2.7: Kupata Mizigo na Mambo (Sehemu ya 1)
- Page ID
- 173399
- Tambua idadi kubwa
- Tumia vipimo vya kawaida vya mgawanyiko
- Pata sababu zote za idadi
- Kutambua idadi ya mkuu na Composite
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
- Ni ipi kati ya namba zifuatazo zinazohesabu namba (nambari za asili)? \(0, 4, 215\)Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 1.1.1.
- Kupata jumla ya\(3\),\(5\), na\(7\). Kama amekosa tatizo, mapitio Sehemu 2.1.
Tambua Idadi ya Idadi
Annie ni kuhesabu viatu katika chumbani yake. Viatu vinaendana kwa jozi, hivyo hawana haja ya kuhesabu kila mmoja. Anahesabu kwa wawili:\(2, 4, 6, 8, 10, 12\). Ana\(12\) viatu katika chumbani kwake.
Idadi\(2, 4, 6, 8, 10, 12\) huitwa wingi wa\(2\). Mizigo ya\(2\) inaweza kuandikwa kama bidhaa ya idadi kuhesabu na\(2\). Mizigo sita ya kwanza ya\(2\) hutolewa hapa chini.
\[\begin{split} 1 \cdot 2 & = 2 \\ 2 \cdot 2 & = 4 \\ 3 \cdot 2 & = 6 \\ 4 \cdot 2 & = 8 \\ 5 \cdot 2 & = 10 \\ 6 \cdot 2 &= 12 \end{split} \nonumber \]
Nambari nyingi ni bidhaa ya nambari na namba ya kuhesabu. Hivyo nyingi ya\(3\) itakuwa bidhaa ya idadi kuhesabu na\(3\). Chini ni mafungu sita ya kwanza ya\(3\).
\[\begin{split} 1 \cdot 3 & = 3 \\ 2 \cdot 3 & = 6 \\ 3 \cdot 3 & = 9 \\ 4 \cdot 3 & = 12 \\ 5 \cdot 3 & = 15 \\ 6 \cdot 3 &= 18 \end{split} \nonumber \]
Tunaweza kupata wingi wa idadi yoyote kwa kuendelea na mchakato huu. Jedwali\(\PageIndex{1}\) linaonyesha wingi wa\(2\) kupitia\(9\) kwa namba kumi na mbili za kuhesabu kwanza.
Idadi ya Kuhesabu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wingi wa 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
Wingi wa 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
Wingi wa 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
Wingi wa 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
Wingi wa 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
Wingi wa 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
Wingi wa 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
Wingi wa 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
idadi ni nyingi ya\(n\) kama ni bidhaa ya idadi kuhesabu na\(n\).
Kutambua ruwaza kwa wingi wa\(2\)\(5\),\(10\),, na\(3\) itasaidia kwako unapoendelea katika kozi hii.
Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha idadi ya kuhesabu kutoka\(1\) kwa\(50\). Mizigo ya\(2\) ni yalionyesha. Je! Unaona mfano?
Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mizigo ya 2 kati ya 1 na 50
Nambari ya mwisho ya kila nambari iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\) ni ama\(0\)\(2\)\(4\),\(6\),, au\(8\). Hii ni kweli kwa bidhaa ya\(2\) na idadi yoyote kuhesabu. Hivyo, kuwaambia kama idadi yoyote ni nyingi ya\(2\) kuangalia tarakimu ya mwisho. Kama ni\(0\),\(2\),\(4\),\(6\), au\(8\), basi idadi ni nyingi ya\(2\).
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni nyingi ya\(2\):
- \(489\)
- \(3,714\)
Suluhisho
ni 489 nyingi ya 2? | |
Ni tarakimu ya mwisho 0, 2, 4, 6, au 8? | Hapana. |
489 si nyingi ya 2. |
ni 3,714 nyingi ya 2? | |
Ni tarakimu ya mwisho 0, 2, 4, 6, au 8? | Ndiyo. |
3,714 ni nyingi ya 2. |
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(2\):
- \(678\)
- \(21,493\)
- Jibu
-
ndiyo
- Jibu b
-
hapana
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(2\):
- \(979\)
- \(17,780\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
ndiyo
Sasa hebu tuangalie wingi wa\(5\). Kielelezo\(\PageIndex{2}\) inaonyesha mafungu yote ya\(5\) kati\(1\) na\(50\). Je, taarifa kuhusu wingi wa\(5\)?
Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mizigo ya 5 kati ya 1 na 50
Wote wingi wa\(5\) mwisho na ama\(5\) au\(0\). Tu kama sisi kutambua wingi wa\(2\) kwa kuangalia tarakimu ya mwisho, tunaweza kutambua mafungu ya\(5\) kwa kuangalia tarakimu ya mwisho.
