Skip to main content
Global

3.2: Utangulizi wa Integers (Sehemu ya 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173350

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Sisi kutibu baa thamani kabisa kama sisi kutibu mabano katika utaratibu wa shughuli. Sisi kurahisisha kujieleza ndani ya kwanza.

    Mfano\(\PageIndex{7}\): evaluate

    Tathmini:

    1. \(|x|\)lini\(x = −35\)
    2. \(|−y|\)lini\(y = −20\)
    3. \(− |u|\)lini\(u = 12\)
    4. \(− |p|\)lini\(p = −14\)

    Suluhisho

    Ili kupata |x| wakati x = -35: \(|x|\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{-35}\) kwa ajili ya x. \(|\textcolor{red}{-35}|\)
    Chukua thamani kamili. \(35\)
    Ili kupata ||y| wakati y = -20: \(|-y|\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{-20}\) kwa y. \(|-(\textcolor{red}{-20})|\)
    Kurahisisha. \(|20|\)
    Chukua thamani kamili. \(20\)
    Ili kupata -|u| wakati u = 12: \(-|u|\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{12}\) kwa ajili ya u. \(-|\textcolor{red}{12}|\)
    Chukua thamani kamili. \(-12\)
    Ili kupata -|p| wakati p = -14: \(-|p|\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{-14}\) kwa p. \(-|\textcolor{red}{-14}|\)
    Chukua thamani kamili. \(-14\)

    Angalia kwamba matokeo ni hasi tu wakati kuna ishara hasi nje ya alama ya thamani kamili.

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Tathmini:

    1. \(|x|\)lini\(x = −17\)
    2. \(|−y|\)lini\(y = −39\)
    3. \(− |m|\)lini\(m = 22\)
    4. \(− |p|\)lini\(p = −11\)
    Jibu

    \(17\)

    Jibu b

    \(39\)

    Jibu c

    \(-22\)

    Jibu d

    \(11\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Tathmini:

    1. \(|y|\)lini\(y = −23\)
    2. \(|−y|\)lini\(y = −21\)
    3. \(− |n|\)lini\(n = 37\)
    4. \(− |q|\)lini\(q = −49\)
    Jibu

    \(23\)

    Jibu b

    \(21\)

    Jibu c

    \(-37\)

    Jibu d

    \(-49\)

    Mfano\(\PageIndex{8}\): compare expressions

    Jaza\(<\),\(>\) au\(=\) kwa kila moja ya yafuatayo:

    1. \(|−5|\)___\(− |−5|\)
    2. \(8\)___\(− |−8|\)
    3. \(−9\)___\(− |−9|\)
    4. \(− |−7|\)___\(−7\)

    Suluhisho

    Ili kulinganisha maneno mawili, kurahisisha kila mmoja kwanza. Kisha kulinganisha.

      |—5|___—|-5|
    Kurahisisha. 5___ї 5
    Agizo. 5> -5
      8___π|—8|
    Kurahisisha. 8___—8
    Agizo. 8> -8
      -9___—9| 9|
    Kurahisisha. -9___-9
    Agizo. -9 = -9
      -|-7|___,17
    Kurahisisha. -7___-7
    Agizo. -7 = -7
    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Jaza\(<\),\(>\), au\(=\) kwa kila moja ya yafuatayo:

    1. \(|−9|\)___\(− |−9|\)
    2. \(2\)___\(− |−2|\)
    3. \(−8\)___\(|−8|\)
    4. \(− |−5|\)___\(−5\)
    Jibu

    \(>\)

    Jibu b

    \(>\)

    Jibu c

    \(<\)

    Jibu d

    \(=\)

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Jaza\(<\),\(>\), au\(=\) kwa kila moja ya yafuatayo:

    1. \(7\)___\(− |−7|\)
    2. \(− |−11|\)___\(−11\)
    3. \(|−4|\)___\(− |−4|\)
    4. \(−1\)___\(|−1|\)
    Jibu

    \(>\)

    Jibu b

    \(=\)

    Jibu c

    \(>\)

    Jibu d

    \(<\)

    Baa za thamani kamili hufanya kama alama za kikundi. Kwanza kurahisisha ndani ya baa thamani kamili iwezekanavyo. Kisha kuchukua thamani kamili ya idadi inayosababisha, na uendelee na shughuli yoyote nje ya alama za thamani kamili.

    Mfano\(\PageIndex{9}\): simplify

    Kurahisisha:

    1. \(|9−3|\)
    2. \(4|−2|\)

    Suluhisho

    Kwa kila kujieleza, fuata utaratibu wa shughuli. Kuanza ndani ya alama kabisa thamani kama na mabano.

