Skip to main content
Global

8.6: Tatua usawa wa busara

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177675

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tatua milinganyo ya busara
    • Tatua equation ya busara kwa variable maalum
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    Ikiwa umepoteza tatizo, rudi kwenye sehemu iliyoorodheshwa na uhakiki nyenzo.

    1. Kutatua:\(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Zoezi 2.5.1.
    2. Kutatua:\(n^2−5n−36=0\).
      Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 7.6.13.
    3. Tatua kwa y katika suala la x: 5x+2y=10 kwa y
      Kama umekosa tatizo hili, kagua Zoezi 2.6.22.

    Baada ya kufafanua maneno kujieleza na equation mapema katika Misingi, tumetumia yao katika kitabu hiki. Tuna kilichorahisisha aina nyingi za maneno na kutatuliwa aina nyingi za equations. Tuna rahisi maneno mengi ya busara hadi sasa katika sura hii. Sasa tutasuluhisha usawa wa busara.

    Ufafanuzi wa equation ya busara ni sawa na ufafanuzi wa equation tuliyotumia katika Misingi.

    Ufafanuzi: usawa wa busara

    Equation ya busara ni maneno mawili ya busara yanayounganishwa na ishara sawa.

    Lazima uhakikishe kujua tofauti kati ya maneno ya busara na usawa wa busara. Equation ina ishara sawa.

    \[\begin{array}{cc} {\textbf{Rational Expression}}&{\textbf{Rational Equation}}\\ {\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}}&{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\\ {\frac{y+6}{y^2−36}}&{\frac{y+6}{y^2−36}=y+1}\\ {\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}}&{\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}=\frac{15}{n^2+n−12}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Kutatua milinganyo ya busara

    Tayari tumetatua equations linear ambayo ilikuwa na sehemu ndogo. Tulipata LCD ya vipande vyote katika equation na kisha kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD na “wazi” FRACTIONS.

    Hapa ni mfano tulifanya wakati tulifanya kazi na equations linear:

      . .
    Tuliongeza pande zote mbili na LCD. .  
    Kisha sisi kusambazwa. .  
    Sisi kurahisishwa-na kisha tulikuwa na equation na hakuna FRACTIONS. .  
    Hatimaye, sisi kutatuliwa kwamba equation. .  
      .  

    Tutatumia mkakati huo wa kutatua usawa wa busara. Tutazidisha pande zote mbili za equation na LCD. Kisha tutakuwa na equation ambayo haina maneno ya busara na hivyo ni rahisi sana kwetu kutatua.

    Lakini kwa sababu equation ya awali inaweza kuwa na variable katika denominator ni lazima tuwe makini kwamba hatuwezi kuishia na suluhisho ambayo ingefanya denominator sawa na sifuri.

    Hivyo kabla ya kuanza kutatua equation mantiki, sisi kuchunguza ni kwanza kupata maadili ambayo kufanya yoyote denominators sifuri. Kwa njia hiyo, tunapotatua usawa wa busara tutajua kama kuna ufumbuzi wowote wa algebraic tunapaswa kuacha.

    Suluhisho la algebraic kwa equation ya busara ambayo ingeweza kusababisha maneno yoyote ya busara kuwa haijulikani inaitwa suluhisho la nje.

    Ufafanuzi: Suluhisho la nje kwa usawa wa busara

    Suluhisho la nje kwa equation ya busara ni suluhisho la algebraic ambalo lingeweza kusababisha maneno yoyote katika equation ya awali kuwa haijulikani.

    Tunaona ufumbuzi wowote unaowezekana, c, kwa kuandika\(x \ne c\) next to the equation.

    Jinsi ya kutatua Equations na Maneno ya busara

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kutatua:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\).

