Skip to main content
Global

5.3: Uendeshaji wa decimal (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173436

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Ongeza na uondoe decimals
    • Kuzidisha decimals
    • Gawanya desimali
    • Tumia decimals katika programu za fedha
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha\(\dfrac{70}{100}\). Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 4.3.1.
    2. Kuzidisha\(\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{9}{10}\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 4.3.7.
    3. Gawanya -36 ÷ (-9). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.7.3.

    Kuongeza na Ondoa Decimals

    Hebu tuangalie zaidi utaratibu wa chakula cha mchana tangu mwanzo wa Decimals, wakati huu kutambua jinsi namba ziliongezwa pamoja.

    \[\begin{split} & $3.45 \quad Sandwich \\ & $1.25 \quad Water \\ + & $0.33 \quad Tax \\ \hline & $5.03 \quad Total \end{split}\]

    Vitu vyote vitatu (sandwich, maji, kodi) walikuwa bei katika dola na senti, hivyo sisi lined up dola chini ya dola na senti chini ya senti, na pointi decimal lined up kati yao. Kisha sisi tu aliongeza kila safu, kama sisi walikuwa kuongeza idadi nzima. Kwa kuunganisha decimals kwa njia hii, tunaweza kuongeza au kuondoa maadili sambamba mahali kama tulivyofanya na idadi nzima.

    JINSI YA: ONGEZA AU KUONDOA DECIMALS

    Hatua ya 1. Andika namba wima ili pointi decimal line up.

    Hatua ya 2. Tumia zero kama wamiliki wa mahali, kama inahitajika.

    Hatua ya 3. Ongeza au uondoe namba kama zilikuwa namba nzima. Kisha mahali decimal katika jibu chini ya pointi decimal katika idadi fulani.

    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Ongeza: 3.7 + 12.4.

    Suluhisho

    Andika namba wima ili pointi decimal line up. $$\ kuanza {mgawanyiko} 3. &7\\ + 12. &4\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Wamiliki wa mahali hawahitajiki kwa kuwa namba zote mbili zina idadi sawa ya maeneo ya decimal.  
    Ongeza namba kama zilikuwa namba nzima. Kisha mahali decimal katika jibu chini ya pointi decimal katika idadi fulani. $$\ kuanza {mgawanyiko}\ stackrel {1} {3}. &7\\ + 12. &4\\ hline 16. &1\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Ongeza: 5.7 + 11.9.

    Jibu

    \(17.6\)

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Kuongeza: 18.32 + 14.79.

    Jibu

    \(13.11\)

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Kuongeza: 23.5 + 41.38.

    Suluhisho

    Andika namba wima ili pointi decimal line up. $$\ kuanza {mgawanyiko} 23. &5\\ + 41. &38\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Weka 0 kama mmiliki wa mahali baada ya 5 katika 23.5, ili namba zote mbili ziwe na sehemu mbili za decimal. $$\ kuanza {mgawanyiko} 23. &5\ rangi ya maandishi {nyekundu} {0}\\ + 41. &38\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Ongeza namba kama zilikuwa namba nzima. Kisha mahali decimal katika jibu chini ya pointi decimal katika idadi fulani. $$\ kuanza {mgawanyiko} 23. &50\\ + 41. &38\\ line 64. &88\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Kuongeza: 4.8 + 11.69.

    Jibu

    \(16.49\)

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Kuongeza: 5.123 + 18.47.

    Jibu

    \(23.593\)

    Kiasi gani mabadiliko gani unaweza kupata kama kukabidhiwa keshia $20 muswada kwa $14.65 kununua? Tutaonyesha hatua za kuhesabu hii katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Ondoa: 20 - 14.65.

    Suluhisho

    Andika namba wima ili pointi decimal line up. Kumbuka 20 ni idadi nzima, hivyo mahali uhakika decimal baada ya 0. $$\ kuanza {mgawanyiko} 20. &\\ - 14. &65\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Weka zero mbili baada ya hatua ya decimal katika 20, kama wamiliki wa mahali ili namba zote mbili ziwe na sehemu mbili za decimal.

    \[\begin{split} 20.& \textcolor{red}{00} \\ - 14.&65 \\ \hline \end{split}\]
    Ondoa namba kama zilikuwa namba nzima. Kisha mahali decimal katika jibu chini ya pointi decimal katika idadi fulani. $$\ kuanza {split}\ stackrel {1} {\ kufuta {2}}\ stackrel {\ stackrel {9} {\ kufuta {10}}} {\ kufuta {0}} &. \\ stackrel {\ stackrel {9} {\ kufuta {10}}} {\ kufuta {0}}\ stackrel {\ stackrel {9} {\ kufuta {10}}} {\ kufuta {0}}\ - 1\;\; 4\;\; &.\; 6\;\\; 5\\ Hline 5\;\; &.\; 3\;\; 5\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Ondoa: 10 - 9.58.

