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11.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 11.5

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Katika mazoezi ya 1 - 8, tambua usawa wa parabola kwa kutumia habari iliyotolewa.

    1) Focus\((4,0)\) na directrix\(x=−4\)

    Jibu
    \(y^2=16x\)

    2) Focus\((0,−3)\) na directrix\(y=3\)

    3) Focus\((0,0.5)\) na directrix\(y=−0.5\)

    Jibu
    \(x^2=2y\)

    4) Focus\((2,3)\) na directrix\(x=−2\)

    5) Focus\((0,2)\) na directrix\(y=4\)

    Jibu
    \(x^2=−4(y−3)\)

    6) Focus\((−1,4)\) na directrix\(x=5\)

    7) Focus\((−3,5)\) na directrix\(y=1\)

    Jibu
    \((x+3)^2=8(y−3)\)

    8) Focus\(\left(\frac{5}{2},−4\right)\) na directrix\(x=\frac{7}{2}\)

    Katika mazoezi 9 - 16, tambua equation ya ellipse kwa kutumia habari iliyotolewa.

    9) Mwisho wa mhimili mkubwa\((4,0),\;(−4,0)\) na foci iko\((2,0),\;(−2,0)\)

    Jibu
    \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\)

    10) Mwisho wa mhimili mkubwa\((0,5),\;(0,−5)\) na foci iko\((0,3),\;(0,−3)\)

    11) Mwisho wa mhimili mkubwa\((0,2),\;(0,−2)\) na foci iko\((3,0),\;(−3,0)\)

    Jibu
    \(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

    12) Mwisho wa mhimili mkubwa\((−3,3),\;(7,3)\) na foci iko\((−2,3),\;(6,3)\)

    13) Mwisho wa mhimili mkubwa\((−3,5),\;(−3,−3)\) na foci iko\((−3,3),\;(−3,−1)\)

    Jibu
    \(\dfrac{(y−1)^2}{16}+\dfrac{(x+3)^2}{12}=1\)

    14) Mwisho wa mhimili mkubwa\((0,0),\;(0,4)\) na foci iko\((5,2),\;(−5,2)\)

    15) Foci iko katika\((2,0),\;(−2,0)\) na eccentricity ya\(\frac{1}{2}\)

    Jibu
    \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\)

    16) Foci iko katika\((0,−3),\;(0,3)\) na eccentricity ya\(\frac{3}{4}\)

    Katika mazoezi 17 - 24, tambua usawa wa hyperbola kwa kutumia habari iliyotolewa.

    17) Vertices iko katika\((5,0),\;(−5,0)\) na foci iko\((6,0),\;(−6,0)\)

    Jibu
    \(\frac{x^2}{25}−\frac{y^2}{11}=1\)

    18) Vertices iko katika\((0,2),\;(0,−2)\) na foci iko katika\((0,3),\;(0,−3)\)

    19) Mwisho wa mhimili wa conjugate ulio\((0,3),\;(0,−3)\) na foci iko\((4,0),\;(−4,0)\)

    Jibu
    \(\dfrac{x^2}{7}−\dfrac{y^2}{9}=1\)

    20) Vertices iko katika\((0,1),\;(6,1)\) na lengo iko katika\((8,1)\)

    21) Vertices iko katika\((−2,0),\;(−2,−4)\) na lengo iko katika\((−2,−8)\)

    Jibu
    \(\dfrac{(y+2)^2}{4}−\dfrac{(x+2)^2}{32}=1\)

    22) Mwisho wa mhimili wa conjugate\((3,2),\;(3,4)\) ulio kwenye na kuzingatia iko\((3,7)\)

    23) Foci iko katika\((6,−0),\;(6,0)\) na eccentricity ya\(3\)

    Jibu
    \(\dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{32}=1\)

    24)\((0,10),\;(0,−10)\) na uaminifu wa 2.5

    Katika mazoezi 25 - 30, fikiria equations zifuatazo za polar za conics. Kuamua uaminifu na kutambua conic.

    25)\(r=\dfrac{−1}{1+\cos θ}\)

    Jibu
    \(e=1,\)parabola

    26)\(r=\dfrac{8}{2−\sin θ}\)

    27)\(r=\dfrac{5}{2+\sin θ}\)

    Jibu
    \(e=\frac{1}{2},\)duaradufu

    28)\(r=\dfrac{5}{−1+2\sin θ}\)

    29)\(r=\dfrac{3}{2−6\sin θ}\)

    Jibu
    \(e=3\), hyperbola

    30)\(r=\dfrac{3}{−4+3\sin θ}\)

    Katika mazoezi 31 - 34, pata equation ya polar ya conic kwa kuzingatia asili na eccentricity na directrix kama ilivyopewa.

