5.13: Kurahisisha na Tumia Mizizi ya Mraba (Sehemu ya 2)
- Page ID
- 173439
Mizizi ya mraba ya Mraba yenye Calculator
Kuna mbinu za hisabati kwa mizizi ya mraba takriban, lakini ni rahisi zaidi kutumia calculator kupata mizizi ya mraba. Kupata\(\sqrt{\text{ }}\) au\(\sqrt{x}\) ufunguo kwenye calculator yako. Utatumia ufunguo huu kwa mizizi ya mraba takriban. Unapotumia calculator yako ili kupata mzizi wa mraba wa namba ambayo si mraba kamili, jibu unayoona sio namba halisi. Ni makadirio, na idadi ya tarakimu inavyoonekana kwenye kuonyesha calculator yako ya. Ishara ya makadirio ni ≈ na inasomwa takriban.
Tuseme calculator yako ina kuonyesha tarakimu 10. Kutumia ili kupata mizizi ya mraba ya 5 itatoa 2.236067977. Hii ni mizizi ya mraba ya takriban ya 5. Tunaporipoti jibu, tunapaswa kutumia ishara “takriban sawa na” badala ya ishara sawa.
\[\sqrt{5} \approx 2.236067978\]
Wewe mara chache kutumia hii tarakimu nyingi kwa ajili ya maombi katika algebra. Hivyo, kama alitaka pande zote\(\sqrt{5}\) kwa maeneo decimal mbili, ungependa kuandika
\[\sqrt{5} \approx 2.24\]
Je, tunajua maadili haya ni makadirio na si maadili halisi? Angalia nini kinatokea wakati sisi mraba yao.
\[\begin{split} 2.236067978^{2} & = 5.000000002 \\ 2.24^{2} & = 5.0176 \end{split}\]
Mraba ni karibu, lakini si sawa sawa, hadi 5.
Pande zote\(\sqrt{17}\) kwa maeneo mawili ya decimal kwa kutumia calculator.
Suluhisho
| Tumia ufunguo wa mizizi ya mraba ya calculator. | 4.123105626 |
| Pande zote kwa maeneo mawili ya decimal. | 4.12 |
| $$\ sqrt {17}\ takriban 4.12$ |
Pande zote\(\sqrt{11}\) kwa maeneo mawili ya decimal.
- Jibu
-
\( \approx 3.32\)
Pande zote\(\sqrt{13}\) kwa maeneo mawili ya decimal
- Jibu
-
\( \approx 3.61\)
Punguza maneno ya kutofautiana na Mizizi ya Mraba
Maneno na mizizi mraba kwamba tuna inaonekana katika hadi sasa si alikuwa na vigezo yoyote. Nini kinatokea wakati tuna kupata mizizi ya mraba ya kujieleza variable?
Fikiria\(\sqrt{9x^{2}}\), ambapo x ≥ 0. Je, unaweza kufikiria kujieleza ambao mraba ni 9x 2?
\[\begin{split} (?)^{2} & = 9x^{2} \\ (3x)^{2} & = 9x^{2} \\ so\; \sqrt{9x^{2}} & = 3x \end{split}\]
Wakati sisi kutumia variable katika kujieleza mizizi mraba, kwa ajili ya kazi yetu, sisi kudhani kwamba variable inawakilisha idadi nonnegative. Katika kila mfano na zoezi kwamba ifuatavyo, kila variable katika kujieleza mizizi mraba ni kubwa kuliko au sawa na sifuri.
Kurahisisha: x 2.
Suluhisho
Fikiria juu ya nini tunataka kuwa mraba kupata x 2. Algebraically, (?) 2 = x 2
| tangu (x) 2 = x 2 | x |
Kurahisisha:\(\sqrt{y^{2}}\).
- Jibu
-
\(y\)
Kurahisisha:\(\sqrt{m^{2}}\).
- Jibu
-
\(m\)
Kurahisisha:\(\sqrt{16x^{2}}\).
Suluhisho
| tangu (4x) 2 = 16x 2 | 4x |
Kurahisisha:\(\sqrt{64x^{2}}\).
- Jibu
-
\(8x\)
Kurahisisha:\(\sqrt{169y^{2}}\).
- Jibu
-
\(13y\)
Kurahisisha:\(- \sqrt{81y^{2}}\).
