Skip to main content
Global

6.3: Kuzidisha Polynomials

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177837

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Kuzidisha polynomial na monomial
    • Panua binomial kwa binomial
    • Panua trinomial na binomial
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kusambaza:\(2(x+3)\).
      Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 1.10.31.
    2. Kuchanganya kama maneno:\(x^{2}+9x+7x+63\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.3.37.

    Kuzidisha Polynomial na Monomial

    Tumetumia Mali Distributive kurahisisha maneno kama\(2(x−3)\). Wewe kuzidisha maneno yote katika mabano\(3\),\(x\) na\(2\), na, kupata\(2x−6\). Kwa msamiati mpya wa sura hii, unaweza kusema ulikuwa unazidisha binomial\(x−3\), kwa monomial,\(2\).

    Kuzidisha binomial kwa monomial si kitu kipya kwako! Hapa ni mfano:

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Kuzidisha:\(4(x+3)\).

    Jibu
      4 mara x pamoja 3. Mishale miwili inapanua kutoka 4, ikitoa saa x na 3.
    Kusambaza. \(4 \cdot x+4 \cdot 3\)
    Kurahisisha. \(4 x+12\)
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kuzidisha:\(5(x+7)\).

    Jibu

    5x+35

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kuzidisha:\(3(y+13)\).

    Jibu

    3y+39

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Panua: y (y-2).

    Jibu
      y mara y minus 2. Mishale miwili hupanua kutoka kwa mgawo y, kukomesha kwa y na chini ya 2 katika mabano.
    Kusambaza. \(y \cdot y-y \cdot 2\)
    Kurahisisha. \(y^{2}-2 y\)
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kuzidisha:\(x(x−7)\).

    Jibu

    \(x^{2}-7 x\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Kuzidisha:\(d(d−11)\).

    Jibu

    \(d^{2}-11d\)

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kuzidisha:\(7x(2 x+y)\)

    Jibu
      7 x mara 2 x pamoja y. mishale miwili kupanua kutoka 7x, kuishia saa 2x na y.
    Kusambaza. 7 x mara 2 x pamoja 7 x mara y.
    Kurahisisha. 14 x mraba pamoja na 7 x y.
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kuzidisha:\(5x(x+4 y)\)

    Jibu

    \(5 x^{2}+20 x y\)

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kuzidisha:\(2p(6 p+r)\)

    Jibu

    \(12 p^{2}+2 p r\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kuzidisha:\(-2 y\left(4 y^{2}+3 y-5\right)\)

    Jibu
      Hasi 2 y mara 4 y mraba pamoja na 3 y minus 5. Mishale mitatu hupanua kutoka kwa hasi 2 y, kukomesha saa 4 y mraba, 3 y, na chini ya 5.
    Kusambaza. Hasi 2 y mara 4 y squared pamoja na hasi 2 y mara 3 y minus hasi 2 y mara 5.
    Kurahisisha. Hasi 8 y cubed minus 6 y mraba pamoja na 10 y.
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kuzidisha:\(-3 y\left(5 y^{2}+8 y-7\right)\)

    Jibu

    \(-15 y^{3}-24 y^{2}+21 y\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kuzidisha:\(4x^{2}\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Jibu

    \(8 x^{4}-24 x^{3}+20 x^{2}\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kuzidisha:\(2x^{3}\left(x^{2}-8 x+1\right)\)

    Jibu
      2 x mara cubed x mraba minus 8 x pamoja 1. Mishale mitatu hupanua kutoka kwa 2 x cubed, ikitoa saa x mraba, bala 8 x, na 1.
    Kusambaza. \(2 x^{3} \cdot x^{2}+\left(2 x^{3}\right) \cdot(-8 x)+\left(2 x^{3}\right) \cdot 1\)
    Kurahisisha. \(2 x^{5}-16 x^{4}+2 x^{3}\)
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kuzidisha: 4\(x\left(3 x^{2}-5 x+3\right)\)

    Jibu

    \(12 x^{3}-20 x^{2}+12 x\)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kuzidisha:\(-6 a^{3}\left(3 a^{2}-2 a+6\right)\)

    Jibu

    \(-18 a^{5}+12 a^{4}-36 a^{3}\)

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Kuzidisha:\((x+3) p\)

    Jibu
    Monomial ni sababu ya pili. x pamoja na 3, katika mabano, mara p. mishale miwili kupanua kutoka p, kuishia katika x na 3.
    Kusambaza. \(x \cdot p+3 \cdot p\)
    Kurahisisha. \ (\ x p+3 p)
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Kuzidisha:\((x+8) p\)

    Jibu

    \(x p+8 p\)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Kuzidisha:\((a+4) p\)

    Jibu

    \(a p+4 p\)

    Kuzidisha Binomial na Binomial

    Kama kuna njia tofauti za kuwakilisha kuzidisha kwa idadi, kuna mbinu kadhaa ambazo zinaweza kutumika kuzidisha mara binomial binomial. Tutaanza kwa kutumia Mali ya Usambazaji.

