3.5: Ondoa integers (Sehemu ya 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 173355

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Utoaji wa mfano wa integers
Kurahisisha maneno na integers
Tathmini maneno ya kutofautiana na integers
Tafsiri maneno misemo kwa maneno ya algebraic
Ondoa integers katika programu

kuwa tayari!

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Kurahisisha:$12 − (8−1)$. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.1.8.
Tafsiri tofauti ya$ 20$ na$−15$ katika kujieleza kwa algebraic. Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.3.11.
Ongeza:$−18 + 7$. Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.2.6.

Utoaji wa mfano wa Integers

Kumbuka hadithi katika sehemu ya mwisho kuhusu mtoto mdogo na vidakuzi? Watoto hujifunza jinsi ya kuondoa idadi kupitia uzoefu wao wa kila siku. Uzoefu wa maisha halisi hutumika kama mifano ya kuondoa idadi nzuri, na wakati mwingine, kama vile joto, kwa kuongeza namba hasi pamoja na chanya. Lakini ni vigumu kuhusisha kuondoa idadi hasi kwa uzoefu wa kawaida wa maisha. Watu wengi hawana uelewa wa angavu wa kuondoa wakati namba hasi zinahusika. Walimu wa Math hutumia mifano mbalimbali ili kuelezea kutoa idadi hasi.

Tutaendelea kutumia counters kwa mfano wa kuondoa. Kumbuka, counters bluu kuwakilisha idadi chanya na counters nyekundu kuwakilisha idadi hasi.

Labda ulipokuwa mdogo, unasoma$5 − 3$ kama tano, uondoe tatu. Tunapotumia counters, tunaweza kufikiria kuondoa njia ile ile.

Sisi mfano nne kutoa ukweli kwa kutumia idadi$5$ na$3$.

\[5 − 3 \qquad −5 − (−3) \qquad −5 − 3 \qquad 5 − (−3) \nonumber \]

Mfano$\PageIndex{1}$: model

Mfano:$5 − 3$.

Suluhisho

Tafsiri maneno.	5 - 3 ina maana 5 kuchukua 3.
Tengeneza nambari ya kwanza. Anza na chanya 5.
Chukua namba ya pili. Kwa hiyo uondoe chanya 3.
Pata counters ambazo zimeachwa.

Tofauti kati$5$ na$3$ ni$2$.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Mfano wa maneno:$6 − 4$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_003_img.jpg$

$2$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Mfano wa maneno:$7 − 4$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_004_img.jpg$

$3$

Mfano$\PageIndex{2}$: model

Mfano:$−5 − (−3)$.

Suluhisho

Tafsiri maneno.	-5 - (-3) inamaanisha -5 kuondoa 1-3.
Tengeneza nambari ya kwanza. Anza na hasi 5.
Chukua namba ya pili. Kwa hiyo uondoe hasi 3.
Pata idadi ya counters iliyoachwa.

Tofauti kati$−5$ na$−3$ ni$−2$.

Zoezi$\PageIndex{3}$

Mfano wa maneno:$−6 − (−4)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_008_img.jpg$

$-2$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Mfano wa maneno:$−7 − (−4)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_009_img.jpg$

$-3$

Angalia kwamba Mfano$\PageIndex{1}$ na Mfano$\PageIndex{2}$ ni sawa sana.

Kwanza, tuliondoa$3$ chanya kutoka kwa$5$ chanya ili kupata$2$ chanya.
Kisha sisi subtracted$3$$5$ hasi kutoka$2$ hasi kupata hasi.

Kila mfano ulitumia counters ya rangi moja tu, na mfano wa “kuchukua” wa kuondoa ulikuwa rahisi kutumia.

$Takwimu hii ina mstari wa miduara 5 ya bluu. Ya kwanza ya tatu imezungukwa. Juu ya mstari ni 5 minus 3 sawa na 2. Karibu na hii ni mstari wa miduara 5 nyekundu. Ya kwanza ya tatu imezungukwa. Juu ya mstari ni hasi 5 minus hasi 3 sawa hasi 2.$

Kielelezo$\PageIndex{1}$

Sasa hebu tuone kinachotokea wakati tunapoondoa nambari moja nzuri na moja hasi. Tutahitaji kutumia counters zote nzuri na hasi na wakati mwingine baadhi ya jozi neutral, pia. Kuongeza jozi ya neutral haina mabadiliko ya thamani.