Suluhisho
| Tangu (9y) 2 = 81y 2 | -9y |
Kurahisisha:\(- \sqrt{121y^{2}}\).
- Jibu
-
\(-11y\)
Kurahisisha:\(- \sqrt{100p^{2}}\).
- Jibu
-
\(-10p\)
Kurahisisha:\(\sqrt{36x^{2} y^{2}}\).
Suluhisho
| Tangu (6xy) 2 = 36x 2 y 2 | 6xy |
Kurahisisha:\(\sqrt{100a^{2} b^{2}}\).
- Jibu
-
\(10ab\)
Kurahisisha:\(\sqrt{225m^{2} n^{2}}\).
- Jibu
-
\(10mn\)
Tumia Mizizi ya Mraba katika Maombi
Unapoendelea kupitia kozi zako za chuo, utakutana na maombi kadhaa ya mizizi ya mraba. Mara nyingine tena, ikiwa tunatumia mkakati wetu wa programu, itatupa mpango wa kupata jibu!
Hatua ya 1. Tambua kile unachoulizwa kupata.
Hatua ya 2. Andika maneno ambayo inatoa taarifa ili kuipata.
Hatua ya 3. Tafsiri maneno kwa kujieleza.
Hatua ya 4. Kurahisisha maneno.
Hatua ya 5. Andika sentensi kamili inayojibu swali.
Mizizi ya mraba na Eneo
Sisi kutatuliwa maombi na eneo kabla. Ikiwa tulipewa urefu wa pande za mraba, tunaweza kupata eneo lake kwa kuzingatia urefu wa pande zake. Sasa tunaweza kupata urefu wa pande za mraba ikiwa tunapewa eneo hilo, kwa kutafuta mizizi ya mraba ya eneo hilo.
Ikiwa eneo la mraba ni vitengo vya mraba, urefu wa upande ni vitengo. Angalia Jedwali\(\PageIndex{1}\).
| Eneo (vitengo vya mraba) | Urefu wa upande (vitengo) |
|---|---|
| 9 | $$\ sqrt {9} = $3 $ |
| 144 | $$\ sqrt {144} = 12$$ |
| A | $$\ sqrt {A} $$ |
Mike na Lychelle wanataka kufanya patio mraba. Wana saruji ya kutosha kwa eneo la miguu ya mraba 200. Kwa sehemu ya kumi ya mguu, kwa muda gani upande wa patio yao ya mraba unaweza kuwa?
Suluhisho
Tunajua eneo la mraba ni futi za mraba 200 na unataka kupata urefu wa upande. Ikiwa eneo la mraba ni vitengo vya mraba, urefu wa upande ni\(\sqrt{A}\) vitengo.
| Unaulizwa kupata nini? | Urefu wa kila upande wa patio ya mraba |
| Andika maneno. | Urefu wa upande |
| Tafsiri kwa kujieleza. | $$\ sqrt {A} $$ |
| Tathmini\(\sqrt{A}\) wakati A = 200. | $$\ sqrt {200} $$ |
| Tumia calculator yako. | 14.142135... |
| Pande zote kwa sehemu moja ya decimal. | Futi 14.1 |
| Andika sentensi. | Kila upande wa patio lazima iwe miguu 14.1. |
Katie anataka kupanda lawn mraba katika yadi yake ya mbele. Ana sod ya kutosha kufunika eneo la futi za mraba 370. Kwa sehemu ya kumi ya mguu, kwa muda gani upande wa lawn yake ya mraba inaweza kuwa?
- Jibu
-
Miguu 19.2
Sergio anataka kufanya mosaic mraba kama inlay kwa meza yeye ni kujenga. Ana tile ya kutosha kufunika eneo la sentimita za mraba 2704. Je, upande wa mosaic yake unaweza kuwa muda gani?
- Jibu
-
Sentimita 52
Mizizi ya mraba na mvuto
Matumizi mengine ya mizizi ya mraba inahusisha mvuto. Kwenye Dunia, ikiwa kitu kimeshuka kutoka urefu wa miguu h, muda katika sekunde itachukua kufikia ardhi hupatikana kwa kutathmini maneno\(\dfrac{\sqrt{h}}{4}\). Kwa mfano, ikiwa kitu kimeshuka kutoka urefu wa futi 64, tunaweza kupata muda unachukua kufikia ardhi kwa kutathmini\(\dfrac{\sqrt{64}}{4}\).
| Chukua mizizi ya mraba ya 64. | $$\ dfrac {8} {4} $$ |
| Kurahisisha sehemu. | 2 |
Itachukua sekunde 2 kwa kitu kilichoshuka kutoka kimo cha futi 64 kufikia ardhi.
