# 7.1: Sababu kubwa ya kawaida na Sababu kwa Kundi

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Pata sababu kubwa ya kawaida ya maneno mawili au zaidi
• Sababu kubwa ya kawaida sababu kutoka polynomial
• Sababu kwa kikundi
##### KUWA TAYARI

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Factor 56 katika primes.
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.2.19.
2. Kupata angalau ya kawaida nyingi ya 18 na 24.
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.2.28.
3. Kurahisisha$$−3(6a+11)$$.
Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 1.10.40.

## Pata sababu kubwa ya kawaida ya maneno mawili au Zaidi

Mapema tuliongeza mambo pamoja ili kupata bidhaa. Sasa, tutabadilisha mchakato huu; tutaanza na bidhaa na kisha kuivunja ndani ya mambo yake. Kugawanyika bidhaa katika mambo inaitwa factoring.

Tumejifunza jinsi ya kuhesabu namba ili kupata angalau ya kawaida (LCM) ya namba mbili au zaidi. Sasa tutazingatia maneno na kupata sababu kubwa ya kawaida ya maneno mawili au zaidi. Njia tunayotumia ni sawa na kile tulichotumia kupata LCM.

##### SABABU KUBWA YA KAWAIDA

Sababu kubwa zaidi ya kawaida (GCF) ya maneno mawili au zaidi ni usemi mkubwa ambao ni sababu ya maneno yote.

Kwanza tutaweza kupata GCF ya namba mbili.

##### Zoezi$$\PageIndex{1}$$: HOW TO FIND THE GREATEST COMMON FACTOR OF TWO OR MORE EXPRESSIONS

Kupata GCF ya 54 na 36.

Jibu

Kumbuka kwamba, kwa sababu GCF ni sababu ya namba zote mbili, 54 na 36 zinaweza kuandikwa kama wingi wa 18.

$\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}$

##### Zoezi$$\PageIndex{2}$$

Kupata GCF ya 48 na 80.

Jibu

16

##### Zoezi$$\PageIndex{3}$$

Kupata GCF ya 18 na 40.

Jibu

2

Tunafupisha hatua tunazotumia ili kupata GCF hapa chini.

##### JINSI YA

Kupata Greatest Common Factor (GCF) ya maneno mawili.

1. Hatua ya 1. Factor kila mgawo katika primes. Andika vigezo vyote na vielelezo katika fomu iliyopanuliwa.
2. Hatua ya 2. Orodha ya mambo yote-vinavyolingana mambo ya kawaida katika safu. Katika kila safu, duru mambo ya kawaida.
3. Hatua ya 3. Kuleta mambo ya kawaida ambayo maneno yote hushiriki.
4. Hatua ya 4. Panua mambo.

Katika mfano wa kwanza, GCF ilikuwa mara kwa mara. Katika mifano miwili ijayo, tutapata vigezo katika sababu kubwa ya kawaida.

##### Zoezi$$\PageIndex{4}$$

Kupata kubwa ya kawaida sababu ya$$27x^3$$ na$$18x^4$$.

Jibu
 Factor kila mgawo katika primes na kuandika vigezo na exponents katika fomu kupanua. Circle mambo ya kawaida katika kila safu. Kuleta mambo ya kawaida. Panua mambo. GCF ya 27$$x^{3}$$ na 18$$x^{4}$$ ni 9$$x^{3}$$.
##### Zoezi$$\PageIndex{5}$$

Pata GCF:$$12 x^{2}, 18 x^{3}$$

Jibu

$$6x^2$$

##### Zoezi$$\PageIndex{6}$$

Pata GCF:$$16 y^{2}, 24 y^{3}$$

Jibu

$$8y^2$$

##### Zoezi$$\PageIndex{7}$$

Kupata GCF ya$$4 x^{2} y, 6 x y^{3}$$

Jibu
 Factor kila mgawo katika primes na kuandika vigezo na exponents katika fomu kupanua. Circle mambo ya kawaida katika kila safu. Kuleta mambo ya kawaida. Panua mambo. GCF ya 4$$x^{2} y$$ na 6$$x y^{3}$$ ni 2$$x y .$$
##### Zoezi$$\PageIndex{8}$$