    Jibu

    Picha hapo juu ina nguzo 3. Inaonyesha hatua za kupata suluhisho la nje kwa usawa wa busara kwa mfano 1 umegawanyika na x pamoja na theluthi moja sawa na tano na sita. Hatua ya kwanza ni kutambua thamani yoyote ya kutofautiana ambayo ingeweza kufanya denominator yoyote sifuri. Kama x sawa 0, basi mimi kugawanywa na x ni undefined. Hivyo tutaweza kuandika x kugawanywa sifuri karibu na equation kupata 1 kugawanywa na x plus moja ya tatu sawa na tano na sita mara x kugawanywa na sifuri.Hatua mbili ni kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. Pata LCD ya 1 imegawanywa na x moja ya tatu, na tano na sita. x ni 6 x.Hatua ya tatu ni kufuta sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. Kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD, 6 x kupata mara 6 1 kugawanywa na x pamoja na theluthi moja sawa 6 x mara tano sixths. Tumia Mali ya Kusambaza ili kupata mara 6 x 1 imegawanywa na x pamoja na mara 6 x moja ya tatu sawa na 6 x mara tano na sita. Kurahisisha - na taarifa, hakuna sehemu zaidi na tuna 6 plus 2 x sawa 5 x.Hatua ya 4 ni kutatua equation kusababisha. Kurahisisha kupata 6 sawa 3 x na 2 sawa x.Hatua ya 5 ni kuangalia. Ikiwa maadili yoyote yanayopatikana katika Hatua ya 1 ni ufumbuzi wa algebraic, uondoe. Angalia ufumbuzi wowote uliobaki katika usawa wa awali. Hatukupata 0 kama suluhisho la algebraic. Sisi badala x sawa 2 katika equation awali kupata nusu pamoja na theluthi moja sawa na tano na sita, kisha tatu na sita pamoja na mbili na sita sawa na tano na sita na hatimaye, tano na sita sawa na tano na sita.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kutatua:\(\frac{1}{y}+\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\).

    Jibu

    \(−\frac{15}{7}\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{x}\).

    Jibu

    \(\frac{15}{13}\)

    Hatua za njia hii zinaonyeshwa hapa chini.

    Ufafanuzi: KUTATUA milinganyo na maneno ya busara.
    1. Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri.
    2. Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation.
    3. Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD.
    4. Tatua equation inayosababisha.
    5. Angalia.
      • Ikiwa maadili yoyote yanayopatikana katika Hatua ya 1 ni ufumbuzi wa algebraic, uondoe.
      • Angalia ufumbuzi wowote uliobaki katika usawa wa awali.

    Sisi daima kuanza kwa kutambua maadili ambayo ingeweza kusababisha denominators yoyote kuwa sifuri.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Kutatua:\(1−\frac{5}{y}=−\frac{6}{y^2}\).

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni\(y^2\)  
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. .
    Kusambaza. .
    Kuzidisha. .
    Tatua equation inayosababisha. Kwanza kuandika equation quadratic katika fomu ya kawaida. .
    Factor. .
    Tumia mali ya Bidhaa ya Zero. .
    Kutatua. .
    Angalia.  
    Hatukupata 0 kama suluhisho la algebraic.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Kutatua:\(1−\frac{2}{a}=\frac{15}{a^2}\).

    Jibu

    5,1-3

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Kutatua:\(1−\frac{4}{b}=\frac{12}{b^2}\).

    Jibu

    6,2-2

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua:\(\frac{5}{3u−2}=\frac{3}{2u}\).

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni 2u (3u-1).  
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. .
    Ondoa mambo ya kawaida. .
    Kurahisisha. .
    Kuzidisha. .
    Tatua equation inayosababisha. .
    Hatukupata 0 au\(\frac{2}{3}\) kama ufumbuzi wa algebraic.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:\(\frac{1}{x−1}=\frac{2}{3x}\).

    Jibu

    -2

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(\frac{3}{5n+1}=\frac{2}{3n}\).

    Jibu

    -2

    Wakati mmoja wa denominators ni quadratic, kumbuka kuzingatia kwanza kupata LCD.

    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{p+2}+\frac{4}{p−2}=\frac{p−1}{p^2−4}\).

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni (p+2) (p-2).  
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. .
    Kusambaza. .
    Ondoa mambo ya kawaida. .
    Kurahisisha. .
    Kusambaza. .
    Kutatua. .
      .
      .
    Hatukupata 2 au -2 kama ufumbuzi wa algebraic.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x−1}=\frac{1}{x^2−1}\).

    Jibu

    \(\frac{2}{3}\)

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(\frac{5}{y+3}+\frac{2}{y−3}=\frac{5}{y^2−9}\)

    Jibu

    2

    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:\(\frac{4}{q−4}−\frac{3}{q−3}=1\).