Christy imeshuka miwani yake kutoka daraja 400 miguu juu ya mto. Inachukua sekunde ngapi kwa miwani ili kufikia mto?
Suluhisho
| Unaulizwa kupata nini? | Idadi ya sekunde inachukua kwa miwani ili kufikia mto |
| Andika maneno. | Wakati itachukua kufikia mto |
| Tafsiri kwa kujieleza. | $$\ drac {\ sqrt {h}} {4} $$ |
| Tathmini\(\dfrac{\sqrt{h}}{4}\) wakati h = 400. | $$\ drac {\ sqrt {400}} {4} $$ |
| Pata mizizi ya mraba ya 400. | 14.142135... |
| Kurahisisha. | Futi 14.1 |
| Andika sentensi. | Kila upande wa patio lazima iwe miguu 14.1. |
Helikopta inashuka mfuko wa uokoaji kutoka urefu wa futi 1296. Inachukua sekunde ngapi kwa mfuko kufikia ardhi?
- Jibu
-
Sekunde 9
Washer dirisha matone squeegee kutoka jukwaa 196 miguu juu sidewalk. Inachukua sekunde ngapi kwa squeegee kufikia barabara ya barabara?
- Jibu
-
Sekunde 3.5
Mizizi ya mraba na uchunguzi wa ajali
Maafisa wa polisi wanachunguza ajali za gari hupima urefu wa alama za skid kwenye lami. Kisha hutumia mizizi ya mraba kuamua kasi, kwa maili kwa saa, gari lilikuwa linakwenda kabla ya kutumia breki. Kwa mujibu wa kanuni fulani, ikiwa urefu wa alama za skid ni d miguu, basi kasi ya gari inaweza kupatikana kwa kutathmini\(\sqrt{24d}\).
Baada ya ajali ya gari, alama za skid kwa gari moja zilipima miguu 190. Kwa kumi ya karibu, ni kasi gani ya gari (katika mph) kabla ya breki kutumiwa?
Suluhisho
| Unaulizwa kupata nini? | Kasi ya gari kabla ya breki zilitumika |
| Andika maneno. | Kasi ya gari |
| Tafsiri kwa kujieleza. | $$\ sqrt {24d} $$ |
| Tathmini\(\sqrt{24d}\) wakati d = 190. | $$\ sqt {24\ cot 190} $$ |
| Kuzidisha. | $$\ sqrt {4,560} $$ |
| Tumia calculator yako. | 67.527772... |
| Pande zote hadi kumi. | 67.5 |
| Andika sentensi. | Kasi ya gari ilikuwa takriban maili 67.5 kwa saa. |
Mpelelezi wa ajali alipima alama za skid za gari na kugundua urefu wake ulikuwa futi 76. Kwa kumi ya karibu, kasi ya gari ilikuwa nini kabla ya breki kutumika?
- Jibu
-
42.7 mph
Alama za skid za gari lililohusika katika ajali zilikuwa na urefu wa futi 122. Kwa sehemu ya kumi ya karibu, gari lilikuwa likienda haraka kabla ya breki zilitumika?
- Jibu
-
54.1 mph
Mazoezi hufanya kamili
Punguza Maneno na Mizizi ya Mraba
Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha.
- \(\sqrt{36}\)
- \(\sqrt{4}\)
- \(\sqrt{64}\)
- \(\sqrt{144}\)
- \(- \sqrt{4}\)
- \(- \sqrt{100}\)
- \(- \sqrt{1}\)
- \(- \sqrt{121}\)
- \(\sqrt{-121}\)
- \(\sqrt{-36}\)
- \(\sqrt{-9}\)
- \(\sqrt{-49}\)
- \(\sqrt{9+16}\)
- \(\sqrt{25+144}\)
- \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\)
- \(\sqrt{25} + \sqrt{144}\)
Tathmini Mizizi ya Mraba
Katika mazoezi yafuatayo, tathmini kila mizizi ya mraba kati ya namba mbili za mfululizo.