    Kuzidisha Binomial kwa Binomial Kutumia Mali ya Usambazaji

    Angalia Zoezi\(\PageIndex{16}\), ambapo tuliongeza binomial na monomial.

    Maelekezo Ufafanuzi
    Kuanzia Maneno x pamoja na 3, katika mabano, mara p. mishale miwili kupanua kutoka p, kuishia katika x na 3.
    Sisi kusambazwa\(p\) ili kupata: x p pamoja na 3 p.
    Nini kama tuna\((x + 7)\) badala ya\(p\)? x plus 3 tele kwa x pamoja 7. Mishale miwili kupanua kutoka x plus 7, kukomesha katika x na 3 katika binomial kwanza.
    Kusambaza\((x + 7)\). Jumla ya bidhaa mbili. Bidhaa ya x na x pamoja na 7, pamoja na bidhaa ya 3 na x pamoja na 7.
    Kusambaza tena. \(x^{2}+7 x+3 x+21\)
    Kuchanganya kama maneno. \(x^{2}+10 x+21\)

    Angalia kwamba kabla ya kuchanganya maneno kama hayo, ulikuwa na maneno manne. Umeongeza maneno mawili ya binomial ya kwanza kwa masharti mawili ya pili ya binomial - nne kuzidisha.

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Kuzidisha:\((y+5)(y+8)\)

    Jibu
      Bidhaa ya binomials mbili, y pamoja na 5 na y pamoja na 8. Mishale miwili inapanua kutoka y pamoja na 8, kukomesha kwa y na 5 katika binomial ya kwanza.
    Kusambaza (y + 8). Jumla ya bidhaa mbili, bidhaa ya y na y pamoja na 8, pamoja na bidhaa ya 5 na y pamoja na 8.
    Kusambaza tena \(y^{2}+8 y+5 y+40\)
    Kuchanganya kama maneno. \ (\ y^ {2} +13 y+40)
    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Kuzidisha:\((x+8)(x+9)\)

    Jibu

    \(x^{2}+17 x+72\)

    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Kuzidisha:\((5 x+9)(4 x+3)\)

    Jibu

    \(20 x^{2}+51 x+27\)

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Kuzidisha:\((2 y+5)(3 y+4)\)

    Jibu
      Bidhaa ya binomials mbili, 2 y pamoja na 5 na 3 y pamoja na 4. Mishale miwili inapanua kutoka 3y pamoja na 4, kukomesha saa 2y na 5 katika binomial ya kwanza.
    Kusambaza (3 y + 4). Jumla ya bidhaa mbili, bidhaa ya 2 y na 3 y pamoja na 4, pamoja na bidhaa ya 5 na 3 y pamoja na 4.
    Kusambaza tena \(6 y^{2}+8 y+15 y+20\)
    Kuchanganya kama maneno. \(6 y^{2}+23 y+20\)
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Kuzidisha:\((3 b+5)(4 b+6)\)

    Jibu

    \(12 b^{2}+38 b+30\)

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Kuzidisha:\((a+10)(a+7)\)

    Jibu

    \(a^{2}+17 a+70\)

    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Kuzidisha:\((4 y+3)(2 y-5)\)

    Jibu
      Mfano 6.36.jpg
    Kusambaza. Jumla ya bidhaa mbili, bidhaa ya 4y na 2y minus 5, pamoja na bidhaa ya 3 na 2y minus 5.
    Kusambaza tena. \(8 y^{2}-20 y+6 y-15\)
    Kuchanganya kama maneno. \(8 y^{2}-14 y-15\)
    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Kuzidisha:\((5 y+2)(6 y-3)\)

    Jibu

    \(30 y^{2}-3 y-6\)

    Zoezi\(\PageIndex{27}\)

