Skip to main content
Global

5.12: Kurahisisha na Tumia Mizizi ya Mraba (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173443

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Punguza maneno na mizizi ya mraba
    • Tathmini mizizi ya mraba
    • Mizizi ya mraba takriban
    • Punguza maneno ya kutofautiana na mizizi ya mraba
    • Tumia mizizi ya mraba katika programu
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha: (-9) 2. Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.7.6.
    2. Pande zote 3.846 kwa karibu mia moja. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 5.2.9.
    3. Tathmini 12d kwa d = 80. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.3.2.

    Rahisisha maneno na Mizizi ya Mraba

    Ili kuanza sehemu hii, tunahitaji kuchunguza msamiati muhimu na notation. Kumbuka kwamba wakati namba n imeongezeka kwa yenyewe, tunaweza kuandika hii kama n 2, ambayo tunasoma kwa sauti kama “n squared.” Kwa mfano, 8 2 inasomewa kama “mraba 8.” Tunaita 64 mraba wa 8 kwa sababu 8 2 = 64. Vilevile, 121 ni mraba wa 11, kwa sababu 11 2 = 121.

    Ufafanuzi: mraba wa idadi

    Ikiwa n 2 = m, basi m ni mraba wa n.

    Modeling Viwanja

    Unajua kwa nini tunatumia neno mraba? Ikiwa tunajenga mraba na matofali matatu kila upande, jumla ya tiles itakuwa tisa.

    Mraba unaonyeshwa na tiles 3 kila upande. Kuna jumla ya tiles 9 katika mraba.

    Hii ndiyo sababu tunasema kwamba mraba wa tatu ni tisa.

    \[3^{2} = 9\]

    Nambari 9 inaitwa mraba kamilifu kwa sababu ni mraba wa namba nzima.

    Chati inaonyesha viwanja vya namba za kuhesabu 1 hadi 15. Unaweza kutaja ili kukusaidia kutambua mraba kamilifu.

    Jedwali na nguzo mbili zinaonyeshwa. Safu ya kwanza inaitwa “Idadi” na ina maadili: n, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, na 15. Safu ya pili inaitwa “Mraba” na ina maadili: n mraba, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, na 225.

    Ufafanuzi: mraba kamili

    Mraba kamili ni mraba wa namba nzima.

    Nini kinatokea wakati wewe mraba idadi hasi?

    \[\begin{split} (-8)^{2} & = (-8) (-8) \\ & = 64 \end{split}\]

    Tunapozidisha namba mbili hasi, bidhaa daima ni chanya. Hivyo, mraba wa nambari hasi daima ni chanya. Chati inaonyesha viwanja vya integers hasi kuanzia -1 hadi -15.

    Jedwali linaonyeshwa na nguzo 2. Safu ya kwanza inaitwa “Idadi” na ina maadili: n, hasi 1, hasi 2, hasi 3, hasi 4, hasi 5, hasi 6, hasi 7, hasi 8, hasi 9, hasi 10, hasi 11, hasi 12, hasi 13, hasi 14, na hasi 15. Safu inayofuata inaitwa “Mraba” na ina maadili: n mraba, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, na 225.

    Je! Umeona kwamba mraba huu ni sawa na mraba wa namba nzuri?

    Mizizi ya mraba

    Wakati mwingine tutahitaji kuangalia uhusiano kati ya namba na mraba wao kwa reverse. Kwa sababu 10 2 = 100, tunasema 100 ni mraba wa 10. Tunaweza pia kusema kwamba 10 ni mizizi ya mraba ya 100.

    Ufafanuzi: Mizizi ya Mraba ya Idadi

    Nambari ambayo mraba ni m inaitwa mizizi ya mraba ya m Kama n 2 = m, basi n ni mizizi ya mraba ya m.

    Taarifa (-10) 2 = 100 pia, hivyo -10 pia ni mzizi wa mraba wa 100. Kwa hiyo, wote 10 na -10 ni mizizi ya mraba ya 100. Kwa hiyo, kila nambari nzuri ina mizizi miwili ya mraba: moja chanya na moja hasi.

    Nini kama tunataka tu chanya mraba mizizi ya idadi chanya? Ishara kubwa\(\sqrt{\quad}\), inasimama kwa mizizi nzuri ya mraba. Mzizi mzuri wa mraba pia huitwa mizizi kuu ya mraba.