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni nyingi ya\(5\):
- \(579\)
- \(880\)
Suluhisho
Je 579 nyingi ya 5? | |
Je, tarakimu ya mwisho ni 5 au 0? | Hapana. |
579 si nyingi ya 5. |
Je 880 nyingi ya 5? | |
Je, tarakimu ya mwisho ni 5 au 0? | Ndiyo. |
880 si nyingi ya 5. |
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(5\).
- \(675\)
- \(1,578\)
- Jibu
-
ndiyo
- Jibu b
-
hapana
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(5\).
- \(421\)
- \(2,690\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
ndiyo
Kielelezo\(\PageIndex{3}\) inaonyesha wingi wa\(10\) kati\(1\) na\(50\). Vipande vyote vya mwisho\(10\) wote na sifuri.
Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Mizigo ya 10 kati ya 1 na 50
Kuamua kama kila moja ya yafuatayo ni nyingi ya\(10\):
- \(425\)
- \(350\)
Suluhisho
ni 425 nyingi ya 10? | |
Je, tarakimu ya mwisho ya sifuri? | Hapana. |
425 si nyingi ya 10. |
Je 350 nyingi ya 10? | |
Je, tarakimu ya mwisho ya sifuri? | Ndiyo. |
350 ni nyingi ya 10. |
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(10\):
- \(179\)
- \(3,540\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
ndiyo
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(10\):
- \(110\)
- \(7,595\)
- Jibu
-
ndiyo
- Jibu b
-
hapana
Kielelezo\(\PageIndex{4}\) inaonyesha mafungu ya\(3\). mfano kwa wingi wa\(3\) si kama dhahiri kama mwelekeo kwa wingi wa\(2\),\(5\), na\(10\).
Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Mizigo ya 3 kati ya 1 na 50
Tofauti na mifumo mingine tumekuwa kuchunguza hadi sasa, muundo huu hauhusishi tarakimu ya mwisho. mfano kwa wingi wa\(3\) ni msingi wa jumla ya tarakimu. Kama jumla ya tarakimu ya idadi ni nyingi ya\(3\), basi idadi yenyewe ni nyingi ya\(3\). Angalia Jedwali\(\PageIndex{2}\).
Nyingi ya 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Jumla ya tarakimu | 3 | 6 | 9 |
1 + 2 3 |
1 + 5 6 |
1 + 8 9 |
2 + 1 3 |
2 + 4 6 |
Fikiria idadi\(42\). Nambari ni\(4\) na\(2\), na jumla yao ni\(4 + 2 = 6\). Kwa kuwa\(6\) ni nyingi ya\(3\), tunajua kwamba pia\(42\) ni nyingi ya\(3\).
Kuamua kama kila moja ya idadi fulani ni nyingi ya\(3\):
- \(645\)
- \(10,519\)
Suluhisho
- Ni\(645\) nyingi ya\(3\)?
Pata jumla ya tarakimu. | 6 + 4 + 5 = 15 |
Je 15 nyingi ya 3? | Ndiyo. |
Kama sisi ni uhakika, tunaweza kuongeza tarakimu yake ili kujua. Tunaweza kuangalia kwa kugawa 645 na 3. | 645 ÷ 3 |
Quotient ni 215. | 3 • 215 = 645 |
- Ni\(10,519\) nyingi ya\(3\)?
Pata jumla ya tarakimu. | 1 + 0 + 5 + 1 + 9 = 16 |
Je 15 nyingi ya 3? | Hapana. |
Hivyo 10,519 si nyingi ya 3 ama.. | 645 ÷ 3 |
Tunaweza kuangalia hii kwa kugawa na 10,519 na 3. |
Tunapogawanya\(10,519\) na\(3\), hatuwezi kupata idadi ya kuhesabu, hivyo\(10,519\) sio bidhaa ya namba ya kuhesabu na\(3\). Si nyingi ya\(3\).
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(3\):
- \(954\)
- \(3,742\)
- Jibu
-
ndiyo
- Jibu b
-
hapana
Kuamua kama kila idadi ni nyingi ya\(3\):
- \(643\)
- \(8,379\)
- Jibu
-
hapana
- Jibu b
-
ndiyo
Angalia nyuma katika chati ambapo yalionyesha wingi wa\(2\), ya\(5\), na ya\(10\). Kumbuka kwamba wingi wa\(10\) ni idadi ambayo ni mafungu ya wote\(2\) na\(5\). Hii ni kwa sababu\(10 = 2 • 5\). Vivyo hivyo\(6 = 2 • 3\), tangu, wingi wa\(6\) ni namba ambazo ni nyingi za wote\(2\) na\(3\).
