Skip to main content
Global

28.3: Upungufu wa urefu

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    182988

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Eleza urefu sahihi.
    • Tumia urefu wa contraction.
    • Eleza kwa nini hatujui madhara haya kwa mizani ya kila siku.

    Je, umewahi inaendeshwa katika barabara ambayo inaonekana kama unaendelea milele? Kama kuangalia mbele, unaweza kusema una kuhusu 10 km kushoto kwenda. Msafiri mwingine anaweza kusema barabara mbele inaonekana kama ni urefu wa kilomita 15. Ikiwa nyote mlipima barabara, hata hivyo, ungependa kukubaliana. Kusafiri kwa kasi ya kila siku, umbali wewe wote kupima itakuwa sawa. Utasoma katika sehemu hii, hata hivyo, kwamba hii si kweli kwa kasi ya relativistic. Karibu na kasi ya mwanga, umbali uliopimwa sio sawa unapopimwa na waangalizi tofauti.

    muda mrefu wametengwa mbili-mstari barabara benki na ardhi tasa pande zote mbili.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Watu wanaweza kuelezea umbali tofauti, lakini kwa kasi ya relativistic, umbali kweli ni tofauti. (mikopo: Corey Leopold, Flickr)

    Urefu sahihi

    Jambo moja waangalizi wote wanakubaliana juu ni kasi ya jamaa. Japokuwa saa hupima nyakati tofauti zilizopita kwa mchakato huo, bado wanakubaliana kwamba kasi ya jamaa, ambayo ni umbali uliogawanywa na muda uliopita, ni sawa. Hii inamaanisha kuwa umbali, pia, unategemea mwendo wa jamaa wa mwangalizi. Ikiwa waangalizi wawili wanaona nyakati tofauti, basi lazima pia kuona umbali tofauti kwa kasi ya jamaa kuwa sawa na kila mmoja wao.

    Muon[1] inaonyesha dhana hii. Kwa mwangalizi duniani, muoni husafiri kwa\(0.950c\) kwa\(7.05 \mu s\) kutoka wakati unapozalishwa mpaka itakapoharibika. Hivyo inasafiri umbali\[L_{0} = v \Delta t = \left(0.950\right)\left(3.00 \times 10^{8} m/s\right)\left(7.05 \times 10^{-6} s\right) = 2.01 km \label{28.4.1}\] jamaa na Dunia. Katika sura ya muon ya kumbukumbu, maisha yake ni tu\(2.20 \mu s\). Ina muda\[L = v \Delta t_{0} = \left(0.950\right)\left(3.00 \times 10^{8} m/s\right)\left(2.20 \times 10^{-6} s\right) = 0.627 km. \label{28.4.2}\] wa kutosha kusafiri tu Umbali kati ya matukio mawili sawa (uzalishaji na kuoza kwa muon) inategemea nani anayeipima na jinsi wanavyohamia jamaa nayo.

    UREFU SAHIHI

    Urefu sahihi\(L_{0}\) ni umbali kati ya pointi mbili zilizopimwa na mwangalizi ambaye anapumzika kuhusiana na pointi zote mbili.

    Mwangalizi wa Dunia anapima urefu sahihi\(L_{0}\), kwa sababu pointi ambazo muon huzalishwa na kuoza ni stationary jamaa na Dunia. Kwa muoni, Dunia, hewa, na mawingu huhamia, na\(L\) hivyo umbali unaoona sio urefu sahihi.

    Katika sehemu ya waangalizi anaona kutoka sura ya ardhi ya kumbukumbu muon juu ya ardhi kwa kasi v katika mwelekeo wa kulia. Umbali kati ya muoni na mahali ambako hutengana ni hatua mbili sifuri moja. Katika sehemu b mfumo ni inavyoonekana katika mwendo kuwa kasi v katika mwelekeo wa kushoto. Hivyo, wingu na ardhi ni makazi yao sifuri uhakika sita mbili saba kilo mita katika mwelekeo kinyume.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): (a) Mwangalizi wa Dunia anaona usafiri wa muon 2.01 km kati ya mawingu. (b) Muon hujiona kusafiri njia ile ile, lakini umbali wa kilomita 0.627 tu. Dunia, hewa, na mawingu huhamia jamaa na muoni katika sura yake, na zote zinaonekana kuwa na urefu mdogo kando ya usafiri.