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni (q-4) (q-1).  
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. .
    Kusambaza. .
    Ondoa mambo ya kawaida. .
    Kurahisisha. .
    Kurahisisha. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Kutatua. Kwanza kuandika kwa fomu ya kawaida. .
    Factor. .
    Tumia mali ya Bidhaa ya Zero. .
    Hatukupata 4 au 3 kama ufumbuzi wa algebraic.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{x+5}−\frac{1}{x−1}=1\).

    Jibu

    -1, -2

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Kutatua:\(\frac{3}{x+8}−\frac{2}{x−2}=1\).

    Jibu

    -2, -3

    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Kutatua:\(\frac{m+11}{m^2−5m+4}=\frac{5}{m−4}−\frac{3}{m−1}\).

    Jibu
      .
    Factor denominators wote, hivyo tunaweza kutambua thamani yoyote ya variable bila kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni (m-4) (m-1)  
    Futa sehemu ndogo. .
    Kusambaza. .
    Ondoa mambo ya kawaida. .
    Kurahisisha. .
    Tatua equation inayosababisha. .
      .
    Angalia. Suluhisho pekee la algebraic lilikuwa 4, lakini tulisema kuwa 4 ingefanya denominator sawa na sifuri. Suluhisho la algebraic ni suluhisho la nje. Hakuna ufumbuzi wa equation hii.  
    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Kutatua:\(\frac{x+13}{x^2−7x+10}=\frac{6}{x−5}−\frac{4}{x−2}\).

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Kutatua:\(\frac{y−14}{y^2+3y−4}=\frac{2}{y+4}+\frac{7}{y−1}\).

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Equation sisi kutatuliwa katika Mfano alikuwa moja tu algebraic ufumbuzi, lakini ilikuwa ufumbuzi extraneous. Hiyo kushoto yetu na hakuna ufumbuzi wa equation. Baadhi ya milinganyo hawana suluhisho.

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Kutatua:\(\frac{n}{12}+\frac{n+3}{3n}=\frac{1}{n}\).

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation. LCD ni 12n.  
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD. .
    Kusambaza. .
    Ondoa mambo ya kawaida. .
    Kurahisisha. .
    Tatua equation inayosababisha. .
      .
      .
      .
    Angalia.  
    n=0 ni suluhisho la nje.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Kutatua:\(\frac{x}{18}+\frac{x+6}{9x}=\frac{2}{3x}\).

    Jibu

    -2

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Kutatua:\(\frac{y+5}{5y}+\frac{y}{15}=\frac{1}{y}\).

    Jibu

    1-3

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Kutatua:\(\frac{y}{y+6}=\frac{72}{y^2−36}+4\).

    Jibu
      .
    Factor denominators wote, hivyo tunaweza kutambua thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Kupata denominator angalau kawaida. LCD ni (y-6) (y+6).  
    Futa sehemu ndogo. .
    Kurahisisha. .
    Kurahisisha. .
    Tatua equation inayosababisha. .
      .
      .
      .
      .
    Angalia.  
    y=-6 ni suluhisho la nje.  
    .  
    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Kutatua:\(\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2−16}+5\).

    Jibu

    -4, 3

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Kutatua:\(\frac{y}{y+8}=\frac{128}{y^2−64}+9\).

    Jibu

    7

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Kutatua:\(\frac{x}{2x−2}−\frac{2}{3x+3}=\frac{5x^2−2x+9}{12x^2−12}\).

    Jibu
      .
    Tutaanza kwa kuzingatia madhehebu yote, ili iwe rahisi kutambua ufumbuzi wa nje na LCD. .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Pata denominator ya kawaida ya.LCD ni 12 (x-1) (x+1)
    Futa sehemu ndogo. .
    Kurahisisha. .
    Kurahisisha. .
    Tatua equation inayosababisha. .
      .
      .
      .
    Angalia.  
    x=1 na x=-1 ni ufumbuzi wa nje.
    Equation haina ufumbuzi.    		  
    Mfano\(\PageIndex{26}\)

    Kutatua:\(\frac{y}{5y−10}−\frac{5}{3y+6}=\frac{2y^2−19y+54}{15y^2−60}\).

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Mfano\(\PageIndex{27}\)

    Kutatua:\(\frac{z^2}{z+8}−\frac{3}{4z−8}=\frac{3z^2−16z−68}{z^2+8z−64}\).

