Skip to main content
Global

2.4: Tumia Mkakati Mkuu wa Kutatua Equations Linear

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177557

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tatua equations kwa kutumia mkakati wa jumla
    • Kuainisha milinganyo
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha:\(−(a−4)\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.10.46
    2. kuzidisha:\(\frac{3}{2}(12x+20)\)
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.10.34.
    3. kurahisisha:\(5−2(n+1)\)
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.10.49.
    4. kuzidisha:\(3(7y+9)\)
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.10.34.
    5. kuzidisha:\((2.5)(6.4)\)
      Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Zoezi 1.8.19.

    Kutatua Equations Kutumia Mkakati Mkuu

    Hadi sasa tuna kushughulikiwa na kutatua aina moja maalum ya equation linear. Ni wakati wa sasa kuweka mkakati mmoja wa jumla ambayo inaweza kutumika kutatua equation yoyote linear. Baadhi ya equations sisi kutatua haitahitaji hatua hizi zote kutatua, lakini wengi mapenzi.

    Kuanzia kwa kurahisisha kila upande wa equation hufanya hatua iliyobaki iwe rahisi.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\): How to Solve Linear Equations Using the General Strategy

    Kutatua:\(-6(x + 3) = 24\).

    Jibu

    Takwimu hii ni meza ambayo ina nguzo tatu na safu tano. Safu ya kwanza ni safu ya kichwa, na ina majina na namba za kila hatua. Safu ya pili ina maelekezo zaidi yaliyoandikwa. Safu ya tatu ina hesabu. Kwenye mstari wa juu wa meza, kiini cha kwanza upande wa kushoto kinasoma: “Hatua ya 1. Kurahisisha kila upande wa equation iwezekanavyo.” Nakala katika kiini cha pili inasoma: “Tumia Mali ya Usambazaji. Angalia kwamba kila upande wa equation ni rahisi iwezekanavyo.” Kiini cha tatu kina equation hasi mara 6 x pamoja 3, ambapo x plus 3 iko katika mabano, sawa na 24. Chini hii ni equation sawa na hasi 6 kusambazwa katika mabano: hasi 6x bala 18 sawa 24.Hatua ya 2. Kukusanya maneno yote variable upande mmoja wa equation. Hapa hakuna kitu zaidi cha kufanya, kwani kuna x moja tu upande wa kushoto.Katika mstari wa tatu wa meza, kiini cha kwanza kinasema: “Hatua ya 3. Kukusanya maneno ya mara kwa mara upande wa pili wa equation. Katika kiini cha pili, maagizo yanasema: “Ili kupata mara kwa mara tu upande wa kulia, ongeza 18 kwa kila upande. Kurahisisha.” Kiini cha tatu kina equation sawa na 18 imeongezwa kwa pande zote mbili: hasi 6x minus 18 pamoja na 18 sawa na 24 pamoja na 18. Chini hii ni equation hasi 6x sawa 42.Hatua ya 4. Fanya mgawo wa x moja. Hapa tunagawanya pande zote mbili na -6 na kurahisisha!Katika mstari wa tano wa meza, kiini cha kwanza kinasema: “Hatua ya 5. Angalia suluhisho.” Katika kiini cha pili, maagizo yanasema: “Hebu x sawa sawa 7. Kurahisisha. Kuzidisha.” Katika kiini cha tatu, kuna maelekezo: “Angalia,” na kwa haki ya hii ni equation ya awali tena: hasi mara 6 x pamoja 3, na x pamoja na 3 katika mabano, sawa 24. Chini hii ni equation sawa na hasi 7 kubadilishwa katika kwa x: hasi 6 mara hasi 7 pamoja 3, na hasi 7 pamoja 3 katika mabano, inaweza sawa 24. Chini hii ni equation hasi 6 mara hasi 4 huenda sawa 24. Chini hii ni equation 24 sawa na 24, na alama ya hundi karibu nayo.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kutatua:\(5(x + 3)=35\)

    Jibu

    \(x = 4\)

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kutatua:\(6(y - 4) = -18\)