    Urefu Contraction

    Kuendeleza equation zinazohusiana umbali kipimo na waangalizi mbalimbali, tunaona kwamba kasi jamaa na mwangalizi wa Dunia amefungwa katika muon yetu mfano ni iliyotolewa na\[v = \frac{L_{0}}{\Delta t}.\label{28.4.3}\] wakati jamaa na mwangalizi Dunia-amefungwa ni\(\Delta t\), tangu kitu kuwa wakati muafaka ni kusonga jamaa na mwangalizi hii. Kasi ya jamaa na mwangalizi wa kusonga hutolewa na\[v = \frac{L}{\Delta t_{0}}.\label{28.4.4}\] mwangalizi wa kusonga husafiri na muon na kwa hiyo anaona wakati unaofaa\(\Delta t_{0}\). Velocities mbili ni sawa. Hivyo,\[\frac{L_{0}}{\Delta t} = \frac{L}{\Delta t_{0}}.\label{28..4.5}\] Sisi tunajua hayo\(\Delta t = \gamma \Delta t_{0}\). Kubadilisha equation hii katika uhusiano hapo juu anatoa\[L = \frac{L_{0}}{\gamma}.\label{28.4.6}\] Kubadilisha kwa\(\gamma\) anatoa equation zinazohusiana umbali kipimo na waangalizi mbalimbali.

    CONTRACTION UREFU

    Upungufu wa urefu\(L\) ni kupunguzwa kwa urefu wa kipimo cha kitu kinachohamia jamaa na sura ya mwangalizi. \[L = L_{0} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.\label{28.4.7}\]

    Kama sisi kupima urefu wa kitu chochote kusonga jamaa na sura yetu, sisi\(L\) kupata urefu wake kuwa ndogo kuliko urefu sahihi\(L_{0}\) ambayo itakuwa kipimo kama kitu walikuwa stationary. Kwa mfano, katika sura ya kumbukumbu ya muon, umbali kati ya pointi ambako ulizalishwa na ambako umeharibika ni mfupi. Vipande hivyo ni fasta jamaa na Dunia lakini huhamia jamaa na muoni. Mawingu na vitu vingine pia huambukizwa pamoja na mwelekeo wa mwendo katika sura ya kumbukumbu ya muon.

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Length Contraction: The Distance between Stars Contracts when You Travel at High Velocity:

    Tuseme astronaut, kama vile pacha kujadiliwa katika “Sambamba na Muda Dilation,” husafiri kwa kasi kwamba\(\gamma = 30.00\). (a) Anasafiri kutoka Dunia kwenda kwenye mfumo wa nyota ulio karibu, Alpha Centauri, umbali wa miaka ya nuru 4.300 (ly) kama kipimo cha mwangalizi wa Dunia. Jinsi mbali mbali Dunia na Alpha Centauri kama kipimo na astronaut? (b) Kwa upande wa\(c\), kasi yake ni jamaa gani na Dunia? Unaweza kupuuza mwendo wa Dunia kuhusiana na Jua. (Angalia Mchoro 3.)

    Kwa sehemu a umbali kati ya dunia na centauri ya alpha hupimwa kama L-sifuri. Saa iliyotolewa katika takwimu hii inaonyesha wakati delta-t. spaceship kuruka kwa kasi ya v sawa L-zero juu delta-t kutoka duniani kwa nyota ni umeonyesha. Sehemu ya b inaonyesha sura ya spaceship ya kumbukumbu ambayo umbali L kati ya dunia na nyota huambukizwa kama wanavyoonekana kuhamia kwa kasi sawa katika mwelekeo kinyume. Katika sehemu b saa inaonyesha muda kidogo uliopita kuliko saa katika sehemu a.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): (a) Mwangalizi wa Dunia anapima umbali sahihi kati ya Dunia na Alpha Centauri. (b) Mwanaanga anaona contraction urefu, tangu Dunia na Alpha Centauri hoja jamaa na meli yake. Anaweza kusafiri umbali huu mfupi kwa muda mdogo (wakati wake sahihi) bila kuzidi kasi ya mwanga.