    Kurahisisha ndani ya ishara kamili ya thamani. |9—3| = | 6|
    Chukua thamani kamili. 6
    Chukua thamani kamili. 4|18-2| = 4 • 2
    Kuzidisha. 8
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Kurahisisha:

    1. \(|12 − 9|\)
    2. \(3|−6|\)
    Jibu

    \(3\)

    Jibu b

    \(18\)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Kurahisisha:

    1. \(|27 − 16|\)
    2. \(9|−7|\)
    Jibu

    \(11\)

    Jibu b

    \(63\)

    Mfano\(\PageIndex{10}\): simplify

    Kurahisisha:\(|8 + 7| − |5 + 6|\).

    Suluhisho

    Kwa kila kujieleza, fuata utaratibu wa shughuli. Kuanza ndani ya alama kabisa thamani kama na mabano.

    Kurahisisha ndani ya kila ishara ya thamani kabisa. |8+7||5+6| = |15||11|
    Ondoa. 4
    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Kurahisisha:\(|1 + 8| − |2 + 5|\)

    Jibu

    \(2\)

    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Kurahisisha:\(|9−5| − |7 − 6|\)

    Jibu

    \(3\)

    Mfano\(\PageIndex{11}\): simplify

    Kurahisisha:\(24 − |19 − 3(6 − 2)|\).

    Suluhisho

    Tunatumia utaratibu wa shughuli. Kumbuka kurahisisha alama za makundi kwanza, hivyo mabano ndani ya alama za thamani kamili itakuwa ya kwanza.

    Kurahisisha katika mabano kwanza. 24 |19- 3 (6- 2) | = 24- |19- 3 (4) |
    Panua 3 (4). 24- |19- 12|
    Ondoa ndani ya ishara ya thamani kamili. 24 |7|
    Chukua thamani kamili. 24-7
    Ondoa. 17
    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Kurahisisha:\(19 − |11 − 4(3 − 1)|\)

    Jibu

    \(16\)

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Kurahisisha:\(9 − |8 − 4(7 − 5)|\)

    Jibu

    \(9\)

    Tafsiri Maneno ya Neno katika Maneno na Integers

    Sasa tunaweza kutafsiri maneno ya maneno katika maneno na integers. Angalia maneno ambayo yanaonyesha ishara hasi. Kwa mfano, neno hasi katika “ishirini hasi” linaonyesha\(−20\). Hivyo neno kinyume katika “kinyume cha\(20\).”

    Mfano\(\PageIndex{12}\): translate

    Tafsiri kila maneno katika usemi na integers:

    1. kinyume cha kumi na nne chanya
    2. kinyume cha\(−11\)
    3. hasi kumi na sita
    4. mbili minus hasi saba

    Suluhisho

    1. kinyume cha kumi na nne\(−14\)
    2. kinyume cha\(−11 − (−11)\)
    3. hasi kumi na sita\(−16\)
    4. mbili minus hasi saba\(2 − (−7)\)
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Tafsiri kila maneno katika usemi na integers:

    1. kinyume cha tisa chanya
    2. kinyume cha\(−15\)
    3. hasi ishirini
    4. kumi na moja minus hasi nne
    Jibu

    \(-9\)

    Jibu b

    \(15\)

    Jibu c

    \(-20\)

    Jibu d

    \(11-(-4)\)

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Tafsiri kila maneno katika usemi na integers:

    1. kinyume cha kumi na tisa hasi
    2. kinyume cha ishirini na mbili
    3. hasi tisa
    4. hasi nane minus hasi tano
    Jibu

    \(19\)

    Jibu b

    \(-22\)

    Jibu c

    \(-9\)

    Jibu d

    \(-8-(-5)\)

    Kama tulivyoona mwanzoni mwa sehemu hii, namba hasi zinahitajika kuelezea hali nyingi za ulimwengu halisi. Tutaangalia baadhi ya maombi zaidi ya idadi hasi katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{13}\): translate

    Tafsiri katika kujieleza na integers:

    1. Joto ni\(12\) digrii Fahrenheit chini ya sifuri.
    2. Timu ya mpira wa miguu ilikuwa na faida ya\(3\) yadi.
    3. Mwinuko wa Bahari ya Chumvi ni\(1,302\) miguu chini ya usawa wa bahari.
    4. Akaunti ya kuangalia inafutwa na\($40\).

    Suluhisho

    Angalia kwa misemo muhimu katika kila sentensi. Kisha angalia maneno ambayo yanaonyesha ishara hasi. Usisahau kuingiza vitengo vya kipimo kilichoelezwa katika sentensi.