    Kuzidisha:\((3 c+4)(5 c-2)\)

    Jibu

    \(15 c^{2}+14 c-8\)

    Zoezi\(\PageIndex{28}\)

    Kuzidisha:\((x-2)(x-y)\)

    Jibu
      Bidhaa ya binomials mbili, x minus 2 na x minus y. mishale miwili kupanua kutoka x minus y, kuishia katika x na 2 katika binomial kwanza.
    Kusambaza. Tofauti ya bidhaa mbili. Bidhaa ya x na x minus 7, punguza bidhaa ya 2 na x minus y.
    Kusambaza tena. \(x^{2}-x y-2 x+2 y\)
    Hakuna maneno kama hayo ya kuchanganya.  
    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Kuzidisha:\((a+7)(a-b)\)

    Jibu

    \(a^{2}-a b+7 a-7 b\)

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Kuzidisha:\((x+5)(x-y)\)

    Jibu

    \(x^{2}-x y+5 x-5 y\)

    Panua Binomial kwa Binomial Kutumia Njia ya FOIL

    Kumbuka kwamba unapozidisha binomial kwa binomial unapata maneno manne. Wakati mwingine unaweza kuchanganya kama maneno ya kupata trinomial, lakini wakati mwingine, kama katika Zoezi\(\PageIndex{28}\), hakuna maneno kama ya kuchanganya.

    Hebu tuangalie mfano wa mwisho tena na uangalie hasa jinsi tulivyopata masharti manne.

    \[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y}\end{array} \nonumber\]

    Je, muda wa kwanza\(x^{2}\), unatoka wapi?

    Takwimu hii inaelezea jinsi ya kuzidisha binomial kwa kutumia njia ya FOIL. Ina nguzo mbili, na maelekezo yaliyoandikwa upande wa kushoto na hisabati upande wa kulia. Juu ya takwimu, maandishi katika safu ya kushoto inasema “Ni bidhaa ya x na x, maneno ya kwanza katika x minus 2 na x minus y.” Katika safu ya kulia ni bidhaa ya x minus 2 na x minus y. mshale inaenea kutoka x katika x minus 2, na huisha katika x katika x minus y Chini ya neno “Kwanza.” Mstari mmoja chini, maandishi katika safu ya kushoto inasema “Masharti yafuatayo, xy hasi, ni bidhaa ya x na hasi y, maneno mawili ya nje.” Katika safu ya kulia ni bidhaa ya x minus 2 na x minus y, na mshale mwingine kupanua kutoka x katika x minus 2 kwa y katika x minus y.Chini hii ni neno “Nje.” Mstari mmoja chini, maandishi katika safu ya kushoto inasema “Muda wa tatu, hasi 2 x, ni bidhaa ya hasi 2 na x, maneno mawili ya ndani.” Katika safu ya kulia ni bidhaa ya x minus 2 na x minus y na mshale wa tatu kupanua kutoka minus 2 katika x minus 2 na kukomesha saa x katika x minus y Chini hii ni neno “Ndani.” Katika mstari wa mwisho, maandiko katika safu ya kushoto inasema “Na muda wa mwisho, pamoja na 2y, ulikuja kutokana na kuzidisha maneno mawili ya mwisho, hasi 2 na hasi y.” Katika safu ya kulia ni bidhaa ya x minus 2 na x minus y, na mshale wa nne kupanua kutoka minus 2 katika x minus 2 kwa minus y katika x minus y Chini hii ni neno “Mwisho.”

    Tunafupisha “Kwanza, Nje, Ndani, Mwisho” kama FOIL. Barua zinasimama kwa 'F kwanza, O uter, I ndani, L ast'. Neno FOIL ni rahisi kukumbuka na kuhakikisha tunapata bidhaa zote nne.

    \[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y} \\ {F \qquad O\qquad I\qquad L}\end{array}\]

    Hebu tuangalie (x+3) (x+7).