    Mkakati

    Kwanza kumbuka kuwa mwaka wa nuru (ly) ni kitengo rahisi cha umbali kwenye kiwango cha astronomia—ni umbali wa mwanga unaosafiri kwa mwaka. Kwa sehemu (a), kumbuka kuwa umbali wa 4.300 ly kati ya Alpha Centauri na Dunia ni umbali sahihi\(l_0\), kwa sababu hupimwa na mwangalizi wa Dunia ambaye nyota zote mbili zina (takriban) stationary. Kwa mwanaanga, Dunia na Centauri ya Alpha huhamia kwa kasi sawa, na hivyo umbali kati yao ni urefu ulioambukizwa\(L\). Katika sehemu (b), tunapewa\(\gamma\), na hivyo tunaweza kupata\(v\) kwa upya upya ufafanuzi wa\(\gamma\) kuelezea\(v\) kwa suala la\(c\).

    Suluhisho kwa (a)

    1. Tambua maarifa:\(L_0 - 4.300 \, ly; \, \gamma = 30.00\)
    2. Tambua haijulikani:\(L\)
    3. Chagua equation sahihi:\(L = \frac{L_0}{\gamma}\)
    4. Panga upya equation kutatua kwa haijulikani;\[L = \dfrac{L_0}{\gamma}\]\[= \dfrac{4.300 \, ly}{30.00}\]\[= 0.1433 \, ly\]

    Suluhisho kwa (b)

    1. Tambua inayojulikana:\(\gamma = 30.00\)
    2. Kutambua haijulikani:\(v\) katika suala la\(c\)
    3. Chagua equation sahihi\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
    4. Panga upya equation kutatua kwa haijulikani:\[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]\[ 30.00 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]

    Squaring pande zote mbili za equation na rearranging masharti inatoa:\[900.0 = \dfrac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]

    hivyo kwamba\[1 - \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{900.0}\] na\[\dfrac{v^2}{c^2} = 1 - \dfrac{1}{900.0} = 0.99888....\]

    Kuchukua mizizi ya mraba, tunapata\[\dfrac{v}{c} = 0.99944,\] ambayo imewekwa upya ili kuzalisha thamani ya kasi\[v = 0.9994c.\]

    Majadiliano

    Kwanza, kumbuka kwamba haipaswi kuzunguka mahesabu mpaka matokeo ya mwisho yanapatikana, au unaweza kupata matokeo mabaya. Hii ni kweli hasa kwa mahesabu maalum ya relativity, ambapo tofauti zinaweza kufunuliwa tu baada ya maeneo kadhaa ya decimal. Athari ya relativistic ni kubwa hapa (γ = 30. 00), na tunaona kwamba inakaribia (si sawa) kasi ya mwanga. Kwa kuwa umbali kama kipimo na astronaut ni mdogo sana, astronaut anaweza kusafiri kwa muda mdogo sana katika sura yake.

    Watu wangeweza kutumwa umbali mkubwa sana (maelfu au hata mamilioni ya miaka ya mwanga) na umri wa miaka michache tu njiani ikiwa walisafiri kwa kasi kubwa sana. Lakini, kama wahamiaji wa karne zilizopita, wangeondoka duniani wanayoijua milele. Hata kama walirudi, maelfu hadi mamilioni ya miaka ingekuwa yamepita duniani, kuharibu zaidi ya yale yaliyopo sasa. Pia kuna kikwazo kikubwa zaidi cha kusafiri kwa kasi hiyo; nguvu kubwa zaidi kuliko fizikia ya kawaida inabiri itahitajika ili kufikia kasi hiyo ya juu. Hii itajadiliwa katika Nishati Relatavistic.