      Joto ni nyuzi 12 Fahrenheit chini ya sifuri.
    Chini ya sifuri inatuambia kuwa 12 ni namba hasi. -12 ºF
      Timu ya mpira wa miguu ilikuwa na faida ya yadi 3.
    faida inatuambia kwamba 3 ni idadi chanya. Yadi 3
      Mwinuko wa Bahari ya Chumvi ni futi 1,302 chini ya usawa wa bahari.
    Chini ya usawa wa bahari inatuambia ya kwamba 1,302 ni namba hasi. -1,302 miguu
      Akaunti ya kuangalia imefunikwa na $40.
    Overdrawn inatuambia kwamba 40 ni idadi hasi. -$40
    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Tafsiri katika kujieleza na integers: Timu ya mpira wa miguu ilikuwa na faida ya\(5\) yadi.

    Jibu

    \(5\)yadi

    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Tafsiri katika kujieleza na integers: Scuba diver ilikuwa\(30\) miguu chini ya uso wa maji.

    Jibu

    \(-30\)miguu

    Dhana muhimu

    • Kinyume Nukuu
      • Uthibitisho\(-a\) unasoma kinyume cha\(a\)
    • Nukuu ya Thamani kamili
      • Thamani kamili ya namba\(n\) imeandikwa kama\(|n|\).

    faharasa

    thamani kamili

    Thamani kamili ya namba ni umbali wake kutoka\(0\) kwenye mstari wa namba.

    namba kamili

    Integers ni kuhesabu idadi, kinyume yao, na sifuri... \(–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ...\)

    idadi hasi

    Nambari hasi ni chini ya sifuri.

    mkabala

    Kinyume cha namba ni namba ambayo ni umbali sawa kutoka sifuri kwenye mstari wa namba, lakini upande wa pili wa sifuri.

    Mazoezi hufanya kamili

    Pata Hesabu nzuri na Hasi kwenye Nambari ya Nambari

    Katika mazoezi yafuatayo, Machapisho na uweke alama zilizotolewa kwenye mstari wa namba.

    1. (a) 2 (b) -2 (c) -5
    2. (a) 5 (b) -5 (c) -2
    3. a -8 (b) 8 (c) -6
    4. a -7 (b) 7 (c) -1

    Weka Hesabu nzuri na Hasi kwenye Nambari ya Nambari

    Katika mazoezi yafuatayo, tengeneza kila jozi zifuatazo za namba, ukitumia < or >.

    1. (a) 9__4 (b) -3__6 (c) -8__—2 (d) 1__,110
    2. (a) 6__2; (b) -7__4; (c) -9__-1; (d) 9__-3
    3. (a) -5__1; (b) -4__-9; (c) 6__10; (d) 3__-8
    4. (a) -7__3; (b) -10__-5; (c) 2__-6; (d) 8__9

    Kupata Kupinga

    Katika mazoezi yafuatayo, pata kinyume cha kila nambari.

    1. (a) 2 (b) -6
    2. (a) 9 (b) -4
    3. (a) -8 (b) 1
    4. (a) -2 (b) 6

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha.

    1. - (-4)
    2. - (-8)
    3. - (-15)
    4. - (-11)

    Katika mazoezi yafuatayo, tathmini.

    1. -m wakati (a) m = 3 (b) m = -3
    2. -p wakati (a) p = 6 (b) p = -6
    3. -c wakati (a) c = 12 (b) c = -12
    4. -d wakati (a) d = 21 (b) d = -21

    Kurahisisha Maneno na Thamani kamili

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza thamani kamili.

    1. (a) |7| (b) |-25| (c) |0|
    2. (a) |5| (b) |20| (c) |19|
    3. (a) |-32| (b) |18-18| (c) |16|
    4. (a) |-41 | (b) |-40| (c) |22|

    Katika mazoezi yafuatayo, tathmini kila kujieleza thamani kamili.

    1. (a) |x| wakati x = -28 (b) | -u| wakati u = -15
    2. (a) |y| wakati y = -37 (b) | ∙ z| wakati z = -24
    3. (a) - |p| wakati p = 19 (b) - |q| wakati q = -33
    4. (a) - |a| wakati = 60 (b) -|b| wakati b = -12

    Katika mazoezi yafuatayo, jaza, au = kulinganisha kila kujieleza.

    1. (a) -6__|-6| (b) ||—3|__,13
    2. (a) -8__|-8| (b) ||,12|__,12
    3. (a) |—3|__—3| (b) 4__—4|
    4. (a) |—5|__—5| (b) 9__—9| 9|

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza.

