6.5: Kutatua Idadi na Maombi yao (Sehemu ya 1)
- Page ID
- 173452
- Tumia ufafanuzi wa uwiano
- Kutatua idadi
- Tatua programu kwa kutumia uwiano
- Andika milinganyo ya asilimia kama idadi
- Tafsiri na kutatua idadi ya asilimia
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
- Kurahisisha:\(\dfrac{\dfrac{1}{3}}{4}\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 4.5.8.
- Tatua:\(\dfrac{x}{4}\) = 20. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 4.12.5.
- Andika kama kiwango: Sale alipanda baiskeli yake 24 maili katika 2 saa. Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 5.10.6.
Tumia Ufafanuzi wa Uwiano
Katika sehemu ya Uwiano na Viwango tuliona baadhi ya njia zinazotumiwa katika maisha yetu ya kila siku. Wakati uwiano mbili au viwango ni sawa, equation inayohusiana nao inaitwa uwiano.
Uwiano ni equation ya fomu\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), ambapo b 合 0, d 合 0.
Uwiano unasema uwiano mbili au viwango ni sawa. Uwiano unasoma “a ni b, kama c ni d”.
Equation\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) ni uwiano kwa sababu sehemu mbili ni sawa. Uwiano\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) unasoma “1 ni 2 kama 4 ni 8”.
Kama sisi kulinganisha kiasi na vitengo, tunapaswa kuwa na uhakika sisi ni kulinganisha yao katika utaratibu sahihi. Kwa mfano, kwa uwiano\(\dfrac{20\; students}{1\; teacher} = \dfrac{60\; students}{3\; teachers}\) tunalinganisha idadi ya wanafunzi kwa idadi ya walimu. Sisi kuweka wanafunzi katika nambari na walimu katika denominators.
Andika kila sentensi kama uwiano: (a) 3 ni 7 kama 15 ni 35. (b) 5 hits katika 8 katika popo ni sawa na 30 hits katika 48 at-popo. (c) $1.50 kwa ounces 6 ni sawa na $2.25 kwa ounces 9.
Suluhisho
(a) 3 ni 7 kama 15 ni 35
| Andika kama uwiano. | $$\ dfrac {3} {7} =\ dfrac {15} {35} $ |
(b) 5 hits katika 8 katika popo ni sawa na 30 hits katika 48 at-popo
| Andika kila sehemu kulinganisha hits kwa at-popo. | $$\ dfrac {hits} {at-popo} =\ dfrac {hits} {at-popo} $$ |
| Andika kama uwiano. | $$\ dfrac {5} {8} =\ dfrac {30} {48} $ |
(c) $1.50 kwa ounces 6 ni sawa na $2.25 kwa ounces 9
| Andika kila sehemu ili kulinganisha dola kwa ounces. | $$\ dfrac {\ $} {ounces} =\ dfrac {\ $} {ounces} $$ |
| Andika kama uwiano. | $$\ dfrac {1.50} {6} =\ dfrac {2.25} {9} $ |
Andika kila sentensi kama uwiano: (a) 5 ni 9 kama 20 ni 36. (b) 7 hits katika 11 at-popo ni sawa na 28 hits katika 44 at-popo. (c) $2.50 kwa ounces 8 ni sawa na $3.75 kwa ounces 12.
- Jibu
-
\(\frac{5}{9} = \frac{20}{36}\)
- Jibu b
-
\(\frac{7}{11} = \frac{28}{44}\)
- Jibu c
-
\(\frac{2.50}{8} = \frac{3.75}{12}\)
Andika kila sentensi kama uwiano: (a) 6 ni 7 kama 36 ni 42. (b) watu wazima 8 kwa watoto 36 ni sawa na watu wazima 12 kwa watoto 54. (c) $3.75 kwa ounces 6 ni sawa na $2.50 kwa ounces 4.
- Jibu
-
\(\frac{6}{7} = \frac{36}{42}\)
- Jibu b
-
\(\frac{8}{36} = \frac{12}{54}\)
- Jibu c
-
\(\frac{3.75}{6} = \frac{2.50}{4}\)
Angalia uwiano\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) na\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\). Kutokana na kazi yetu na sehemu sawa tunajua equations hizi ni kweli. Lakini jinsi gani sisi kujua kama equation ni uwiano na sehemu sawa kama ina sehemu ndogo na idadi kubwa? Kuamua kama uwiano ni wa kweli, tunapata bidhaa za msalaba wa kila uwiano. Ili kupata bidhaa za msalaba, tunazidisha kila denominator na namba tofauti (diagonally katika ishara sawa). Matokeo huitwa bidhaa za msalaba kwa sababu ya msalaba uliofanywa. Bidhaa za msalaba wa uwiano ni sawa.
