Skip to main content
Global

28.4: Uongeze wa Uhusiano wa Velocities

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    183003

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Mahesabu relativistic kasi kuongeza.
    • Eleza wakati kuongeza kasi ya relativistic inapaswa kutumika badala ya kuongeza classical ya kasi.
    • Tumia mabadiliko ya Doppler ya relativistic.

    Kama umewahi kuona kayak hoja chini ya mto haraka-kusonga, unajua kwamba kukaa katika sehemu moja itakuwa vigumu. Mto wa sasa huvuta kayak pamoja. Kusuuza makasia nyuma dhidi ya maji inaweza kusonga Kayak mbele katika maji, lakini hiyo ni akaunti tu kwa sehemu ya kasi. Mwendo wa kayak ni mfano wa kuongeza classical ya kasi. Katika fizikia ya classical, kasi huongeza kama vectors. Kasi ya Kayak ni jumla ya vector ya kasi yake ikilinganishwa na maji na kasi ya maji ikilinganishwa na ukingo wa mto.

    Mtu aliye na mkondo mkononi mwake ni kayaking chini ya mto usiojulikana sana.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): kasi ya jumla ya Kayak, kama hii moja kwenye Deerfield River katika Massachusetts, ni kasi yake jamaa na maji pamoja na kasi ya maji jamaa na ukingo wa mto. (mikopo: abkfenris, Flickr)

    Classical Velocity Aidha

    Kwa unyenyekevu, sisi kuzuia kuzingatia yetu ya kuongeza kasi kwa mwendo moja-dimensional. Kwa kawaida, kasi huongeza kama namba za kawaida katika mwendo mmoja (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Tuseme, kwa mfano, msichana anaendesha sled kwa kasi 1.0 m/s kuhusiana na mwangalizi. Anatupa mpira wa theluji kwanza mbele, kisha kurudi kwa kasi ya 1.5 m/s kuhusiana na sled. Tunaashiria mwelekeo na ishara pamoja na minus katika mwelekeo mmoja; katika mfano huu, mbele ni chanya. Hebu\(v\) kuwa kasi ya sled jamaa na Dunia, kasi\(u\) ya snowball jamaa na mwangalizi wa Dunia, na kasi\(u'\) ya snowball jamaa na sled.

    Katika sehemu a, mtu ni kuunganisha sled kuelekea haki na kasi v sawa hatua moja sifuri mita kwa sekunde. Msichana ameketi juu ya sled inakabiliwa mbele anatupa snowball kuelekea mvulana upande wa kulia wa picha. Snowball ni kinachoitwa u primed sawa na hatua moja mita tano kwa pili katika mwelekeo sled ni kuwa vunjwa. Mvulana huyo anaitwa hatua mbili mita tano kwa pili. Katika takwimu b, takwimu sawa inavyoonyeshwa, lakini kasi ya mtu ni mita moja ya sifuri kwa pili, msichana anakabiliwa na nyuma na kutupa mpira wa theluji nyuma ya sled. Snowball ni kinachoitwa u primed sawa hasi hatua moja mita tano kwa pili, na mvulana ni studio u sawa hasi sifuri uhakika mita tano kwa pili.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kwa kawaida, kasi huongeza kama namba za kawaida katika mwendo mmoja. Hapa msichana hutupa mpira wa theluji mbele na kisha kurudi kutoka sled. Kasi ya sled jamaa na Dunia ni\(v = 1.0 \, m/s\). Kasi ya jamaa ya theluji ya theluji na lori ni\(u'\), wakati kasi yake ikilinganishwa na Dunia ni\(u\). Classically,\(u = v + u'\).

    CLASSICAL KASI KUONGEZA

    \[u = v + u'\]

    Hivyo, wakati msichana anatupa mbele ya snowball,\(U = 1.0 \, m/s + 1.5 \, m/s = 2.5 \, m/s\). Inafanya hisia nzuri ya kuvutia kwamba mpira wa theluji utaelekea mwangalizi wa Dunia kwa kasi, kwa sababu inatupwa mbele kutoka gari linalohamia. Wakati msichana throws snowball nyuma,\(u = 1.0 \, m/s + (-1.5 \, m/s) = -0.5 \, m/s\). Ishara ndogo inamaanisha kuwa mpira wa theluji huenda mbali na mwangalizi wa Dunia.

