10.3: Tatua Ulinganifu wa Quadratic Kutumia Mfumo wa Quadratic
- Page ID
- 177486
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Tatua usawa wa quadratic kwa kutumia formula ya quadratic
- Tumia ubaguzi kutabiri idadi ya ufumbuzi wa equation quadratic
- Tambua njia sahihi zaidi ya kutumia kutatua equation quadratic
Tulipotatua usawa wa quadratic katika sehemu ya mwisho kwa kukamilisha mraba, tulichukua hatua sawa kila wakati. Mwishoni mwa zoezi la kuweka, huenda umekuwa unashangaa 'je, kuna njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo? ' Jibu ni 'ndiyo. ' Katika sehemu hii, tutapata na kutumia formula ili kupata suluhisho la equation ya quadratic.
Tayari tumeona jinsi ya kutatua formula kwa ajili ya kutofautiana maalum 'kwa ujumla' ili tuweze kufanya hatua algebraic mara moja tu na kisha kutumia formula mpya kupata thamani ya kutofautiana maalum. Sasa, tutapitia hatua za kukamilisha mraba kwa ujumla ili kutatua equation ya quadratic kwa x. Inaweza kuwa na manufaa kuangalia moja ya mifano katika mwisho wa sehemu ya mwisho ambapo sisi kutatuliwa equation ya fomu\( ax^2+bx+c=0\) kama wewe kusoma kupitia hatua algebraic chini, hivyo kuwaona na idadi kama vile 'kwa ujumla. '
| Tunaanza na fomu ya kawaida ya equation ya quadratic na kuitatua kwa x kwa kukamilisha mraba. | \( ax^2+bx+c=0\) | |
| Sulua maneno ya kutofautiana upande mmoja. | \( ax^2+bx=−c\) | |
| Fanya mgawo wa kuongoza 1, kwa kugawa na. | \(\frac{ax^2}{a}+\frac{b}{a}x=−\frac{c}{a}\) | |
| Kurahisisha. | \(x^2+\frac{b}{a}x=−\frac{c}{a}\) | |
|
Ili kukamilisha mraba, pata\((\frac{1}{2}·\frac{b}{a})^2\) na uongeze kwa pande zote mbili za equation. \((\frac{1}{2}\frac{b}{a})^2=\frac{b^2}{4a^2}\) |
\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=−\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
| Upande wa kushoto ni mraba kamilifu, uifanye. | \((x+\frac{b}{2a})^2=−\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
| Pata denominator ya kawaida ya upande wa kulia na uandikishe sehemu sawa na denominator ya kawaida. | \((x+\frac{b}{2a})^2=−\frac{c·4a}{a·4a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
| Kurahisisha. | \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}−\frac{4ac}{4a^2}\) | |
| Kuchanganya kwa sehemu moja. | \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2−4ac}{4a^2}\) | |
| Tumia mali ya mizizi ya mraba. | \((x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{\frac{b^2−4ac}{4a^2}}\) | |
| Kurahisisha. | \((x+\frac{b}{2a})=\pm\frac{\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) | |
| \(−\frac{b}{2a} \)Ongeza pande zote mbili za equation. | \(x=−\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) | |
| Kuchanganya maneno upande wa kulia. | \(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) | |
Equation hii ya mwisho ni Mfumo wa Quadratic.
Ufumbuzi wa equation quadratic ya fomu\(ax^2+bx+c=0\),\(a\ge 0\) hutolewa na formula:
\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
Ili kutumia Mfumo wa Quadratic, tunabadilisha maadili ya a, b, na c katika maneno upande wa kulia wa formula. Kisha, tunafanya hesabu yote ili kurahisisha kujieleza. Matokeo hutoa suluhisho (s) kwa equation quadratic.
Jinsi ya Kutatua Equation Quadratic Kutumia Mfumo wa Quadratic
Tatua\(2x^2+9x−5=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Tatua\(3y^2−5y+2=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(y=\frac{2}{3}\),\(y=1\)
Tatua\(4z^2+2z−6=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(z=−\frac{3}{2}\),\(z=1\)
- Andika Mfumo wa Quadratic katika fomu ya kawaida. Tambua maadili ya aa, bb, na cc.