    Jibu

    \(y = 1\)

    MKAKATI MKUU WA KUTATUA USAWA WA MSTARI.
    1. Kurahisisha kila upande wa equation iwezekanavyo.
      Tumia Mali ya Kusambaza ili kuondoa mabano yoyote.
      Kuchanganya kama maneno.
    2. Kukusanya maneno yote variable upande mmoja wa equation.
      Tumia Mali ya Kuongeza au Kuondoa ya Usawa.
    3. Kukusanya maneno yote ya mara kwa mara upande wa pili wa equation.
      Tumia Mali ya Kuongeza au Kuondoa ya Usawa.
    4. Fanya mgawo wa muda wa kutofautiana kuwa sawa na 1.
      Tumia Mali ya Kuzidisha au Idara ya Usawa.
      Hali ya ufumbuzi wa equation.
    5. Angalia suluhisho. Badilisha suluhisho katika equation ya awali ili kuhakikisha matokeo ni taarifa ya kweli.
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Kutatua:\(-(y + 9) = 8\)

    Jibu
      .
    Kurahisisha kila upande wa equation iwezekanavyo kwa kusambaza. .
    Neno la y tu ni upande wa kushoto, hivyo maneno yote ya kutofautiana ni upande wa kushoto wa equation.  
    Ongeza 9 kwa pande zote mbili ili kupata masharti yote ya mara kwa mara upande wa kulia wa equation. .
    Kurahisisha. .
    Andika upya -y kama -1y. .
    Fanya mgawo wa muda wa kutofautiana kuwa sawa na 1 kwa kugawanya pande zote mbili na -1. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu y=-17. .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kutatua:\(-(y + 8) = -2\)

    Jibu

    \(y = -6\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Kutatua:\(-(z + 4) = -12\)

    Jibu

    \(z = 8\)

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua:\(5(a - 3) + 5 = -10\)

    Jibu
      .
    Kurahisisha kila upande wa equation iwezekanavyo.  
    Kusambaza. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Neno pekee ni upande wa kushoto, hivyo maneno yote ya kutofautiana yana upande mmoja wa equation.  
    Ongeza 10 kwa pande zote mbili ili kupata masharti yote ya mara kwa mara upande wa pili wa equation. .
    Kurahisisha. .
    Fanya mgawo wa muda wa kutofautiana kuwa sawa na 11 kwa kugawanya pande zote mbili kwa 55. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu a=0. .  
      .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:\(2(m - 4) + 3 = -1\)

    Jibu

    \(m = 2\)

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(7(n - 3) - 8 = -15\)

    Jibu

    \(n = 2\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{3}(6m - 3) = 8 - m\)

    Jibu
      .
    Kusambaza. .
    Ongeza m ili kupata vigezo tu upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Ongeza 2 ili kupata mara kwa mara tu upande wa kulia. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya na 5. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu m=2. .  
      .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(\frac{1}{3}(6u + 3) = 7 - u\)

    Jibu

    \(u = 2\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(\frac{2}{3}(9x - 12) = 8 + 2x\)

    Jibu

    \(x = 4\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:\(8 - 2(3y + 5) = 0\)

    Jibu
      .
    Simplify-kutumia Mali Distributive. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ongeza 2 kwa pande zote mbili kukusanya mara kwa mara upande wa kulia. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya pande zote mbili kwa -6—6. .
    Kurahisisha. .

    Angalia: Hebu y=-13.

    .

