3.9: Kutatua Equations Kutumia Integers; Mali ya Idara ya Usawa (Sehemu ya 1)
- Page ID
- 173352
- Kuamua kama integer ni suluhisho la equation
- Tatua equations na integers kwa kutumia Kuongeza na Ondoa Mali ya Usawa
- Mfano wa Mali ya Idara ya Usawa
- Kutatua equations kutumia Mali Idara ya Usawa
- Tafsiri kwa equation na kutatua
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
- Tathmini\(x + 4\) lini\(x = −4\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.2.9.
- Kutatua:\(y − 6 = 10\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.3.6.
- Tafsiri katika kujieleza algebraic\(5\) chini ya\(x\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Jedwali 1.3.1.
Tambua Iwapo Idadi ni Suluhisho la Ulinganisho
Katika Kutatua Equations na Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa, tuliona kwamba suluhisho la equation ni thamani ya kutofautiana ambayo inafanya taarifa ya kweli wakati kubadilishwa katika equation hiyo. Katika sehemu hiyo, tulipata ufumbuzi ambao ulikuwa namba nzima. Sasa kwa kuwa tumekuwa kazi na integers, tutaweza kupata ufumbuzi integer kwa equations.
Hatua tunazochukua ili kuamua kama namba ni suluhisho la equation ni sawa kama suluhisho ni namba nzima au integer.
Hatua ya 1. Badilisha idadi ya kutofautiana katika equation.
Hatua ya 2. Kurahisisha maneno pande zote mbili za equation.
Hatua ya 3. Kuamua kama equation kusababisha ni kweli.
- Ikiwa ni kweli, nambari ni suluhisho.
- Ikiwa si kweli, nambari sio suluhisho.
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni suluhisho la\(2x − 5 = −13\):
- \(x = 4\)
- \(x = −4\)
- \(x = −9\)
Suluhisho
(a) mbadala 4 kwa x katika equation kuamua kama ni kweli. | 2x - 5 = -13 |
Mbadala\(\textcolor{red}{4}\) kwa ajili ya x. | \(2(\textcolor{red}{4}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Kuzidisha. | \(8 - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Ondoa. | \(3 \neq -13\) |
Tangu\(x = 4\) haina kusababisha equation kweli,\(4\) si ufumbuzi wa equation.
(b) Mbadala -4 kwa x katika equation kuamua kama ni kweli. | 2x - 5 = -13 |
Mbadala\(\textcolor{red}{-4}\) kwa ajili ya x. | \(2(\textcolor{red}{-4}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Kuzidisha. | \(-8 - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Ondoa. | \(-13 = -13 \; \checkmark\) |
Kwa kuwa\(x = −4\) matokeo katika equation kweli,\(−4\) ni suluhisho la equation.
(b) Mbadala -9 kwa x katika equation kuamua kama ni kweli. | 2x - 5 = -13 |
Mbadala\(\textcolor{red}{-9}\) kwa ajili ya x. | \(2(\textcolor{red}{-9}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Kuzidisha. | \(-18 - 5 \stackrel{?}{=} -13\) |
Ondoa. | \(-23 \neq -13\) |
Tangu\(x = −9\) haina kusababisha equation kweli,\(−9\) si ufumbuzi wa equation.
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni suluhisho la\(2x − 8 = −14\):
- \(x = −11\)
- \(x = 11\)
- \(x = −3\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
hapana
- Jibu c
-
ndiyo
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni suluhisho la\(2y + 3 = −11\):
- \(y = 4\)
- \(y = −4\)
- \(y = −7\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
hapana
- Jibu c
-
ndiyo
Kutatua Equations na Integers Kutumia Kuongeza na Ondoa Mali ya Usawa
Katika Kutatua Equations na Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa, sisi kutatuliwa equations sawa na mbili inavyoonekana hapa kwa kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa. Sasa tunaweza kutumia tena kwa integers.
\[\begin{split} x + 4 & = 12 \qquad \qquad \qquad y - 5 = 9 \\ x + 4 \textcolor{red}{-4} & = 12 \textcolor{red}{-4} \qquad \; \; y - 5 \textcolor{red}{+5} = 9 \textcolor{red}{+5} \\ x & = 8 \qquad \qquad \qquad \qquad \; y = 14 \end{split} \nonumber \]
Unapoongeza au kuondoa kiasi sawa kutoka pande zote mbili za equation, bado una usawa.