    Relativistic Velocity Aidha

    Postulate ya pili ya relativity (kuthibitishwa na uchunguzi wa kina wa majaribio) inasema kuwa kuongeza kasi ya classical haitumiki kwa mwanga. Fikiria gari linalosafiri usiku kando ya barabara moja kwa moja, kama ilivyo kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\). Kama classical kasi kuongeza kutumika kwa mwanga, basi mwanga kutoka headlights gari ingekuwa mbinu mwangalizi juu ya sidewalk kwa kasi\(u = v + c\). Lakini tunajua kwamba mwanga utaondoka kwenye gari kwa kasi\(c\) kuhusiana na dereva wa gari, na mwanga utahamia kuelekea mwangalizi kwenye barabara ya barabara kwa kasi\(c\), pia.

    Gari linasonga kuelekea kulia na kasi v. mvulana amesimama upande wa kutembea anaona gari. Kasi ya mwanga u primed inavyoonekana kuwa c kama inavyoonekana na msichana katika gari na kasi ya mwanga u pia ni c kama aliona na mvulana.
    Kielelezo:Kwa\(\PageIndex{3}\) mujibu wa majaribio na postulate ya pili ya relativity, mwanga kutoka kwa vichwa vya gari huenda mbali na gari kwa kasi na\(c\) kuelekea mwangalizi kwenye barabara ya barabara kwa kasi.\(c\) Classical kasi Aidha si halali.

    RELATIVISTIC KASI KUONGEZA

    Aidha mwanga ni ubaguzi, au classical kasi kuongeza formula tu kazi katika kasi ya chini. Mwisho ni kesi. Fomu sahihi kwa kuongeza moja-dimensional relativistic kasi ni

    \[u = \dfrac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}},\]

    wapi\(v\) kasi ya jamaa kati ya waangalizi wawili,\(u\) ni kasi ya kitu kinachohusiana na mwangalizi mmoja, na\(u'\) ni kasi ya jamaa na mwangalizi mwingine. (Kwa urahisi wa taswira, mara nyingi tunachagua kupima\(u\) katika sura yetu ya kumbukumbu, wakati mtu anayehamia\(v\) jamaa na sisi hatua\(u'\).) Kumbuka kuwa neno\(\frac{vu'}{c^2}\) inakuwa ndogo sana katika kasi ya chini, na\(u = \frac{v + u}{1 + \frac{vu'}{v^2}}\) inatoa matokeo karibu sana na kuongeza classical kasi. Kama kabla, tunaona kwamba classical kasi Aidha ni makadirio bora kwa sahihi relativistic formula kwa kasi ndogo. Si ajabu kwamba inaonekana sahihi katika uzoefu wetu.

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Showing that the Speed of Light towards an Observer is Constant (in a Vacuum): The Speed of Light is the Speed of Light

    Tuseme spaceship inayoelekea moja kwa moja kuelekea Dunia kwa nusu kasi ya mwanga hutuma ishara kwetu kwenye boriti ya mwanga inayozalishwa na laser. Kutokana na kwamba mwanga unaacha meli kwa kasi kama inavyoonekana kutoka kwa meli, uhesabu kasi ambayo inakaribia Dunia.

    spacecraft inaelekea dunia v sawa sifuri uhakika tano sifuri mara sifuri c. boriti laser kutoka meli husafiri kuelekea Dunia na kasi c kama inavyoonekana kwa vector. spaceship pili kusafiri mbali na Dunia. Kasi ya meli ya pili na laser ya pili ni sawa na ya kwanza, lakini kwa upande mwingine.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Mkakati

    Kwa sababu mwanga na spaceship ni kusonga kwa kasi relativistic, hatuwezi kutumia rahisi kasi kuongeza. Badala yake, tunaweza kuamua kasi ambayo nuru inakaribia Dunia kwa kutumia kuongeza kasi ya relativistic.

