa “b”.

    Jibu

    b = 8

    Zoezi\(\PageIndex{16}\):

    Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu.

    Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pili kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 15. Moja ya pande inayogusa angle ya kulia imeandikwa kama 9, nyingine inaitwa “b”.

    Jibu

    b = 12

    Mfano\(\PageIndex{9}\):

    Kelvin ni kujenga gazebo na anataka brace kila kona kwa kuweka 10-inch mbao bracket diagonally kama inavyoonekana. Je, ni mbali gani chini ya kona anapaswa kufunga bracket ikiwa anataka umbali kutoka kona hadi kila mwisho wa bracket kuwa sawa? Takriban kumi ya karibu ya inchi.

    Picha ya gazebo imeonyeshwa. Chini ya paa ni sura ya mstatili. Kuna braces mbili kutoka juu hadi kila upande. Brace upande wa kushoto ni kinachoitwa kama inchi 10. Kutoka ambapo brace hits upande wa paa ni kinachoitwa kama x.

    Suluhisho

    Hatua ya 1. Soma tatizo.  
    Hatua ya 2. Tambua unachotafuta. umbali kutoka kona ambayo bracket inapaswa kushikamana
    Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha.

    Hebu x = umbali kutoka kona

    CNX_BMath_Figure_09_03_055_img-01.png
    Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi. Mbadala. $$\ kuanza {kupasuliwa} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\ x^ {2} + x^ {2} &= 10^ {2}\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 5. Kutatua equation. Isulate variable. Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba. Kurahisisha. Takriban kumi ya karibu. $$\ kuanza {kupasuliwa} 2x^ {2} &= 100\\ x^ {2} &= 50\\ x &=\ sqrt {50}\ b &\ takriban 7.1\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Hatua ya 6. Angalia. $$\ kuanza {kupasuliwa} a^ {2} + b ^ {2} &= c^ {2}\\ (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {7.1}) ^ {2} + (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {7.1}) ^ {2} &\ stackrel {?} {\ takriban} 10^ {2}\\ &Ndiyo. \ mwisho {split} $$
    Hatua ya 7. Jibu swali. Kelvin inapaswa kufunga kila kipande cha kuni takriban 7.1" kutoka kona.
    Zoezi\(\PageIndex{17}\):

    John anaweka msingi wa ngazi ya futi 13 futi 5 kutoka ukuta wa nyumba yake. Je! Ngazi inafikia mbali gani ukuta?

    Picha ya nyumba inavyoonyeshwa. Kuna ngazi inayotegemea upande wa nyumba. Ngazi hiyo imeandikwa miguu 13. Umbali wa usawa kutoka msingi wa ngazi hadi nyumba umeandikwa miguu 5.

    Jibu

    Futi 12

    Zoezi\(\PageIndex{18}\):

    Randy anataka ambatisha kamba 17-ft ya taa juu ya mlingoti 15-ft ya sailboat yake. Jinsi mbali na msingi wa mlingoti lazima aunganishe mwisho wa kamba ya mwanga?

    Picha ya mashua inavyoonyeshwa. Urefu wa pole katikati ni kinachoitwa miguu 15. Kamba ya taa iko kwenye diagonal kutoka juu ya pole na imeandikwa miguu 17.

    Jibu

    8 miguu

    PATA RASILIMALI ZA ZIADA

    Uhuishaji: Jumla ya Angles ya Mambo ya Ndani ya Triangle

    Poligoni zinazofanana

    Mfano: Tambua Urefu wa Hypotenuse ya Triangle ya Haki

    Mazoezi hufanya kamili

    Tumia Mali ya Angles

    Katika mazoezi yafuatayo, tafuta (a) kuongeza na (b) inayosaidia angle iliyotolewa.

    1. 53°
    2. 16°
    3. 29°
    4. 72°

    Katika mazoezi yafuatayo, tumia mali ya pembe ili kutatua.

    1. Pata nyongeza ya angle ya 135°.
    2. Pata msaidizi wa angle ya 38°.
    3. Pata msaidizi wa angle ya 27.5°.
    4. Pata nyongeza ya angle ya 109.5°.
    5. Pembe mbili ni za ziada. Pembe kubwa ni 56° zaidi ya angle ndogo. Pata hatua za pembe zote mbili.
    6. Pembe mbili ni za ziada. Pembe ndogo ni chini ya 36° kuliko pembe kubwa. Pata hatua za pembe zote mbili.
    7. Pembe mbili ni za ziada. Pembe ndogo ni 34° chini ya angle kubwa. Pata hatua za pembe zote mbili.
    8. Pembe mbili ni za ziada. Pembe kubwa ni 52° zaidi ya angle ndogo. Pata hatua za pembe zote mbili.