Ondoa Mali ya Usawa | Kuongeza Mali ya Usawa |
---|---|
Kwa idadi yoyote a, b, c, ikiwa = b kisha - c = b - c. | Kwa idadi yoyote a, b, c, ikiwa = b basi a + c = b + c. |
Kutatua:\(y + 9 = 5\).
Suluhisho
Ondoa 9 kutoka kila upande ili uondoe kuongeza. | \(y + 9 \textcolor{red}{-9} = 5 \textcolor{red}{-9}\) |
Kurahisisha. | \(y = -4\) |
Angalia matokeo kwa kubadili\(−4\) equation ya awali.
Mbadala -4 kwa y | \(-4 + 9 \stackrel{?}{=} 5\) |
\(5 = 5 \; \checkmark\) |
Tangu\(y = −4\) inafanya taarifa\(y + 9 = 5\) ya kweli, tuligundua ufumbuzi wa equation hii
Kutatua:\(y + 11 = 7\)
- Jibu
-
\(-4\)
Kutatua:\(y + 15 = −4\)
- Jibu
-
\(-19\)
Kutatua:\(a − 6 = −8\)
Suluhisho
Ongeza 6 kwa kila upande ili uondoe uondoaji. | \(a - 6 \textcolor{red}{+6} = -8 \textcolor{red}{+6}\) |
Kurahisisha. | \(a = -2\) |
Angalia matokeo kwa kubadili -2 katika equation ya awali. | \(a - 6 = -8\) |
Mbadala -2 kwa. | \(-2 - 6 \stackrel{?}{=} -8\) |
\(-8 = -8 \; \checkmark\) |
Suluhisho\(a − 6 = −8\) ni\(−2\). Tangu\(a = −2\) inafanya taarifa\(a − 6 = −8\) ya kweli, tuligundua ufumbuzi wa equation hii.
Kutatua:\(a − 2 = −8\)
- Jibu
-
\(-6\)
Kutatua:\(n − 4 = −8\)
- Jibu
-
\(-4\)
Mfano wa Mali ya Idara ya Usawa
Yote ya equations tuna kutatuliwa hadi sasa kuwa ya fomu\(x + a = b\) au\(x − a = b\). Tuliweza kutenganisha variable kwa kuongeza au kuondoa muda wa mara kwa mara. Sasa tutaweza kuona jinsi ya kutatua equations kwamba kuhusisha mgawanyiko. Sisi mfano equation na bahasha na counters katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Kielelezo\(\PageIndex{1}\)
Hapa, kuna bahasha mbili zinazofanana ambazo zina idadi sawa ya counters. Kumbuka, upande wa kushoto wa nafasi ya kazi lazima iwe sawa na upande wa kulia, lakini counters upande wa kushoto ni “siri” katika bahasha. Kwa hiyo ni hesabu ngapi katika kila bahasha?
Kuamua nambari, tofauti na counters upande wa kulia katika\(2\) makundi ya ukubwa sawa. Hivyo\(6\) counters kugawanywa katika\(2\) makundi ina maana kuna lazima iwe na\(3\) counters katika kila kikundi (tangu\(6 ÷ 2 = 3\)).
Nini equation mifano hali inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\)? Kuna bahasha mbili, na kila mmoja ana\(x\) counters. Pamoja, bahasha mbili zinapaswa kuwa na jumla ya\(6\) counters. Hivyo equation kwamba mifano ya hali ni\(2x = 6\).