    Suluhisho

    1. Tambua maarifa:\(v = 0.500 c\);\(u' = c\)
    2. Tambua haijulikani:\(u\)
    3. Chagua equation sahihi:\(u = \frac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}}\).
    4. Plug knowns katika equation. \[u = \dfrac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}} = \dfrac{0.500 c + c}{1 + \frac{(0.500C)(c)}{c^2}} = \dfrac{(0.500 +1)c}{1 + \frac{0.500c^2}{c^2}} = \dfrac{1.500 c}{1 + 0.500} = \dfrac{1.500c}{1.500} + c\]

    Majadiliano

    Relativistic kasi kuongeza inatoa matokeo sahihi. Mwanga huacha meli kwa kasi

    na inakaribia Dunia kwa kasi\(c\). Kasi ya nuru ni huru ya mwendo wa jamaa wa chanzo na mwangalizi, kama mwangalizi yuko kwenye meli au Dunia-amefungwa.

    Velocities haiwezi kuongeza zaidi kuliko kasi ya nuru, isipokuwa kwamba\(v\) ni chini ya\(c\) na\(u'\) hayazidi\(c\). mfano zifuatazo unaeleza kwamba relativistic kasi Aidha si kama ulinganifu kama classical kasi Aidha.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): Comparing the Speed of Light towards and away from an Observer: Relativistic Package Delivery

    Tuseme spaceship katika mfano uliopita inakaribia Dunia kwa nusu kasi ya mwanga na shina canister kwa kasi ya\(0.750 c\).

    1. Kwa kasi gani mwangalizi wa Dunia ataona canister ikiwa inapigwa risasi moja kwa moja kuelekea Dunia?
    2. Ikiwa ni risasi moja kwa moja mbali na Dunia? (Kielelezo\(\PageIndex{5}\)).
    Katika sehemu ya, spaceship ni kusonga kuelekea dunia kutoka kushoto kwenda kulia na kasi v sawa na sifuri uhakika tano mara sifuri c. spaceships shina canister kuelekea dunia na kasi u mkuu sawa sifuri uhakika saba mara tano c. mtu anasimama stationary duniani kuchunguza. Katika sehemu ya b, spaceship hupiga canister mbali na dunia kwa kasi sawa. Katika hali zote mbili, kasi ya meli ni v sawa 0 uhakika tano mara sifuri c kuelekea kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    Mkakati

    Kwa sababu canister na spaceship ni kusonga kwa kasi relativistic, ni lazima kuamua kasi ya canister na mwangalizi duniani amefungwa kutumia relativistic kasi Aidha badala ya kuongeza kasi rahisi.

    Suluhisho kwa (a)

    1. Tambua maarifa:\(v = 0.500 c\);\(u' = 0.750 c\)
    2. Tambua haijulikani:\(u\)
    3. Chagua equation sahihi:\(u = \frac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}}\)
    4. Plug knowns katika equation:\[ u = \dfrac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}} = \dfrac{0.500 c + 0.750 c}{1 + \frac{(0.500 c)(0.750 c)}{c^2}} = \dfrac{1.250 c}{1 + 0.375)} = 0.909 c\]

    Suluhisho kwa (b)

    1. Tambua maarifa:\(v = 0.500 c\);\(u' = -0.750 c\)
    2. Tambua haijulikani:\(u\)
    3. Chagua equation sahihi:\(u = \frac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}}\)
    4. Plug knowns katika equation:\[u = \dfrac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}} = \dfrac{0.500 c + (-0.750 c)}{1 + \frac{(0.500 C)(-0.750 c)}{c^2}} = \dfrac{-0.250 c}{1 - 0.375} = -0.400 c\]

    Majadiliano

    Ishara ndogo inaonyesha kasi mbali na Dunia (kinyume chake kutoka\(v\)), ambayo inamaanisha canister inaelekea Dunia kwa sehemu (a) na mbali kwa sehemu (b), kama inavyotarajiwa. Lakini kasi za relativistic haziongeze kama vile wanavyofanya classically. Katika sehemu (a), canister haina mbinu Dunia kwa kasi, lakini si kwa jumla rahisi ya\(1.250 c\). Kasi ya jumla ni chini ya ungependa kupata classically. Na katika sehemu (b), canister hatua mbali na Dunia kwa kasi ya\(-0.400c\), ambayo ni kasi zaidi kuliko\(-0.250 c\) wewe bila kutarajia classically. Velocities si hata symmetric. Katika sehemu (a) canister hatua\(0.409 c\) kwa kasi zaidi kuliko meli jamaa na Dunia, ambapo katika sehemu (b) ni hatua\(0.900 c\) polepole kuliko meli.