    1. |8 - 4|
    2. |9 - 6|
    3. 8|7-11 7|
    4. 5|-5|
    5. |15- 7| |14- 6|
    6. |17- 8| |13- 4|
    7. 18 |2 (8- 3) |
    8. 15 |3 (8- 5) |
    9. 8 (14 - 2|2|)
    10. 6 (13 - 4||2|)

    Tafsiri Maneno ya Neno katika Maneno na Integers

    Tafsiri kila maneno katika kujieleza na integers. Je, si kurahisisha.

    1. (a) kinyume cha 8 (b) kinyume cha -6 (c) hasi tatu (d) 4 minus hasi 3
    2. (a) kinyume cha 11 (b) kinyume cha -4 (c) hasi tisa (d) 8 minus hasi 2
    3. (a) kinyume cha 20 (b) kinyume cha -5 (c) hasi kumi na mbili (d) 18 minus hasi 7
    4. (a) kinyume cha 15 (b) kinyume cha -9 (c) hasi sitini (d) 12 bala 5
    5. joto la digrii 6 chini ya sifuri
    6. joto la digrii 14 chini ya sifuri
    7. mwinuko wa miguu 40 chini ya usawa wa bahari
    8. mwinuko wa miguu 65 chini ya usawa wa bahari
    9. kupoteza mpira wa miguu ya yadi 12
    10. faida ya kucheza mpira wa miguu ya yadi 4
    11. faida ya hisa ya $3
    12. hasara ya hisa ya $5
    13. alama ya golf moja juu par
    14. alama ya golf ya 3 chini par

    kila siku Math

    1. Mwinuko Mwinuko wa juu kabisa nchini Marekani ni Mlima McKinley, Alaska, kwenye futi 20,320 juu ya usawa wa bahari. Mwinuko wa chini kabisa ni Death Valley, California, kwenye futi 282 chini ya usawa wa bahari. Tumia integers kuandika mwinuko wa: (a) Mlima McKinley (b) Death Valley
    2. Joto kali Joto la juu zaidi duniani ni 58° Celsius, lililorekodiwa katika Jangwa la Sahara mwaka wa 1922. Joto la chini kabisa lililorekodiwa ni 90° chini ya 0° Celsius, lililorekodiwa Antaktika mwaka 1983 Tumia integers kuandika: (a) joto la juu zaidi la kumbukumbu (b) joto la chini kabisa
    3. Bajeti za serikali Mnamo Juni, 2011, hali ya Pennsylvania ilikadiriwa ingekuwa na ziada ya bajeti ya $540,000,000. Mwezi huo huo, Texas inakadiriwa kuwa na upungufu wa bajeti ya dola bilioni 27. Matumizi integers kuandika bajeti: (a) ziada (b) upungufu
    4. Uandikishaji wa chuo nchini Marekani, uandikishaji wa chuo cha jamii ulikua kwa wanafunzi 1,400,000 kuanzia mwaka 2007 hadi 2010. Katika California, uandikishaji wa chuo cha jamii ulipungua kwa wanafunzi 110,171 kuanzia mwaka 2009 hadi 2010. Matumizi integers kuandika mabadiliko katika uandikishaji: (a) ukuaji (b) kushuka

    Mazoezi ya kuandika

    1. Kutoa mfano wa idadi hasi kutoka kwa uzoefu wako wa maisha.
    2. Je! Matumizi matatu ya ishara ya “-” katika algebra ni nini? Eleza jinsi tofauti.

    Self Check

    (a) Baada ya kukamilisha mazoezi, tumia orodha hii ili kutathmini ujuzi wako wa malengo ya sehemu hii.

    (b) Kama wengi wa hundi yako walikuwa:

    ... kwa ujasiri. Hongera! Umefanikiwa malengo katika sehemu hii. Fikiria ujuzi wa kujifunza uliyotumia ili uweze kuendelea kuitumia. Ulifanya nini ili uwe na ujasiri wa uwezo wako wa kufanya mambo haya? Kuwa maalum.

    ... kwa msaada fulani. Hii lazima kushughulikiwa haraka kwa sababu mada huna bwana kuwa mashimo katika barabara yako ya mafanikio. Katika hesabu, kila mada hujenga juu ya kazi ya awali. Ni muhimu kuhakikisha kuwa na msingi imara kabla ya kuendelea. Nani unaweza kuomba msaada? Washiriki wenzako na mwalimu ni rasilimali nzuri. Je, kuna mahali kwenye chuo ambapo waalimu hisabati zinapatikana? Je, ujuzi wako wa kujifunza unaweza kuboreshwa?

    ... Hapana - siipati! Hii ni ishara ya onyo na haipaswi kupuuza. Unapaswa kupata msaada mara moja au utazidiwa haraka. Angalia mwalimu wako haraka iwezekanavyo kujadili hali yako. Pamoja unaweza kuja na mpango wa kupata msaada unayohitaji.