    Tumia Mali ya Triangles

    Katika mazoezi yafuatayo, tatua kutumia mali ya pembetatu.

    1. Hatua za pembe mbili za pembetatu ni 26° na 98°. Pata kipimo cha angle ya tatu.
    2. Hatua za pembe mbili za pembetatu ni 61° na 84°. Pata kipimo cha angle ya tatu.
    3. Hatua za pembe mbili za pembetatu ni 105° na 31°. Pata kipimo cha angle ya tatu.
    4. Hatua za pembe mbili za pembetatu ni 47° na 72°. Pata kipimo cha angle ya tatu.
    5. Pembe moja ya pembetatu ya kulia ina kipimo cha 33°. Je! Ni kipimo gani cha angle nyingine?
    6. Pembe moja ya pembetatu ya kulia ina kipimo cha 51°. Je! Ni kipimo gani cha angle nyingine?
    7. Pembe moja ya pembetatu ya kulia ina kipimo cha 22.5°. Je! Ni kipimo gani cha angle nyingine?
    8. Pembe moja ya pembetatu ya kulia ina kipimo cha 36.5°. Je! Ni kipimo gani cha angle nyingine?
    9. Pembe mbili ndogo za pembetatu ya kulia zina hatua sawa. Pata hatua za pembe zote tatu.
    10. Kipimo cha pembe ndogo kabisa ya pembetatu ya kulia ni chini ya 20° kuliko kipimo cha pembe nyingine ndogo. Pata hatua za pembe zote tatu.
    11. Pembe katika pembetatu ni kama kwamba kipimo cha angle moja ni mara mbili kipimo cha angle ndogo, ilhali kipimo cha angle ya tatu ni mara tatu kipimo cha angle ndogo zaidi. Pata hatua za pembe zote tatu.
    12. Pembe katika pembetatu ni kama kwamba kipimo cha pembe moja ni 20° zaidi ya kipimo cha angle ndogo zaidi, ilhali kipimo cha angle ya tatu ni mara tatu kipimo cha angle ndogo zaidi. Pata hatua za pembe zote tatu.

    Pata Urefu wa Upande uliopotea

    Katika mazoezi yafuatayo, Δ ABC ni sawa na Δ XYZ. Pata urefu wa upande ulioonyeshwa.

    Pembetatu mbili zinaonyeshwa. Wanaonekana kuwa sura sawa, lakini pembetatu upande wa kulia ni ndogo. Upeo wa pembetatu upande wa kushoto ni kinachoitwa A, B, na C. upande wa hela kutoka A ni lebo 9, upande wa pili kutoka B ni kinachoitwa b, na upande wa C ni kinachoitwa 15. Vipande vya pembetatu upande wa kulia vinatajwa X, Y, na Z. upande wa kutoka X umeandikwa x, upande wa pili kutoka Y umeandikwa 8, na upande wa Z umeandikwa 10.

    1. upande b
    2. upande x

    Kwenye ramani, San Francisco, Las Vegas, na Los Angeles huunda pembetatu ambao pande zake zinaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Umbali halisi kutoka Los Angeles hadi Las Vegas ni maili 270.

    Pembetatu inavyoonyeshwa. Vipeo vinaitwa San Francisco, Las Vegas, na Los Angeles. Upande wa kutoka San Francisco umeandikwa inchi 1, upande wa kutoka Las Vegas umeandikwa inchi 1.3, na upande wa kutoka Los Angeles umeandikwa inchi 2.1.

    1. Kupata umbali kutoka Los Angeles kwa San Francisco.
    2. Kupata umbali kutoka San Francisco kwa Las Vegas.

    Tumia Theorem ya Pythagorean

    Katika mazoezi yafuatayo, tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa hypotenuse.

    1. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 9, nyingine kama 12.
    2. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 16, nyingine kama 12.
    3. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 15, nyingine kama 20.
    4. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 5, nyingine kama 12.

    Pata Urefu wa Upande uliopotea

    Katika mazoezi yafuatayo, tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa upande usiopotea. Pande zote hadi kumi ya karibu, ikiwa ni lazima.

    1. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pili kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 10. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 6.
    2. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pembeni kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 17. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 8.
    3. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pili kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 13. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 5.
    4. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pembeni kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 20. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 16.
    5. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pili kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 13. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 8.
    6. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Pande zote mbili zinazogusa angle sahihi zimeandikwa kama 6.
    7. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pembeni kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 17. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 15.
    8. Pembetatu ya kulia inavyoonyeshwa. Pembe ya kulia ni alama na sanduku. Upande wa pili kutoka pembe ya kulia umeandikwa kama 7. Moja ya pande kugusa angle sahihi ni kinachoitwa kama 5.