    Doppler Shift

    Ingawa kasi ya mwanga haibadilika na kasi ya jamaa, masafa na wavelengths ya mwanga hufanya. Kwanza kujadiliwa kwa mawimbi ya sauti, mabadiliko ya Doppler hutokea katika wimbi lolote wakati kuna mwendo wa jamaa kati ya chanzo na mwangalizi.

    MADHARA YA DOPPLER RELATIVIS

    Wavelength iliyoonekana ya mionzi ya sumakuumeme ni ndefu (inayoitwa kuhama nyekundu) kuliko ile iliyotolewa na chanzo wakati chanzo kinapoondoka kwa mwangalizi na kifupi (kinachoitwa mabadiliko ya buluu) wakati chanzo kinaelekea mwangalizi.

    \[\lambda_{obs} = \lambda_s \sqrt{\dfrac{1 + \frac{u}{c}}{1 - \frac{u}{c}}}\]

    Katika equation Doppler\(\lambda_{obs}\) ni wavelength aliona,\(\lambda_s\) ni wavelength chanzo, na\(u\) ni kasi ya jamaa ya chanzo kwa mwangalizi. Kasi\(u\) ni chanya kwa mwendo mbali na mwangalizi na hasi kwa mwendo kuelekea mwangalizi. Kwa upande wa chanzo frequency na aliona frequency, equation hii inaweza kuandikwa\[f_{obs} = f_s \sqrt{\dfrac{1 - \frac{u}{c}}{1 + \frac{u}{c}}}.\] Taarifa kwamba — na + ishara ni tofauti na katika wavelength equation.

    KAZI UHUSIANO: ASTRONOMIA

    Ikiwa una nia ya kazi ambayo inahitaji ujuzi wa relativity maalum, pengine hakuna uhusiano bora kuliko astronomia. Wanaastronomia wanapaswa kuzingatia athari za relativistic wakati wanahesabu umbali, nyakati, na kasi ya mashimo meusi, galaxi, quasars, na vitu vingine vyote vya angani. Ili kuwa na kazi katika astronomia, unahitaji angalau shahada ya kwanza katika fizikia ama au astronomia, lakini shahada ya Mwalimu au udaktari mara nyingi inahitajika. Pia unahitaji background nzuri katika hisabati ya kiwango cha juu.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Calculating a Doppler Shift: Radio Waves from a Receding Galaxy

    Tuseme galaksi inakwenda mbali na Dunia kwa kasi\(0.825 c\). Inatoa mawimbi ya redio na wavelength ya\(0.525 \, m\).

    Je, ni wavelength gani tungeweza kuchunguza duniani?

    Mkakati

    Kwa sababu galaxy inahamia kwa kasi ya relativistic, tunapaswa kuamua mabadiliko ya Doppler ya mawimbi ya redio kwa kutumia mabadiliko ya Doppler ya relativistic badala ya mabadiliko ya kawaida ya Doppler.

    Suluhisho

    1. Tambua maarifa:\(u = 0.825 c\);\(\lambda_s = 0.525 \, m\)
    2. Tambua haijulikani:\(\lambda_{obs}\)
    3. Chagua equation sahihi:\(\lambda_{obs} = \lambda \sqrt{\dfrac{1 + \frac{u}{c}}{1 - \frac{u}{c}}}\)
    4. Plug knowns katika equation\[\lambda_{obs} = \lambda \sqrt{\dfrac{1 + \frac{u}{c}}{1 - \frac{u}{c}}} = (0.525 \, m)\sqrt{\dfrac{1 + \frac{0.825 c}{c}}{1 - \frac{0.825 c}{c}}} = 1.70 \, m.\]

    Majadiliano

    Kwa sababu galaxi inakwenda mbali na Dunia, tunatarajia wavelengths ya mionzi inayotoa kuwa nyekundu kubadilishwa. Wavelength sisi mahesabu ni 1.70 m, ambayo ni nyekundu-kubadilishwa kutoka wavelength awali ya 0.525 m.