    Mali ya Kusambaza JARIBOSI
    Bidhaa ya x plus 3 na x plus 7. bidhaa ya x plus 3 na x pamoja y. mshale inaenea kutoka x katika x pamoja 3 kwa x katika x plus 7. mshale wa pili hadi kutoka x katika x pamoja 3 kwa 7 katika x plus 7. mshale wa tatu hadi kutoka 3 katika x pamoja 3 kwa x katika x plus 7. mshale wa nne hadi kutoka 3 katika x pamoja 3 kwa 7 katika x plus 7.
    Jumla ya bidhaa mbili, bidhaa ya x na x plus 7, na bidhaa ya 3 na x plus 7.  
    x mraba pamoja 7 x pamoja 3 x pamoja 21. Chini x squared ni barua F, chini ya 7 x ni barua O, chini ya 3 x ni barua I, na chini ya 21 ni barua L, spelling FOIL. x mraba pamoja 7 x pamoja 3 x pamoja 21. Chini x squared ni barua F, chini ya 7 x ni barua O, chini ya 3 x ni barua I, na chini ya 21 ni barua L, spelling FOIL.
    x mraba pamoja 10 x pamoja 21. \(x^{2}+10 x+21\)

    Angalia jinsi maneno katika mstari wa tatu yanafaa muundo wa FOIL.

    Sasa tutafanya mfano ambapo tunatumia muundo wa FOIL ili kuzidisha binomials mbili.

    Zoezi\(\PageIndex{31}\): How to Multiply a Binomial by a Binomial using the FOIL Method

    Panua kutumia njia ya FOIL:\((x+5)(x+9)\)

    Jibu

    Takwimu hii ni meza ambayo ina nguzo tatu na safu tano. Safu ya kwanza ni safu ya kichwa, na ina majina na namba za kila hatua. Nguzo ya pili na ya tatu ina hesabu. Kwenye mstari wa juu wa meza, kiini cha kwanza upande wa kushoto kinasoma “Hatua ya 1. Ongeza maneno ya kwanza.” Safu ya pili ina bidhaa za binomials x plus 5 na x plus 9. Chini hii ni bidhaa ya x pamoja na 5 na x pamoja na 9 tena, na mshale unaoenea kutoka x katika binomial ya kwanza hadi x katika binomial ya pili. Safu ya tatu ina x mraba pamoja na tupu pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya mraba x ni barua F, na chini ya kila safu tatu ni barua O, I, na L, kwa mtiririko huo.
    Katika mstari wa pili, kiini cha kwanza kinasoma “Hatua ya 2. Ongeza maneno ya nje.” Katika kiini cha pili ni bidhaa ya x pamoja na 5 na x pamoja na 9 tena, na mshale unaoenea kutoka x katika binomial ya kwanza hadi 9 katika binomial ya pili. Kiini cha tatu kina x mraba pamoja na 9x pamoja na tupu tupu, na barua F chini ya x squared, O chini ya 9x, na mimi na L chini ya vifungo viwili.
    Katika mstari wa tatu, kiini cha kwanza kinasoma “Hatua ya 3. Kuzidisha maneno ya ndani.” Kiini cha pili kina bidhaa ya x pamoja na 5 na x pamoja na 9 tena, na mshale unaoenea kutoka 5 katika binomial ya kwanza hadi x katika binomial ya pili. Kiini cha tatu kina x mraba pamoja na 9x pamoja na 5x pamoja na tupu, na F chini ya x squared, O chini ya 9x, mimi chini ya 5x, na L chini ya tupu.
    Katika mstari wa nne, kiini cha kwanza kinasoma “Hatua ya 4. Ongeza maneno ya mwisho.” Katika kiini cha pili ni bidhaa ya x pamoja na 5 na x pamoja na 9 tena, na mshale unaoenea kutoka 5 katika binomial ya kwanza hadi 9 katika binomial ya pili. Kiini cha tatu kina x mraba pamoja na 9x pamoja na 6x pamoja na 45, na F chini ya x squared, O chini ya 9x, mimi chini ya 6x, na L chini ya 45.
    Katika mstari wa mwisho, kiini cha kwanza kinasoma “Hatua ya 5. Kuchanganya kama maneno, wakati inawezekana.” Kiini cha pili ni tupu. Kiini cha tatu kina maelezo ya mwisho: x squared pamoja na 15x pamoja na 45.

    Zoezi\(\PageIndex{32}\)

    Panua kutumia njia ya FOIL:\((x+6)(x+8)\)

    Jibu

    \(x^{2}+14 x+48\)

    Zoezi\(\PageIndex{33}\)

    Panua kutumia njia ya FOIL:\((y+17)(y+3)\)

    Jibu

    \(y^{2}+20 y+51\)

    Sisi muhtasari hatua za njia ya FOIL hapa chini. Njia ya FOIL inatumika tu kwa kuzidisha binomials, sio polynomials nyingine!

