Skip to main content
Global

3.7: Kuzidisha na Gawanya Integers (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173360

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Kuzidisha integers
    • Gawanya integers
    • Kurahisisha maneno na integers
    • Tathmini maneno ya kutofautiana na integers
    • Tafsiri misemo ya neno kwa maneno ya algebraic
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tafsiri quotient ya\(20\) na\(13\) katika kujieleza algebraic. Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 1.5.12.
    2. Ongeza:\(−5 + (−5) + (−5)\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.2.8.
    3. Tathmini\(n + 4\) lini\(n = −7\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.2.10.

    Kuzidisha integers

    Kwa kuwa kuzidisha ni shorthand ya hisabati kwa kuongeza mara kwa mara, mfano wetu wa kukabiliana unaweza kutumika kwa urahisi ili kuonyesha kuzidisha kwa integers. Hebu tuangalie mfano huu halisi ili uone ni mwelekeo gani tunaoona. Tutatumia mifano sawa ambayo tulitumia kwa kuongeza na kuondoa.

    Tunakumbuka kwamba\(a • b\) ina maana kuongeza\(a\),\(b\) mara. Hapa, sisi ni kutumia mfano inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) tu kutusaidia kugundua mfano.

    Picha hii ina nguzo mbili. Safu ya kwanza ina mara 5 3. Chini ya, inasema kuongeza 5, mara 3. Chini ya hili kuna safu 3 za miduara ya bluu 5 iliyoandikwa chanya 15 na mara 5 3 sawa na 15. Safu ya pili ina hasi mara 5 3. Chini yake inasema kuongeza hasi 5, mara 3. Chini ya hili kuna safu 3 za miduara nyekundu 5 iliyoandikwa hasi 15 na hasi mara 5 3 sawa na 15.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Sasa fikiria nini maana ya kuzidisha\(5\) na\(−3\). Ina maana Ondoa\(5\),\(3\) mara. Kuangalia uondoaji kama kuchukua, inamaanisha kuchukua\(5\),\(3\) mara. Lakini hakuna kitu cha kuchukua, hivyo sisi kuanza kwa kuongeza jozi neutral kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Takwimu hii ina nguzo 2. Safu ya kwanza ina mara 5 hasi 3. Chini yake inasema kuchukua 5, mara 3. Chini ya hii kuna safu 3 za miduara 5 nyekundu. Mshale wa chini unaonyesha safu sita za miduara ya rangi inayobadilisha katika safu ya miaka mitano. Mstari wa kwanza unajumuisha miduara 5 nyekundu, ikifuatiwa na duru tano za bluu, halafu 5 nyekundu, bluu tano, nyekundu tano, na bluu tano. Safu zote za miduara ya bluu zinazunguka. Safu zisizozunguka zimeandikwa hasi 15. Chini ya studio ni 5 mara hasi 3 sawa hasi 15. Safu ya pili ina hasi mara 5 hasi 3. Chini yake inasema kuchukua hasi 5, mara 3. Kisha kuna safu 6 za miduara 5 inayobadilisha rangi. Mstari wa kwanza ni miduara 5 ya bluu ikifuatiwa na duru 5 nyekundu. Safu zote nyekundu zinazunguka. Safu zisizo za miduara zimeandikwa chanya 15. Chini ya studio ni hasi 5 mara hasi 3 sawa 15.

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Katika matukio hayo yote, tulianza na jozi\(15\) zisizo na upande. Katika kesi upande wa kushoto, tuliondoa\(5\),\(3\) mara na matokeo yalikuwa\(−15\). Ili kuzidisha\((−5)(−3)\), tuliondoa\(−5\),\(3\) mara na matokeo yalikuwa\(15\). Hivyo tuligundua kwamba

    5 (3) = 15 -5 (3) = -15
    5 (-3) = -15 (-5) (-3) = 15

    Angalia kwamba kwa kuzidisha namba mbili zilizosainiwa, wakati ishara ni sawa, bidhaa ni chanya, na wakati ishara ni tofauti, bidhaa ni hasi.

    Ufafanuzi: Kuongezeka kwa Hesabu zilizosainiwa

    Ishara ya bidhaa ya namba mbili inategemea ishara zao.

    Ishara sawa Bidhaa
    Chanya mbili Chanya
    Mbili hasi Chanya
    Ishara tofauti Bidhaa
    Chanya • hasi Hasi
    Hasi • chanya Hasi
    Mfano\(\PageIndex{1}\):multiply

    Panua kila moja ya yafuatayo:

    1. \(−9 • 3\)
    2. \(−2(−5)\)
    3. \(4(−8)\)
    4. \(7 • 6\)

    Suluhisho

    Panua, akibainisha kuwa ishara ni tofauti na hivyo bidhaa ni hasi. —9 • 3 = —27
    Kuzidisha, akibainisha kuwa ishara ni sawa na hivyo bidhaa ni chanya. —2 (—5) = 10
    Panua, akibainisha kuwa ishara ni tofauti na hivyo bidhaa ni hasi. 4 (—8) = —32
    Ishara ni sawa, hivyo bidhaa ni chanya. 7 • 6 = 42
    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Kuzidisha:

