Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.9: Gawanya Hesabu nzima (Sehemu ya 1)

Malengo ya kujifunza
  • Tumia nukuu ya mgawanyiko
  • Mgawanyiko wa mfano wa idadi nzima
  • Gawanya idadi nzima
  • Tafsiri maneno maneno kwa hesabu nukuu
  • Gawanya idadi nzima katika programu
kuwa tayari!

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

  1. Kuzidisha:273. Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 1.4.6.
  2. Ondoa:4326. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 1.3.4.
  3. Kuzidisha:62(87). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 1.4.8.

Matumizi Idara Nukuu

Hadi sasa tuna kuchunguzwa kuongeza, kutoa, na kuzidisha. Sasa hebu fikiria mgawanyiko. Tuseme una12 cookies katika Kielelezo1.9.1 na unataka mfuko yao katika mifuko na4 cookies katika kila mfuko. Jinsi mifuko ngapi tunahitaji?

Picha ya safu tatu za vidakuzi vinne ili kuonyesha vidakuzi kumi na mbili.

Kielelezo1.9.1

Unaweza kuweka4 cookies katika mfuko wa kwanza,4 katika mfuko wa pili, na kadhalika mpaka kukimbia nje ya cookies. Kufanya hivyo kwa njia hii, ungependa kujaza3 mifuko.

Picha ya mifuko 3 ya biskuti, kila mfuko una vidakuzi 4.

Kielelezo1.9.2

Kwa maneno mengine, kuanzia na12 cookies, ungependa kuchukua, au Ondoa,4 cookies kwa wakati mmoja. Idara ni njia ya kuwakilisha uondoaji mara kwa mara kama kuzidisha inawakilisha kuongeza mara kwa mara. Badala ya kutoa4 mara kwa mara, tunaweza kuandika

12÷4

Tunasoma hii kama kumi na mbili iliyogawanywa na nne na matokeo ni quotient ya12 na4. Quotient ni3 kwa sababu tunaweza Ondoa4 kutoka3 nyakati12 hasa. Tunaita nambari ya kugawanywa mgao na nambari inayoigawanya mgawanyiko. Katika kesi hiyo, mgao ni12 na mgawanyiko ni4. Katika siku za nyuma huenda umetumia nukuu4¯)12, lakini mgawanyiko huu pia unaweza kuandikwa kama12÷4,12/4,124. Katika kila kesi12 ni mgao na4 ni mgawanyiko.

Alama za Operesheni za Idara

Kuwakilisha na kuelezea mgawanyiko, tunaweza kutumia alama na maneno.

Jedwali1.9.1
Operesheni Nukuu Ufafanuzi Soma kama Matokeo
Mgawanyiko ÷ 12 ÷ 4 Kumi na mbili kugawanywa na quotient ya 12 na 4
  ab 124    
  b¯)a 4¯)12    
  a/b 12/4    

Idara ni kazi kwa namba mbili kwa wakati mmoja. Wakati wa kutafsiri kutoka hesabu nukuu kwa maneno ya Kiingereza, au maneno ya Kiingereza kwa hesabu nukuu, tafuta maneno ya na kutambua namba.

Mfano1.9.1: translate

Tafsiri kutoka hesabu nukuu kwa maneno.

  1. 64÷8
  2. 427
  3. 4¯)28

Suluhisho

  1. Tunasoma hii kama sitini na nne iliyogawanywa na nane na matokeo yake ni quotient ya sitini na nne na nane.
  2. Tunasoma hii kama arobaini na mbili iliyogawanywa na saba na matokeo ni quotient ya arobaini na mbili na saba.
  3. Tunasoma hii kama ishirini na nane iliyogawanywa na nne na matokeo ni quotient ya ishirini na nane na nne.
zoezi1.9.1

Tafsiri kutoka hesabu nukuu kwa maneno:

  1. 84÷7
  2. 186
  3. 8¯)24
Jibu

themanini na nne kugawanywa na saba; quotient ya themanini na nne na saba

Jibu b

kumi na nane kugawanywa na sita; quotient ya kumi na nane na sita.