    		  
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:\(12 - 3(4j + 3) = -17\)

    Jibu

    \(j = \frac{5}{3}\)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kutatua:\(-6 - 8(k - 2) = -10\)

    Jibu

    \(k = \frac{5}{2}\)

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Kutatua:\(4(x - 1)-2=5(2x+3)+6\)

    Jibu
      .
    Kusambaza. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 4x kupata vigezo tu upande wa kulia tangu\(10>4\). .
    Kurahisisha. .
    Ondoa 21 ili kupata vipindi upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya na 6. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu\(x=-\frac{9}{2}\). .  
      .  
      .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Kutatua:\(6(p-3)-7=5(4p+3)-12\)

    Jibu

    \(p = -2\)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Kutatua:\(8(q +1)-5=3(2q-4)-1\)

    Jibu

    \(q = -8\)

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Kutatua:\(10[3 - 8(2s-5)] = 15(40 - 5s)\)

    Jibu
      .
    Kurahisisha kutoka kwa mabano ya ndani ya kwanza. .
    Kuchanganya kama maneno katika mabano. .
    Kusambaza. .
    Kuongeza miaka ya 160 kupata s na haki. .
    Kurahisisha. .
    Ondoa 600 ili kupata mara kwa mara upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Mbadala s=-2. .  
      .  
      .  
      .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Kutatua:\(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).

    Jibu

    \(y = -\frac{17}{5}\)

    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Kutatua:\(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z)\).

    Jibu

    \(z = 0\)

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Kutatua:\(0.36(100n+5)=0.6(30n+15)\).

    Jibu
      .
    Kusambaza. .
    Ondoa 18n kupata vigezo kwa upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Ondoa 1.8 ili kupata mara kwa mara kwa haki. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu n=0.4. .  
      .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Kutatua:\(0.55(100n+8)=0.6(85n+14)\).

    Jibu

    \(n = 1\)

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Kutatua:\(0.15(40m−120)=0.5(60m+12)\).

    Jibu

    \(m = -1\)

    Kuainisha milinganyo

    Fikiria equation sisi kutatuliwa katika mwanzo wa sehemu ya mwisho, 7x+8=-13. Suluhisho tulilolipata lilikuwa x=—3. Hii ina maana equation 7x+8=-13 ni kweli wakati sisi kuchukua nafasi ya kutofautiana, x, na thamani -3. Tulionyesha hili tulipoangalia suluhisho x=-3 na tathmini 7x+8=-13 kwa x=1-3.

    Takwimu hii inaonyesha kwa nini tunaweza kusema equation 7x pamoja 8 sawa hasi 13 ni kweli wakati x variable ni kubadilishwa na thamani hasi 3. Mstari wa kwanza unaonyesha equation na hasi 3 kubadilishwa katika kwa x: 7 mara hasi 3 pamoja 8 inaweza sawa hasi 13. Chini hii ni equation hasi 21 pamoja 8 inaweza sawa hasi 13. Chini hii ni equation hasi 13 sawa hasi 13, na alama ya kuangalia karibu nayo.

    Ikiwa tunatathmini 7x+8 kwa thamani tofauti ya x, upande wa kushoto hautakuwa -13.

    Equation 7x+8=-13 ni kweli wakati sisi kuchukua nafasi ya kutofautiana, x, na thamani -3, lakini si kweli wakati sisi kuchukua nafasi ya x na thamani nyingine yoyote. Iwapo au la equation 7x+8=-13 ni kweli inategemea thamani ya variable. Ulinganifu kama huu huitwa equations masharti.

    Equations zote tulizotatua hadi sasa ni equations masharti.

    USAWA WA MASHARTI

    Equation ambayo ni kweli kwa maadili moja au zaidi ya kutofautiana na uongo kwa maadili mengine yote ya kutofautiana ni equation masharti.

    Sasa hebu fikiria equation 2y+6=2 (y+3). Je! Unatambua kwamba upande wa kushoto na upande wa kulia ni sawa? Hebu tuone nini kinatokea wakati sisi kutatua kwa y.

      .
    Kusambaza. .
    Ondoa 2y kupata y kwa upande mmoja. .
    Kurahisisha - y ni gone! .

    Lakini 6=6 ni kweli.

    Hii ina maana kwamba equation 2y+6=2 (y+3) ni kweli kwa thamani yoyote ya y. Tunasema ufumbuzi wa equation ni yote ya idadi halisi. equation kwamba ni kweli kwa thamani yoyote ya variable kama hii inaitwa utambulisho.