- \(\sqrt{70}\)
- \(\sqrt{5}\)
- \(\sqrt{200}\)
- \(\sqrt{172}\)
Mizizi ya mraba ya Mraba yenye Calculator
Katika mazoezi yafuatayo, tumia calculator ili takriban kila mizizi ya mraba na pande zote kwa maeneo mawili ya decimal.
- \(\sqrt{19}\)
- \(\sqrt{21}\)
- \(\sqrt{53}\)
- \(\sqrt{47}\)
Punguza maneno ya kutofautiana na Mizizi ya Mraba
Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha. (Kudhani vigezo vyote ni kubwa kuliko au sawa na sifuri.)
- \(\sqrt{y^{2}}\)
- \(\sqrt{b^{2}}\)
- \(\sqrt{49x^{2}}\)
- \(\sqrt{100y^{2}}\)
- \(- \sqrt{64a^{2}}\)
- \(- \sqrt{25x^{2}}\)
- \(\sqrt{144x^{2} y^{2}}\)
- \(\sqrt{196a^{2} b^{2}}\)
Tumia Mizizi ya Mraba katika Maombi
Katika mazoezi yafuatayo, tatua. Pande zote kwa sehemu moja ya decimal.
- Landscaping Reed anataka kuwa na mraba bustani njama katika mashamba yake. Ana mbolea ya kutosha kufunika eneo la futi za mraba 75. Je, upande wa bustani yake unaweza kuwa muda gani?
- Landscaping Vince anataka kufanya patio mraba katika yadi yake. Ana saruji ya kutosha kusafisha eneo la futi za mraba 130. Je, upande wa patio yake unaweza kuwa muda gani?
- Gravity Ndege imeshuka flare kutoka kimo cha futi 1,024 juu ya ziwa. Je! Ilichukua sekunde ngapi ili kufikia maji?
- Gravity A hutegemea glider imeshuka simu yake ya mkononi kutoka urefu wa 350 miguu. Ni sekunde ngapi zilizochukua kwa simu ya mkononi kufikia ardhi?
- Gravity mfanyakazi wa ujenzi imeshuka nyundo wakati wa kujenga Grand Canyon skywalk, 4,000 miguu juu ya Mto Colorado. Ilichukua sekunde ngapi kwa nyundo kufikia mto?
- Uchunguzi wa ajali Alama za skid kutoka gari lililohusika katika ajali lilipimwa miguu 54. Je! Kasi ya gari ilikuwa nini kabla ya breki kutumiwa?
- Uchunguzi wa ajali alama za skid kutoka gari lililohusika katika ajali lilipimwa futi 216. Je! Kasi ya gari ilikuwa nini kabla ya breki kutumiwa?
- Uchunguzi wa ajali Mpelelezi wa ajali alipima alama za skid za moja ya magari yaliyohusika katika ajali. Urefu wa alama za skid ulikuwa miguu 175. Je! Kasi ya gari ilikuwa nini kabla ya breki kutumiwa?
- Uchunguzi wa ajali Mpelelezi wa ajali alipima alama za skid za moja ya magari yaliyohusika katika ajali. Urefu wa alama za skid ulikuwa miguu 117. Je! Kasi ya gari ilikuwa nini kabla ya breki kutumiwa?
kila siku Math
- Mapambo Denise anataka kufunga msukumo wa mraba wa matofali ya designer katika oga yake mpya. Anaweza kumudu kununua sentimita za mraba 625 za matofali ya designer. Je, upande wa msukumo unaweza kuwa muda gani?
- Mapambo Morris anataka kuwa na mosaic mraba inlaid katika patio yake mpya. Bajeti yake inaruhusu matofali 2,025. Kila tile ni mraba na eneo la inchi moja ya mraba. Je, upande wa mosaic unaweza kuwa muda gani?
Mazoezi ya kuandika
- Kwa nini hakuna idadi halisi sawa na\(\sqrt{−64}\)?
- Ni tofauti gani kati ya 9 2 na\(\sqrt{9}\)?
Self Check
(a) Baada ya kukamilisha mazoezi, tumia orodha hii ili kutathmini ujuzi wako wa malengo ya sehemu hii.
(b) Kwa ujumla, baada ya kuangalia orodha, unafikiri wewe ni vizuri tayari kwa ajili ya Sura ya? Kwa nini au kwa nini?