Tumia vipimo vya mgawanyiko wa kawaida
Njia nyingine ya kusema kwamba\(375\) ni nyingi ya\(5\) ni kusema kwamba\(375\) ni mgawanyiko na\(5\). Kwa kweli,\(375 ÷ 5\) ni\(75\), hivyo\(375\) ni\(5 • 75\). Taarifa katika Mfano\(\PageIndex{4}\) ambayo\(10,519\) si nyingi\(3\). Wakati sisi kugawanywa\(10,519\) na\(3\) hatukupata idadi kuhesabu, hivyo\(10,519\) si mgawanyiko na\(3\).
Kama idadi\(m\) ni nyingi ya\(n\), basi tunasema kwamba\(m\) ni mgawanyiko na\(n\).
Kwa kuwa kuzidisha na mgawanyiko ni shughuli za kinyume, mifumo ya mizigo tuliyoipata inaweza kutumika kama vipimo vya ugawanyiko. Jedwali\(\PageIndex{3}\) muhtasari vipimo mgawanyiko kwa baadhi ya namba kuhesabu kati ya moja na kumi.
Nambari inagawanyika na | |
---|---|
2 | ikiwa tarakimu ya mwisho ni 0, 2, 4, 6, au 8 |
3 | ikiwa jumla ya tarakimu inagawanyika na 3 |
5 | ikiwa tarakimu ya mwisho ni 5 au 0 |
6 | ikiwa inagawanyika na 2 na 3 |
10 | ikiwa tarakimu ya mwisho ni 0 |
Kuamua kama\(1,290\) ni mgawanyiko na\(2\)\(3\),,\(5\), na\(10\).
Suluhisho
Meza\(\PageIndex{4}\) inatumika vipimo mgawanyiko kwa\(1,290\). Katika safu ya mbali ya kulia, tunaangalia matokeo ya vipimo vya mgawanyiko kwa kuona kama quotient ni namba nzima.
Imegawanyika na...? | Mtihani | Kugawanyika? | Check |
---|---|---|---|
2 | Je tarakimu ya mwisho 0, 2, 4, 6, au 8? | ndiyo | 1290 ÷ 2 = 645 |
3 |
Je, jumla ya tarakimu inagawanyika na 3? 1 + 2 + 9 + 0 = 12 |
ndiyo | 1290 ÷ 3 = 430 |
5 | Je tarakimu ya mwisho 5 au 0? | ndiyo | 1290 ÷ 5 = 258 |
10 | Ni tarakimu ya mwisho 0? | ndiyo | 1290 ÷ 10 = 129 |
Hivyo,\(1,290\) ni mgawanyiko na\(2\),\(3\),\(5\), na\(10\).
Kuamua kama nambari iliyotolewa inagawanyika na\(2\)\(3\),\(5\),, na\(10\).
\(6240\)
- Jibu
-
Inagawanyika na\(2\)\(3\),,\(5\), na\(10\)
Kuamua kama nambari iliyotolewa inagawanyika na\(2\)\(3\),\(5\),, na\(10\).
\(7248\)
- Jibu
-
Kugawanyika\(2\) na\(3\), si\(5\) au\(10\)
Kuamua kama\(5,625\) ni mgawanyiko na\(2\)\(3\),,\(5\), na\(10\).
Suluhisho
Jedwali\(\PageIndex{5}\) linatumika vipimo mgawanyiko\(5,625\) na vipimo matokeo kwa kutafuta quotients.
Imegawanyika na...? | Mtihani | Kugawanyika? | Check |
---|---|---|---|
2 | Je tarakimu ya mwisho 0, 2, 4, 6, au 8? | hapana | 5625 ÷ 2 = 2812.5 |
3 |
Je, jumla ya tarakimu inagawanyika na 3? 5 + 6 + 2 + 5 = 18 |
ndiyo | 5625 ÷ 3 = 1875 |
5 | Je tarakimu ya mwisho 5 au 0? | ndiyo | 5625 ÷ 5 = 1125 |
10 | Ni tarakimu ya mwisho 0? | hapana | 5625 ÷ 10 = 562.5 |
Hivyo,\(5,625\) ni mgawanyiko\(3\) na\(5\), lakini si\(2\), au\(10\).
Kuamua kama nambari iliyotolewa inagawanyika na\(2\)\(3\),\(5\),, na\(10\).
\(4962\)
- Jibu
-
Kugawanyika na\(2\)\(3\),, si\(5\) au\(10\)
Kuamua kama nambari iliyotolewa inagawanyika na\(2\)\(3\),\(5\),, na\(10\).