    UTAMBULISHO

    Equation kwamba ni kweli kwa thamani yoyote ya kutofautiana inaitwa utambulisho.

    Suluhisho la utambulisho ni namba zote halisi.

    Ni nini kinachotokea wakati sisi kutatua equation 5z=5z-1?

      .
    Ondoa 5z ili kupata mara kwa mara peke yake upande wa kulia. .
    Kurahisisha - z ni gone! .

    Lakini\(0\neq −1\).

    Kutatua equation 5z=5z-1 kulisababisha kauli ya uongo 0=-1. Ulinganisho 5z=5z-1 hautakuwa wa kweli kwa thamani yoyote ya z. Equation ambayo haina ufumbuzi, au kwamba ni uongo kwa maadili yote ya kutofautiana, inaitwa utata.

    UTATA

    Equation ambayo ni ya uongo kwa maadili yote ya kutofautiana inaitwa utata.

    Utata hauna suluhisho.

    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata. Kisha sema suluhisho.

    \(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\)


    Jibu
    .
    Kusambaza. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 12n ili kupata nn kwa upande mmoja. .
    Kurahisisha. .
    Hii ni kauli ya kweli. Equation ni utambulisho.
    Suluhisho ni namba zote halisi.
    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:

    \(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2)\)


    Jibu

    utambulisho; namba zote halisi

    Zoezi\(\PageIndex{27}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:

    \(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1\)


    Jibu

    utambulisho; namba zote halisi

    Zoezi\(\PageIndex{28}\)

    Kuainisha kama equation masharti, utambulisho, au utata. Kisha sema suluhisho.

    \(10+4(p−5)=0\)


    Jibu
      .
    Kusambaza. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ongeza 10 kwa pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya. .
    Kurahisisha. .
    equation ni kweli wakati\(p = frac{5}{2}\). Hii ni equation masharti.
    Suluhisho ni\(p = frac{5}{2}\).
    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:\(11(q+3)−5=19\)

    Jibu

    equation masharti;\ (q =\ frac {9} {11}\

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:\(6+14(k−8)=95\)

    Jibu

    equation ya masharti;\(k = \frac{193}{14}\)

    Zoezi\(\PageIndex{31}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata. Kisha sema suluhisho.

    \(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\)


    Jibu
      .
    Kusambaza. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 14m kutoka pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Lakini\(27\neq −22\). Equation ni utata.
    Haina ufumbuzi.
    Zoezi\(\PageIndex{32}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:

    \(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\)


    Jibu

    utata; hakuna suluhisho

    Zoezi\(\PageIndex{33}\)

    Kuainisha equation kama equation masharti, utambulisho, au utata na kisha hali ya ufumbuzi:

    \(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\)


    Jibu

    utata; hakuna suluhisho

    Aina ya equation Nini kinatokea wakati wewe kutatua? Suluhisho
    Mlinganyo wa masharti Kweli kwa maadili moja au zaidi ya vigezo na uongo kwa maadili mengine yote Maadili moja au zaidi
    Identity Kweli kwa thamani yoyote ya kutofautiana Nambari zote halisi
    Utata Uongo kwa maadili yote ya kutofautiana Hakuna ufumbuzi

    Dhana muhimu

    • Mkakati Mkuu wa Kutatua Equations Linear
      1. Kurahisisha kila upande wa equation iwezekanavyo.
        Tumia Mali ya Kusambaza ili kuondoa mabano yoyote.
        Kuchanganya kama maneno.
      2. Kukusanya maneno yote variable upande mmoja wa equation.
        Tumia Mali ya Kuongeza au Kuondoa ya Usawa.
      3. Kukusanya maneno yote ya mara kwa mara upande wa pili wa equation.
        Tumia Mali ya Kuongeza au Kuondoa ya Usawa.
      4. Fanya mgawo wa muda wa kutofautiana kuwa sawa na 1.
        Tumia Mali ya Kuzidisha au Idara ya Usawa.
        Hali ya ufumbuzi wa equation.
      5. Angalia suluhisho.
        Badilisha suluhisho katika equation ya awali.