- Andika Mfumo wa Quadratic. Kisha mbadala katika maadili ya a, b, na c.
- Kurahisisha.
- Angalia ufumbuzi.
Kama unasema formula kama wewe kuandika katika kila tatizo, itabidi ni kukariri katika wakati hakuna. Na kumbuka, Mfumo wa Quadratic ni equation. Hakikisha kuanza na '\(x=\)'.
Tatua\(x^2−6x+5=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Equation hii ni katika hali ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. 
Kurahisisha. 
Angalia.
Tatua\(a^2−2a−15=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(a=−3\),\(a=5\)
Tatua\(b^2+10b+24=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(b=−6\),\(b=−4\)
Wakati sisi kutatuliwa equations quadratic kwa kutumia Square Mizizi Mali, sisi wakati mwingine got majibu kwamba alikuwa radicals. Hiyo inaweza kutokea, pia, wakati wa kutumia Mfumo wa Quadratic. Ikiwa tunapata radical kama suluhisho, jibu la mwisho lazima liwe na radical katika fomu yake rahisi.
Tatua\(4y^2−5y−3=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Tunaweza kutumia Mfumo Quadratic kutatua kwa variable katika equation quadratic, kama au ni jina la 'x'.
Equation hii ni katika hali ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. 
Angalia. Tunaacha hundi kwako.
Tatua\(2p^2+8p+5=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(p=\frac{−4\pm\sqrt{6}}{2}\)
Tatua\(5q^2−11q+3=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(q=\frac{11\pm\sqrt{61}}{10}\)
Tatua\(2x^2+10x+11=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Equation hii ni katika hali ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha radical. 
Factor nje ya sababu ya kawaida katika nambari. 
Ondoa mambo ya kawaida. 
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. 
Angalia. Tunaacha hundi kwako.
Tatua\(3m^2+12m+7=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(m=\frac{−6\pm\sqrt{15}}{3}\)
Tatua\(5n^2+4n−4=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(n=\frac{−2\pm2\sqrt{6}}{5}\)
Hatuwezi kuchukua mizizi ya mraba ya namba hasi. Hivyo, wakati sisi badala, b, na c katika Mfumo Quadratic, kama wingi ndani ya radical ni hasi, equation quadratic haina ufumbuzi halisi. Tutaona hili katika mfano unaofuata.
Tatua\(3p^2+2p+9=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Equation hii ni katika hali ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha radical. 
Hatuwezi kuchukua mizizi ya mraba ya namba hasi. Hakuna suluhisho halisi.
Tatua\(4a^2−3a+8=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
hakuna ufumbuzi halisi
Tatua\(5b^2+2b+4=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
hakuna ufumbuzi halisi
equations quadratic tuna kutatuliwa hadi sasa katika sehemu hii walikuwa wote imeandikwa katika hali ya kawaida,\(ax^2+bx+c=0\). Wakati mwingine, sisi haja ya kufanya baadhi algebra kupata equation katika hali ya kiwango kabla ya kutumia Mfumo Quadratic.
Tatua\(x(x+6)+4=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Kusambaza ili kupata equation katika fomu ya kawaida. 
Equation hii ni sasa katika hali ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha ndani ya radical. 
Kurahisisha radical. 
Factor nje ya sababu ya kawaida katika nambari. 
Ondoa mambo ya kawaida. 
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. 
Angalia. Tunaacha hundi kwako.
Tatua\(x(x+2)−5=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(x=−1\pm\sqrt{6}\)
Tatua\(y(3y−1)−2=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(y=−\frac{2}{3}\),\(y=1\)
Wakati sisi kutatuliwa equations linear, kama equation alikuwa sehemu nyingi mno sisi 'akalipa sehemu' kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. Hii ilitupa equation sawa-bila sehemu-kutatua. Tunaweza kutumia mkakati huo na equations quadratic.