Pata GCF:$$6 a b^{4}, 8 a^{2} b$$

Jibu

$$2ab$$

##### Zoezi$$\PageIndex{9}$$

Pata GCF:$$9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n$$

Jibu

$$3m^3 n$$

##### Zoezi$$\PageIndex{10}$$

Kupata GCF ya:$$21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x$$

Jibu
 Factor kila mgawo katika primes na kuandika vigezo na exponents katika fomu kupanua. Circle mambo ya kawaida katika kila safu. Kuleta mambo ya kawaida. Panua mambo. GCF ya$$21 x^{3}, 9 x^{2}$$ na 15$$x$$ ni 3$$x$$
##### Zoezi$$\PageIndex{11}$$

Pata sababu kubwa zaidi ya kawaida:$$25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}$$

Jibu

$$5m^2$$

##### Zoezi$$\PageIndex{12}$$

Pata sababu kubwa zaidi ya kawaida:$$14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x$$

Jibu

$$7x$$

## Sababu ya Sababu kuu ya kawaida kutoka kwa Polynomial

Kama ilivyo katika hesabu, ambapo wakati mwingine ni muhimu kuwakilisha idadi katika fomu factored (kwa mfano, 12 kama 2·6au3·4), 2·6au 3·4), katika algebra, inaweza kuwa na manufaa kuwakilisha polynomial katika fomu factored. Njia moja ya kufanya hivyo ni kwa kutafuta GCF ya masharti yote. Kumbuka, tunazidisha polynomial na monomial kama ifuatavyo:

$\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}$

Sasa tutaanza na bidhaa, kama$$2 x+14$$, na kuishia na mambo yake, 2$$(x+7)$$. Ili kufanya hivyo tunatumia Mali ya Usambazaji “kwa reverse.”

Tunasema Mali ya Usambazaji hapa kama ulivyoiona katika sura za awali na “kinyume chake.”

##### MALI YA KUSAMBAZA

Ikiwa$$a,b,c$$ ni idadi halisi, basi

$a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)$

Fomu upande wa kushoto hutumiwa kuzidi. Fomu ya haki hutumiwa kuzingatia.

Kwa hiyo unatumiaje Mali ya Distributive kwa sababu ya polynomial? Wewe tu kupata GCF ya maneno yote na kuandika polynomial kama bidhaa!

##### Zoezi$$\PageIndex{13}$$: HOW TO FACTOR THE GREATEST COMMON FACTOR FROM A POLYNOMIAL

Sababu:$$4 x+12$$

Jibu

##### Zoezi$$\PageIndex{14}$$

Sababu:$$6 a+24$$

Jibu

$$6(a+4)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{15}$$

Sababu:$$2 b+14$$

Jibu

$$2(b+7)$$

##### JINSI YA

Sababu ya sababu kubwa zaidi kutoka kwa polynomial.

Hatua ya 1. Pata GCF ya masharti yote ya polynomial.

Hatua ya 2. Andika upya kila neno kama bidhaa kwa kutumia GCF.

Hatua ya 3. Tumia “reverse” Mali ya Distributive kwa sababu ya kujieleza.

Hatua ya 4. Angalia kwa kuzidisha mambo.

##### SABABU KAMA NOMINO NA KITENZI

Tunatumia “factor” kama nomino na kitenzi.

##### Zoezi$$\PageIndex{16}$$

Sababu:$$5 a+5$$

Jibu
 Kupata GCF ya 5 a na 5. Andika upya kila neno kama bidhaa kwa kutumia GCF. Tumia Mali ya Distributive “kwa reverse” ili kuzingatia GCF. Angalia kwa kuzidisha mambo ya kupata polynomial ya awali. 5$$(a+1)$$ $$5 \cdot a+5 \cdot 1$$ $$5 a+5 \checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{17}$$

Sababu:$$14 x+14$$

Jibu

$$14(x+1)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{18}$$

Sababu:$$12 p+12$$

Jibu

$$12(p+1)$$

Maneno katika mfano unaofuata yana mambo kadhaa kwa pamoja. Kumbuka kuandika GCF kama bidhaa ya mambo yote ya kawaida.