Jibu c

ishirini na nne kugawanywa na nane; quotient ya ishirini na nne na nane

zoezi1.9.2

Tafsiri kutoka hesabu nukuu kwa maneno:

  1. 72÷9
  2. 213
  3. 6¯)54
Jibu

sabini na mbili kugawanywa na tisa; quotient ya sabini na mbili na tisa

Jibu b

ishirini na moja kugawanywa na tatu; quotient ya ishirini na moja na tatu

Jibu c

hamsini na nne kugawanywa na sita; quotient ya hamsini na nne na sita

Idara ya Mfano wa Hesabu Nzima

Kama tulivyofanya na kuzidisha, tutatengeneza mgawanyiko kwa kutumia counters. Uendeshaji wa mgawanyiko hutusaidia kuandaa vitu katika makundi sawa kama tunavyoanza na idadi ya vitu katika mgao na kuondoa idadi katika mgawanyiko mara kwa mara.

Mfano1.9.2: model

Mfano mgawanyiko:24÷8.

Suluhisho

Ili kupata quotient24÷8, tunataka kujua jinsi makundi mengi ya8 ni katika24.

Mfano mgao. Anza na24 counters.

Picha ya counters 24 kuwekwa nasibu.

Mgawanyiko hutuambia idadi ya counters tunayotaka katika kila kikundi. Fomu makundi ya8 counters.

Picha ya counters 24, zote zilizomo katika Bubbles 3, kila Bubble zenye counters 8.

Hesabu idadi ya vikundi. Kuna3 makundi.

24÷8=3

zoezi1.9.3

Mfano:24÷6.

Jibu

Zoezi 1.5.3.png

zoezi1.9.4

Mfano:42÷7.

Jibu

Zoezi 1.5.4.png

Gawanya Hesabu nzima

Tulisema kuwa kuongeza na kutoa ni shughuli inverse kwa sababu moja undoes nyingine. Vile vile, mgawanyiko ni operesheni inverse ya kuzidisha. Tunajua12÷4=3 kwa sababu34=12. Kujua ukweli wote wa idadi ya kuzidisha ni muhimu sana wakati wa kufanya mgawanyiko.

Tunaangalia jibu letu kwa mgawanyiko kwa kuzidisha quotient na mgawanyiko ili kuamua ikiwa ni sawa na mgao. Katika Mfano1.9.2, tunajua24÷8=3 ni sahihi kwa sababu38=24.

Mfano1.9.3: divide

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha.

  1. 42÷6
  2. 729
  3. 7¯)63

Suluhisho

Gawanya 42 na 6. 42 ÷ 6 = 7
Angalia kwa kuzidisha. 7 • 6 = 42 ✓
Gawanya 72 na 9. 729
Angalia kwa kuzidisha. 8 • 9 = 72 ✓
Gawanya 63 na 7. 7¯)63
Angalia kwa kuzidisha. 9 • 7 = 63 ✓
zoezi1.9.5

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 54÷6
  2. 279
Jibu

9

Jibu b

3

zoezi1.9.6

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 369
  2. 8¯)40
Jibu

4

Jibu b

5

Je, ni quotient nini unapogawanya namba yenyewe?

1515=1because115=15

Kugawanya idadi yoyote (isipokuwa0) yenyewe hutoa quotient ya1. Pia, idadi yoyote imegawanywa na1 inazalisha quotient ya idadi. Mawazo haya mawili yameelezwa katika Mali ya Idara ya Moja.

Idara ya Mali ya Moja
Nambari yoyote (isipokuwa 0) iliyogawanyika yenyewe ni moja. a ÷ a = 1
Nambari yoyote iliyogawanywa na moja ni namba sawa. a ÷ 1 = a
Mfano1.9.4: divide

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 11÷11
  2. 191
  3. 1¯)7

Suluhisho

Nambari iliyogawanywa na yenyewe ni 1. 11 ÷ 11 = 1
Angalia kwa kuzidisha. 1 • 11 = 11 ✓
Nambari iliyogawanywa na 1 inalingana yenyewe. 191=19
Angalia kwa kuzidisha. 19 • 1 = 19 ✓
Nambari iliyogawanywa na 1 inalingana yenyewe. 1¯)7=7
Angalia kwa kuzidisha. 7 • 1 = 7 ✓
zoezi1.9.7

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 14÷14
  2. 271
Jibu

1

Jibu b

27

zoezi1.9.8

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 161
  2. 1¯)4
Jibu

16

Jibu b

4

Tuseme tuna$0, na unataka kugawanya kati ya3 watu. Kila mtu angepata kiasi gani? Kila mtu angeweza kupata$0. Zero kugawanywa na idadi yoyote ni0.

Sasa tuseme kwamba tunataka kugawanya$10 na0. Hiyo ina maana tunataka kupata idadi kwamba sisi0 kuzidisha na kupata10. Hii haiwezi kutokea kwa sababu0 mara namba yoyote ni0. Idara na sifuri inasemekana kuwa haijulikani.