Tatua\(\frac{1}{2}u^2+\frac{2}{3}u=\frac{1}{3}\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Kuzidisha pande zote mbili na LCD, 6, ili kufuta sehemu ndogo. 
Kuzidisha. 
Ondoa 2 ili kupata equation katika fomu ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha radical. 
Factor nje ya sababu ya kawaida katika nambari. 
Ondoa mambo ya kawaida. 
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. 
Angalia. Tunaacha hundi kwako.
Tatua\(\frac{1}{4}c^2−\frac{1}{3}c=\frac{1}{12}\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(c=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}\)
Tatua\(\frac{1}{9}d^2−\frac{1}{2}d=−\frac{1}{2}\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(d=\frac{3}{2}\),\(d=3\)
Fikiria kuhusu equation\((x−3)^2=0\). We know from the Zero Products Principle that this equation has only one solution: \(x=3\).
Tutaona katika mfano unaofuata jinsi ya kutumia Mfumo wa Quadratic kutatua equation na mraba kamili pia inatoa suluhisho moja tu.
Tatua\(4x^2−20x=−25\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
Ongeza 25 ili kupata equation katika fomu ya kawaida. 
Tambua maadili, b, c. 
Andika Mfumo wa Quadratic. 
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha radical. 
Kurahisisha sehemu. 
Angalia. Tunaacha hundi kwako. Je, kutambua kwamba\(4x^2−20x+25\) ni mraba kamili?
Tatua\(r^2+10r+25=0\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(r=−5\)
Tatua\(25t^2−40t=−16\) kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
- Jibu
-
\(t=\frac{4}{5}\)
Tumia Ubaguzi kutabiri Idadi ya Ufumbuzi wa Equation ya Quadratic
Tulipotatua usawa wa quadratic katika mifano ya awali, wakati mwingine tulipata ufumbuzi mbili, wakati mwingine suluhisho moja, wakati mwingine hakuna ufumbuzi halisi. Je, kuna njia ya kutabiri idadi ya ufumbuzi wa equation quadratic bila kweli kutatua equation?
Ndiyo, kiasi ndani ya radical ya Mfumo wa Quadratic inafanya iwe rahisi kwetu kuamua idadi ya ufumbuzi. Kiasi hiki kinaitwa wabaguzi.
Katika Mfumo wa Quadratic\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\), wingi\(b^2−4ac\) huitwa ubaguzi.
Hebu tuangalie ubaguzi wa equations katika Mfano, Mfano, na Mfano, na idadi ya ufumbuzi wa equations hizo quadratic.
| Ulinganifu wa Quadratic (kwa fomu ya kawaida) | Kubagua\(b^2−4ac\) | Ishara ya Wabaguzi | Idadi ya ufumbuzi halisi | |
|---|---|---|---|---|
| Mfano | \(2x^2+9x−5=0\) | \ (b^2,14ac\)” data-valign="middle” class="lt-math-15194">\(9^2−4·2(−5)=121\) | + | 2 |
| Mfano | \(4x^2−20x+25=0\) | \ (b^2,14ac\)” data-valign="middle” class="lt-math-15194">\((−20)^2−4·4·25=0\) | 0 | 1 |
| Mfano | \(3p^2+2p+9=0\) | \ (b^2,14ac\)” data-valign="middle” class="lt-math-15194">\(2^2−4·3·9=−104\) | - | 0 |
Wakati ubaguzi ni chanya\(x=\frac{−b\pm\sqrt{+}}{2a}\) equation quadratic ina ufumbuzi mbili.
Wakati ubaguzi ni sifuri\(x=\frac{−b\pm\sqrt{0}}{2a}\) equation quadratic ina suluhisho moja.
Wakati ubaguzi ni hasi\(x=\frac{−b\pm\sqrt{−}}{2a}\) equation quadratic haina ufumbuzi halisi.
Kwa equation quadratic ya fomu\(ax^2+bx+c=0\),\(a \ge 0\),
- ikiwa\(b^2−4ac>0\), equation ina ufumbuzi mbili.