##### Zoezi$$\PageIndex{19}$$

Sababu:$$12 x-60$$

Jibu
 Kupata GCF ya 12 x na 60. Andika upya kila neno kama bidhaa kwa kutumia GCF. Sababu ya GCF. Angalia kwa kuzidisha mambo. 12 (x-5) $$12 \cdot x-12 \cdot 5$$ $$12 x-60 \checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{20}$$

Sababu:$$18 u-36$$

Jibu

$$8(u-2)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{21}$$

Sababu:$$30 y-60$$

Jibu

$$30(y-2)$$

Sasa tutazingatia sababu kubwa zaidi kutoka kwa trinomial. Tunaanza kwa kutafuta GCF ya masharti yote matatu.

##### Zoezi$$\PageIndex{22}$$

Sababu:$$4 y^{2}+24 y+28$$

Jibu

Tunaanza kwa kutafuta GCF ya masharti yote matatu.

 Kupata GCF ya$$4 y^{2}, 24 y$$ na 28 Andika upya kila neno kama bidhaa kwa kutumia GCF. Sababu ya GCF. Angalia kwa kuzidisha. 4$$\left(y^{2}+6 y+7\right)$$ $$4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7$$ $$4 y^{2}+24 y+28 \checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{23}$$

Sababu:$$5 x^{2}-25 x+15$$

Jibu

$$5\left(x^{2}-5 x+3\right)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{24}$$

Sababu:$$3 y^{2}-12 y+27$$

Jibu

$$3\left(y^{2}-4 y+9\right)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{25}$$

Sababu:$$5 x^{3}-25 x^{2}$$

Jibu
 Kupata GCF ya 5$$x^{3}$$ na 25$$x^{2}$$ Andika upya kila neno. Sababu ya GCF. Angalia. 5$$x^{2}(x-5)$$ $$5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5$$ $$5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{26}$$

Sababu:$$2 x^{3}+12 x^{2}$$

Jibu

$$2x^2(x+6)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{27}$$

Sababu:$$6 y^{3}-15 y^{2}$$

Jibu

$$3y^2(2y-5)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{28}$$

Sababu:$$21 x^{3}-9 x^{2}+15 x$$

Jibu

Katika mfano uliopita tuligundua GCF$$21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x$$ ya kuwa 3$$x$$.

 Andika upya kila neno kwa kutumia GCF, 3 x. Sababu ya GCF. Angalia. 3$$x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)$$ $$3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5$$ $$21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{29}$$

Sababu:$$20 x^{3}-10 x^{2}+14 x$$

Jibu

$$2x(10x^2-5x+7)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{30}$$

Sababu:$$24 y^{3}-12 y^{2}-20 y$$

Jibu

$$4y(6y^2-3y-5)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{31}$$

Sababu:$$8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}$$

Jibu
 Kupata GCF ya$$8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}$$ Andika upya kila neno. Sababu ya GCF. Angalia. 4$$m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)$$ $$4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}$$ $$8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{32}$$

Sababu:$$9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}$$

Jibu

$$3y^2(3x+2x^2+7y)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{33}$$

Sababu:$$3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}$$

Jibu

$$3p(p^2-2pq+3q^2$$

Wakati mgawo wa kuongoza ni hasi, tunaona hasi nje kama sehemu ya GCF.

##### Zoezi$$\PageIndex{34}$$

Sababu:$$-8 y-24$$

Jibu

Wakati mgawo wa kuongoza ni hasi, GCF itakuwa hasi.

 Kupuuza ishara za maneno, sisi kwanza kupata GCF ya 8 y na 24 ni 8. Kwa kuwa maneno -8 y - 24 ina mgawo wa kuongoza hasi, tunatumia -8 kama GCF. Andika upya kila neno kwa kutumia GCF. Sababu ya GCF. Angalia. $$-8(y+3)$$ $$-8 \cdot y+(-8) \cdot 3$$ $$-8 y-24 \checkmark$$
##### Zoezi$$\PageIndex{35}$$

Sababu:$$-16 z-64$$

Jibu

$$-16(z+4)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{36}$$

Sababu:$$-9 y-27$$

Jibu

$$-9(y+3)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{37}$$

Sababu:$$-6 a^{2}+36 a$$

Jibu

Mgawo wa kuongoza ni hasi, hivyo GCF itakuwa hasi.