Kwa sehemu yoyote ya fomu\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), ambapo b 合 0, d 合 0, bidhaa zake za msalaba ni sawa.
Bidhaa za msalaba zinaweza kutumika kupima ikiwa uwiano ni wa kweli. Ili kupima kama equation inafanya uwiano, tunapata bidhaa msalaba. Ikiwa ni sawa, tuna uwiano.
Kuamua kama kila equation ni uwiano: (a)\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\) (b)\(\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}\)
Suluhisho
Kuamua kama equation ni uwiano, tunapata bidhaa za msalaba. Ikiwa ni sawa, equation ni uwiano.
(a)\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\)
| Pata bidhaa za msalaba. |
\[28 \cdot 4 = 112 \qquad 9 \cdot 12 = 108\] |
Kwa kuwa bidhaa za msalaba si sawa, 28 · 4 合 9 · 12, equation sio uwiano.
(b)\(\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}\)
| Pata bidhaa za msalaba. |
\[15 \cdot 17.5 = 262.5 \qquad 37.5 \cdot 7 = 262.5\] |
Kwa kuwa bidhaa za msalaba ni sawa, 15 • 17.5 = 37.5 • 7, equation ni uwiano.
Kuamua kama kila equation ni uwiano: (a)\(\dfrac{7}{9} = \dfrac{54}{72}\) (b)\(\dfrac{24.5}{45.5} = \dfrac{7}{13}\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
ndiyo
Kuamua kama kila equation ni uwiano: (a)\(\dfrac{8}{9} = \dfrac{56}{73}\) (b)\(\dfrac{28.5}{52.5} = \dfrac{8}{15}\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
hapana
Kutatua idadi
Ili kutatua uwiano ulio na variable, tunakumbuka kwamba uwiano ni equation. Mbinu zote ambazo tumetumia hadi sasa kutatua equations bado zinatumika. Katika mfano unaofuata, tutatatua uwiano kwa kuzidisha na Denominator ya kawaida (LCD) kwa kutumia Mali ya Kuzidisha ya Usawa.
Kutatua:\(\dfrac{x}{63} =\dfrac{4}{7}\).
Suluhisho
| Ili kutenganisha x, kuzidisha pande zote mbili na LCD, 63. | $$\ textcolor {nyekundu} {63}\ kushoto (\ dfrac {x} {63}\ haki) =\ textcolor {nyekundu} {63}\ kushoto (\ dfrac {4} {7}\ haki) $$ |
| Kurahisisha. | $x =\ dfrac {9\ cdot\ kufuta {7}\ cdot 4} {\ kufuta {7}} $$ |
| Gawanya mambo ya kawaida. | $$x = 36 $$ |
Angalia: Kuangalia jibu letu, tunabadilisha sehemu ya awali.
| Mbadala x =\(\textcolor{red}{36}\) | $$\ dfrac {\ textcolor {nyekundu} {36}} {63}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {4} {7} $$ |
| Onyesha mambo ya kawaida. | $$\ drac {4\ dot 9} {7\ dot 9}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {4} {7} $$ |
| Kurahisisha. | $$\ dfrac {4} {7} =\ dfrac {4} {7}\;\ checkmark$$ |
Tatua uwiano:\(\dfrac{n}{84} = \dfrac{11}{12}\).
- Jibu
-
77
Tatua uwiano:\(\dfrac{y}{96} = \dfrac{13}{12}\).
- Jibu
-
104
Wakati variable iko katika denominator, tutatumia ukweli kwamba bidhaa za msalaba wa uwiano ni sawa kutatua uwiano.
Tunaweza kupata bidhaa msalaba wa uwiano na kisha kuziweka sawa. Kisha sisi kutatua equation kusababisha kutumia mbinu zetu familiar.
Kutatua:\(\dfrac{144}{a} =\dfrac{9}{4}\).
Suluhisho
Angalia kwamba variable iko katika denominator, hivyo tutatatua kwa kutafuta bidhaa za msalaba na kuziweka sawa.
| Pata bidhaa za msalaba na uziweke sawa. | 4 • 144 = a • 9 |
| Kurahisisha. | 576 = 9a |
| Gawanya pande zote mbili kwa 9. | $$\ dfrac {576} {9} =\ dfrac {9a} {9} $ |
| Kurahisisha. | $64 = $$ |
Angalia jibu lako.
| Badilisha a =\(\textcolor{red}{64}\) | $$\ dfrac {144} {\ textcolor {nyekundu} {64}}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {9} {4} $$ |
| Onyesha mambo ya kawaida. | $$\ drac {9\ dot 16} {4\ dot 16}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {9} {4} $$ |
| Kurahisisha. | $$\ dfrac {9} {4} =\ dfrac {9} {4}\;\ checkmark$$ |
Njia nyingine ya kutatua hii itakuwa kuzidisha pande zote mbili na LCD, 4a. Jaribu na uhakikishe kwamba unapata suluhisho sawa.