- ikiwa\(b^2−4ac=0\), equation ina suluhisho moja.
- kama\(b^2−4ac<0\), equation haina ufumbuzi halisi.
Kuamua idadi ya ufumbuzi kwa kila equation quadratic:
- \(2v^2−3v+6=0\)
- \(3x^2+7x−9=0\)
- \(5n^2+n+4=0\)
- \(9y^2−6y+1=0\)
- Jibu
-
1.
\(2v^2−3v+6=0\) Equation iko katika fomu ya kawaida, kutambua, b, c. \(a=2\),\(b=−3\),\(c=6\) Andika ubaguzi. \(b^2−4ac\) Mbadala katika maadili ya a, b, c. \((3)^2−4·2·6\) Kurahisisha. \(9−48\)
\(−39\)
Kwa sababu ubaguzi ni hasi, hakuna ufumbuzi halisi wa equation. 2.
\(3x^2+7x−9=0\) Equation iko katika fomu ya kawaida, kutambua, b, c. \(a=3\),\(b=7\),\(c=−9\) Andika ubaguzi. \(b^2−4ac\) Mbadala katika maadili ya a, b, c. \((7)^2−4·3·(−9)\) Kurahisisha. \(49+108\)
\(157\)
Kwa sababu ubaguzi ni chanya, kuna ufumbuzi mbili kwa equation. 3.
\(5n^2+n+4=0\) Equation iko katika fomu ya kawaida, kutambua, b, c. \(a=5\),\(b=1\),\(c=4\) Andika ubaguzi. \(b^2−4ac\) Mbadala katika maadili ya a, b, c. \((1)^2−4·5·4\) Kurahisisha. \(1−80\)
\(−79\)
Kwa sababu ubaguzi ni hasi, hakuna ufumbuzi halisi wa equation. 4.
\(9y^2−6y+1=0\) Equation iko katika fomu ya kawaida, kutambua, b, c. \(a=9\),\(b=−6\),\(c=1\) Andika ubaguzi. \(b^2−4ac\) Mbadala katika maadili ya a, b, c. \((−6)^2−4·9·1\) Kurahisisha. \(36−36\)
\(0\)
Kwa sababu ubaguzi ni 0, kuna suluhisho moja kwa equation.
Kuamua idadi ya ufumbuzi kwa kila equation quadratic:
- \(8m^2−3m+6=0\)
- \(5z^2+6z−2=0\)
- \(9w^2+24w+16=0\)
- \(9u^2−2u+4=0\)
- Jibu
-
- hakuna ufumbuzi halisi
- 2
- 1
- hakuna ufumbuzi halisi
Kuamua idadi ya ufumbuzi kwa kila equation quadratic:
- \( b^2+7b−13=0\)
- \(5a^2−6a+10=0\)
- \(4r^2−20r+25=0\)
- \(7t^2−11t+3=0\)
- Jibu
-
- 2
- hakuna ufumbuzi halisi
- 1
- 2
Tambua Njia sahihi zaidi ya Kutumia Kutatua Equation ya Quadratic
Tumetumia mbinu nne za kutatua equations quadratic:
- Factoring
- Mizizi ya mraba Mali
- Kukamilisha Square
- Mfumo wa Quadratic
Unaweza kutatua equation yoyote ya quadratic kwa kutumia Mfumo wa Quadratic, lakini sio njia rahisi ya kutumia.
- Jaribu factoring kwanza. Ikiwa sababu za quadratic kwa urahisi, njia hii ni ya haraka sana.
- Jaribu Square Mizizi Mali ya. Kama equation inafaa fomu\(ax^2=k\) au\(a(x−h)^2=k\), inaweza kwa urahisi kutatuliwa kwa kutumia Square Mizizi Mali.
- Tumia Mfumo wa Quadratic. Equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
Nini kuhusu njia ya kukamilisha mraba? Watu wengi hupata njia hiyo mbaya na hawapendi kuitumia. Tulihitaji kuiingiza katika sura hii kwa sababu tumekamilisha mraba kwa ujumla ili kupata Mfumo wa Quadratic. Utatumia pia mchakato wa kukamilisha mraba katika maeneo mengine ya algebra.