    Jibu

    \(0.42\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Ondoa: 50 - 37.42.

    Jibu

    \(12.58\)

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Ondoa: 2.51 - 7.4.

    Suluhisho

    Ikiwa tunaondoa 7.4 kutoka 2.51, jibu litakuwa hasi tangu 7.4> 2.51. Ili kuondoa kwa urahisi, tunaweza kuondoa 2.51 kutoka 7.4. Kisha tutaweka ishara hasi katika matokeo.

    Andika namba wima ili pointi decimal line up. $$\ kuanza {mgawanyiko} 7. &4\\ - 2. &51\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Weka sifuri baada ya 4 katika 7.4 kama mmiliki wa mahali, ili namba zote mbili ziwe na sehemu mbili za decimal. $$\ kuanza {mgawanyiko} 7. &4\ rangi ya maandishi {nyekundu} {0}\\ - 2. &51\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Ondoa na uweke decimal katika jibu. $$\ kuanza {mgawanyiko} 7. &40\\ - 2. &51\\ line 4. &89\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Kumbuka kwamba tunaondoa 2.51 - 7.4 hivyo jibu ni hasi. 2.51 - 7.4 = - 4.89
    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Ondoa: 4.77 - 6.3.

    Jibu

    \(-1.53\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Ondoa: 8.12 - 11.7.

    Jibu

    \(-3.58\)

    Kuzidisha decimals

    Kuzidisha decimals ni kiasi sana kama kuzidisha idadi nzima - sisi tu na kuamua wapi mahali uhakika decimal. Utaratibu wa kuzidisha decimals utakuwa na maana ikiwa tunapitia kwanza sehemu ndogo za kuzidisha.

    Je! Unakumbuka jinsi ya kuzidisha sehemu ndogo? Ili kuzidisha sehemu ndogo, huzidisha nambari na kisha kuzidisha denominators. Basi hebu angalia nini tunataka kupata kama bidhaa ya decimals na kuwabadili yao kwa FRACTIONS kwanza. Tutafanya mifano miwili kwa upande mmoja katika Jedwali 5.22. Angalia mfano.

    Jedwali\(\PageIndex{1}\)
    A B
      (0.3) (0.7) (0.2) (0.46)
    Badilisha kwa sehemu ndogo. $$\ kushoto (\ dfrac {3} {10}\ kulia)\ kushoto (\ dfrac {7} {10}\ haki) $$ $$\ kushoto (\ dfrac {2} {10}\ kulia)\ kushoto (\ dfrac {46} {100}\ haki) $$
    Kuzidisha. $$\ dfrac {21} {100} $$ $$\ drac {92} {1000} $$
    Badilisha nyuma kwa decimals 0.21 0.092

    Kuna mfano kwamba tunaweza kutumia. Katika A, sisi tele namba mbili kwamba kila mmoja alikuwa na moja decimal mahali, na bidhaa alikuwa na sehemu mbili decimal. Katika B, tuliongeza idadi na sehemu moja ya decimal kwa namba yenye sehemu mbili za decimal, na bidhaa ilikuwa na maeneo matatu ya decimal.

    Ni sehemu ngapi za decimal ungependa kutarajia kwa bidhaa ya (0.01) (0.004)? Ikiwa umesema “tano”, umetambua mfano. Wakati sisi kuzidisha namba mbili na decimals, sisi kuhesabu maeneo yote decimal katika sababu - katika kesi hii mbili pamoja na tatu-kupata idadi ya maeneo decimal katika bidhaa-katika kesi hii tano.

    Mstari wa juu unasema mara 0.01 0.004 sawa na 0.00004. Chini ya 0.01, inasema maeneo 2. Chini ya 0.004, inasema maeneo 3. Chini ya 0.00004, inasema maeneo 5. Mstari wa chini unasema 1 zaidi ya 100 mara 4 juu ya 1000 ni sawa na 4 zaidi ya 100,000.

    Mara tu tunajua jinsi ya kuamua idadi ya tarakimu baada ya hatua ya decimal, tunaweza kuzidisha idadi ya decimal bila kuwabadili kwa sehemu ndogo kwanza. Idadi ya maeneo ya decimal katika bidhaa ni jumla ya idadi ya maeneo ya decimal katika mambo.