Kielelezo\(\PageIndex{2}\)
Tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation na\(2\) kama tulivyofanya na bahasha na counters.
\[\begin{split} \dfrac{2x}{\textcolor{red}{2}} & = \dfrac{6}{\textcolor{red}{2}} \\ x & = 3 \end{split} \nonumber \]
Tuligundua kwamba kila bahasha ina\(3\) counters. Je, hii hundi? Tunajua\(2 • 3 = 6\), hivyo inafanya kazi. Hesabu tatu katika kila bahasha mbili hufanya sawa sita. Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha mfano mwingine.
Kielelezo\(\PageIndex{3}\)
Sasa tuna bahasha na\(12\) counters\(3\) zinazofanana. Ni counters ngapi katika kila bahasha? Tunapaswa kutenganisha\(12\) counters katika\(3\) vikundi. Tangu\(12 ÷ 3 = 4\), kuna lazima iwe na\(4\) counters katika kila bahasha. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{4}\).
Kielelezo\(\PageIndex{4}\)
equation kwamba mfano hali ni\(3x = 12\). Tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation na\(3\).
\[\begin{split} \dfrac{3x}{\textcolor{red}{3}} & = \dfrac{12}{\textcolor{red}{3}} \\ x & = 4 \end{split} \nonumber \]
Je, hii hundi? Ni gani kwa sababu\(3 • 4 = 12\).
Andika equation inatokana na bahasha na counters, na kisha kutatua.
Suluhisho
Kuna\(4\) bahasha, au maadili\(4\) haijulikani, upande wa kushoto unaofanana na\(8\) counters upande wa kulia. Hebu tupige kiasi kisichojulikana katika bahasha\(x\).
Andika equation. | \(4x = 8\) |
Gawanya pande zote mbili kwa 4. | \(\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{8}{\textcolor{red}{4}}\) |
Kurahisisha. | \(x = 2\) |
Kuna\(2\) counters katika kila bahasha.
Andika equation inatokana na bahasha na counters. Kisha tatua.
- Jibu
-
\(4x=12\);\(x=3\)
Andika equation inatokana na bahasha na counters. Kisha tatua.
- Jibu
-
\(3x=6\);\(x=2\)
Kutatua Equations Kutumia Mali ya Idara ya Usawa
Mifano ya awali inaongoza kwa Idara ya Mali ya Usawa. Unapogawanya pande zote mbili za equation na nambari yoyote isiyo ya zero, bado una usawa.
Kwa idadi yoyote\(a, b, c\), na\(c ≠ 0\),
\[\text{If } a = b \text{ then } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \ldotp\]
Kutatua:\(7x = −49\).
Suluhisho
Ili kutenganisha\(x\), tunahitaji kurekebisha kuzidisha.
Gawanya kila upande kwa 7. | \(\dfrac{7x}{\textcolor{red}{7}} = \dfrac{-49}{\textcolor{red}{7}}\) |
Rahisisha | \(x = -7\) |
Angalia suluhisho.
Mbadala -7 kwa x. | \(7(-7) \stackrel{?}{=} -49\) |
\(-49 = -49 \; \checkmark\) |
Kwa hiyo,\(−7\) ni ufumbuzi wa equation.
Kutatua:\(8a = 56\)
- Jibu
-
\(7\)
Kutatua:\(11n = 121\)
- Jibu
-
\(11\)
Kutatua:\(−3y = 63\).
Suluhisho
Ili kutenganisha\(y\), tunahitaji kurekebisha kuzidisha.
Gawanya kila upande kwa -3. | \(\dfrac{-3y}{\textcolor{red}{-3}} = \dfrac{63}{\textcolor{red}{-3}}\) |
Kurahisisha. | \(y = -21\) |
Angalia suluhisho.
Mbadala -21 kwa y. | \(-3(-21) \stackrel{?}{=} 63\) |
\(63 = 63 \; \checkmark\) |
Kwa kuwa hii ni kauli ya kweli,\(y = −21\) ni ufumbuzi wa equation.
Kutatua:\(−8p = 96\)
- Jibu
-
\(-12\)
Kutatua:\(−12m = 108\)
- Jibu
-
\(-9\)