    Mabadiliko ya Doppler ya relativistic ni rahisi kuchunguza. equation hii ina maombi ya kila siku kuanzia Doppler kubadilishwa rada kasi vipimo ya usafiri kwa Doppler-rada dhoruba ufuatiliaji. Katika uchunguzi wa astronomia, mabadiliko ya Doppler ya relativistic hutoa habari za kasi kama vile mwendo na umbali wa nyota.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Tuseme probe ya angani inakwenda mbali na Dunia kwa kasi\(0.350 c\). Inatuma ujumbe wa wimbi la redio nyuma duniani kwa mzunguko wa 1.50 GHz. Je! Ujumbe uliopatikana duniani ni mzunguko gani?

    Jibu

    \[f_{obs} = f_c \sqrt{\dfrac{1 - \frac{u}{c}}{1 + \frac{u}{c}}} = (1.50 \, GHz) \sqrt{\dfrac{1 - \frac{0.350 c}{c}}{1 + \frac{0.350 c}{c}}} = 1.04 \, GHz \nonumber\]

    Muhtasari

    • Kwa kuongeza kasi ya classical, kasi\(v\) huongeza kama namba za kawaida katika mwendo wa mwelekeo mmoja:\(u = v + u'\), wapi kasi kati ya waangalizi wawili,\(u\) ni kasi ya kitu kinachohusiana na mwangalizi mmoja, na\(u'\) ni kasi ya jamaa na mwangalizi mwingine.
    • Velocities haiwezi kuongeza kuwa kubwa kuliko kasi ya nuru. Relativistic kasi kuongeza inaelezea kasi ya kitu kusonga kwa kasi relativistic:\[u = \dfrac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}} \nonumber\]
    • Mwangalizi wa mionzi ya sumakuumeme anaona madhara ya Doppler ya relativistic ikiwa chanzo cha mionzi kinahamia jamaa na mwangalizi. Urefu wa mionzi ni mrefu (inayoitwa kuhama nyekundu) kuliko ile iliyotolewa na chanzo wakati chanzo kinapoondoka kwa mwangalizi na mfupi (inayoitwa mabadiliko ya buluu) wakati chanzo kinakwenda kuelekea mwangalizi. wavelength kubadilishwa ni ilivyoelezwa na equation\[\lambda_{obs} = \lambda_s \sqrt{\dfrac{1 + \frac{u}{c}}{1 - \frac{u}{c}}} \nonumber\]\(\lambda_{obs}\) ni wavelength aliona,\(\lambda_s\) ni wavelength chanzo, na\(u\) ni kasi ya jamaa ya chanzo kwa waangalizi.

    faharasa

    kuongeza kasi ya classical
    njia ya kuongeza kasi wakati\(v << c\), kasi\(v\) huongeza kama namba za kawaida katika mwendo mmoja wa mwelekeo:\(u = v + u'\), wapi kasi kati ya waangalizi wawili,\(u\) ni kasi ya kitu kinachohusiana na mwangalizi mmoja, na\(u'\) ni kasi ya jamaa na mwangalizi mwingine.
    kuongeza kasi ya relativistic
    njia ya kuongeza kasi ya kitu kinachohamia kwa kasi ya relativistic\(u \frac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}}\), ambapo\(v\) ni kasi ya jamaa kati ya waangalizi wawili,\(u\) ni kasi ya kitu kinachohusiana na mwangalizi mmoja, na\(u'\) ni kasi ya jamaa na mwangalizi mwingine
    madhara ya Doppler relativistic
    mabadiliko katika wavelength ya mionzi inayohamia jamaa na mwangalizi; wavelength ya mionzi ni ndefu (inayoitwa mabadiliko nyekundu) kuliko ile iliyotolewa na chanzo wakati chanzo kinakwenda mbali na mwangalizi na mfupi (inayoitwa mabadiliko ya bluu) wakati chanzo kinaendelea kuelekea mwangalizi; kubadilishwa wavelength ni ilivyoelezwa na equation\[\lambda_{obs} = \lambda_s \sqrt{\dfrac{1 + \frac{u}{c}}{1 - \frac{u}{c}}}\] ambapo\(\lambda_{obs}\) ni wavelength aliona,\(\lambda_s\) ni wavelength chanzo, na\(u\) ni kasi ya chanzo kwa mwangalizi