Tambua njia sahihi zaidi ya kutumia kutatua kila equation quadratic:
- \(5z^2=17\)
- \(4x^2−12x+9=0\)
- \(8u^2+6u=11\)
- Jibu
-
1. \(5z^2=17\)
Kwa kuwa equation ni katika\(ax^2=k\), njia sahihi zaidi ni kutumia Square Mizizi Mali.
2. \(4x^2−12x+9=0\)
Tunatambua kwamba upande wa kushoto wa equation ni kamili ya mraba trinomial, na hivyo Factoring itakuwa njia sahihi zaidi.
3. \(8u^2+6u=11\)
Weka equation katika fomu ya kawaida. \(8u^2+6u−11=0\)
Wakati mawazo yetu ya kwanza inaweza kuwa kujaribu Factoring, kufikiri juu ya uwezekano wote wa majaribio na hitilafu inatuongoza kuchagua Quadratic Formula kama njia sahihi zaidi.
Tambua njia sahihi zaidi ya kutumia kutatua kila equation quadratic:
- \(x^2+6x+8=0\)
- \((n−3)^2=16\)
- \(5p^2−6p=9\)
- Jibu
-
- sababu
- Mizizi ya mraba Mali
- Mfumo wa Quadratic
Tambua njia sahihi zaidi ya kutumia kutatua kila equation quadratic:
- \(8a^2+3a−9=0\)
- \(4b^2+4b+1=0\)
- \(5c2=125\)
- Jibu
-
- Mfumo wa Quadratic
- kuchangia
- Mizizi ya mraba Mali
Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi kwa kutumia Mfumo wa Quadratic:
- Kutatua Ulinganifu wa Quadratic: Kutatua na Mfumo wa Quadratic
- Jinsi ya kutatua equation quadratic katika fomu ya kawaida kwa kutumia Mfumo wa Quadratic (mfano)
- Kutatua Ulinganisho wa Quadratic kwa kutumia Fomu ya Quadratic —Mfano 3
- Tatua Ulinganifu wa Quadratic kwa kutumia Mfumo wa Quadratic
Dhana muhimu
- Mfumo wa Quadratic Ufumbuzi wa equation quadratic ya fomu\(ax^2+bx+c=0\),\(a \ge 0\) hutolewa na formula:
\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
- Kutatua Equation Quadratic Kutumia Mfumo Quadratic
Ili kutatua equation quadratic kutumia Mfumo Quadratic.- Andika formula ya quadratic katika fomu ya kawaida. Tambua maadili, b, c.
- Andika formula ya quadratic. Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c.
- Kurahisisha.
- Angalia ufumbuzi.
- Kutumia Discriminant\(b^2−4ac\),, Kuamua Idadi ya Solutions ya Quadratic Equation
Kwa equation quadratic ya fomu\(ax^2+bx+c=0\),\(a \ge 0\),- kama\(b^2−4ac>0\), equation ina 2 ufumbuzi.
- kama\(b^2−4ac=0\), equation ina 1 ufumbuzi.
- kama\(b^2−4ac<0\), equation haina ufumbuzi halisi.
- Ili kutambua njia sahihi zaidi ya kutatua equation quadratic:
- Jaribu factoring kwanza. Ikiwa sababu za quadratic kwa urahisi njia hii ni ya haraka sana.
- Jaribu Square Mizizi Mali ijayo. Kama equation inafaa fomu\(ax^2=k\) au\(a(x−h)^2=k\), inaweza kwa urahisi kutatuliwa kwa kutumia Square Mizizi Mali.
- Tumia Mfumo wa Quadratic. Equation nyingine yoyote ya quadratic ni bora kutatuliwa kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
faharasa
- kubagua
- Katika Mfumo wa Quadratic,\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) wingi\(b^2−4ac\) huitwa ubaguzi.