\(3765\)
- Jibu
-
Imegawanyika\(3\) na\(5\)
Pata Mambo Yote ya Idadi
Kuna mara nyingi njia kadhaa za kuzungumza juu ya wazo moja. Hadi sasa, tumeona kwamba kama\(m\) ni nyingi ya\(n\), tunaweza kusema kwamba\(m\) ni mgawanyiko na\(n\). Tunajua kwamba\(72\) ni bidhaa ya\(8\) na\(9\), hivyo tunaweza kusema\(72\) ni nyingi ya\(8\) na\(72\) ni nyingi ya\(9\). Tunaweza pia kusema\(72\) ni mgawanyiko na\(8\) na kwa\(9\). Njia nyingine ya kuzungumza juu ya hili ni kusema kwamba\(8\) na\(9\) ni sababu za\(72\). Wakati\(72 = 8 ⋅ 9\) sisi kuandika tunaweza kusema kwamba tuna factored\(72\).
Kama\(a • b = m\), basi\(a\) na\(b\) ni sababu ya\(m\), na\(m\) ni bidhaa ya\(a\) na\(b\).
Katika algebra, inaweza kuwa na manufaa kuamua mambo yote ya idadi. Hii inaitwa factoring idadi, na inaweza kutusaidia kutatua aina nyingi za matatizo.
Kwa mfano, tuseme mchoreographer anapanga ngoma kwa recital ya ballet. Kuna wachezaji 24, na kwa eneo fulani, mchoreographer anataka kupanga wachezaji katika makundi ya ukubwa sawa kwenye hatua.
Kwa njia ngapi wachezaji wanaweza kuwekwa katika makundi ya ukubwa sawa? Kujibu swali hili ni sawa na kutambua mambo ya\(24\). \(\PageIndex{6}\)Jedwali linafupisha njia tofauti ambazo mchoreographer anaweza kupanga wachezaji.
Idadi ya Vikundi | Wachezaji kwa Kikundi | Jumla ya Wachezaji |
---|---|---|
1 | 24 | 1 • 24 = 24 |
2 | 12 | 2 • 12= 24 |
3 | 8 | 3 • 8= 24 |
4 | 6 | 4 • 6= 24 |
6 | 4 | 6 • 4= 24 |
8 | 3 | 8 • 3= 24 |
12 | 2 | 12 • 2= 24 |
24 | 1 | 24 • 1= 24 |
Je! Unaona mwelekeo gani katika Jedwali\(\PageIndex{6}\)? Je, taarifa kwamba idadi ya makundi mara idadi ya wachezaji kwa kila kundi daima\(24\)? Hii ina maana, kwa kuwa daima kuna\(24\) wachezaji.
Unaweza kuona mfano mwingine ikiwa unatazama kwa makini nguzo mbili za kwanza. Nguzo hizi mbili zina seti sawa ya namba-lakini kwa utaratibu wa reverse. Wao ni vioo vya mtu mwingine, na kwa kweli, nguzo zote mbili zinaorodhesha mambo yote\(24\), ambayo ni:
\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)
Tunaweza kupata mambo yote ya idadi yoyote kuhesabu kwa utaratibu kugawa idadi kwa kila idadi kuhesabu, kuanzia na\(1\). Ikiwa quotient pia ni namba ya kuhesabu, basi mgawanyiko na quotient ni sababu za idadi. Tunaweza kuacha wakati quotient inakuwa ndogo kuliko mgawanyiko.
Hatua ya 1. Gawanya nambari kwa kila namba ya kuhesabu, ili, mpaka quotient ni ndogo kuliko mgawanyiko.
- Ikiwa quotient ni namba ya kuhesabu, mgawanyiko na quotient ni jozi ya mambo.
- Ikiwa quotient sio namba ya kuhesabu, mgawanyiko sio sababu.
Hatua ya 2. Andika orodha zote za sababu.
Hatua ya 3. Andika mambo yote ili kutoka ndogo hadi kubwa.
Kupata mambo yote ya\(72\).
Suluhisho
Gawanya\(72\) na kila moja ya namba kuhesabu kuanzia na\(1\). Ikiwa quotient ni namba nzima, mgawanyiko na quotient ni jozi ya mambo.
Mstari unaofuata ingekuwa na\(9\) mgawanyiko wa na quotient ya\(8\). Quotient itakuwa ndogo kuliko mgawanyiko, hivyo sisi kuacha. Kama sisi kuendelea, tutakuwa kuishia tu orodha ya mambo sawa tena katika utaratibu reverse. Orodha ya mambo yote kutoka ndogo hadi kubwa\(1\), tuna\(2\),\(3\),\(4\),\(6\),\(8\),\(9\),\(12\),\(18\),\(24\),\(36\), na\(72\).
Pata sababu zote za nambari iliyotolewa:\(96\)
- Jibu
-
\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96\)
Pata sababu zote za nambari iliyotolewa:\(80\)
- Jibu
-
\(1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80\)