Mfano$\PageIndex{3}$: model

Mfano:$−5 − 3$.

Suluhisho

Tafsiri maneno.	-5 - 3 inamaanisha -5 kuondoa 3.
Tengeneza nambari ya kwanza. Anza na hasi 5.
Chukua nambari ya pili. Kwa hiyo tunahitaji kuchukua chanya 3.
Lakini hakuna chanya cha kuchukua. Ongeza jozi zisizo na upande mpaka uwe na chanya 3.
Sasa chukua chanya 3.
Hesabu idadi ya counters iliyoachwa.

Tofauti ya$−5$ na$3$ ni$−8$.

Zoezi$\PageIndex{5}$

Mfano wa maneno:$−6 − 4$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_012_img.jpg$

$-10$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Mfano wa maneno:$−7 − 4$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_013_img.jpg$

$-11$

Mfano$\PageIndex{4}$: model

Mfano:$5 − (−3)$.

Suluhisho

Tafsiri maneno.	5 - (-3) inamaanisha 5 kuondoa 1-3.
Tengeneza nambari ya kwanza. Anza na chanya 5.
Ondoa namba ya pili, hivyo uondoe hasi 3.
Lakini hakuna hasi za kuchukua. Ongeza jozi za neutral mpaka uwe na hasi 3.
Kisha uondoe hasi 3.
Hesabu idadi ya counters iliyoachwa.

Tofauti ya$5$ na$−3$ ni$8$.

Zoezi$\PageIndex{7}$

Mfano wa maneno:$6 − (−4)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_016_img.jpg$

$10$

Zoezi$\PageIndex{8}$

Mfano wa maneno:$7 − (−4)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_017_img.jpg$

$11$

Mfano$\PageIndex{5}$: model

Mfano kila uondoaji.

$8 − 2$
$−5 − 4$
$6 − (−6)$
$−8 − (−3)$

Suluhisho

$8 − 2$: Hii ina maana$8$ kuchukua mbali$2$.

Anza na chanya 8.
Chukua chanya 2.
Ni wangapi wanaachwa?	8 - 2 = 6

$−5 − 4$: Hii ina maana$−5$ kuchukua mbali$4$.

Anza na hasi 5.
Unahitaji kuchukua chanya 4. Ongeza jozi nne za neutral ili kupata chanya 4.
Chukua chanya 4.
Ni wangapi wanaachwa?	-5 - 4 = -9

$6 − (−6)$: Hii ina maana$6$ kuchukua mbali$−6$.

Anza na chanya 6.
Ongeza wasio na nia 6 ili kupata hasi 6 ili uondoe.
Ondoa hasi 6.
Ni wangapi wanaachwa?	6 - (-6) = 12

$−8 − (−3)$: Hii ina maana$−8$ kuchukua mbali$−3$.

Anza na hasi 8.
Chukua hasi 3.
Ni wangapi wanaachwa?	-8 - (-3) = -5

Zoezi$\PageIndex{9}$

Mfano kila uondoaji.

$7 - (-8)$
$-7 - (-2)$
$4 - 1$
$-6 - 8$

Jibu: $CNX_BMath_Figure_03_03_045_img.jpg$
Jibu b: $CNX_BMath_Figure_03_03_046_img.jpg$
Jibu c: $CNX_BMath_Figure_03_03_047_img.jpg$
Jibu d: $CNX_BMath_Figure_03_03_048_img.jpg$

Zoezi$\PageIndex{10}$

Mfano kila uondoaji.

$4 - (-6)$
$-8 - (-1)$
$7 - 3$
$-4 - 2$

Jibu: $CNX_BMath_Figure_03_03_049_img.jpg$
Jibu b: $CNX_BMath_Figure_03_03_050_img.jpg$
Jibu c: $CNX_BMath_Figure_03_03_051_img.jpg$
Jibu d: $CNX_BMath_Figure_03_03_052_img.jpg$

Mfano$\PageIndex{6}$: model

Mfano kila kujieleza uondoaji:

$2 − 8$
$−3 − (−8)$

Suluhisho

Tunaanza na chanya 2.
Tunahitaji kuchukua chanya 8, lakini tuna 2 tu.
Ongeza jozi zisizo na upande mpaka kuna chanya 8 cha kuchukua.
Kisha uondoe chanya nane.
Pata idadi ya counters iliyoachwa. Kuna hasi 6.