    Katika mazoezi yafuatayo, tatua. Takriban kumi ya karibu, ikiwa ni lazima.

    1. Kamba ya taa ya mguu 13 itaunganishwa juu ya pole ya mguu 12 kwa ajili ya kuonyesha likizo. Jinsi mbali na msingi wa pole lazima mwisho wa kamba ya taa iwe nanga?

    Pole ya wima inavyoonyeshwa kwa kamba ya taa inayotoka juu ya pole hadi chini. Pigo ni lebo ya miguu 12. Kamba ya taa imeandikwa miguu 13.

    1. Pam anataka kuweka bendera kwenye mlango wake wa karakana ili kumpongeza mwanawe juu ya uhitimu wake wa chuo kikuu. Mlango wa karakana una urefu wa miguu 12 na upana wa miguu 16. Je! Bendera inapaswa kufanana na mlango wa karakana kwa muda gani?

    Picha ya nyumba inavyoonyeshwa. Karakana ya mstatili ni miguu 12 juu na upana wa miguu 16. Bendera ya bluu inakwenda diagonally katika karakana.

    1. Chi ana mpango wa kuweka njia ya mawe ya kutengeneza kupitia bustani yake ya maua. Bustani ya maua ni mraba yenye pande za futi 10. Urefu wa njia utakuwa nini?

    Bustani ya mraba inavyoonyeshwa. Upande mmoja umeandikwa kama futi 10. Kuna njia ya diagonal ya mawe ya mviringo ya bluu kutoka kona ya chini kushoto hadi kona ya juu ya kulia.

    1. Brian alikopa ngazi ya ugani wa mguu 20 ili kuchora nyumba yake. Ikiwa anaweka msingi wa ngazi ya miguu 6 kutoka nyumbani, ni mbali gani juu ya ngazi itafikia?

    Picha ya nyumba inaonyeshwa kwa ngazi inayotegemea. Ngazi hiyo imeandikwa urefu wa miguu 20. Umbali wa usawa kutoka nyumba hadi chini ya ngazi ni miguu 6.

    kila siku Math

    1. Kujenga mfano wadogo Joe anataka kujenga nyumba ya doll kwa binti yake. Anataka nyumba ya doll kuonekana kama nyumba yake. Nyumba yake ni upana wa futi 30 na urefu wa futi 35 kwenye sehemu ya juu ya paa. Ikiwa dollhouse itakuwa upana wa miguu 2.5, kiwango chake cha juu kitakuwa cha juu gani?
    2. Upimaji Mhandisi wa mji ana mpango wa kujenga daraja la miguu katika ziwa kutoka hatua X hadi kumweka Y, kama inavyoonekana katika picha hapa chini. Ili kupata urefu wa daraja la miguu, huchota pembetatu ya kulia XYZ, na angle ya kulia saa X. Anachukua umbali kutoka X hadi Z, miguu 800, na kutoka Y hadi Z, futi 1,000. Daraja litakuwa muda gani?

    Ziwa linaonyeshwa. Point Y ni upande mmoja wa ziwa, moja kwa moja hela kutoka hatua X. Point Z iko upande mmoja wa ziwa kama uhakika X.

    Mazoezi ya kuandika

    1. Andika mali tatu za pembetatu kutoka sehemu hii na kisha ueleze kila mmoja kwa maneno yako mwenyewe.
    2. Eleza jinsi takwimu hapa chini inaonyesha Theorem ya Pythagorean kwa pembetatu na miguu ya urefu 3 na 4.

    Mraba mitatu huonyeshwa, na kutengeneza pembetatu sahihi katikati. Kila mraba imegawanywa katika viwanja vidogo. Mraba ndogo zaidi imegawanywa katika viwanja 9 vidogo. Mraba wa kati umegawanywa katika viwanja 16 vidogo. Mraba kubwa imegawanywa katika viwanja vidogo 25.

    Self Check

    (a) Baada ya kukamilisha mazoezi, tumia orodha hii ili kutathmini ujuzi wako wa malengo ya sehemu hii.

    CNX_BMath_Figure_AppB_053.jpg

    (b) Orodha hii inakuambia nini kuhusu ustadi wako wa sehemu hii? Ni hatua gani utachukua ili kuboresha?

    Wachangiaji na Majina