Mawazo haya mawili yanafanya Mali ya Idara ya Zero.

Idara ya Mali ya Zero
Zero imegawanywa na idadi yoyote ni 0. 0 ÷ a = 0
Kugawanya idadi kwa sifuri haijulikani. a ÷ 0 = haijafafanuliwa

Njia nyingine ya kueleza kwa nini mgawanyiko na sifuri haijulikani ni kukumbuka kwamba mgawanyiko ni kweli mara kwa mara kuondoa. Ni mara ngapi tunaweza kuchukua0 mbali10? Kwa sababu kuondoa kamwe0 haitabadilika jumla, hatuwezi kupata jibu. Kwa hiyo hatuwezi kugawanya namba kwa0.

Mfano1.9.5: divide

Gawanya. Angalia kwa kuzidisha:

  1. 0÷3
  2. 10/0

Suluhisho

Zero imegawanywa na idadi yoyote ni sifuri. 0 ÷ 3 = 0
Angalia kwa kuzidisha. 0 • 3 = 0 ✓
Kugawanya idadi kwa sifuri haijulikani. 10/0 = haijafafanuliwa
zoezi1.9.9

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 0÷2
  2. 17/0
Jibu

0

Jibu b

haijafafanuliwa

zoezi1.9.10

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:

  1. 0÷6
  2. 13/0
Jibu

0

Jibu b

haijafafanuliwa

Wakati mgawanyiko au mgao una tarakimu zaidi ya moja, kwa kawaida ni rahisi kutumia4¯)12 notation. Utaratibu huu unaitwa mgawanyiko mrefu. Hebu tufanye kazi kupitia mchakato kwa kugawa78 na3.

Gawanya tarakimu ya kwanza ya mgao, 7, na mgawanyiko, 3.  
Mgawanyiko 3 unaweza kuingia 7 mara mbili tangu 2 × 3 = 6. Andika 2 juu ya 7 katika quotient. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-02.png
Panua 2 katika quotient na 3 na uandike bidhaa, 6, chini ya 7. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-03.png
Ondoa bidhaa hiyo kutoka tarakimu ya kwanza katika mgao. Ondoa 7 - 6. Andika tofauti, 1, chini ya tarakimu ya kwanza katika mgao. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-04.png
Kuleta chini tarakimu ya pili ya mgao. Kuleta chini 8. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-05.png
Gawanya 18 na mgawanyiko, 3. Mgawanyiko 3 huenda katika 18 mara sita. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-06.png
Andika 6 katika quotient juu ya 8.  
Panua 6 katika quotient na mgawanyiko na uandike bidhaa, 18, chini ya mgao. Ondoa 18 kutoka 18. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-07.png

Tunataka kurudia mchakato mpaka hakuna tarakimu zaidi katika mgao wa kuleta chini. Katika tatizo hili, hakuna tarakimu zaidi za kuleta chini, hivyo mgawanyiko umekamilika. Hivyo78÷3=26.

Angalia kwa kuzidisha mara quotient mgawanyiko kupata mgao. 26×3Kuzidisha ili kuhakikisha kuwa bidhaa sawa na mgao,78.

Inafanya, hivyo jibu letu ni sahihi.

JINSI YA: KUGAWANYA NAMBA NZIMA.

Hatua ya 1. Gawanya tarakimu ya kwanza ya mgao na mgawanyiko. Ikiwa mgawanyiko ni mkubwa kuliko tarakimu ya kwanza ya mgao, fungua tarakimu mbili za kwanza za mgao na mgawanyiko, na kadhalika.

Hatua ya 2. Andika quotient juu ya mgao.

Hatua ya 3. Panua quotient na mgawanyiko na uandike bidhaa chini ya mgao.

Hatua ya 4. Ondoa kwamba bidhaa kutoka mgao.

Hatua ya 5. Kuleta chini tarakimu ya pili ya mgao.

Hatua ya 6. Rudia kutoka Hatua ya 1 mpaka hakuna tarakimu zaidi katika mgao ili kuleta chini.

Hatua ya 7. Angalia kwa kuzidisha mara quotient mgawanyiko.

