Skip to main content
Global

2.3: Tatua equations na Vigezo na Constants Pande zote mbili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177568

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tatua equation na mara kwa mara pande zote mbili
    • Tatua equation na vigezo pande zote mbili
    • Kutatua equation na vigezo na constants pande zote mbili
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha: 4y-9+9.
      Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 1.10.20.

    Tatua Equations na Constants Pande zote mbili

    Katika equations wote tuna kutatuliwa hadi sasa, maneno yote variable walikuwa upande mmoja tu wa equation na constants upande wa pili. Hii haina kutokea wakati wote-hivyo sasa tutajifunza kutatua milinganyo ambayo maneno variable, au masharti ya mara kwa mara, au wote wawili ni pande zote mbili za equation.

    Mkakati wetu utahusisha kuchagua upande mmoja wa equation kuwa “upande wa kutofautiana”, na upande mwingine wa equation kuwa “upande wa mara kwa mara.” Kisha, tutatumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa ili kupata maneno yote ya kutofautiana pamoja upande mmoja wa equation na masharti ya mara kwa mara pamoja upande mwingine.

    Kwa kufanya hivyo, sisi kubadilisha equation ambayo ilianza na vigezo na constants pande zote mbili katika fomu\(ax=b\). Tayari tunajua jinsi ya kutatua equations ya fomu hii kwa kutumia Idara au Kuzidisha Mali ya Usawa.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Kutatua:\(7x+8=−13\).

    Jibu

    Katika equation hii, variable hupatikana tu upande wa kushoto. Inafaa kuwaita upande wa kushoto upande wa “variable”. Kwa hiyo, upande wa kulia utakuwa upande wa “mara kwa mara”. Tutaandika maandiko juu ya equation kutusaidia kukumbuka nini huenda wapi.

    Takwimu hii inaonyesha equation 7x pamoja 8 sawa hasi 13, na upande wa kushoto wa equation kinachoitwa “variable”, imeandikwa katika nyekundu, na upande wa kulia wa equation kinachoitwa “mara kwa mara”, imeandikwa katika nyekundu.

    Kwa kuwa upande wa kushoto ni “xx”, au upande variable, 8 ni nje ya mahali. Tunapaswa “kurekebisha” kuongeza 8 kwa kuondoa 8, na kuweka usawa lazima tuondoe 8 kutoka pande zote mbili.

      Takwimu hii inaonyesha equation 7x pamoja 8 sawa hasi 13, na upande wa kushoto wa equation kinachoitwa “variable”, imeandikwa katika nyekundu, na upande wa kulia wa equation kinachoitwa “mara kwa mara”, imeandikwa katika nyekundu.
    Tumia Mali ya Kuondoa ya Usawa. .
    Kurahisisha. .
    Sasa vigezo vyote ni upande wa kushoto na mara kwa mara upande wa kulia. Equation inaonekana kama wale uliyojifunza kutatua mapema.
    Tumia Mali ya Idara ya Usawa. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu x=-3. .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kutatua:\(3x+4=−8\).

    Jibu

    \(x=−4\)

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kutatua:\(5a+3=−37\).

    Jibu

    \(a=−8\)

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Kutatua:\(8y−9=31\).

    Jibu

    Kumbuka, kutofautiana ni upande wa kushoto wa equation, kwa hiyo tutaita upande huu upande wa “kutofautiana”, na upande wa kulia utakuwa upande wa “mara kwa mara”. Kwa kuwa upande wa kushoto ni “variable” upande, 9 ni nje ya mahali. Inaondolewa kutoka kwa 8y, ili “kufuta” kuondoa, ongeza 9 kwa pande zote mbili. Kumbuka, chochote unachofanya upande wa kushoto, lazima ufanye kwa haki.

      .
    Ongeza 9 kwa pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
      Vigezo sasa ni upande mmoja na constants kwa upande mwingine.
    Tunaendelea kutoka hapa kama tulivyofanya mapema.
    Gawanya pande zote mbili kwa 8. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu y=5. .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kutatua:\(5y−9=16\).

    Jibu

    \(y=5\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Kutatua:\(3m−8=19\).