Tatua uwiano:\(\dfrac{91}{b} = \dfrac{7}{5}\).
- Jibu
-
65
Tatua uwiano:\(\dfrac{39}{c} = \dfrac{13}{8}\).
- Jibu
-
24
Kutatua:\(\dfrac{52}{91} = \dfrac{-4}{y}\)
Suluhisho
| Pata bidhaa za msalaba na uziweke sawa. |  |
| y • 52 = 91 (-4) | |
| Kurahisisha. | 52y = -364 |
| Gawanya pande zote mbili kwa 52. | $$\ dfrac {52y} {52} =\ dfrac {-364} {52} $$ |
| Kurahisisha. | $y = -$7 $ |
Angalia:
| Mbadala y =\(\textcolor{red}{-7}\) | $$\ dfrac {52} {91}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {-4} {\ textcolor {nyekundu} {-7}} $ |
| Onyesha mambo ya kawaida. | $$\ drac {13\ dot 4} {13\ dot 7}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {-4} {\ textcolor {nyekundu} {-7}} $ |
| Kurahisisha. | $$\ dfrac {4} {7} =\ dfrac {4} {7}\;\ checkmark$$ |
Tatua uwiano:\(\dfrac{84}{98} = \dfrac{-6}{x}\).
- Jibu
-
-7
Tatua uwiano:\(\dfrac{-7}{y} = \dfrac{105}{135}\).
- Jibu
-
-9
Kutatua Maombi Kutumia Idadi
Mkakati wa kutatua maombi ambayo tumetumia mapema katika sura hii, pia inafanya kazi kwa uwiano, kwa kuwa uwiano ni equations. Wakati sisi kuanzisha uwiano, ni lazima kuhakikisha vitengo ni sahihi-vitengo katika nambari mechi na vitengo katika denominators mechi.
Wakati madaktari wa watoto wanaagiza watoto acetaminophen, wanaagiza mililita 5 (ml) ya acetaminophen kwa kila paundi 25 za uzito wa mtoto. Ikiwa Zoe ina uzito wa paundi 80, ni mililita ngapi ya acetaminophen ataagiza daktari wake?
Suluhisho
| Tambua kile unachoulizwa kupata. | Ni ml ngapi ya acetaminophen daktari ataagiza? |
| Chagua variable ili kuiwakilisha. | Hebu = ml ya acetaminophen. |
| Andika sentensi ambayo inatoa taarifa ili kuipata. | Ikiwa 5 ml imeagizwa kwa kila paundi 25, ni kiasi gani kitaagizwa kwa paundi 80? |
| Tafsiri kwa uwiano. | $$\ dfrac {ml} {paundi} =\ dfrac {ml} {paundi}\ tag {6.5.24} $$ |
| Mbadala kutokana na maadili-kuwa makini ya vitengo. | $$\ dfrac {5} {25} =\ dfrac {a} {80}\ tag {6.5.25} $$ |
| Panua pande zote mbili kwa 80. | $80\ cdot\ dfrac {5} {25} = 80\ cdot\ dfrac {a} {80}\ tag {6.5.26} $$ |
| Kuzidisha na kuonyesha mambo ya kawaida. | $$\ dfrac {16\ cdot 5\ cdot 5} =\ dfrac {80a} {80}\ tag {6.5.27} $$ |
| Kurahisisha. | $16 = a\ tag {6.5.28} $$ |
| Angalia kama jibu ni busara. | Ndiyo. Tangu 80 ni karibu mara 3 25, dawa inapaswa kuwa mara 3 5. |
| Andika sentensi kamili. | Daktari wa watoto angeagiza 16 ml ya acetaminophen kwa Zoe. |
Unaweza pia kutatua uwiano huu kwa kuweka bidhaa msalaba sawa.
Daktari wa watoto wanaagiza mililita 5 (ml) ya acetaminophen kwa kila paundi 25 za uzito wa mtoto. Ni mililita ngapi ya acetaminophen daktari ataagiza kwa Emilia, ambaye ana uzito wa paundi 60?
- Jibu
-
12 ml
Kwa kila kilo 1 (kilo) ya uzito wa mtoto, watoto wa watoto wanaagiza miligramu 15 (mg) ya reducer ya homa. Ikiwa Isabella ina uzito wa kilo 12, ni miligramu ngapi ya reducer ya homa ambayo daktari wa watoto ataagiza?