    Ufafanuzi: Nukuu ya Mizizi ya mraba

    \(\sqrt{m}\)inasoma kama “mizizi ya mraba ya m.” Ikiwa m = n 2, basi m = n kwa n ≥ 0.

    Picha ya m ndani ya ishara ya mizizi ya mraba inavyoonyeshwa. Ishara hiyo imeandikwa kama ishara kubwa na m inaitwa kama radicand.

    Tunaweza pia kutumia ishara kubwa kwa mizizi ya mraba ya sifuri. Kwa sababu 0 2 = 0,\(\sqrt{0}\) = 0. Angalia kwamba sifuri ina mizizi moja tu ya mraba. Chati inaonyesha mizizi ya mraba ya namba 15 za mraba kamili za kwanza.

    Jedwali linaonyeshwa na nguzo 2. safu ya kwanza ina maadili: mizizi ya mraba ya 1, mizizi ya mraba ya 4, mizizi ya mraba ya 9, mizizi ya mraba ya 16, mizizi ya mraba ya 25, mizizi ya mraba ya 36, mizizi ya mraba ya 49, mizizi ya mraba ya 64, mizizi ya mraba ya 81, mizizi ya mraba ya 100, mizizi ya mraba ya 121, mizizi ya mraba ya 144, mizizi ya mraba ya 169, na mizizi ya mraba ya 225. Safu ya pili ina maadili: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, na 15.

    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{25}\) (b)\(\sqrt{121}\).

    Suluhisho

    (a)\(\sqrt{25}\)

    Tangu 5 2 = 25 5

    (b)\(\sqrt{121}\)

    Tangu 11 2 = 121 11
    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{36}\) (b)\(\sqrt{169}\).

    Jibu

    6

    Jibu b

    13

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{16}\) (b)\(\sqrt{196}\).

    Jibu

    4

    Jibu b

    14

    Kila nambari nzuri ina mizizi miwili ya mraba na ishara kubwa inaonyesha moja nzuri. Tunaandika\(\sqrt{100}\) = 10. Ikiwa tunataka kupata mizizi ya mraba hasi ya nambari, tunaweka hasi mbele ya ishara kubwa. Kwa mfano,\(− \sqrt{100}\) = -10.

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Kurahisisha. (a)\(- \sqrt{9}\) (b)\(- \sqrt{144}\).

    Suluhisho

    (a)\(- \sqrt{9}\)

    Hasi ni mbele ya ishara kubwa. -3

    (b)\(- \sqrt{144}\)

    Hasi ni mbele ya ishara kubwa. -12
    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Kurahisisha: (a)\(- \sqrt{4}\) (b)\(- \sqrt{225}\).

    Jibu

    -2

    Jibu b

    -15

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Kurahisisha: (a)\(- \sqrt{81}\) (b)\(- \sqrt{64}\).

    Jibu

    -9

    Jibu b

    -8

    Mizizi ya Mraba ya Idadi Hasi

    Je, tunaweza kurahisisha\(\sqrt{−25}\)? Je, kuna namba ambayo mraba wake ni -25?

    \[(\;)^{2} = -25?\]

    Hakuna hata namba tulizoishughulikia hadi sasa zina mraba yaani -25. Kwa nini? Nambari yoyote nzuri ya mraba ni chanya, na nambari yoyote ya mraba hasi pia ni chanya. Katika sura inayofuata tutaona kwamba namba zote tunazofanya kazi nazo zinaitwa namba halisi. Kwa hiyo tunasema hakuna idadi halisi sawa na\(\sqrt{−25}\). Ikiwa tunaulizwa kupata mizizi ya mraba ya nambari yoyote hasi, tunasema kuwa suluhisho sio namba halisi.

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{−169}\) (b)\(− \sqrt{121}\).

    Suluhisho

    (a) Hakuna namba halisi ambayo mraba wake ni -169. Kwa hiyo,\(\sqrt{−169}\) si idadi halisi.

    (b) Hasi ni mbele ya ishara kubwa, kwa hiyo tunapata kinyume cha mizizi ya mraba ya 121.

    Hasi ni mbele ya radical. -11
    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{-196}\) (b)\(- \sqrt{81}\).