$2 − 8 = −6$

Tunaanza na hasi 3.
Tunahitaji kuondoa negatives 8, lakini tuna 3 tu.
Ongeza jozi za neutral mpaka kuna negatives 8 za kuchukua
Kisha uondoe hasi 8.
Pata idadi ya counters iliyoachwa. Kuna chanya 5.

$−3 − (−8) = 5$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Mfano kila kujieleza kuondoa.

$7 − 9$
$−5 − (−9)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_020_img.jpg$

$-2$

Jibu b

$CNX_BMath_Figure_03_03_021_img.jpg$

$4$

Zoezi$\PageIndex{12}$

Mfano kila kujieleza kuondoa.

$4 − 7$
$−7 − (−10)$

Jibu

$CNX_BMath_Figure_03_03_022_img.jpg$

$-3$

Jibu b

$CNX_BMath_Figure_03_03_023_img.jpg$

$3$

Kurahisisha Maneno na Integers

Je! Unaona mfano? Je, uko tayari kuondoa integers bila counters? Hebu tufanye vikwazo viwili zaidi. Tutaweza kufikiri juu ya jinsi tunataka mfano hizi na counters, lakini sisi si kweli kutumia counters.

Ondoa$−23 − 7$. Fikiria: Tunaanza na counters$23$ hasi. Tunapaswa kuondoa$7$ chanya, lakini hakuna chanya cha kuchukua. Kwa hiyo tunaongeza jozi$7$ zisizo na upande ili kupata$7$ chanya. Sasa tunachukua$7$ chanya. Basi nini kushoto? Tuna hasi za awali pamoja na$23$ hasi$7$ zaidi kutoka kwa jozi zisizo na upande wowote. Matokeo yake ni$30$ hasi. $−23 − 7 = −30$Taarifa, kwamba kuondoa$7$, sisi aliongeza$7$ hasi.
Ondoa$30 − (−12)$. Fikiria: Tunaanza na$30$ chanya. Tunapaswa kuondoa$12$ hasi, lakini hakuna hasi za kuchukua. Kwa hiyo tunaongeza jozi$12$ zisizo na upande kwa$30$ chanya. Sasa tunaondoa$12$ hasi. Nini kushoto? Tuna$30$ chanya cha awali pamoja na chanya$12$ zaidi kutoka kwa jozi zisizo na upande. Matokeo yake ni$42$ chanya. $30 − (−12) = 42$Kumbuka kwamba ili uondoe$−12$, tuliongeza$12$.

Wakati hatuwezi kutumia counters daima, hasa tunapofanya kazi na idadi kubwa, kufanya mazoezi nao kwanza alitupa njia halisi ya kutumia dhana, ili tuweze kutazama na kukumbuka jinsi ya kufanya uondoaji bila counters.

Je! Umeona kuwa uondoaji wa namba zilizosainiwa unaweza kufanywa kwa kuongeza kinyume? Wewe mara nyingi kuona wazo, Ondoa Mali, imeandikwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi: Ondoa Mali

\[a − b = a + (−b)\]

Angalia mifano hii miwili.

$Takwimu hii ina nguzo mbili. Safu ya kwanza ina 6 minus 4. Chini, kuna mstari wa miduara 6 ya bluu, na 4 ya kwanza ikitenganishwa na 2 ya mwisho. Ya kwanza 4 imezungukwa. Chini ya mstari huu kuna 2. Safu ya pili ina 6 pamoja na hasi 4. Chini kuna mstari wa miduara 6 ya bluu na 4 ya kwanza ikitenganishwa na 2 ya mwisho. Ya kwanza 4 imezungukwa. Chini ya nne za kwanza ni mstari wa duru 4 nyekundu. Chini ya hii kuna 2.$

Kielelezo$\PageIndex{2}$

Tunaona kwamba$6 − 4$ anatoa jibu sawa na$6 + (−4)$.

Bila shaka, wakati tuna tatizo la kuondoa ambalo lina idadi nzuri tu, kama mfano wa kwanza, tunafanya tu kuondoa. Tayari tulijua jinsi ya kuondoa$6 − 4$ muda mrefu uliopita. Lakini kujua kwamba$6 − 4$ anatoa jibu sawa na$6 + (−4)$ husaidia wakati sisi ni kutoa idadi hasi.