    PANUA BINOMIALS MBILI KWA KUTUMIA NJIA YA FOIL
    .

    Unapozidisha kwa njia ya FOIL, kuchora mistari itasaidia ubongo wako kuzingatia muundo na iwe rahisi kuomba.

    Zoezi\(\PageIndex{34}\)

    Kuzidisha:\((y−7)(y+4)\).

    Jibu

    Takwimu hii ina nguzo tatu, na maelekezo yaliyoandikwa katika safu ya kwanza na hesabu katika safu ya pili na ya tatu. Juu ya takwimu, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya kwanza.” Safu ya pili ina bidhaa za binomials mbili, y minus 7 na y plus 4, na mshale unaoenea kutoka y katika binomial ya kwanza hadi y katika binomial ya pili. Safu ya tatu ina y squared pamoja na tupu pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya y squared ni barua F na chini ya kila tupu ni barua O, I, na L, kwa mtiririko huo. Mstari mmoja chini, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya nje.” Safu ya pili ina bidhaa ya y minus 7 na y pamoja na 4 tena, na mshale wa pili unaoenea kutoka y katika binomial ya kwanza hadi 4 katika binomial ya pili. Safu ya tatu ina y squared pamoja na 4y pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini y squared ni F, chini ya 4y ni O, na chini ya vifungo ni mimi na L. mstari mmoja chini, maandishi katika safu ya kwanza anasema “Kuzidisha maneno ya ndani.” Safu ya kati ina bidhaa ya y minus 7 na y pamoja na 4 tena, na mshale wa tatu unaoenea kutoka chini ya 7 katika binomial ya kwanza hadi y katika binomial ya pili. Safu ya tatu ina y squared pamoja na 4y minus 7y pamoja na tupu. Mstari mmoja chini, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya mwisho.” Safu ya pili ina bidhaa ya y minus 7 na y pamoja na 4 tena, na mshale wa nne unaoenea kutoka chini ya 7 katika binomial ya kwanza hadi 4 katika binomial ya pili. Katika safu ya tatu ni kujieleza kamili, y squared pamoja 4y minus 7y minus 28, na kila barua ya FOIL chini ya kila maneno. Chini ya picha, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Jumuisha kama maneno.” Katika safu ya kulia ni y squared minus 3y minus 28.

    Zoezi\(\PageIndex{35}\)

    Kuzidisha:\((x−7)(x+5)\).

    Jibu

    \(x^{2}-2 x-35\)

    Zoezi\(\PageIndex{36}\)

    Panua: (b-3) (b+6).

    Jibu

    \(b^{2}+3 b-18\)

    Zoezi\(\PageIndex{37}\)

    Kuzidisha:\((4x+3)(2x−5)\).

    Jibu

    Takwimu hii ina nguzo tatu. Juu ya takwimu, safu ya pili ina bidhaa za binomials mbili, 4x pamoja na 3 na 2x minus 5. Mstari mmoja chini, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya kwanza. Mara 4x 2x.” Safu ya pili ina 8x mraba pamoja na tupu pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya mraba 8x ni barua F na chini ya kila tupu ni barua O, I, na L, kwa mtiririko huo. Mstari mmoja chini, maandishi katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya nje. Mara 4x hasi 5.” Safu ya pili ina 8x mraba minus 20x pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya 8x mraba ni F, chini ya 20x ni O, na chini ya vifungo ni mimi na L. mstari mmoja chini, maandishi katika safu ya kwanza anasema “Kuzidisha maneno ya ndani. Mara 3 2x.” Safu ya pili ina 8x squared minus 20x pamoja 6x pamoja na tupu. Mstari mmoja chini, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Panua maneno ya mwisho. Mara 3 hasi 5.” Safu ya pili ina kujieleza kamili, 8x squared minus 20x pamoja 6x minus 15, na kila barua ya FOIL chini ya kila maneno. Chini ya picha, maandiko katika safu ya kwanza inasema “Jumuisha kama maneno.” Katika safu ya kulia ni 8x squared minus 14x minus 15. Katika safu ya tatu ni bidhaa ya binomials mbili tena, 4x pamoja na mara 3 2x minus 5. Mshale unatoka 4x katika binomial ya kwanza hadi 2x katika binomial ya pili. Mshale wa pili unatoka 4x katika binomial ya kwanza hadi chini ya 5 katika binomial ya pili. Mshale wa tatu unatoka 3 katika binomial ya kwanza hadi 2x katika binomial ya pili. Mshale wa nne unatoka 3 katika binomial ya kwanza hadi chini ya 5 katika binomial ya pili.