    Sheria za kuzidisha idadi nzuri na hasi zinatumika kwa decimals, pia, bila shaka.

    Ufafanuzi: Kuzidisha Nambari mbili

    Wakati wa kuzidisha namba mbili,

    • kama ishara zao ni sawa, bidhaa ni chanya.
    • ikiwa ishara zao ni tofauti, bidhaa ni hasi.

    Unapozidisha decimals zilizosainiwa, kwanza onyesha ishara ya bidhaa na kisha uongeze kama namba zilikuwa nzuri. Hatimaye, weka bidhaa na ishara sahihi.

    JINSI YA: KUZIDISHA NAMBA ZA DECIMAL

    Hatua ya 1. Tambua ishara ya bidhaa.

    Hatua ya 2. Andika namba katika muundo wa wima, ukiweka namba upande wa kulia.

    Hatua ya 3. Panua nambari kama zilikuwa namba nzima, kwa muda kupuuza pointi za decimal.

    Hatua ya 4. Weka hatua ya decimal. Idadi ya maeneo ya decimal katika bidhaa ni jumla ya idadi ya maeneo ya decimal katika mambo. Ikiwa inahitajika, tumia zero kama mahali placeholders.

    Hatua ya 5. Andika bidhaa na ishara sahihi.

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Panua: (3.9) (4.075).

    Suluhisho

    Tambua ishara ya bidhaa. Ishara ni sawa. Bidhaa itakuwa chanya.
    Andika namba katika muundo wa wima, ukiweka namba upande wa kulia. $$\ kuanza {mgawanyiko} 4.07&5\\ mara 3. &9\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Panua nambari kama zilikuwa namba nzima, kwa muda kupuuza pointi za decimal. $$\ kuanza {mgawanyiko} 4.07&5\\ mara 3. &9\\ hline 3667&5\\ 1225&\;\\ hline 15892&5\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Weka hatua ya decimal. Ongeza idadi ya maeneo ya decimal katika mambo (1 + 3). Weka sehemu ya decimal 4 maeneo kutoka kulia. $$\ kuanza {mgawanyiko} 4.07&5\ quad\ textcolor {bluu} {3\; maeneo}\\ mara 3. &9\ quad\ textcolor {bluu} {1\; mahali}\\ hline 3667&5\\ 12225&\;\\ hline 15892&5\ quad\ textcolor {bluu} {4\; maeneo}\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Bidhaa hiyo ni chanya. (3.9) (4.075) = 15.8925
    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Panua: 4.5 (6.107).

    Jibu

    \(27.4815\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Kuzidisha: 10.79 (8.12).

    Jibu

    \(87.6148\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\):

    Panua: (-8.2) (5.19).

    Suluhisho

    Ishara ni tofauti. Bidhaa itakuwa hasi.
    Andika katika muundo wa wima, ukiweka namba upande wa kulia. $$\ kuanza {mgawanyiko} 5. &19\\ mara 8. &2\\ hline\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Kuzidisha. $$\ kuanza {mgawanyiko} 5. &19\\ mara 8. &2\\ hline 10&38\\ 415&2\;\\ hline 425&58\ mwisho {mgawanyiko} $$
    $$\ kuanza {mgawanyiko} 5. &19\\ mara 8. &2\\ hline 10&38\\ 415&2\;\\ hline 42.5&58\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Bidhaa hiyo ni hasi. (-8.2) (5.19) = -42.558
    Zoezi\(\PageIndex{11}\):

    Panua: (4.63) (-2.9).

    Jibu

    \(-13.427\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\):

    Panua: (-7.78) (4.9).

    Jibu

    \(-38.122\)

    Katika mfano unaofuata, tutahitaji kuongeza zero kadhaa za kuweka mahali pa decimal.

    Mfano\(\PageIndex{7}\):

    Panua: (0.03) (0.045).

    Suluhisho

    Bidhaa hiyo ni chanya. (0.03) (0.045)
    Andika katika muundo wa wima, ukiweka namba upande wa kulia. $$\ kuanza {kupasuliwa} 0.04&5\\ mara 0.0&3\\ hline\\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Kuzidisha. $$\ kuanza {kupasuliwa} 0.04&5\\ mara 0.0&3\\ hline 13&5\ mwisho {mgawanyiko} $$

    Ongeza zero kama inahitajika ili kupata maeneo ya 5.
    Bidhaa hiyo ni chanya. (0.03) (0.045) = 0.00135
    Zoezi\(\PageIndex{13}\):

    Panua: (0.04) (0.087).