Mfano1.9.6: divide

Gawanya2,596÷4. Angalia kwa kuzidisha.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-01.png
Gawanya tarakimu ya kwanza ya mgao, 2, na mgawanyiko, 4. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-02.png
Kwa kuwa 4 haiingii katika 2, tunatumia tarakimu mbili za kwanza za mgao na kugawanya 25 na 4. Mgawanyiko 4 huenda katika 25 mara sita.  
Tunaandika 6 katika quotient juu ya 5. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-03.png
Panua 6 katika quotient na mgawanyiko 4 na uandike bidhaa, 24, chini ya tarakimu mbili za kwanza katika mgao. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-04.png
Ondoa bidhaa hiyo kutoka tarakimu mbili za kwanza katika mgao. Ondoa 25 - 24. Andika tofauti, 1, chini ya tarakimu ya pili katika mgao. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-05.png
Sasa kuleta chini 9 na kurudia hatua hizi. Kuna 4 nne katika 19. Andika 4 juu ya 9. Panua 4 na 4 na uondoe bidhaa hii kutoka 19. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-06.png
Kuleta chini 6 na kurudia hatua hizi. Kuna nne 9 katika 36. Andika 9 juu ya 6. Panua 9 na 4 na uondoe bidhaa hii kutoka 36. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-07.png
Angalia kwa kuzidisha. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-08.png

Ni sawa na mgao, hivyo jibu letu ni sahihi. Hivyo2,596÷4=649.

zoezi1.9.11

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:2,636÷4.

Jibu

659

zoezi1.9.12

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:2,716÷4.

Jibu

679

Mfano1.9.7: divide

Gawanya4,506÷6. Angalia kwa kuzidisha.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu.
Kwanza tunajaribu kugawanya 6 hadi 4.
Tangu kwamba si kazi, sisi kujaribu 6 katika 45. Kuna sixes 7 katika 45. Tunaandika 7 juu ya 5
Panua 7 na 6 na uondoe bidhaa hii kutoka 45.
Sasa kuleta chini 0 na kurudia hatua hizi. Kuna sixes 5 katika 30. Andika 5 juu ya 0. Panua 5 na 6 na uondoe bidhaa hii kutoka 30.
Sasa kuleta chini 6 na kurudia hatua hizi. Kuna 1 sita katika 6. Andika 1 juu ya 6. Panua 1 na 6 na uondoe bidhaa hii kutoka 6.
Angalia kwa kuzidisha.

Ni sawa na mgao, hivyo jibu letu ni sahihi.

zoezi1.9.13

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:4,305÷5.

Jibu

861

zoezi1.9.14

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:3,906÷6.

Jibu

651

Mfano1.9.8: divide

Gawanya7,263÷9. Angalia kwa kuzidisha.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu.
Kwanza tunajaribu kugawanya 9 hadi 7.
Tangu kwamba si kazi, sisi kujaribu 9 katika 72. Kuna nines 8 katika 72. Tunaandika 8 juu ya 2.
Panua 8 na 9 na uondoe bidhaa hii kutoka 72.
Sasa kuleta chini 6 na kurudia hatua hizi. Kuna nines 0 katika 6. Andika 0 juu ya 6. Panua 0 na 9 na uondoe bidhaa hii kutoka 6.
Sasa kuleta chini 3 na kurudia hatua hizi. Kuna nines 7 katika 63. Andika 7 juu ya 3. Panua 7 na 9 na uondoe bidhaa hii kutoka 63.
Angalia kwa kuzidisha.

Ni sawa na mgao, hivyo jibu letu ni sahihi.

zoezi1.9.15

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:4,928÷7.

Jibu

704

zoezi1.9.16

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:5,663÷7.

Jibu

809

Hadi sasa matatizo yote ya mgawanyiko yamefanya kazi sawasawa. Kwa mfano, kama tulikuwa na24 cookies na alitaka kufanya mifuko ya8 cookies, tutakuwa na3 mifuko. Lakini vipi kama kulikuwa na28 cookies na tulitaka kufanya mifuko ya8? Anza na28 vidakuzi kama inavyoonekana katika Kielelezo1.9.3.

picha ya 28 cookies kuwekwa katika random.

Kielelezo1.9.3

Jaribu kuweka cookies katika makundi ya nane kama katika Kielelezo1.9.4.

Picha ya vidakuzi 28. Kuna miduara 3, kila iliyo na vidakuzi 8, na kuacha vidakuzi 3 nje ya miduara.

Kielelezo1.9.4

Kuna3 makundi ya vidakuzi nane, na4 vidakuzi vilivyoachwa. Sisi wito4 cookies kwamba ni kushoto juu ya salio na kuonyesha kwa kuandikaR4 karibu na3. (RAnasimama kwa salio.)