    Zoezi\(\PageIndex{38}\)

    Kuzidisha:\((3x+7)(5x−2)\).

    Jibu

    \(15 x^{2}+29 x-14\)

    Zoezi\(\PageIndex{39}\)

    Kuzidisha:\((4y+5)(4y−10)\).

    Jibu

    \(16 y^{2}-20 y-50\)

    Bidhaa za mwisho katika mifano minne iliyopita zilikuwa za trinomials kwa sababu tunaweza kuchanganya maneno mawili ya kati. Hii si mara zote kesi.

    Zoezi\(\PageIndex{40}\)

    Kuzidisha:\((3x−y)(2x−5)\).

    Jibu
      \((3 x-y)(2 x-5)\)
      Mshale unatoka 3 x katika binomial ya kwanza hadi 2 x katika binomial ya pili. Mshale wa pili unatoka 3 x katika binomial ya kwanza hadi chini ya 5 katika binomial ya pili. Mshale wa tatu unatoka y katika binomial ya kwanza hadi 2 x katika binomial ya pili. Mshale wa nne unatoka kwa y katika binomial ya kwanza hadi chini ya 5 katika binomial ya pili.
    Kuzidisha Kwanza. 6 x mraba pamoja na tupu pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya 6 x mraba ni barua F.
    Kuzidisha Nje. 6 x mraba minus 15 x pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya 15 x ni barua O.
    Kuzidisha Ndani. 6x mraba minus 15x minus 2xy pamoja tupu. Chini ya 2 x y ni barua I.
    Kuzidisha Mwisho. 6 x mraba minus 15 x minus 2 x y pamoja 5 y. chini ya 5 y ni barua L.
    Kuchanganya kama masharti - hakuna. \(6 x^{2}-15 x-2 x y+5 y\)
    Zoezi\(\PageIndex{41}\)

    Panua: (10c-d) (c-6).

    Jibu

    \(10 c^{2}-60 c-c d+6 d\)

    Zoezi\(\PageIndex{42}\)

    Panua: (7x-y) (2x-5).

    Jibu

    \(14 x^{2}-35 x-2 x y+10 y\)

    Kuwa makini ya exponents katika mfano unaofuata.

    Zoezi\(\PageIndex{43}\)

    Kuzidisha:\(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)

    Jibu
      \(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)
      Bidhaa ya binomials mbili, n mraba pamoja na 4 na n minus 1. Mshale unatoka kwenye mraba katika binomial ya kwanza hadi n katika binomial ya pili. Mshale wa pili unatoka kwenye n squared katika binomial ya kwanza hadi chini ya 1 katika binomial ya pili. Mshale wa tatu unatoka 4 katika binomial ya kwanza hadi n katika binomial ya pili. Mshale wa nne unatoka 4 katika binomial ya kwanza hadi chini ya 1 katika binomial ya pili.
    Kuzidisha Kwanza. n cubed plus tupu plus tupu pamoja tupu pamoja Chini ya n cubed ni barua F.
    Kuzidisha Nje. n cubed minus n squared pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya minus n squared ni barua O.
    Kuzidisha Ndani. n cubed minus n squared pamoja na 4 n plus tupu. Chini ya 4 n ni barua I.
    Kuzidisha Mwisho. Katika cubed minus katika mraba pamoja na 4 n minus 4. Chini ya minus 4 ni barua L.
    Kuchanganya kama masharti - hakuna. \ (\ n^ {3} -n^ {2} +4 n-4)
    Zoezi\(\PageIndex{44}\)

    Kuzidisha:\(\left(x^{2}+6\right)(x-8)\)

    Jibu

    \(x^{3}-8 x^{2}+6 x-48\)

    Zoezi\(\PageIndex{45}\)

    Kuzidisha:\(\left(y^{2}+7\right)(y-9)\)

    Jibu

    \(y^{3}-9 y^{2}+7 y-63\)

    Zoezi\(\PageIndex{46}\)

    Kuzidisha:\((3 p q+5)(6 p q-11)\)