    Jibu

    \(m = 9\)

    Tatua Equations na Vigezo na Constants Pande zote mbili

    Mfano unaofuata utakuwa wa kwanza kuwa na vigezo na vipindi pande zote mbili za equation. Inaweza kuchukua hatua kadhaa kutatua equation hii, hivyo tunahitaji mkakati wazi na kupangwa.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua:\(9x=8x−6\).

    Jibu

    Hapa variable iko pande zote mbili, lakini mara kwa mara huonekana tu upande wa kulia, basi hebu tufanye upande wa kulia upande wa “mara kwa mara”. Kisha upande wa kushoto utakuwa upande wa “kutofautiana”.

      .
    Hatutaki yoyote x juu ya haki, hivyo Ondoa 8x kutoka pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Tulifanikiwa kupata vigezo upande mmoja na mara kwa mara kwa upande mwingine, na tumepata ufumbuzi.
    Angalia: .  
    Hebu x=-6. .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:\(6n=5n−10\).

    Jibu

    \(n = -10\)

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(-6c = -7c - 1\)

    Jibu

    \(c = -1\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(5y - 9 = 8y\)

    Jibu

    Mara kwa mara tu ni upande wa kushoto na y ni pande zote mbili. Hebu kuondoka mara kwa mara upande wa kushoto na kupata vigezo na haki.

      .
    Ondoa 5y kutoka pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Tuna y juu ya haki na
    constants upande wa kushoto. Gawanya pande zote mbili kwa 3.    		 .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu\(y=−3\). .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(3p−14=5p\).

    Jibu

    \(p = -7\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(8m + 9 = 5m\)

    Jibu

    \(m = -3\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:\(12x = -x + 26\)

    Jibu

    Mara kwa mara tu ni upande wa kulia, hivyo basi upande wa kushoto uwe upande wa “kutofautiana”.

      .
    Ondoa -x kutoka upande wa kulia kwa kuongeza x kwa pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    x wote ni upande wa kushoto na constants ni juu ya haki. Gawanya pande zote mbili kwa 13. .
    Kurahisisha. .
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:\(12j = -4j + 32\)

    Jibu

    \(j = 2\)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kutatua:\(8h = -4h + 12\)

    Jibu

    \(h = 1\)

    Tatua Equations na Vigezo na Constants Pande zote mbili

    Mfano unaofuata utakuwa wa kwanza kuwa na vigezo na vipindi pande zote mbili za equation. Inaweza kuchukua hatua kadhaa kutatua equation hii, hivyo tunahitaji mkakati wazi na kupangwa.

    Zoezi\(\PageIndex{16}\): How to Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides

    Kutatua:\(7x + 5 = 6x + 2\)

    Jibu

    Takwimu hii ni meza ambayo ina nguzo tatu na safu nne. Safu ya kwanza ni safu ya kichwa, na ina majina na namba za kila hatua. Safu ya pili ina maagizo zaidi yaliyoandikwa. Safu ya tatu ina hesabu. Kwenye mstari wa juu wa meza, kiini cha kwanza upande wa kushoto kinasoma: “Hatua ya 1. Chagua upande gani upande wa “kutofautiana” upande wa pili utakuwa upande wa “mara kwa mara”.” Nakala katika kiini cha pili inasoma: “Masharti ya kutofautiana ni 7 x na 6 x Tangu 7 ni kubwa kuliko 6, tutafanya upande wa kushoto upande wa “x” na hivyo upande wa kulia utakuwa upande wa “mara kwa mara”. Kiini cha tatu kina equation 7 x plus 5 sawa na 6 x plus 2, na upande wa kushoto wa equation ni kinachoitwa “variable” iliyoandikwa katika nyekundu, na upande wa kulia wa equation ni kinachoitwa “mara kwa mara” iliyoandikwa katika nyekundu.Hatua ya 2. Kuleta maneno yote x upande wa kushoto kwa kuondoa 6x kutoka pande zote mbili.Katika mstari wa tatu wa meza, kiini cha kwanza kinasema: “Hatua ya 3. Kukusanya constants wote kwa upande wa pili wa equation, kwa kutumia kuongeza au kuondoa mali ya usawa.” Katika kiini cha pili, maagizo yanasema: “Upande wa kulia ni upande wa “mara kwa mara”, hivyo 5 haipo mahali. Ondoa 5 kutoka pande zote mbili. Kurahisisha.” Kiini cha tatu kina equation x plus 5 minus 5 sawa na 2 minus 5, na “minus 5” imeandikwa kwa nyekundu pande zote mbili. Chini hii ni jibu kwa equation: x sawa hasi 3.Hatua ya 4. Tangu x ni yenyewe, tumegundua ufumbuzi wa equation.Katika mstari wa tano wa meza, kiini cha kwanza kinasema: “Hatua ya 5. Angalia.” Maagizo katika kiini cha pili husema: “Angalia. Hebu x sawa hasi 3. Kurahisisha. Ongeza.” Katika kiini cha tatu ni equation awali tena: 7 x plus 5 sawa 6x plus 2. Chini hii ni equation sawa na hasi 3 kubadilishwa katika kwa x: 7 mara hasi 3 (katika paretheses) pamoja 5 inaweza sawa 6 mara hasi 3 (katika mabano) pamoja 2, na “mara hasi 3” imeandikwa katika nyekundu pande zote mbili za equation. Chini hii ni equation hasi 21 pamoja 5 inaweza sawa hasi 18 pamoja 2. Kwenye mstari wa mwisho ni equation hasi 16 sawa na hasi 16, na alama ya hundi karibu nayo.

    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Kutatua:\(12x+8=6x+2\).

    Jibu

    \(x=−1\)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Kutatua:\(9y+4=7y+12\).

    Jibu

    \(y=4\)

    Tutaorodhesha hatua zilizo chini ili uweze kutaja kwa urahisi. Lakini tutaweza kuwaita hii 'Mwanzo Mkakati' kwa sababu tutaweza kuwa na kuongeza baadhi ya hatua baadaye katika sura hii.

    MWANZO MKAKATI WA KUTATUA MILINGANYO NA VIGEZO NA CONSTANTS PANDE ZOTE MBILI ZA EQUATION.
    1. Chagua upande gani utakuwa upande wa “kutofautiana” - upande mwingine utakuwa upande wa “mara kwa mara”.
    2. Kukusanya maneno ya kutofautiana kwa upande wa “kutofautiana” wa equation, kwa kutumia Kuongeza au Ondoa Mali ya Usawa.
    3. Kukusanya constants wote kwa upande wa pili wa equation, kwa kutumia Aidha au Ondoa Mali ya Usawa.
    4. Fanya mgawo wa kutofautiana sawa 1, ukitumia Mali ya Kuzidisha au Idara ya Usawa.
    5. Angalia suluhisho kwa kuibadilisha kwenye equation ya awali.

    Katika Hatua ya 1, mbinu inayofaa ni kufanya upande wa “kutofautiana” upande ambao una kutofautiana na mgawo mkubwa. Hii kawaida hufanya hesabu iwe rahisi.

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Kutatua:\(8n−4=−2n+6\).

    Jibu

    Katika hatua ya kwanza, chagua upande wa kutofautiana kwa kulinganisha coefficients ya vigezo kila upande.

    Tangu\(8>−2\), fanya upande wa kushoto upande wa “kutofautiana”. .
    Hatutaki masharti variable upande wa kulia-kuongeza 2n kwa pande zote mbili kuondoka constants tu juu ya haki. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Hatutaki constants yoyote upande wa kushoto, hivyo kuongeza 4 kwa pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Neno la kutofautiana ni upande wa kushoto na muda wa mara kwa mara ni upande wa kulia. Ili kupata mgawo wa nn kuwa moja, kugawanya pande zote mbili kwa 10. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu n=1. .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Kutatua:\(8q - 5 = -4q + 7\)

    Jibu

    \(q = 1\)

    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Kutatua:\(7n - 3 = n + 3\)

    Jibu

    \(n = 1\)

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Kutatua:\(7a -3 = 13a + 7\)

    Jibu

    Katika hatua ya kwanza, chagua upande wa kutofautiana kwa kulinganisha coefficients ya vigezo kila upande.

    Tangu 13>7, fanya upande wa kulia upande wa “kutofautiana” na upande wa kushoto upande wa “mara kwa mara”.

      .
    Ondoa 7a kutoka pande zote mbili ili kuondoa neno la kutofautiana kutoka upande wa kushoto. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 7 kutoka pande zote mbili ili uondoe mara kwa mara kutoka kwa haki. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya pande zote mbili na 6 ili kufanya 1 mgawo wa a. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu\(a=−\frac{5}{3}\). .  
      .  
      .  
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Kutatua:\(2a - 2 = 6a + 18\)

    Jibu

    \(a = -5\)

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Kutatua:\(4k -1 = 7k + 17\)

    Jibu

    \(k = -6\)

    Katika mfano wa mwisho, tunaweza kuwa alifanya upande wa kushoto “variable” upande, lakini ingekuwa imesababisha mgawo hasi juu ya muda kutofautiana. (Jaribu!) Wakati tunaweza kufanya kazi na hasi, kuna nafasi ndogo ya makosa wakati wa kufanya kazi na chanya. mkakati ilivyoainishwa hapo juu husaidia kuepuka hasi!

    Ili kutatua equation na sehemu ndogo, sisi tu kufuata hatua za mkakati wetu kupata suluhisho!

    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Kutatua:\(\frac{4}{5}x + 6 = \frac{1}{4}x - 2\)

    Jibu

    Tangu\(\frac{5}{4} > \frac{1}{4}\), fanya upande wa kushoto upande wa “kutofautiana” na upande wa kulia upande wa “mara kwa mara”.

      .
    Ondoa\(\frac{1}{4}x\) kutoka pande zote mbili. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 6 kutoka pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .

    Angalia: Hebu\(x = -8\)

    		 \(\begin{array} {ccc} {\frac{5}{4}x + 6} &{=} &{\frac{1}{4}x - 2} \\ {\frac{5}{4}(-8) + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{\frac{1}{4}(-8) - 2} \\ {-10 + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{-2 - 2} \\ {-4} &{=} &{-4\checkmark} \end{array}\)
    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Kutatua:\(\frac{7}{8}x - 12 = -\frac{1}{8}x - 2\)

    Jibu

    \(x = 10\)

    Zoezi\(\PageIndex{27}\)

    Kutatua:\(\frac{7}{6}x + 11 = \frac{1}{6}y + 8\)

    Jibu

    \(y = -3\)

    Tutatumia mkakati huo ili kupata suluhisho kwa equation na decimals.

    Zoezi\(\PageIndex{28}\)

    Kutatua:\(7.8x+4=5.4x−8\).

    Jibu

    Tangu\(7.8>5.4\), fanya upande wa kushoto upande wa “kutofautiana” na upande wa kulia upande wa “mara kwa mara”.

      .
    Ondoa 5.4x kutoka pande zote mbili. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 4 kutoka pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Tumia Mali ya Idara ya Usawa. .
    Kurahisisha. .
    Angalia: .  
    Hebu\(x=−5\) .  
      .  
     

    .

    		  
    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Kutatua:\(2.8x + 12 = -1.4x - 9\)

    Jibu

    \(x = -5\)

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Kutatua:\(3.6y + 8 = 1.2y - 4\)

    Jibu

    \(y = -5\)

    Dhana muhimu

    • Mwanzo Mkakati wa Kutatua Equation na Vigezo na Constants Pande zote mbili za Equation
      1. Chagua upande gani utakuwa upande wa “kutofautiana” - upande mwingine utakuwa upande wa “mara kwa mara”.
      2. Kukusanya maneno ya kutofautiana kwa upande wa “kutofautiana” wa equation, kwa kutumia Kuongeza au Ondoa Mali ya Usawa.
      3. Kukusanya constants wote kwa upande wa pili wa equation, kwa kutumia Aidha au Ondoa Mali ya Usawa.
      4. Fanya mgawo wa kutofautiana sawa 1, ukitumia Mali ya Kuzidisha au Idara ya Usawa.
      5. Angalia suluhisho kwa kuibadilisha kwenye equation ya awali.