17.5: Mazoezi ya Mapitio ya Sura ya 17
- Page ID
- 178828
Kweli au Uongo? Thibitisha jibu lako kwa ushahidi au mfano wa kukabiliana.
1. Kama\(y\) na\(z\) ni wote ufumbuzi wa\(y''+2y′+y=0,\) basi pia\(y+z\) ni suluhisho.
- Jibu
- Kweli
2. Mfumo wafuatayo wa equations algebraic una suluhisho la kipekee:
\(\begin{align*} 6z_1+3z_2 &=8 \\ 4z_1+2z_2 &=4. \end{align*}\)
3. \(y=e^x \cos (3x)+e^x \sin (2x)\)ni suluhisho la equation tofauti ya pili\(y″+2y′+10=0.\)
- Jibu
- Uongo
4. Ili kupata suluhisho maalum kwa usawa wa pili wa utaratibu, unahitaji hali moja ya awali.
Katika matatizo ya 5 - 8, weka usawa tofauti. Kuamua utaratibu, iwe ni mstari na, ikiwa ni mstari, ikiwa usawa wa tofauti ni sawa au usio na kawaida. Kama equation ni ya pili ili homogeneous na linear, kupata equation tabia.
5. \(y″−2y=0\)
- Jibu
- utaratibu wa pili, linear, homogeneous,\(λ^2−2=0\)
6. \(y''−3y+2y= \cos (t)\)
7. \(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+yy′=1\)
- Jibu
- kwanza ili, nonlinear, nonhomogeneous
8. \(\dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt}+\sin^2 (t)y=e^t\)
Katika matatizo 9 - 16, pata suluhisho la jumla.
9. \(y''+9y=0\)
- Jibu
- \(y=c_1 \sin (3x)+c_2 \cos (3x)\)
10. \(y''+2y′+y=0\)
11. \(y''−2y′+10y=4x\)
- Jibu
- \(y=c_1e^x \sin (3x)+c_2e^x \cos (3x)+\frac{2}{5}x+\frac{2}{25}\)
12. \(y''= \cos (x)+2y′+y\)
13. \(y''+5y+y=x+e^{2x}\)
- Jibu
- \(y=c_1e^{−x}+c_2e^{−4x}+\frac{x}{4}+\frac{e^{2x}}{18}−\frac{5}{16}\)
14. \(y''=3y′+xe^{−x}\)
15. \(y''−x^2=−3y′−\frac{9}{4}y+3x\)
- Jibu
- \(y=c_1e^{(−3/2)x}+c_2xe^{(−3/2)x}+\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{27}x−\frac{16}{27}\)
16. \(y''=2 \cos x+y′−y\)
Katika matatizo 17 - 18, pata suluhisho la tatizo la thamani ya awali, ikiwa inawezekana.
17. \(y''+4y′+6y=0, \; y(0)=0, \; y′(0)=\sqrt{2}\)
- Jibu
- \(y=e^{−2x} \sin (\sqrt{2}x)\)
18. \(y''=3y− \cos (x), \; y(0)=\frac{9}{4}, \; y′(0)=0\)
Katika matatizo 19 - 20, pata suluhisho la tatizo la thamani ya mipaka.
19. \(4y′=−6y+2y″, \; y(0)=0, \; y(1)=1\)
- Jibu
- \(y=\dfrac{e^{1−x}}{e^4−1}(e^{4x}−1)\)
20. \(y''=3x−y−y′, \; y(0)=−3, \; y(1)=0\)
Kwa tatizo linalofuata, weka na kutatua equation tofauti.
21. Mwendo wa pendulum inayozunguka kwa pembe ndogo\(θ\) inaweza kulinganishwa na\(\dfrac{d^2θ}{dt^2}+\dfrac{g}{L}θ=0,\) wapi\(θ\) pembe ambayo pendulum inafanya kwa heshima na mstari wa wima,\(g\) ni kasi inayotokana na mvuto, na\(L\) ni urefu wa pendulum. Kupata equation kuelezea angle ya pendulum wakati\(t,\) kuchukua makazi yao ya awali ya\(θ_0\) na kasi ya awali ya sifuri.
- Jibu
- \(θ(t)=θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\)
Katika matatizo 22 - 23, fikiria “beats” ambayo hutokea wakati muda wa kulazimisha wa equation tofauti husababisha “polepole” na “haraka” amplitudes. Fikiria jumla tofauti equation\(ay″+by= \cos (ωt)\) kwamba inasimamia mwendo undamped. Kudhani kwamba\(\sqrt{\frac{b}{a}}≠ω.\)
22. Pata ufumbuzi wa jumla wa equation hii (Dokezo: wito\(ω_0=\sqrt{b/a}\)).
23. Kutokana mfumo kuanza kutoka mapumziko, kuonyesha kwamba ufumbuzi fulani inaweza kuandikwa kama\(y=\dfrac{2}{a(ω_0^2−ω^2)} \sin \left(\dfrac{ω_0−ωt}{2}\right) \sin\left(\dfrac{ω_0+ωt}{2}\right).\)
24. [T] Kutumia ufumbuzi wako inayotokana mapema, njama ufumbuzi wa mfumo\(2y″+9y= \cos (2t)\) juu ya muda\(t=[−50,50].\) Kupata, uchambuzi, kipindi cha amplitudes haraka na polepole.
Kwa tatizo linalofuata, weka na kutatua equations tofauti.
25. Mwimbaji wa opera anajaribu kuvunja kioo kwa kuimba note fulani. Vibrations ya kioo inaweza kuwa inatokana na\(y″+ay= \cos (bt)\), ambapo\(y''+ay=0\) inawakilisha mzunguko wa asili wa kioo na mwimbaji ni kulazimisha vibrations katika\( \cos (bt)\). Kwa thamani\(b\) gani mwimbaji angeweza kuvunja kioo hicho? (Kumbuka: ili kioo kuvunja, oscillations ingehitaji kupata juu na ya juu.)
- Jibu
- \(b=\sqrt{a}\)