    1. \(−6 • 8\)
    2. \(−4(−7)\)
    3. \(9(−7)\)
    4. \(5 • 12\)
    Jibu

    \(-48\)

    Jibu b

    \(28\)

    Jibu c

    \(-63\)

    Jibu d

    \(60\)

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kuzidisha:

    1. \(−8 • 7\)
    2. \(−6(−9)\)
    3. \(7(−4)\)
    4. \(3 • 13\)
    Jibu

    \(-56\)

    Jibu b

    \(54\)

    Jibu c

    \(-28\)

    Jibu d

    \(39\)

    Wakati sisi kuzidisha idadi na\(1\), matokeo ni idadi sawa. Nini kinatokea wakati sisi kuzidisha idadi na\(−1\)? Hebu kuzidisha idadi chanya na kisha idadi hasi\(−1\) na kuona nini sisi kupata.

    -1 • 4 -1 (1-3)
    -4 3
    -4 ni kinyume cha 4 3 ni kinyume cha —3

    Kila wakati sisi kuzidisha idadi na\(−1\), sisi kupata kinyume chake.

    Ufafanuzi: Kuzidisha kwa\(−1\)

    Kuzidisha idadi kwa\(−1\) anatoa kinyume chake.

    \[-1 \cdot a = -a \]

    Mfano\(\PageIndex{2}\): multiply

    Panua kila moja ya yafuatayo:

    1. \(−1 • 7\)
    2. \(−1(−11)\)

    Suluhisho

    Ishara ni tofauti, hivyo bidhaa itakuwa hasi. -1 • 7
    Angalia kwamba -7 ni kinyume cha 7. -7
    Ishara ni sawa, hivyo bidhaa itakuwa chanya. -1 (-11)
    Angalia kwamba 11 ni kinyume cha -11. 11
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kuzidisha.

    1. \(−1 • 9\)
    2. \(−1 • (−17)\)
    Jibu

    \(-9\)

    Jibu b

    \(17\)

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Kuzidisha.

    1. \(−1 • 8\)
    2. \(−1 • (−16)\)
    Jibu

    \(-8\)

    Jibu b

    \(16\)

    Kugawanya Integers

    Idara ni operesheni inverse ya kuzidisha. Hivyo,\(15 ÷ 3 = 5\) kwa sababu\(5 • 3 = 15\) Kwa maneno, maneno haya anasema kwamba\(15\) inaweza kugawanywa katika\(3\) makundi ya\(5\) kila kwa sababu kuongeza tano mara tatu anatoa\(15\). Kama sisi kuangalia baadhi ya mifano ya integers kuzidisha, tunaweza kufikiri sheria kwa ajili ya kugawa integers.

    5 • 3 = 15 hivyo 15 ÷ 3 = 5 -5 (3) = -15 hivyo -15 ÷ 3 = -5
    (-5) (-3) = 15 hivyo 15 ÷ (-3) = -5 5 (-3) = -15 hivyo -15 ÷ -3 = 5

    Idara ya namba zilizosainiwa hufuata sheria sawa na kuzidisha. Wakati ishara ni sawa, quotient ni chanya, na wakati ishara ni tofauti, quotient ni hasi.

    Ufafanuzi: Idara ya Hesabu zilizosainiwa

    Ishara ya quotient ya namba mbili inategemea ishara zao.

    Ishara sawa Quotient
    Chanya mbili Chanya
    Mbili hasi Chanya
    Ishara tofauti Quotient
    Chanya & hasi Hasi
    Hasi na chanya Hasi

    Kumbuka, unaweza daima kuangalia jibu la tatizo la mgawanyiko kwa kuzidisha.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): divide

    Gawanya kila moja ya yafuatayo:

    1. \(−27 ÷ 3\)
    2. \(−100 ÷ (−4)\)

    Suluhisho

    Gawanya, akibainisha kuwa ishara ni tofauti na hivyo quotient ni hasi. —27 ÷ 3 = —9
    Gawanya, akibainisha kuwa ishara ni sawa na hivyo quotient ni chanya. —100 ÷ (—4) = 25
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Gawanya:

    1. \(−42 ÷ 6\)
    2. \(−117 ÷ (−3)\)
    Jibu

    \(-7\)

    Jibu b

    \(39\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Gawanya:

    1. \(−63 ÷ 7\)
    2. \(−115 ÷ (−5)\)
    Jibu

    \(-9\)

    Jibu b

    \(23\)

    Kama tulivyoona kwa kuzidisha, tunapogawanya\(1\) nambari na, matokeo ni namba sawa. Nini kinatokea wakati sisi kugawanya idadi na\(−1\)? Hebu kugawanya idadi chanya na kisha idadi hasi na\(−1\) kuona nini sisi kupata.

    8 ÷ (-1) -9 ÷ (-1)
    —8 9
    -8 ni kinyume cha 8 9 ni kinyume cha -9

    Tunapogawanya idadi na,\(−1\) tunapata kinyume chake.