    Jibu

    \(0.00348\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\):

    Panua: (0.09) (0.067).

    Jibu

    \(0.00603\)

    Kuzidisha kwa Mamlaka ya 10

    Katika nyanja nyingi, hasa katika sayansi, ni kawaida kuzidisha decimals kwa nguvu ya 10. Hebu angalia nini kinatokea wakati sisi kuzidisha 1.9436 na baadhi ya nguvu ya 10.

    Mstari wa juu unasema mara 1.9436 10, kisha mara 1.9436 100, kisha 1.9436 mara 1000. Chini ya kila mmoja ni tatizo la kuzidisha wima. Hizi zinaonyesha kwamba 1.9436 mara 10 ni 19.4360, 1.9436 mara 100 ni 194.3600, na 1.9436 mara 1000 ni 1943.6000.

    Angalia matokeo bila zero za mwisho. Je! Unaona mfano?

    \[\begin{split} 1.9436(10) & = 19.436 \\ 1.9436(100) & = 194.36 \\ 1.9436(1000) & = 1943.6 \end{split}\]

    Idadi ya maeneo ambayo hatua ya decimal ilihamia ni sawa na idadi ya zero katika nguvu ya kumi. Jedwali 5.26 linafupisha matokeo.

    Jedwali\(\PageIndex{2}\)
    Kuzidisha kwa Idadi ya zero Idadi ya maeneo ya hatua ya decimal
    10 1 1 mahali pa kulia
    100 2 Sehemu 2 kwa haki
    1,000 3 Sehemu 3 kwa haki
    10,000 4 4 maeneo ya haki

    Tunaweza kutumia ruwaza hii kama njia ya mkato ili kuzidisha kwa nguvu za kumi badala ya kuzidisha kwa kutumia muundo wa wima. Tunaweza kuhesabu zeros katika nguvu ya 10 na kisha hoja uhakika decimal kwamba huo wa maeneo na haki. Kwa hiyo, kwa mfano, kuzidisha 45.86 na 100, fanya sehemu ya decimal 2 mahali pa kulia.

    Mara 45.86 100 inavyoonekana kuwa sawa 4586. Kuna mshale kutoka decimal kwenda juu ya 2 maeneo kutoka baada ya 5 baada ya 6.

    Wakati mwingine tunahitaji kusonga hatua ya decimal, hakuna maeneo ya kutosha ya decimal. Katika hali hiyo, tunatumia zero kama mahali placeholders. Kwa mfano, hebu tuzidishe 2.4 na 100. Tunahitaji kuhamisha sehemu ya decimal 2 kwa haki. Kwa kuwa kuna tarakimu moja tu kwa haki ya hatua ya decimal, lazima tuandike 0 katika sehemu ya hundredths.

    Mara 2.4 100 inavyoonekana kuwa sawa 240. Kuna mshale kutoka decimal kwenda juu ya 2 maeneo kutoka baada ya 2 baada ya 0.

    JINSI YA: KUZIDISHA DECIMAL KWA NGUVU YA 10

    Hatua ya 1. Hoja hatua ya decimal kwa haki idadi sawa ya maeneo kama idadi ya zero katika nguvu ya 10.

    Hatua ya 2. Andika zero mwishoni mwa nambari kama mahali placeholders ikiwa inahitajika.

    Mfano\(\PageIndex{8}\):

    Kuzidisha 5.63 kwa sababu za (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

    Suluhisho

    Kwa kuangalia idadi ya zeros katika nyingi ya kumi, tunaona idadi ya maeneo tunahitaji hoja decimal na haki.

    (a) 5.63 (10)

    Kuna 1 sifuri katika 10, hivyo hoja decimal uhakika 1 mahali pa kulia.
      56.3

    (b) 5.63 (100)

    Kuna zero 2 katika 100, hivyo songa sehemu ya decimal 2 kwa haki.
      563

    (c) 5.63 (1000)

    Kuna zero 3 katika 1000, hivyo songa sehemu ya decimal 3 kwa haki.
    Zero lazima iongezwe mwishoni. 5,630
    Zoezi\(\PageIndex{15}\):

    Kuzidisha 2.58 kwa sababu za (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

    Jibu

    \(25.8\)

    Jibu b

    \(258\)

    Jibu c

    \(2,580\)

    Zoezi\(\PageIndex{16}\):

    Kuzidisha 14.2 kwa sababu za (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

    Jibu

    \(142\)

    Jibu b

    \(1,420\)

    Jibu c

    \(14,200\)

    Wachangiaji na Majina