    Jibu

    si idadi halisi

    Jibu b

    -9

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Kurahisisha: (a)\(- \sqrt{49}\) (b)\(\sqrt{-121}\).

    Jibu

    -7

    Jibu b

    si idadi halisi

    Mizizi ya Mraba na Utaratibu wa Uendeshaji

    Wakati wa kutumia utaratibu wa shughuli ili kurahisisha maneno ambayo ina mizizi ya mraba, tunachukua ishara kubwa kama ishara ya kikundi. Sisi kurahisisha maneno yoyote chini ya ishara kubwa kabla ya kufanya shughuli nyingine.

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{25} + \sqrt{144}\) (b)\(\sqrt{25 + 144}\).

    Suluhisho

    (a)

    Tumia utaratibu wa shughuli. $$\ sqt {25} +\ sqrt {144} $$
    Kurahisisha kila radical. 5 + 12
    Ongeza. 17

    (b)

    Tumia utaratibu wa shughuli. $$\ sqt {25 + 144} $$
    Ongeza chini ya ishara kubwa. $$\ sqrt {169} $$
    Kurahisisha. 13
    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{9} + \sqrt{16}\) (b)\(\sqrt{9 + 16}\).

    Jibu

    7

    Jibu b

    5

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Kurahisisha: (a)\(\sqrt{64 + 225}\) (b)\(\sqrt{64} + \sqrt{225}\).

    Jibu

    17

    Jibu b

    23

    Angalia majibu tofauti katika sehemu (a) na (b) ya Mfano\(\PageIndex{4}\). Ni muhimu kufuata utaratibu wa shughuli kwa usahihi. Katika (a), tulichukua mizizi ya mraba kila kwanza na kisha tukawaongeza. Katika (b), tuliongeza chini ya ishara kuu kwanza na kisha tulipata mizizi ya mraba.

    Tathmini Mizizi ya Mraba

    Hadi sasa tumefanya kazi tu na mizizi ya mraba ya mraba kamilifu. Mizizi ya mraba ya namba nyingine sio namba nzima.

    Jedwali linaonyeshwa na nguzo 2. Safu ya kwanza inaitwa “Idadi” na ina maadili: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Safu ya pili ni kinachoitwa “Mizizi ya mraba” na ina maadili: mizizi ya mraba ya 4 sawa na 2, mizizi ya mraba ya 5, mizizi ya mraba ya 6, mizizi ya mraba ya 7, mizizi ya mraba ya 8, mizizi ya mraba ya 9 sawa na 3.

    Tunaweza kuhitimisha kwamba mizizi ya mraba ya namba kati ya 4 na 9 itakuwa kati ya 2 na 3, na haitakuwa namba nzima. Kulingana na muundo katika meza hapo juu, tunaweza kusema kwamba\(\sqrt{5}\) ni kati ya 2 na 3. Kutumia alama za usawa, tunaandika

    \[2 < \sqrt{5} < 3\]

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Tathmini\(\sqrt{60}\) kati ya namba mbili za mfululizo.

    Suluhisho

    Fikiria mraba kamili karibu na 60. Fanya meza ndogo ya mraba huu kamili na mizizi yao ya mraba.

    Jedwali linaonyeshwa na nguzo 2. Safu ya kwanza inaitwa “Idadi” na ina maadili: 36, 49, 64, na 81. Kuna puto kutoka nje ya meza kati ya 49 na 64 kwamba anasema 60. Safu ya pili inaitwa “Mizizi ya mraba” na ina maadili: 6, 7, 8, na 9. Kuna puto kutoka nje ya meza kati ya 7 na 8 kwamba anasema mizizi mraba ya 60.

    Machapisho 60 kati ya mraba mbili mfululizo kamili. 49 <60 <64
    \(\sqrt{60}\)ni kati ya mizizi yao ya mraba. $7 <\ sqrt {60} <8$$
    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Tathmini\(\sqrt{38}\) kati ya namba mbili za mfululizo.

    Jibu

    \(6 < \sqrt{38} < 7 \)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Tathmini\(\sqrt{84}\) kati ya namba mbili za mfululizo.

    Jibu

    \(9 < \sqrt{84} < 10 \)

    Wachangiaji na Majina