Mfano$\PageIndex{7}$: simplify

Kurahisisha:

$13 − 8$na$13 + (−8)$
$−17 − 9$na$−17 + (−9)$

Suluhisho

Ondoa ili kurahisisha.	13 - 8 = 5
Ongeza ili kurahisisha.	13 + (-8) = 5
Kuondoa 8 kutoka 13 ni sawa na kuongeza -8 hadi 13.

Ondoa ili kurahisisha.	-17 - 9 = -26
Ongeza ili kurahisisha.	-17 + (-9) = -26
Kutoa 9 kutoka -17 ni sawa na kuongeza -9 hadi -17.

Zoezi$\PageIndex{13}$

Kurahisisha kila kujieleza:

$21 − 13$na$21 + (−13)$
$−11 − 7$na$−11 + (−7)$

Jibu: $8$,$8$
Jibu b: $-18$,$-18$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Kurahisisha kila kujieleza:

$15 − 7$na$15 + (−7)$
$−14 − 8$na$−14 + (−8)$

Jibu: $8$,$8$
Jibu b: $-22$,$-22$

Sasa angalia nini kinatokea wakati sisi Ondoa hasi.

$Takwimu hii ina nguzo mbili. Safu ya kwanza ina 8 minus hasi 5. Chini, kuna mstari wa duru 13 za bluu. Ya kwanza 8 imetenganishwa na 5 ijayo. Chini ya miduara 5 ya mwisho ya bluu kuna mstari wa miduara 5 nyekundu. Wao wamezungukwa. Chini ya hii kuna 13. Safu ya pili ina 8 pamoja na 5. Chini kuna mstari wa duru 13 za bluu. Ya kwanza 8 imetenganishwa na 5 ya mwisho. Chini ya hii kuna 13.$

Kielelezo$\PageIndex{3}$

Tunaona kwamba$8 − (−5)$ anatoa matokeo sawa na$8 + 5$. Kuondoa nambari hasi ni kama kuongeza chanya.

Mfano$\PageIndex{8}$: simplify

Kurahisisha:

$9 − (−15)$na$9 + 15$
$−7 − (−4)$na$−7 + 4$

Suluhisho

$9 − (−15)$na$9 + 15$

Ondoa ili kurahisisha.	9- (-15) = 24
Ongeza ili kurahisisha.	9 + 15 = 24

Kuondoa$−15$ kutoka$9$ ni sawa na$15$ kuongeza$9$.

$−7 − (−4)$na$−7 + 4$

Ondoa ili kurahisisha.	-7 - (-4) = -3
Ongeza ili kurahisisha.	-7 + 4 = -3

Kuondoa$−4$ kutoka$−7$ ni sawa na$4$ kuongeza$−7$.

Zoezi$\PageIndex{15}$

Kurahisisha kila kujieleza:

$6 − (−13)$na$6 + 13$
$−5 − (−1)$na$−5 + 1$

Jibu: $19$,$19$
Jibu b: $-4$,$-4$

Zoezi$\PageIndex{16}$

Kurahisisha kila kujieleza:

$4 − (−19)$na$4 + 19$
$−4 − (−7)$na$−4 + 7$

Jibu: $23$,$23$
Jibu b: $3$,$3$

Angalia tena matokeo ya Mfano$\PageIndex{1}$ - Mfano$\PageIndex{4}$.

Jedwali$\PageIndex{1}$: Uondoaji wa Integers
5 — 3	—5 — (-3)
2	—2
2 chanya	2 hasi
Wakati kutakuwa na counters ya kutosha ya rangi ya kuchukua, Ondoa.
—5 — 3	5 — (-3)
—8	8
5 hasi, wanataka Ondoa chanya 3	5 chanya, wanataka Ondoa hasi 3
wanahitaji jozi za neutral	wanahitaji jozi za neutral
Wakati hakutakuwa na kutosha kwa counters kuchukua, ongeza jozi neutral.

Wachangiaji na Attributons

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax

Mfano\(\PageIndex{1}\): model

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{2}\): model

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\): model

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\): model

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\): model

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\): model

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Ufafanuzi: Ondoa Mali

Mfano\(\PageIndex{7}\): simplify

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Mfano\(\PageIndex{8}\): simplify

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Zoezi\(\PageIndex{16}\)