    Jibu
      \((3 p q+5)(6 p q-11)\)  
    Kuzidisha Kwanza. 18 p mraba q mraba pamoja na tupu pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya 18 p mraba q squared ni barua F. Bidhaa ya binomials mbili, 3 p q pamoja 5 na 6 p q minus 11. Mshale unatoka 3 p q katika binomial ya kwanza hadi 6 p q katika binomial ya pili. Mshale wa pili unatoka 3 p q katika binomial ya kwanza hadi chini ya 11 katika binomial ya pili. Mshale wa tatu unatoka 5 katika binomial ya kwanza hadi 6 p q katika binomial ya pili. Mshale wa nne unatoka 5 katika binomial ya kwanza hadi chini ya 11 katika binomial ya pili.
    Kuzidisha Nje. 18 p mraba q mraba minus 33 p q pamoja na tupu pamoja na tupu. Chini ya minus 33 p q ni barua O.
    Kuzidisha Ndani. 18 p mraba q mraba minus 33 p q pamoja 30 p q pamoja na tupu. Chini ya 30 p q ni barua I.  
    Kuzidisha Mwisho. 18 p mraba mraba minus 33 p q pamoja 30 p q minus 55. Chini ya chini ya 55 ni barua L.  
    Kuchanganya kama masharti - hakuna. \(18 p^{2} q^{2}-3 p q-55\)
    Zoezi\(\PageIndex{47}\)

    Kuzidisha:\((2 a b+5)(4 a b-4)\)

    Jibu

    \(8 a^{2} b^{2}+12 a b-20\)

    Zoezi\(\PageIndex{48}\)

    Kuzidisha:\((2 x y+3)(4 x y-5)\)

    Jibu

    \(8 x^{2} y^{2}+2 x y-15\)

    Panua Binomial kwa Binomial Kutumia Njia ya Wima

    Njia ya FOIL ni kawaida njia ya haraka zaidi ya kuzidisha binomials mbili, lakini inafanya kazi tu kwa binomials. Unaweza kutumia Mali Distributive kupata bidhaa ya polynomials yoyote mbili. Njia nyingine inayofanya kazi kwa polynomials zote ni Njia ya Wima. Ni sana kama njia unayotumia kuzidisha idadi nzima. Angalia kwa makini mfano huu wa kuzidisha namba mbili za tarakimu.

    Takwimu hii inaonyesha kuzidisha wima ya 23 na 46. Nambari 23 iko juu ya namba 46. Chini ya hii, kuna bidhaa ya sehemu 138 juu ya bidhaa ya sehemu 92. Bidhaa ya mwisho ni chini na ni 1058. Nakala upande wa kulia wa picha inasema “Anza kwa kuzidisha 23 na 6 ili kupata 138. Kisha, ongeze 23 hadi 4, ukiweka bidhaa ya sehemu katika nguzo sahihi. Mwisho wewe kuongeza bidhaa sehemu.”

    Sasa tutaweza kutumia njia hii hiyo ya kuzidisha binomials mbili.

    Zoezi\(\PageIndex{49}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((3 y-1)(2 y-6)\)

    Jibu

    Haijalishi ambayo binomial inakwenda juu.

    \[\begin{array}{lll}{\text { Multiply } 3 y-1 \text { by }-6 \text { . }}&& \\ {\text { Multiply } 3 y-1 \text { by } 2 y \text { . }}& &\\ \\ &{\qquad\space3 y-1} & \\& {\dfrac{ \space\space\times 2 y-6}{\quad-18 y+6}} & \text{partial product} & \\ &

    ParseError: EOF expected (click for details)
    Callstack:
    at (Kiswahili/Kitabu:_Elementary_Algebra_(OpenStax)/06:_Polynomials/6.03:_Kuzidisha_Polynomials), /content/body/div[4]/div[3]/div[1]/div/dl/dd/p[2]/span/span, line 1, column 3
    & \text{partial product} & \\ \text{Add like terms.} &&\text{product} \end{array}\]

    Angalia bidhaa za sehemu ni sawa na maneno katika njia ya FOIL.

    Takwimu hii ina nguzo mbili. Katika safu ya kushoto ni bidhaa ya binomials mbili, 3y minus 1 na 2y minus 6. Chini ya hii ni 6y squared minus 2y minus 18y pamoja 6. Chini ya hii ni 6y squared minus 20y pamoja na 6. Katika safu ya kulia ni kuzidisha wima ya 3y minus 1 na 2y minus 6. Chini hii ni sehemu ya bidhaa hasi 18y pamoja na 6. Chini ya hii ni bidhaa ya sehemu 6y squared minus 2y. Chini ya hii ni 6y squared minus 20y pamoja na 6.