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Tatua Equation ya Mantiki kwa Variable Maalum

    Tulipotatua equations linear, tulijifunza jinsi ya kutatua formula kwa variable maalum. Fomula nyingi zinazotumiwa katika biashara, sayansi, uchumi, na nyanja nyingine hutumia milinganyo ya busara kuiga mfano wa uhusiano kati ya vigezo viwili au zaidi. Sasa tutaona jinsi ya kutatua equation ya busara kwa kutofautiana maalum.

    Tutaanza na formula zinazohusiana umbali, kiwango, na wakati. Tumetumia mara nyingi kabla, lakini si kawaida katika fomu hii.

    Mfano\(\PageIndex{28}\)

    Tatua:\(\frac{D}{T}=R\) kwa T.

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equations na LCD, T. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya pande zote mbili na R ili kutenganisha T. .
    Kurahisisha. .
    Mfano\(\PageIndex{29}\)

    Tatua:\(\frac{A}{L}=W\) kwa L.

    Jibu

    \(L=\frac{A}{W}\)

    Mfano\(\PageIndex{30}\)

    Kutatua:\(\frac{F}{A}=M\) kwa A.

    Jibu

    \(A=\frac{F}{M}\)

    Mfano hutumia formula kwa mteremko ambao tulikuwa tukipata fomu ya mteremko wa equation ya mstari.

    Mfano\(\PageIndex{31}\)

    Tatua:\(m=\frac{x−2}{y−3}\) kwa y.

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equations na LCD, y-3. .
    Kurahisisha. .
    Sulua neno na y. .
    Gawanya pande zote mbili na m ili kutenganisha y. .
    Kurahisisha. .
    Mfano\(\PageIndex{32}\)

    Tatua:\(\frac{y−2}{x+1}=\frac{2}{3}\) kwa x.

    Jibu

    \(x=\frac{3y−8}{2}\)

    Mfano\(\PageIndex{33}\)

    Tatua:\(x=\frac{y}{1−y}\) kwa y.

    Jibu

    \(y=\frac{x}{1+x}\)

    Hakikisha kufuata hatua zote katika Mfano. Inaweza kuonekana kama formula rahisi sana, lakini hatuwezi kuitatua mara moja kwa denominator ama.

    Mfano\(\PageIndex{34}\)

    Tatua\(\frac{1}{c}+\frac{1}{m}=1\) kwa c.

    Jibu
      .
    Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri. .
    Wazi FRACTIONS kwa kuzidisha pande zote mbili za equations na LCD, cm .
    Kusambaza. .
    Kurahisisha. .
    Kukusanya maneno na c na haki. .
    Factor kujieleza juu ya haki. .
    Ili kutenganisha c, kugawanya pande zote mbili na m-1. .
    Kurahisisha kwa kuondoa mambo ya kawaida. .

    Kumbuka kwamba hata kama sisi kutengwa c = 0 na m = 0 kutoka equation awali, ni lazima pia sasa hali ya kwamba\(m \ne 1\).

    Mfano\(\PageIndex{35}\)

    kutatua:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=c\) kwa.

    Jibu

    \(a=\frac{b}{cb−1}\)

    Mfano\(\PageIndex{36}\)

    Tatua:\(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y}\) kwa y.

    Jibu

    \(y=\frac{3x}{6+x}\)

    Dhana muhimu

    • Mkakati wa Kutatua Equations na Maneno ya busara
      1. Kumbuka thamani yoyote ya variable ambayo kufanya yoyote denominator sifuri.
      2. Kupata denominator angalau ya kawaida ya denominators wote katika equation.
      3. Futa sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD.
      4. Tatua equation inayosababisha.
      5. Angalia.
      • Ikiwa maadili yoyote yanayopatikana katika Hatua ya 1 ni ufumbuzi wa algebraic, uondoe.
      • Angalia ufumbuzi wowote uliobaki katika usawa wa awali.

    faharasa

    usawa wa busara
    Equation ya busara ni maneno mawili ya busara yanayounganishwa na ishara sawa.
    ufumbuzi wa nje kwa equation ya busara
    Suluhisho la nje kwa equation ya busara ni suluhisho la algebraic ambalo lingeweza kusababisha maneno yoyote katika equation ya awali kuwa haijulikani.