 Kwa kuwa mgawo wa kuongoza ni hasi, GCF ni hasi, -6 a. Andika upya kila neno kwa kutumia GCF. Sababu ya GCF. Angalia. $$-6 a(a-6)$$ $$-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)$$ $$-6 a^{2}+36 a v$$
##### Zoezi$$\PageIndex{38}$$

Sababu:$$-4 b^{2}+16 b$$

Jibu

$$-4b(b-4)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{39}$$

Sababu:$$-7 a^{2}+21 a$$

Jibu

$$-7a(a-3)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{40}$$

Sababu:$$5 q(q+7)-6(q+7)$$

Jibu

GCF ni binomial q+7.

 Sababu ya GCF, (q + 7). Angalia mwenyewe kwa kuzidisha.
##### Zoezi$$\PageIndex{41}$$

Sababu:$$4 m(m+3)-7(m+3)$$

Jibu

$$(m+3)(4m-7)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{42}$$

Sababu:$$8 n(n-4)+5(n-4)$$

Jibu

$$(n-4)(8n+5)$$

## Kipengele kwa Kundi

Wakati hakuna sababu ya kawaida ya maneno yote ya polynomial, angalia jambo la kawaida katika baadhi tu ya maneno. Wakati kuna maneno manne, njia nzuri ya kuanza ni kwa kutenganisha polynomial katika sehemu mbili na maneno mawili katika kila sehemu. Kisha angalia GCF katika kila sehemu. Ikiwa polynomial inaweza kuzingatiwa, utapata sababu ya kawaida inatoka kutoka sehemu zote mbili.

(Si wote polynomials inaweza kuwa sababu. Kama vile idadi fulani ni mkuu, baadhi ya polynomials ni mkuu.)

##### Zoezi$$\PageIndex{43}$$

Sababu:$$x y+3 y+2 x+6$$

Jibu

##### Zoezi$$\PageIndex{44}$$

Sababu:$$x y+8 y+3 x+24$$

Jibu

$$(x+8)(y+3)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{45}$$

Sababu:$$a b+7 b+8 a+56$$

Jibu

$$(a+7)(b+8)$$

##### JINSI YA

Sababu kwa kikundi.

Hatua ya 1. Masharti ya kikundi na mambo ya kawaida.

Hatua ya 2. Factor nje sababu ya kawaida katika kila kikundi.

Hatua ya 3. Fanya sababu ya kawaida kutoka kwa maneno.

Hatua ya 4. Angalia kwa kuzidisha mambo.

##### Zoezi$$\PageIndex{46}$$

Sababu:$$x^{2}+3 x-2 x-6$$

Jibu

$$\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}$$

##### Zoezi$$\PageIndex{47}$$

Sababu:$$x^{2}+2 x-5 x-10$$

Jibu

$$(x-5)(x+2)$$

##### Zoezi$$\PageIndex{48}$$

Sababu:$$y^{2}+4 y-7 y-28$$

Jibu

$$(y+4)(y-7)$$

##### VYOMBO VYA HABARI KUPATA RASILIMALI

Kupata rasilimali hizi online kwa mafundisho ya ziada na mazoezi na sababu kubwa ya kawaida (GFCs) na factoring kwa kambi.

• Sababu kubwa ya kawaida (GCF)
• Factoring Kati GCF ya Binomial
• Sababu kubwa ya kawaida (GCF) ya Polynomials

## faharasa

kuchanganua
Kuzingatia ni kugawanya bidhaa katika mambo; kwa maneno mengine, ni mchakato wa reverse wa kuzidisha.
sababu kubwa ya kawaida
Sababu kubwa ya kawaida ni kujieleza kubwa ambayo ni sababu ya maneno mawili au zaidi ni sababu kubwa ya kawaida (GCF).