    Ufafanuzi: Idara na\(−1\)

    Kugawanya idadi na\(−1\) anatoa kinyume chake.

    \[a \div (-1) = -a\]

    Mfano\(\PageIndex{4}\): divide

    Gawanya kila moja ya yafuatayo:

    1. \(16 ÷ (−1)\)
    2. \(−20 ÷ (−1)\)

    Suluhisho

    Mgawanyo, 16, umegawanyika na —1. 16 ÷ (—1)
    Kugawanya idadi kwa —1 kunatoa kinyume chake. —16

    Angalia kwamba ishara zilikuwa tofauti, hivyo matokeo yalikuwa mabaya.

    Mgawanyiko, —20, umegawanyika na —1. —20 ÷ (—1)
    Kugawanya idadi kwa —1 kunatoa kinyume chake. 20

    Angalia kwamba ishara zilikuwa sawa, hivyo quotient ilikuwa chanya.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Gawanya:

    1. \(6 ÷ (−1)\)
    2. \(−36 ÷ (−1)\)
    Jibu

    \(-6\)

    Jibu b

    \(36\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Gawanya:

    1. \(28 ÷ (−1)\)
    2. \(−52 ÷ (−1)\)
    Jibu

    \(-28\)

    Jibu b

    \(52\)

    Kurahisisha Maneno na Integers

    Sasa tutaweza kurahisisha maneno kwamba matumizi ya shughuli zote nne - Aidha, kutoa, kuzidisha, na mgawanyiko - na integers. Kumbuka kufuata utaratibu wa shughuli.

    Mfano\(\PageIndex{5}\): simplify

    Kurahisisha:\(7(−2) + 4(−7) − 6\).

    Suluhisho

    Tunatumia utaratibu wa shughuli. Panua kwanza na kisha uongeze na uondoe kutoka kushoto kwenda kulia.

    Panua kwanza. -14 + (-28) -6
    Ongeza. -42 - 6
    Ondoa. -48
    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kurahisisha:\(8(−3) + 5(−7)−4\)

    Jibu

    \(-63\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kurahisisha:\(9(−3) + 7(−8) − 1\)

    Jibu

    \(-84\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\): simplify

    Kurahisisha:

    1. \((−2)^4\)
    2. \(−2^4\)

    Suluhisho

    Mtazamaji anaelezea mara ngapi kuzidisha msingi.

    1. exponent ni\(4\) na msingi ni\(−2\). Tunainua\(−2\) kwa nguvu ya nne.
    Andika katika fomu iliyopanuliwa. (ї2) (ї2) (ї2) (ї2)
    Kuzidisha. 4 (ї2) (ї2)
    Kuzidisha. -8 (ї2)
    Kuzidisha. 16
    1. exponent ni\(4\) na msingi ni\(2\). Tunainua\(2\) kwa nguvu ya nne na kisha kuchukua kinyume.
    Andika katika fomu iliyopanuliwa. - (2 • 2 • 2 • 2)
    Kuzidisha. - (4 • 2 • 2)
    Kuzidisha. - (8 • 2)
    Kuzidisha. -16
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kurahisisha:

    1. \((−3)^4\)
    2. \(−3^4\)
    Jibu

    \(81\)

    Jibu b

    \(-81\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kurahisisha:

    1. \((−7)^2\)
    2. \(−7^2\)
    Jibu

    \(49\)

    Jibu b

    \(-49\)

    Mfano\(\PageIndex{7}\): simplify

    Kurahisisha:\(12 − 3(9 − 12)\).

    Suluhisho

    Kwa mujibu wa utaratibu wa shughuli, sisi kurahisisha ndani ya mabano kwanza. Kisha tutazidisha na hatimaye tutaondoa.

    Ondoa mabano kwanza. 12 - 3 (1-3)
    Kuzidisha. 12- (-9)
    Ondoa. 21
    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kurahisisha:\(17 − 4(8 − 11)\)

    Jibu

    \(29\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kurahisisha:\(16 − 6(7 − 13)\)

    Jibu

    \(52\)

    Mfano\(\PageIndex{8}\): simplify

    Kurahisisha:\(8(−9) ÷ (−2)^3\).

    Suluhisho

    Sisi kurahisisha exponent kwanza, kisha kuzidisha na kugawanya.

    Kurahisisha exponent. 8 (-9) ÷ (-8)
    Kuzidisha. -72 ÷ (-8)
    Gawanya. 9
    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kurahisisha:\(12(−9) ÷ (−3)^3\)

    Jibu

    \(4\)

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Kurahisisha:\(18(−4) ÷ (−2)^3\)

    Jibu

    \(9\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\): simplify

    Kurahisisha:\(−30 ÷ 2 + (−3)(−7)\).

    Suluhisho

    Kwanza tutazidisha na kugawanya kutoka kushoto kwenda kulia. Kisha tutaongeza.

    Gawanya. -15 + (—3) (-7)
    Kuzidisha. -15 + 21
    Ongeza. 6
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Kurahisisha:\(−27 ÷ 3 + (−5)(−6)\)

    Jibu

    \(21\)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Kurahisisha:\(−32 ÷ 4 + (−2)(−7)\)

    Jibu

    \(6\)