    Zoezi\(\PageIndex{50}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((5 m-7)(3 m-6)\)

    Jibu

    \(15 m^{2}-51 m+42\)

    Zoezi\(\PageIndex{51}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((6 b-5)(7 b-3)\)

    Jibu

    \(42 b^{2}-53 b+15\)

    Sasa tumetumia mbinu tatu za kuzidisha binomials. Hakikisha kufanya mazoezi ya kila njia, na jaribu kuamua ni nani unayopendelea. Mbinu zimeorodheshwa hapa zote pamoja, ili kukusaidia kukumbuka.

    KUZIDISHA BINOMIALS MBILI

    Ili kuzidisha binomials, tumia:

    • Mali ya Kusambaza
    • Njia ya foil
    • Njia ya wima

    Kumbuka, FOIL inafanya kazi tu wakati wa kuzidisha binomials mbili.

    Kuzidisha Trinomial na Binomial

    Tumeongeza monomials na monomials, monomials na polynomials, na binomials na binomials. Sasa tuko tayari kuzidisha trinomial na binomial. Kumbuka, FOIL haifanyi kazi katika kesi hii, lakini tunaweza kutumia Mali ya Usambazaji au Njia ya Wima. Sisi kwanza kuangalia mfano kwa kutumia Mali Distributive.

    Zoezi\(\PageIndex{52}\)

    Panua kutumia Mali ya Mgawanyo:\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)

    Jibu
      Bidhaa ya binomial, b pamoja na 3, na trinomial, 2 b squared minus 5 b pamoja 8. Mishale miwili hupanua kutoka kwa trinomial, ikitoa saa b na 3 katika binomial.
    Kusambaza. Jumla ya bidhaa mbili, bidhaa ya b na 2 b squared minus 5 b pamoja 8, na bidhaa ya 3 na 2 b squared minus 5 b pamoja 8.
    Kuzidisha. \(2 b^{3}-5 b^{2}+8 b+6 b^{2}-15 b+24\)
    Kuchanganya kama maneno. \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
    Zoezi\(\PageIndex{53}\)

    Panua kutumia Mali ya Mgawanyo:\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)

    Jibu

    \(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)

    Zoezi\(\PageIndex{54}\)

    Panua kutumia Mali ya Mgawanyo:\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Jibu

    \(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)

    Sasa hebu tufanye kuzidisha sawa kwa kutumia Njia ya Wima.

    Zoezi\(\PageIndex{55}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)

    Jibu

    Ni rahisi kuweka polynomial na maneno machache chini kwa sababu tunapata bidhaa chache za sehemu kwa njia hii.

    Kuzidisha\((2b^2 − 5b + 8)\) kwa 3. .
      .
    Kuzidisha\((2b^2 − 5b + 8)\) kwa\(b\). \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
    Ongeza kama maneno.
    Zoezi\(\PageIndex{56}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)

    Jibu

    \(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)

    Zoezi\(\PageIndex{57}\)

    Panua kutumia Njia ya Wima:\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Jibu

    \(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)

    Sasa tumeona njia mbili ambazo unaweza kutumia kuzidisha trinomial na binomial. Baada ya kufanya mazoezi ya kila njia, pengine utapata unapendelea njia moja juu ya nyingine. Sisi orodha njia zote mbili zimeorodheshwa hapa, kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.

    KUZIDISHA TRINOMIAL NA BINOMIAL

    Ili kuzidisha trinomial na binomial, tumia:

    • Mali ya Kusambaza
    • Njia ya wima
    Kumbuka

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kuzidisha polynomials:

    • Kuzidisha watazamaji 1
    • Kuzidisha watazamaji 2
    • Kuzidisha watazamaji 3

    Dhana muhimu

    • Njia ya FOIL ya kuzidisha Binomials mbili —Ili kuzidisha binomials mbili:
      1. Panua maneno ya kwanza.
      2. Kuzidisha maneno ya nje.
      3. Panua maneno ya ndani.
      4. Kuzidisha maneno ya mwisho.
    • Kuzidisha Binomials mbili —Ili kuzidisha binomials, tumia:
    • Kuzidisha Trinomial na Binomial —Ili kuzidisha trinomial na binomial, tumia: