1.3: Tumia Lugha ya Algebra

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Tumia vigezo na alama za algebraic
• Kurahisisha maneno kwa kutumia utaratibu wa shughuli
• Tathmini ya kujieleza
• Tambua na kuchanganya maneno kama hayo
• Tafsiri maneno ya Kiingereza kwa kujieleza kwa algebraic

Tumia Vigezo na Algebraic Algebraic

Tuseme mwaka huu Greg ni umri wa$20$ miaka na Alex ni$23$. Unajua kwamba Alex ni umri wa$3$ miaka kuliko Greg. Wakati Greg alikuwa$12$, Alex alikuwa$15$. Wakati Greg ni$35$, Alex itakuwa$38$. Haijalishi umri wa Greg ni nini, umri wa Alex utakuwa zaidi ya miaka 3, sawa? Katika lugha ya algebra, tunasema kwamba umri wa Greg na umri wa Alex ni vigezo na$3$ ni mara kwa mara. Umri hubadilika (“hutofautiana”) lakini$3$ miaka kati yao daima hukaa sawa (“mara kwa mara”). Tangu umri wa Greg na umri wa Alex daima tofauti na$3$ miaka,$3$ ni mara kwa mara. Katika algebra, sisi kutumia barua ya alfabeti kuwakilisha vigezo. Kwa hiyo ikiwa tunaita umri wa Greg$g$, basi tunaweza kutumia$g + 3g + 3$ kuwakilisha umri wa Alex. Angalia Jedwali$\PageIndex{1}$.

Jedwali$\PageIndex{1}$

Umri wa Greg	Umri wa Alex
$12$	$15$
$20$	$23$
$35$	$38$
$g$	$g+3$

Barua zilizotumiwa kuwakilisha umri hizi za kubadilisha zinaitwa vigezo. Barua ambazo hutumiwa kwa vigezo ni$x, y, a, b,$ na$c$.

Ufafanuzi: kutofautiana

Variable ni barua inayowakilisha namba ambayo thamani yake inaweza kubadilika.

Ufafanuzi: CONSTANT

Mara kwa mara ni namba ambayo thamani yake daima inakaa sawa.

Kuandika algebraically, tunahitaji baadhi ya alama operesheni kama vile idadi na vigezo. Kuna aina kadhaa za alama tutakayotumia.

Kuna shughuli nne za msingi za hesabu: kuongeza, kuondoa, kuzidisha, na mgawanyiko. Tutaorodhesha alama zilizotumiwa kuonyesha shughuli hizi hapa chini (Jedwali$\PageIndex{2}$). Pengine utatambua baadhi yao. $\require{enclose}$

Jedwali$\PageIndex{2}$

Operesheni	Nukuu	Sema:	Matokeo yake ni...
Ongezeko	$a+b$	$a$pamoja$b$	jumla ya$a$ na$b$
Kutoa	$a−b$	$a$minus$b$	tofauti ya$a$ na$b$
Kuzidisha	$a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b)$	$a$mara$b$	bidhaa ya$a$ na$b$
Mgawanyiko	$a\div{b}, a/b,\dfrac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$	$a$kugawanywa na$b$	quotient ya$a$ na$b$,$a$ inaitwa gawio, na$b$ inaitwa mgawanyiko

Tunafanya shughuli hizi kwa namba mbili. Wakati wa kutafsiri kutoka fomu ya mfano kwa Kiingereza, au kutoka kwa Kiingereza hadi fomu ya mfano, makini na maneno “ya” na “na.”

• Tofauti$9$ na$2$ ina maana ya kuondoa$9$ na$2$, kwa maneno mengine,$9$ kupunguza$2$, ambayo tunaandika kwa mfano kama$9−2$.
• Bidhaa$4$ na$8$ ina maana ya kuzidisha$4$ na$8$,$4$ kwa maneno mengine$8$, ambayo tunaandika kwa mfano kama$4\cdot 8$.

Katika algebra, alama ya msalaba$\times$, haitumiwi kuonyesha kuzidisha kwa sababu alama hiyo inaweza kusababisha machafuko. Ina$3xy$ maana$3\times y$ ('mara$y$ tatu') au$3\cdot x \cdot y$ ($x$mara tatu$y$)? Ili kuiweka wazi, tumia$\cdot$ au mabano kwa kuzidisha.

Wakati kiasi mbili zina thamani sawa, tunasema ni sawa na kuunganisha kwa ishara sawa.

ISHARA YA USAWA

$a = b$inasoma “$a$ni sawa na$b$”

Ishara$“=”$ inaitwa ishara sawa.

Kwenye mstari wa nambari, nambari zinaongezeka zaidi wanapoenda kutoka kushoto kwenda kulia. Mstari wa nambari unaweza kutumika kuelezea alama$“<”$ na$“>"$.

USAWA

$a<b$inasoma “$a$ni chini ya$b$”

$a$ni upande wa kushoto wa$b$ kwenye mstari namba

Kielelezo$\PageIndex{1}$

$a>b$inasoma "$a$ni kubwa kuliko$b$”

$a$ni haki ya$b$ juu ya mstari idadi

Kielelezo$\PageIndex{2}$

Maneno$a < b$ au$a > b$ yanaweza kusomwa kutoka kushoto kwenda kulia au kulia kwenda kushoto, ingawa kwa Kiingereza tunasoma kutoka kushoto kwenda kulia Jedwali$\PageIndex{3}$. Kwa ujumla,$a < b$ ni sawa na$b > a$. Kwa mfano$7 < 11$ ni sawa na$11 > 7$. Na$a > b$ ni sawa na$b < a$. Kwa mfano$17 > 4$ ni sawa na$4 < 17$.

Jedwali$\PageIndex{3}$

Alama za kukosekana	Maneno
$a \neq b$	$a$si sawa na$b$
$a < b$	$a$ni chini ya$b$
$a \leq b$	$a$ni chini ya au sawa na$b$
$a > b$	$a$ni kubwa kuliko$b$
$a \geq b$	$a$ni kubwa kuliko au si sawa na$b$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Tafsiri kutoka algebra hadi Kiingereza:

1. $17 \leq 26$
2. $8 \neq 17 - 3$
3. $12 > 27 \div 3$
4. $y + 7 < 19$

Jibu

1. $17 \leq 26$,$17$ ni chini ya au sawa na$26$
2. $8 \neq 17 - 3$,$8$ si sawa na$17$ minus$3$
3. $12 > 27 \div 3$,$12$ ni kubwa kuliko$27$ kugawanywa na$3$
4. $y + 7 < 19$,$y$ pamoja$7$ ni chini ya$19$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Tafsiri kutoka algebra hadi Kiingereza:

1. $14 \leq 27$
2. $19 - 2 \neq 8$
3. $12 > 4 \div 2$
4. $x - 7 < 1$

Jibu

1. $14$ni chini ya au sawa na$27$
2. $19$minus$2$ si sawa na$8$
3. $12$ni kubwa kuliko$4$ kugawanywa na$2$
4. $x$minus$7$ ni chini ya$1$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Tafsiri kutoka algebra hadi Kiingereza:

1. $19 \leq 15$
2. $7 = 12 - 5$
3. $15 \div 3 < 8$
4. $y + 3 < 6$

Jibu

1. $19$ni kubwa basi au sawa na$15$
2. $7$ni sawa na$12$ minus$5$
3. $15$kugawanywa$3$ na ni chini ya$8$
4. $y$plus$3$ ni kubwa kuliko$6$

Alama za makundi katika algebra ni sawa na koma, koloni, na alama nyingine za punctuation kwa Kiingereza. Wanasaidia kufanya wazi ni maneno gani yanayotakiwa kuhifadhiwa pamoja na kutenganishwa na maneno mengine. Tutaanzisha aina tatu sasa.

ALAMA ZA KIKUNDI

$$\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}$$

Hapa ni baadhi ya mifano ya maneno ambayo yanajumuisha alama za makundi. Sisi kurahisisha maneno kama haya baadaye katika sehemu hii.

$$8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}$$

Ni tofauti gani katika Kiingereza kati ya maneno na sentensi? Maneno yanaonyesha mawazo moja ambayo hayajakamilika yenyewe, lakini sentensi hutoa taarifa kamili. “Running very fast” ni maneno, lakini “Mchezaji wa soka alikuwa anaendesha haraka sana” ni sentensi. Sentensi ina somo na kitenzi. Katika algebra, tuna maneno na equations.

KUJIELEZA

Maneno ni namba, kutofautiana, au mchanganyiko wa namba na vigezo kwa kutumia alama za uendeshaji.

Maneno ni kama maneno ya Kiingereza. Hapa ni baadhi ya mifano ya maneno:

Jedwali$\PageIndex{4}$

Ufafanuzi	Maneno	Kifungu cha Kiswahili
$3 + 5$	$3$pamoja$5$	jumla ya tatu na tano
$n − 1$	$n$minus moja	tofauti ya$n$ na moja
$6\cdot 7$	$6$mara$7$	bidhaa ya sita na saba
$\dfrac{x}{y}$	$x$kugawanywa na$y$	quotient ya$x$ na$y$

Angalia kwamba misemo ya Kiingereza hayafanyi sentensi kamili kwa sababu maneno hayana kitenzi. Equation ni maneno mawili yanayounganishwa na ishara sawa. Unaposoma maneno alama zinawakilisha katika equation, una sentensi kamili kwa Kiingereza. Ishara sawa inatoa kitenzi.

Ufafanuzi: EQUATION

Equation ni maneno mawili yanayounganishwa na ishara sawa.

Hapa ni baadhi ya mifano ya equations.

Jedwali$\PageIndex{5}$

Mlinganyo	Kiingereza Sentensi
$3+5=8$	jumla ya tatu na tano ni sawa na nane
$n−1=14$	$n$minus moja sawa na kumi na nne
$6 \cdot 7=42$	Bidhaa ya sita na saba ni sawa na arobaini na mbili
$x=53$	$x$ni sawa na hamsini na tatu
$y+9=2y−3$	$y$pamoja na tisa ni sawa na mbili$y$ minus tatu

Zoezi$\PageIndex{4}$

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. $2(x + 3) = 10$
2. $4(y - 1) + 1$
3. $x \div 25$
4. $y + 8 = 40$

Jibu

1. $2(x + 3) = 10$. Hii ni equation — maneno mawili yanaunganishwa na ishara sawa.
2. $4(y - 1) + 1$. Hii ni usemi — hakuna ishara sawa.
3. $x \div 25$. Hii ni usemi — hakuna ishara sawa.
4. $y + 8 = 40$. Hii ni equation — maneno mawili yanaunganishwa na ishara sawa.

Zoezi$\PageIndex{5}$

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. $3(x - 7) = 27$
2. $5(4y - 2) - 7$

Jibu

1. mlinganyo
2. kujieleza

Zoezi$\PageIndex{6}$

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. $y^{3} \div 14$
2. $4x - 6 = 22$

Jibu

1. kujieleza
2. mlinganyo

Tuseme tunahitaji kuzidisha mambo tisa ya$2$. Tunaweza kuandika hii kama$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Hii ni tedious na inaweza kuwa vigumu kuweka wimbo wa 2s wale wote, hivyo sisi kutumia exponents. Tunaandika$2\cdot 2 \cdot 2$ kama$2^{3}$ na$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ kama$2^{9}$. Katika maneno kama vile$2^{3}$, the$2$ inaitwa msingi na$3$ inaitwa exponent. Mtazamaji anatuambia mara ngapi tunahitaji kuzidisha msingi.

Kielelezo$\PageIndex{3}$

Tunasoma$2^{3}$ kama “mbili hadi nguvu ya tatu” au “mbili cubed.”

Tunasema$2^{3}$ ni katika nukuu kielelezo na$2\cdot 2 \cdot 2$ ni katika nukuu kupanua.

NUKUU YA KIELELEZO

$a^{n}$ina maana ya bidhaa ya$n$ sababu ya$a$.

Kielelezo$\PageIndex{4}$

Maneno$a^{n}$$a$ yanasomewa kwa$n^{th}$ nguvu.

Wakati tunasoma$a^{n}$ kama “$a$kwa$n^{th}$ nguvu,” mara nyingi tunasoma:

• $a^{2}$“mraba”
• $a^{3}$“mchemraba”

Tutaona baadaye kwa nini$a^{2}$ na$a^{3}$ kuwa na majina maalum.

Jedwali$\PageIndex{6}$ linaonyesha jinsi sisi kusoma baadhi ya maneno na exponents.

Jedwali$\PageIndex{6}$

Ufafanuzi	Katika Maneno
$7^{2}$	$7$kwa nguvu ya pili au$7$ mraba
$5^{3}$	$5$kwa nguvu ya tatu au$5$ cubed
$9^{4}$	$9$kwa nguvu ya nne
$12^{5}$	$12$kwa nguvu ya tano

Zoezi$\PageIndex{7}$

Kurahisisha:$3^{4}$

Jibu

$$\quad 3^{4}\nonumber$$
\ [kuanza {align*} & Panua maneno & & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ maandishi {Kuzidisha kushoto kwenda kulia} & & 9\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ maandishi {Kuzidisha} & & 27\ cdot 3\\ [5pt]
&\ maandishi {Kuzidisha} & & 81\ mwisho {align*}\]

Zoezi$\PageIndex{8}$

Kurahisisha:

1. $5^{3}$
2. $1^{7}$

Jibu

1. $125$
2. $1$

Zoezi$\PageIndex{9}$

1. $7^{2}$
2. $0^{5}$

Jibu

1. $49$
2. $0$

Kurahisisha Maneno Kutumia Utaratibu wa Uendeshaji

Kurahisisha kujieleza ina maana ya kufanya hesabu yote iwezekanavyo. Kwa mfano, ili kurahisisha$4\cdot 2 + 1$$4\cdot 2$ tunatarajia kwanza kuzidisha kupata$8$ na kisha kuongeza$1$ kupata$9$. Tabia nzuri ya kuendeleza ni kufanya kazi chini ya ukurasa, kuandika kila hatua ya mchakato chini ya hatua ya awali. Mfano ulioelezwa tu utaonekana kama hii:

$$4\cdot 2 + 1\nonumber$$

$$8 + 1\nonumber$$

$$9\nonumber$$

Kwa kutotumia ishara sawa unaporahisisha usemi, unaweza kuepuka maneno ya kuchanganyikiwa na milinganyo.

KURAHISISHA KUJIELEZA

Ili kurahisisha kujieleza, fanya shughuli zote katika maneno.

Tumeanzisha alama nyingi na nukuu zilizotumiwa katika algebra, lakini sasa tunahitaji kufafanua utaratibu wa shughuli. Vinginevyo, maneno yanaweza kuwa na maana tofauti, na inaweza kusababisha maadili tofauti. Kwa mfano, fikiria maneno:

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Ikiwa unarahisisha maneno haya, unapata nini?

Baadhi ya wanafunzi wanasema$49$,

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Tangu$4+3$ anatoa$7$.

$$7 \cdot 7\nonumber$$

Na$7\cdot 7$ ni$49$ $$49\nonumber$$

Wengine wanasema$25$,

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Tangu$3\cdot 7$ ni$21$.

$$4 + 21\nonumber$$

Na$21 + 4$ hufanya$25$.

$$25\nonumber$$

Fikiria machafuko katika mfumo wetu wa benki kama kila tatizo lilikuwa na majibu mbalimbali sahihi!

Maneno sawa yanapaswa kutoa matokeo sawa. Hivyo wanahisabati mapema walianzisha baadhi ya miongozo inayoitwa Order of Operations.

FANYA UTARATIBU WA SHUGHULI.

1. Mabano na Alama Zingine za Kundi
   • Kurahisisha maneno yote ndani ya mabano au alama nyingine za makundi, kufanya kazi kwenye mabano ya ndani ya kwanza.
2. Watetezi
   • Kurahisisha maneno yote na exponents.
3. Kuzidisha na Idara
   • Fanya kuzidisha na mgawanyiko wote ili kutoka kushoto kwenda kulia. Shughuli hizi zina kipaumbele sawa.
4. Kuongeza na Ondoa
   • Fanya kuongeza na uondoe kwa utaratibu kutoka kushoto kwenda kulia. Shughuli hizi zina kipaumbele sawa.

Kumbuka

Kufanya shughuli za Hisabati za Manipulative “Mchezo wa 24" itakupa mazoezi kwa kutumia utaratibu wa shughuli.

Wanafunzi mara nyingi huuliza, “Nitakumbuka jinsi gani?” Hapa ni njia ya kukusaidia kukumbuka: Chukua barua ya kwanza ya kila neno muhimu na ubadilishe maneno ya silly: “Tafadhali udhuru Shangazi My Dear Sally.”

\ [kuanza {align*} &\ textbf {P}\ maandishi {arentheses} &\ maandishi {P}\ maandishi {kukodisha}\ [5pt] &\ maandishi {E}\ maandishi {vipengele}
& &\ maandishi {E}\ maandishi {E}\ maandishi {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\ Nakala {E}\\ textbf {D}\ maandishi {mgawanyo} & &\ maandishi {M}\ maandishi {y}\ nafasi\ maandishi {D}\ maandishi
{sikio}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ maandishi {dition}\ nafasi\ textbf {S}\ maandishi {Ondoa} & &\ textbf {A}\ maandishi {unt}\ nafasi\ textbf {S}\ maandishi {mshirika}\ mwisho {align*}\]

Ni vizuri kwamba “$\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear}$” huenda pamoja, kwa kuwa hii inatukumbusha kwamba kuzidisha na mgawanyiko wangu una kipaumbele sawa. Hatuna daima kuzidisha kabla ya mgawanyiko au daima kufanya mgawanyiko kabla ya kuzidisha. Tunawafanya ili kutoka kushoto kwenda kulia.

Vile vile, “$\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}$” huenda pamoja na hivyo inatukumbusha kwamba kuongeza na uondoaji pia una kipaumbele sawa na tunazifanya kwa utaratibu kutoka kushoto kwenda kulia.

Hebu jaribu mfano.

Zoezi$\PageIndex{10}$

Kurahisisha:

1. $4 + 3\cdot 7$
2. $(4 + 3)\cdot 7$

Jibu

1.

	$4 + 3 \cdot 7$
Je, kuna arentheses yoyote p? Hapana.
Je, kuna vipengele vingi vya re? Hapana.
Je, kuna mengi yangu kuzidisha au kufanya mgawanyiko? Ndiyo.
Panua kwanza.	$4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}$
Ongeza.	$4+21$
	$25$

2.

	$(4 + 3)\cdot 7$
Je, kuna arentheses yoyote p? Ndiyo.	${\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7$
Kurahisisha ndani ya mabano.	$({\color{red}{7}})7$
Je, kuna vipengele vingi vya re? Hapana.
Je, kuna mengi yangu kuzidisha au kufanya mgawanyiko? Ndiyo.
Kuzidisha.	$49$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Kurahisisha:

1. $12 - 5\cdot 2$
2. $(12 - 5)\cdot 2$

Jibu

1. $2$
2. $14$

Zoezi$\PageIndex{12}$

Kurahisisha:

1. $8 + 3\cdot 9$
2. $(8 + 3)\cdot 9$

Jibu

1. $35$
2. $99$

Zoezi$\PageIndex{13}$

Kurahisisha:$18\div 6 + 4(5 - 2)$

Jibu

Mabano? Ndiyo, toa kwanza.	$18\div 6 + 4(5 - 2)$ $18\div 6 + 4(3)$
Watetezi? Hapana.
Kuzidisha au mgawanyiko? Ndiyo.	${\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}$
Gawanya kwanza kwa sababu tunazidisha na kugawanya kushoto kwenda kulia.	$3+{\color{red}{4(3)}}$
Yoyote kuzidisha nyingine au mgawanyiko? Ndiyo.
Kuzidisha.	$3 + 12$
Yoyote kuzidisha nyingine au mgawanyiko? Hapana.
Aidha yoyote au kuondoa? Ndiyo.	$15$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Kurahisisha:$30\div 5 + 10(3 - 2)$

Jibu

$16$

Zoezi$\PageIndex{15}$

Kurahisisha:$70\div 10 + 4(6 - 2)$

Jibu

$23$

Wakati kuna alama nyingi kambi, sisi kurahisisha mabano ndani ya kwanza na kufanya kazi nje.

Zoezi$\PageIndex{16}$

Kurahisisha:$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$.

Jibu

	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$
Je, kuna mabano yoyote (au ishara nyingine ya makundi)? Ndiyo.
Kuzingatia mabano yaliyo ndani ya mabano.	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]$
Ondoa.	$5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]$
Endelea ndani ya mabano na uongeze.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]$
Endelea ndani ya mabano na uondoe.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]$
Maneno ndani ya mabano hayahitaji kurahisisha zaidi.
Je, kuna exponents yoyote? Ndiyo.	$5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]$
Kurahisisha watetezi.	$5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}$
Je, kuna kuzidisha au mgawanyiko wowote? Ndiyo.
Kuzidisha.	${\color{red}{5 + 8}}+0$
Je, kuna kuongeza au kuondoa? Ndiyo.
Ongeza.	${\color{red}{13 + 0}}$
Ongeza.	$13$

Zoezi$\PageIndex{17}$

Kurahisisha:$9 + 5^{3} - [4(9 + 3)]$.

Jibu

$86$

Zoezi$\PageIndex{18}$

Kurahisisha:$7^{2} - 2[4(5 + 1)]$.

Jibu

$1$

Tathmini ya Kuelezea

Katika mifano michache iliyopita, sisi rahisi maneno kwa kutumia utaratibu wa shughuli. Sasa tutaweza kutathmini baadhi ya kujieleza - tena kufuatia utaratibu wa shughuli. Kutathmini njia ya kujieleza ina maana ya kupata thamani ya kujieleza wakati kutofautiana inabadilishwa na nambari iliyotolewa.

TATHMINI KUJIELEZA

Kutathmini njia ya kujieleza ina maana ya kupata thamani ya kujieleza wakati kutofautiana inabadilishwa na nambari iliyotolewa.

Kutathmini usemi, badala ya idadi hiyo kwa variable katika kujieleza na kisha kurahisisha kujieleza.

Zoezi$\PageIndex{19}$

Tathmini$7x - 4$, wakati

1. $x = 5$
2. $x = 1$

Jibu

1.

lini$x = {\color{red}{5}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{5}}) - 4$
Kuzidisha.	$35 - 4$
Ondoa.	$31$

2.

lini$x = {\color{red}{1}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{1}}) - 4$
Kuzidisha.	$7 - 4$
Ondoa.	$3$

Zoezi$\PageIndex{20}$

Tathmini$8x - 3$, wakati

1. $x = 2$
2. $x = 1$

Jibu

1. $13$
2. $5$

Zoezi$\PageIndex{21}$

Tathmini$4y - 4$, wakati

1. $y = 3$
2. $y = 5$

Jibu

1. $8$
2. $16$

Zoezi$\PageIndex{22}$

Tathmini$x = 4$, wakati

1. $x^{2}$
2. $3^{x}$

Jibu

1.

	$x^{2}$
Badilisha nafasi$x$ na${\color{red}{4}}$.	$({\color{red}{4}})^{2}$
Matumizi ufafanuzi wa exponent.	$4\cdot 4$
Kurahisisha.	$16$

2.

	$3^{x}$
Badilisha nafasi$x$ na${\color{red}{4}}$.	\(3^ ParseError: invalid DekiScript (click for details) Callstack: at (Kiswahili/Kitabu:_Elementary_Algebra_(OpenStax)/01:_Misingi/1.03:_Tumia_Lugha_ya_Algebra), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1 \)
Matumizi ufafanuzi wa exponent.	$3\cdot3\cdot3\cdot3$
Kurahisisha.	$81$

Zoezi$\PageIndex{23}$

Tathmini$x = 3$, wakati

1. $x^{2}$
2. $4^{x}$

Jibu

1. $9$
2. $64$

Zoezi$\PageIndex{24}$

Tathmini$x = 6$, wakati

1. $x^{3}$
2. $2^{x}$

Jibu

1. $216$
2. $64$

Zoezi$\PageIndex{25}$

Tathmini$2x^{2} + 3x + 8$ wakati$x = 4$.

Jibu

	$2x^{2} + 3x + 8$
Mbadala$x = {\color{red}{4}}$.	$\small{2x^{2} + 3x + 8}$ $2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8$
Fuata utaratibu wa shughuli.	$2(16)+3(4)+8$
	$32+12+8$
	$52$

Zoezi$\PageIndex{26}$

Tathmini$3x^{2} + 4x + 1$ wakati$x = 3$.

Jibu

$40$

Zoezi$\PageIndex{27}$

Tathmini$6x^{2} - 4x - 7$ wakati$x = 2$.

Jibu

$9$

Tambua na Unganisha Kama Masharti

Maneno ya algebraic yanajumuishwa na maneno. Neno ni mara kwa mara, au bidhaa ya vigezo vya mara kwa mara na moja au zaidi.

MREFU

Neno ni mara kwa mara, au bidhaa ya vigezo vya mara kwa mara na moja au zaidi.

Mifano ya maneno ni$7, y, 5x^{2}, 9a$, na$b^{5}$.

Mara kwa mara ambayo huzidisha variable inaitwa mgawo.

MGAWO

Mgawo wa neno ni mara kwa mara ambayo huzidisha kutofautiana kwa muda.

Fikiria mgawo kama namba mbele ya kutofautiana. Mgawo wa neno$3x$ ni$3$. Tunapoandika$x$, mgawo ni$1$, tangu$x=1\cdot x$.

Zoezi$\PageIndex{28}$

Tambua mgawo wa kila neno:

1. $14y$
2. $15x^{2}$
3. $a$

Jibu

1. Mgawo wa$14y$ ni$14$
2. Mgawo wa$15x^{2}$ ni$15$
3. Mgawo wa$a$ ni$1$ tangu$a=1a$.

Zoezi$\PageIndex{29}$

Tambua mgawo wa kila neno:

1. $17x$
2. $41b^{2}$
3. $z$

Jibu

1. $14$
2. $41$
3. $1$

Zoezi$\PageIndex{30}$

Tambua mgawo wa kila neno:

1. $9p$
2. $13a^{2}$
3. $y^{3}$

Jibu

1. $9$
2. $13$
3. $1$

Baadhi ya maneno hushiriki sifa za kawaida. Angalia masharti 6 yafuatayo. Ambayo inaonekana kuwa na sifa za kawaida?

$$5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber$$

Ya$7$ na$4$ ni maneno ya mara kwa mara.

Ya$5x$ na$3x$ ni wote suala na$x$.

Ya$n^{2}$ na$9n^{2}$ ni wote suala na$n^{2}$.

Wakati maneno mawili ni constants au kuwa variable sawa na exponent, tunasema wao ni kama maneno.

• $7$na$4$ ni kama maneno.
• $5x$na$3x$ ni kama maneno.
• $x^{2}$na$9x^{2}$ ni kama maneno.

KAMA MANENO

Masharti ambayo ni ama constants au kuwa na vigezo sawa kukulia kwa nguvu sawa ni kuitwa kama maneno.

Zoezi$\PageIndex{31}$

Tambua maneno kama hayo:$y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}$.

Jibu

$y^{3}$na$4y^{3}$ ni kama maneno kwa sababu wote wana$y^{3}$; variable na exponent mechi.

$7x^{2}$na$5x^{2}$ ni kama maneno kwa sababu wote wana$x^{2}$; variable na exponent mechi.

$14$na$23$ ni kama maneno kwa sababu wote ni constants.

Hakuna neno lingine kama$9x$.

Zoezi$\PageIndex{32}$

Tambua maneno kama hayo:$9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}$.

Jibu

$9$na$15$,$y^{2}$ na$11y^{2}$,$2x^{3}$ na$8x^{3}$

Zoezi$\PageIndex{33}$

Tambua maneno kama hayo:$4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}$.

Jibu

$19$na$24$,$8x^{2}$ na$3x^{2}$,$4x^{3}$ na$6x^{3}$

Kuongeza au kuondoa maneno huunda usemi. Katika maneno$2x^{2} + 3x + 8$, kutoka Mfano, maneno matatu ni$2x^{2}$$3x$, na$8$.

Zoezi$\PageIndex{34}$

Tambua maneno katika kila kujieleza.

1. $9x^{2}+7x+12$
2. $8x+3y$

Jibu

1. Masharti ya$9x^{2}+7x+12$ ni$9x^{2}, 7x$, na$12$.
2. Masharti ya$8x+3y$ ni$8x$ na$3y$.

Zoezi$\PageIndex{35}$

Tambua maneno katika maneno$4x^{2}+5x+17$.

Jibu

$4x^{2}, 5x, 17$

Zoezi$\PageIndex{36}$

Tambua maneno katika maneno$5x+2y$.

Jibu

$5x, 2y$

Ikiwa kuna maneno kama hayo katika kujieleza, unaweza kurahisisha maneno kwa kuchanganya maneno kama hayo. Unafikiri$4x+7x+x$ ingekuwa kurahisisha kwa? Ikiwa umefikiri$12x$, ungekuwa sahihi!

$$\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}$$

Ongeza coefficients na uendelee kutofautiana sawa. Haijalishi nini x ni - kama una 4 ya kitu na kuongeza 7 zaidi ya kitu kimoja na kisha kuongeza 1 zaidi, matokeo ni 12 wao. Kwa mfano, machungwa 4 pamoja na machungwa 7 pamoja na machungwa 1 ni machungwa 12. Tutajadili mali ya hisabati nyuma ya hili baadaye.

Kurahisisha:$4x+7x+x$

Ongeza coefficients. $12x$

Zoezi$\PageIndex{37}$: How To Combine Like Terms

Kurahisisha:$2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5$

Jibu

Zoezi$\PageIndex{38}$

Kurahisisha:$3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8$.

Jibu

$10x^{2}+16x+17$

Zoezi$\PageIndex{39}$

Kurahisisha:$4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5$.

Jibu

$12y^{2}+9y+7$

KUCHANGANYA KAMA MANENO.

1. Tambua maneno kama.
2. Panga upya maneno ili kama maneno ni pamoja.
3. Kuongeza au Ondoa coefficients na kuweka variable sawa kwa kila kundi la maneno kama.

Tafsiri Maneno ya Kiingereza kwa kujieleza Algebraic

Katika sehemu ya mwisho, sisi waliotajwa alama nyingi operesheni ambayo hutumiwa katika algebra, basi sisi kutafsiriwa maneno na equations katika misemo Kiingereza na sentensi. Sasa tutabadilisha mchakato. Tutafsiri misemo ya Kiingereza katika maneno ya algebraic. alama na vigezo tumekuwa kuongelea kutusaidia kufanya hivyo. $\PageIndex{7}$Jedwali linawafupisha.

Jedwali$\PageIndex{7}$

Operesheni	Maneno	Ufafanuzi
Ongezeko	$a$pamoja na jumla$b$ ya$a$ na$b$ $a$ kuongezeka kwa$b$ $b$ zaidi$a$ ya jumla ya$a$ na$b$ $b$imeongezwa kwa$a$	$$a+b$$
Kutoa	$a$minus tofauti$b$ ya$a$ na$b$ $a$ ilipungua kwa$b$ $b$ chini ya$a$ $b$ subtracted kutoka$a$	$$a−b$$
Kuzidisha	$a$mara bidhaa$b$ ya$a$ na$b$ mara mbili$a$	$$a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)$$ $$2a$$
Mgawanyiko	$a$$b$ kugawanywa na quotient ya$a$ na uwiano$b$ wa$a$ na$b$ $b$ kugawanywa katika$a$	$$a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$$

Angalia kwa karibu maneno haya kwa kutumia shughuli nne:

Kielelezo$\PageIndex{5}$

Kila maneno inatuambia kufanya kazi kwa namba mbili. Angalia maneno ya na kupata idadi.

Zoezi$\PageIndex{40}$

Tafsiri kila maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. tofauti ya$17x$ na$5$
2. quotient ya$10x^{2}$ na$7$.

Jibu

1. Neno muhimu ni tofauti, ambalo linatuambia operesheni ni kuondoa. Angalia kwa maneno ya na t o kupata idadi ya Ondoa.
   
2. Neno muhimu ni “quotient,” ambayo inatuambia operesheni ni mgawanyiko.

Hii pia inaweza kuandikwa$10x^{2}/7$ au$\dfrac{10x^{2}}{7}$.

Zoezi$\PageIndex{41}$

Tafsiri kila maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. tofauti ya$14x^{2}$ na$13$
2. quotient ya$12x$ na$2$.

Jibu

1. $14x^{2} - 13$
2. $12x \div 2$

Zoezi$\PageIndex{42}$

Tafsiri kila maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. jumla ya$17y^{2}$ na$19$
2. bidhaa ya$7$ na$y$.

Jibu

1. $17y^{2} + 19$
2. $7y$

Utakuwa na umri gani katika miaka nane? Ni umri gani zaidi ya miaka nane kuliko umri wako sasa? Je, umeongeza 8 hadi umri wako wa sasa? Nane “zaidi ya” inamaanisha 8 imeongezwa kwa umri wako wa sasa. Ulikuwa na umri gani miaka saba iliyopita? Hii ni miaka 7 chini ya umri wako sasa. Unaondoa 7 kutoka kwa umri wako wa sasa. Saba “chini ya” inamaanisha 7 imetolewa kutoka umri wako wa sasa.

Zoezi$\PageIndex{43}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. Kumi na saba zaidi ya$y$
2. Tisa chini ya$9x^{2}$.

Jibu

1. Maneno muhimu ni zaidi ya. Wao kutuambia operesheni ni kuongeza. Zaidi ya maana “aliongeza kwa.”

   $\begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}$

2. Maneno muhimu ni chini ya. Wanatuambia tuondoe. Chini ya maana “imetolewa kutoka.”

   $\begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}$

Zoezi$\PageIndex{44}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. kumi na moja zaidi ya x
2. Kumi na nne chini ya$11a$.

Jibu

1. $x+11$
2. $11a−14$

Zoezi$\PageIndex{45}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. $13$zaidi$z$
2. $18$chini ya$8x$.

Jibu

1. $z+13$
2. $8x−18$

Zoezi$\PageIndex{46}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. mara tano jumla ya$m$ na$n$
2. Jumla ya mara tano$m$ na$n$.

Jibu

Kuna operesheni mbili words— mara inatuambia kuzidisha na jumla inatuambia kuongeza.
1. Kwa sababu sisi ni kuzidisha$5$ mara jumla tunahitaji mabano karibu jumla ya$m$ na$n$,$(m+n)$. Hii inatuwezesha kuamua jumla ya kwanza. (Kumbuka utaratibu wa shughuli.)

$$\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}$$

2. Ili kuchukua jumla, tunatafuta maneno “ya” na “na” ili kuona kile kinachoongezwa. Hapa tunachukua jumla ya mara tano$m$ na\ (n\.)

$$\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}$$

Zoezi$\PageIndex{47}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. mara nne jumla ya$p$ na$q$
2. Jumla ya mara nne$p$ na$q$.

Jibu

1. $4(p+q)$
2. $4p+q$

Zoezi$\PageIndex{48}$

Tafsiri maneno ya Kiingereza katika usemi wa algebraic:

1. tofauti ya mara mbili x na$8$,
2. mara mbili tofauti ya x na$8$.

Jibu

1. $2x−8$
2. $2(x−8)$

Baadaye katika kozi hii, tutaweza kutumia ujuzi wetu katika algebra kutatua maombi. Hatua ya kwanza itakuwa kutafsiri maneno ya Kiingereza kwa kujieleza kwa algebraic. Tutaona jinsi ya kufanya hivyo katika mifano miwili ijayo.

Zoezi$\PageIndex{49}$

Urefu wa mstatili ni$6$ chini ya upana. Hebu$w$ kuwakilisha upana wa mstatili. Andika maneno kwa urefu wa mstatili.

Jibu

$$\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}$$

Zoezi$\PageIndex{50}$

Urefu wa mstatili ni$7$ chini ya upana. Hebu$w$ kuwakilisha upana wa mstatili. Andika maneno kwa urefu wa mstatili.

Jibu

$w - 7$

Zoezi$\PageIndex{51}$

Upana wa mstatili ni$6$ chini ya urefu. Hebu$l$ kuwakilisha urefu wa mstatili. Andika maneno kwa upana wa mstatili.

Jibu

$l - 6$

Zoezi$\PageIndex{52}$

Juni ina dimes na robo katika mfuko wake. Idadi ya dimes ni tatu chini ya mara nne idadi ya robo. Hebu$q$ kuwakilisha idadi ya robo. Andika maneno kwa idadi ya dimes.

Jibu

$$\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}$$

Zoezi$\PageIndex{53}$

Geoffrey ana dimes na robo katika mfuko wake. Idadi ya dimes ni nane chini ya mara nne idadi ya robo. Hebu$q$ kuwakilisha idadi ya robo. Andika maneno kwa idadi ya dimes.

Jibu

$4q - 8$

Zoezi$\PageIndex{54}$

Lauren ana dimes na nickels katika mfuko wake. Idadi ya dimes ni tatu zaidi ya mara saba idadi ya nickels. Hebu$n$ kuwakilisha idadi ya nickels. Andika maneno kwa idadi ya dimes.

Jibu

$7n + 3$

Dhana muhimu

• Notation Matokeo ni...
  $\begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}$
• Ukosefu wa usawa
  $\begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}$
• Usawa alama Maneno
  $\begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}$
• Kundi Alama
  • Mabano ()
  • Mabano []
  • Braces {}
• Nukuu ya kielelezo
  • $a^{n}$ina maana ya bidhaa ya$n$ sababu ya$a$. Maneno$a^{n}$$a$ yanasomewa kwa$n^{th}$ nguvu.
• Amri ya Uendeshaji: Wakati kurahisisha maneno ya hisabati kufanya shughuli kwa utaratibu wafuatayo:
  1. Mabano na nyingine Kundi Symbols: Kurahisisha maneno yote ndani ya mabano au alama nyingine kambi, kazi ya mabano ndani ya kwanza.
  2. Watazamaji: Kurahisisha maneno yote na exponents.
  3. Kuzidisha na Idara: Kufanya kuzidisha wote na mgawanyiko ili kutoka kushoto kwenda kulia. Shughuli hizi zina kipaumbele sawa.
  4. Kuongezea na Kuondoa: Fanya uongeze wote na uondoe ili kutoka kushoto kwenda kulia. Shughuli hizi zina kipaumbele sawa.
• Kuchanganya Kama Masharti
  1. Tambua maneno kama hayo.
  2. Panga upya maneno ili kama maneno ni pamoja.
  3. Kuongeza au Ondoa coefficients na kuweka variable sawa kwa kila kundi la maneno kama.

faharasa

mgawo

Mgawo wa neno ni mara kwa mara ambayo huzidisha kutofautiana kwa muda.

mara kwa mara

Mara kwa mara ni namba ambayo thamani yake daima inakaa sawa.

ishara ya usawa

Ishara “$=$” inaitwa ishara sawa. Tunasoma$a=b$ kama “$a$ni sawa na$b$.”

mlinganyo

Equation ni maneno mawili yanayounganishwa na ishara sawa.

tathmini ya kujieleza

Kutathmini njia ya kujieleza ina maana ya kupata thamani ya kujieleza wakati kutofautiana inabadilishwa na nambari iliyotolewa.

usemi

Maneno ni namba, kutofautiana, au mchanganyiko wa namba na vigezo kwa kutumia alama za uendeshaji.

kama maneno

Masharti ambayo ni ama constants au kuwa na vigezo sawa kukulia kwa nguvu sawa ni kuitwa kama maneno.

kurahisisha kujieleza

Ili kurahisisha kujieleza, fanya shughuli zote katika maneno.

muda

Neno ni mara kwa mara au bidhaa ya vigezo vya mara kwa mara na moja au zaidi.

kutofautiana

Variable ni barua inayowakilisha namba ambayo thamani yake inaweza kubadilika.