Kuangalia mgawanyiko huu sisi8 kuzidisha3 mara ya kupata24, na kisha kuongeza salio ya4.

Mfano1.9.9: divide

Gawanya1,439÷4. Angalia kwa kuzidisha.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu.
Kwanza tunajaribu kugawanya 4 hadi 1. Tangu kwamba si kazi, sisi kujaribu 4 katika 14. Kuna minne 3 katika 14. Tunaandika 3 juu ya 4.
Panua 3 na 4 na uondoe bidhaa hii kutoka 14.
Sasa kuleta chini 3 na kurudia hatua hizi. Kuna 5 nne katika 23. Andika 5 juu ya 3. Panua 5 na 4 na uondoe bidhaa hii kutoka 23.
Sasa kuleta chini ya 9 na kurudia hatua hizi. Kuna 9 nne katika 39. Andika 9 juu ya 9. Panua 9 na 4 na uondoe bidhaa hii kutoka 39. Hakuna namba zaidi za kuleta chini, kwa hiyo tumefanyika. Salio ni 3.
Angalia kwa kuzidisha.

Hivyo1,439÷4 ni359 pamoja na salio ya3. Jibu letu ni sahihi.

zoezi1.9.17

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:3,812÷8.

Jibu

476na salio ya4

zoezi1.9.18

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:4,319÷8.

Jibu

539na salio ya7

Mfano1.9.10: divide

Gawanya na kisha angalia kwa kuzidisha:1,461÷13.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu.
Kwanza tunajaribu kugawanya 13 hadi 1. Tangu kwamba si kazi, sisi kujaribu 13 katika 14. Kuna 1 kumi na tatu katika 14. Tunaandika 1 juu ya 4.
Panua 1 na 13 na uondoe bidhaa hii kutoka 14.
Sasa kuleta chini 6 na kurudia hatua hizi. Kuna 1 kumi na tatu katika 16. Andika 1 juu ya 6. Panua 1 na 13 na uondoe bidhaa hii kutoka 16.
Sasa kuleta chini ya 1 na kurudia hatua hizi. Kuna 2 thelathini katika 31. Andika 2 juu ya 1. Panua 2 na 13 na uondoe bidhaa hii kutoka 31. Hakuna namba zaidi za kuleta chini, kwa hiyo tumefanyika. Salio ni 5. 1,462 ÷ 13 ni 112 na salio la 5.
Angalia kwa kuzidisha.

Jibu letu ni sahihi.

zoezi1.9.19

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:1,493÷13.

Jibu

114R11

zoezi1.9.20

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:1,461÷12.

Jibu

121R9

Mfano1.9.11: divide

Gawanya na uangalie kwa kuzidisha:74,521÷241.

Suluhisho

Hebu tupate upya tatizo ili kuiweka kwa mgawanyiko mrefu.
Kwanza tunajaribu kugawanya 241 hadi 7. Tangu kwamba si kazi, sisi kujaribu 241 katika 74. Kwamba bado si kazi, hivyo sisi kujaribu 241 katika 745. Kwa kuwa 2 hugawanyika katika 7 mara tatu, tunajaribu 3. Tangu 3 × 241 = 723, tunaandika 3 juu ya 5 katika 745. Kumbuka kuwa 4 itakuwa kubwa mno kwa sababu 4 × 241 = 964, ambayo ni kubwa kuliko 745.  
Panua 3 na 241 na uondoe bidhaa hii kutoka 745.
Sasa kuleta chini 2 na kurudia hatua hizi. 241 haina kugawanywa katika 222. Tunaandika 0 juu ya 2 kama kishika na kisha kuendelea.
Sasa kuleta chini ya 1 na kurudia hatua hizi. Jaribu 9. Tangu 9 × 241 = 2,169, tunaandika 9 juu ya 1. Panua 9 na 241 na uondoe bidhaa hii kutoka 2,221.
Hakuna namba zaidi za kuleta chini, kwa hiyo tumekamilika. Salio ni 52. Hivyo 74,521 ÷ 241 ni 309 na salio ya 52.  
Angalia kwa kuzidisha.

Wakati mwingine inaweza kuwa dhahiri mara ngapi mgawanyiko huenda kwenye tarakimu za mgao. Tutahitaji nadhani na kuangalia namba ili kupata idadi kubwa zaidi inayoingia kwenye tarakimu bila kuzidi.

zoezi1.9.21

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:78,641÷256.

Jibu

307R49

zoezi1.9.22

Gawanya. Kisha angalia kwa kuzidisha:76,461÷248.

Jibu

308R77