- Jibu
-
180 mg
Aina moja ya popcorn ya microwave ina kalori 120 kwa kutumikia. Mfuko mzima wa popcorn hii ina huduma 3.5. Ni kalori ngapi katika mfuko mzima wa popcorn hii ya microwave?
Suluhisho
| Tambua kile unachoulizwa kupata. | Ni kalori ngapi katika mfuko mzima wa popcorn ya microwave? |
| Chagua variable ili kuiwakilisha. | Hebu c = idadi ya kalori. |
| Andika sentensi ambayo inatoa taarifa ili kuipata. | Ikiwa kuna kalori 120 kwa kutumikia, ni kalori ngapi katika mfuko mzima na huduma 3.5? |
| Tafsiri kwa uwiano. | $$\ dfrac {kalori} {kuwahudumia} =\ dfrac {kalori} {kuwahudumia}\ tag {6.5.29} $$ |
| Maadili yaliyopewa mbadala. | $$\ dfrac {120} {1} =\ dfrac {c} {3.5}\ tag {6.5.30} $$ |
| Panua pande zote mbili kwa 3.5. | $$ (3.5)\ kushoto (\ dfrac {120} {1}\ kulia) = (3.5)\ kushoto (\ dfrac {c} {3.5}\ haki)\ tag {6.5.31} $$ |
| Kuzidisha. | $420 = c\ tag {6.5.32} $$ |
| Angalia kama jibu ni busara. | Ndiyo. Kwa kuwa 3.5 ni kati ya 3 na 4, kalori jumla inapaswa kuwa kati ya 360 (3 • 120) na 480 (4 • 120). |
| Andika sentensi kamili. | Mfuko mzima wa popcorn ya microwave ina kalori 420. |
Marissa anapenda Caramel Macchiato katika duka la kahawa. The 16 oz. ukubwa wa kati una kalori 240. Je! Atapata kalori ngapi ikiwa anakunywa kubwa ya 20 oz. ukubwa?
- Jibu
-
300
Yaneli anapenda pipi za Starburst, lakini anataka kuweka vitafunio vyake kwa kalori 100. Ikiwa pipi zina kalori 160 kwa vipande 8, ni vipande ngapi ambavyo anaweza kuwa na vitafunio vyake?
- Jibu
-
5
Yosia akaenda Mexico kwa mapumziko ya spring na kubadilisha dola 325 kuwa peso za Mexico. Wakati huo, kiwango cha ubadilishaji kilikuwa na dola 1 za Marekani ni sawa na peso 12.54 za Mexico. Alipata peso ngapi za Mexico kwa safari yake?
Suluhisho
| Tambua kile unachoulizwa kupata. | Je, Yosia alipata peso ngapi za Mexico? |
| Chagua variable ili kuiwakilisha. | Hebu p = idadi ya peso. |
| Andika sentensi ambayo inatoa taarifa ili kuipata. | Ikiwa $1 U.S. ni sawa na 12.54 peso ya Mexican, basi $325 ni peso ngapi? |
| Tafsiri kwa uwiano. | $$\ dfrac {\ $} {peso} =\ dfrac {\ $} {peso}\ tag {6.5.33} $$ |
| Maadili yaliyopewa mbadala. | $$\ dfrac {1} {12.54} =\ dfrac {325} {p}\ tag {6.5.34} $$ |
| Variable iko katika denominator, hivyo pata bidhaa za msalaba na uziweke sawa. | $p\ cdot 1 = 12.54 (325)\ tag {6.5.35} $$ |
| Kurahisisha. | $$c = 4,075.5\ tag {6.5.36} $$ |
| Angalia kama jibu ni busara. | Ndiyo, $100 itakuwa $1,254 peso. $325 ni kidogo zaidi ya mara 3 kiasi hiki. |
| Andika sentensi kamili. | Yosia ana peso 4075.5 kwa ajili ya safari yake ya mapumziko ya spring. |
Yurianna ni kwenda Ulaya na anataka mabadiliko ya dola 800 katika Euro. Kwa kiwango cha ubadilishaji wa sasa, $1 Marekani ni sawa na 0.738 Euro. Atakuwa na Euro ngapi kwa safari yake?
- Jibu
-
Euro 590
Corey na Nicole wanasafiri kwenda Japan na wanahitaji kubadilishana $600 katika yen ya Kijapani. Ikiwa kila dola ni yen 94.1, ni yen ngapi watapata?
- Jibu
-
Yen 56,460