    Kwa nini hatujui contraction urefu katika maisha ya kila siku? Umbali wa duka la vyakula hauonekani kutegemea kama tunahamia au la. Kuchunguza equation\(L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\), tunaona kwamba katika kasi\((v <<c)\) ya chini urefu ni karibu sawa, matarajio classical. Lakini contraction urefu ni halisi, kama si kawaida uzoefu. Kwa mfano, chembe iliyoshtakiwa, kama elektroni, inayosafiri kwa kasi ya relativistic ina mistari ya uwanja wa umeme ambayo imesisitizwa kwenye mwelekeo wa mwendo kama inavyoonekana na mwangalizi wa stationary. (Angalia Kielelezo.) Kama elektroni inapita detector, kama vile coil ya waya, shamba lake kuingiliana kwa ufupi zaidi, athari aliona katika accelerators chembe kama vile 3 km mrefu Stanford Linear Accelerator (SLAC). Kwa kweli, kwa elektroni inayosafiri chini ya bomba la boriti kwenye SLAC, kasi ya kasi na Dunia yote huhamia na ni urefu ulioambukizwa. Athari ya relativistic ni kubwa sana kuliko kasi ya kasi ni 0.5 m tu kwa muda mrefu kwa elektroni. Kwa kweli ni rahisi kupata boriti ya elektroni chini ya bomba, kwani boriti haipaswi kuwa sawa na lengo la kushuka bomba fupi kama ingekuwa chini ya kilomita 3 kwa muda mrefu. Hii, tena, ni uthibitisho wa majaribio ya Nadharia maalum ya Uhusiano.

    elektroni kusafiri kwa kasi v na haki kwa njia ya bomba usawa. Mistari ya shamba la umeme huingia ndani ya radially.
    Kielelezo\(\PageIndex{41}\): Mistari ya uwanja wa umeme wa chembe ya kushtakiwa ya juu ya kasi imesisitizwa pamoja na mwelekeo wa mwendo na contraction ya urefu. Hii inazalisha ishara tofauti wakati chembe inapita kupitia coil, athari ya kuthibitishwa kwa majaribio ya urefu.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Chembe inasafiri kupitia angahewa ya Dunia kwa kasi ya\(0.750c\). Kwa mwangalizi wa Dunia, umbali unaotembea ni kilomita 2.50. Jinsi mbali chembe kusafiri katika sura ya chembe ya kumbukumbu?

    Jibu

    \[L = L_0\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = (2.50 \, km)\sqrt{1 - \dfrac{(0.750c)^2}{c^2}} = 1.65 \, km\]

    Muhtasari

    • Waangalizi wote wanakubaliana juu ya kasi ya jamaa.
    • Umbali unategemea mwendo wa mwangalizi. Urefu sahihi\(L_0\) ni umbali kati ya pointi mbili zilizopimwa na mwangalizi ambaye anapumzika kuhusiana na pointi zote mbili. Waangalizi wa dunia wanapima urefu sahihi wakati wa kupima umbali kati ya pointi mbili ambazo ni stationary jamaa na Dunia.
    • Upungufu wa urefu\(L\) ni kupunguzwa kwa urefu wa kipimo cha kitu kinachohamia jamaa na sura ya mwangalizi:\[L = L_0 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \dfrac{L_0}{\gamma}.\]

    faharasa

    urefu sahihi
    \(L_0\)umbali kati ya pointi mbili kupimwa na mwangalizi ambaye anapumzika kuhusiana na pointi zote mbili; Waangalizi wa dunia wanapima urefu sahihi wakati wa kupima umbali kati ya pointi mbili ambazo ni stationary jamaa na Dunia
    contraction urefu
    \(L\)kupunguzwa kwa urefu wa kipimo cha kitu kinachohamia jamaa na sura ya mwangalizi:\(L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{\gamma}\)