    31) Directrix:\(x=4;\; e=\frac{1}{5}\)

    Jibu
    \(r=\dfrac{4}{5+\cos θ}\)

    32) Directrix:\(x=−4;\; e=5\)

    3) Directrix:\(y=2; \; e=2\)

    Jibu
    \(r=\dfrac{4}{1+2\sin θ}\)

    34) Directrix:\(y=−2;\; e=\frac{1}{2}\)

    Katika mazoezi 35 - 51, mchoro grafu ya kila conic.

    35)\(r=\dfrac{1}{1+\sin θ}\)

    Jibu
    Grafu ya parabola kufungua chini na kituo cha asili.

    36)\(r=\dfrac{1}{1−\cos θ}\)

    37)\(r=\dfrac{4}{1+\cos θ}\)

    Jibu
    Grafu ya parabola wazi upande wa kushoto na kituo karibu na asili.

    38)\(r=\dfrac{10}{5+4\sin θ}\)

    39)\(r=\dfrac{15}{3−2\cos θ}\)

    Jibu
    Grafu ya duaradufu na kituo cha karibu (8, 0), mhimili mkubwa usawa na takribani 18, na mhimili mdogo kidogo zaidi ya 12.

    40)\(r=\dfrac{32}{3+5\sin θ}\)

    41)\(r(2+\sin θ)=4\)

    Jibu
    Grafu ya mduara na kituo cha karibu (0, -1.5) na radius karibu 2.5.

    42)\(r=\dfrac{3}{2+6\sin θ}\)

    43)\(r=\dfrac{3}{−4+2\sin θ}\)

    Jibu
    Grafu ya mduara na kituo (0, -0.5) na radius 1.

    44)\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

    45)\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\)

    Jibu
    Grafu ya duaradufu na kituo cha asili na kwa mhimili kuu wima na urefu 8 na mhimili mdogo wa urefu 4.

    46)\(4x^2+9y^2=36\)

    47)\(25x^2−4y^2=100\)

    Jibu
    Grafu ya hyperbola na katikati ya asili na kwa nusu mbili zimefunguliwa upande wa kushoto na wa kulia. Vipeo viko kwenye mhimili x saa ± 2.

    48)\(\dfrac{x^2}{16}−\dfrac{y^2}{9}=1\)

    49)\(x^2=12y\)

    Jibu
    Grafu ya parabola na vertex asili na kufungua.

    50)\(y^2=20x\)

    51)\(12x=5y^2\)

    Jibu
    Grafu ya parabola na vertex asili na kufungua haki.

    Kwa equations katika mazoezi 52 - 57, kuamua ni sehemu gani ya conic ni ilivyoelezwa.

    52)\(xy=4\)

    53)\(x^2+4xy−2y^2−6=0\)

    Jibu
    Hyperbola

    54)\(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2−6=0\)

    55)\(x^2−xy+y^2−2=0\)

    Jibu
    duaradufu

    56)\(34x^2−24xy+41y^2−25=0\)

    57)\(52x^2−72xy+73y^2+40x+30y−75=0\)

    Jibu
    duaradufu

    58) Kioo katika kichwa cha gari kina sehemu ya msalaba wa parabolic, na taa ya taa katika lengo. Kwa schematic, equation ya parabola inapewa kama\(x^2=4y\). Ni kuratibu gani unapaswa kuweka taa ya taa?

    59) Sahani ya satelaiti imeumbwa kama paraboloid ya mapinduzi. Mpokeaji anapaswa kuwa iko kwenye lengo. Ikiwa sahani ni miguu 12 kote wakati wa ufunguzi wake na miguu 4 katikati yake, mpokeaji anapaswa kuwekwa wapi?

    Jibu
    Katika hatua ya 2.25 miguu juu ya vertex.

    60) Fikiria sahani ya satellite ya tatizo lililotangulia. Ikiwa sahani ni miguu 8 kote wakati wa ufunguzi na miguu 2 kirefu, tunapaswa kuweka wapi mpokeaji?

    61) Mwangaza wa utafutaji umeumbwa kama paraboloidi ya mapinduzi. Chanzo cha mwanga iko mguu 1 kutoka msingi pamoja na mhimili wa ulinganifu. Ikiwa ufunguzi wa utafutaji ni miguu 3 kote, pata kina.

    Jibu
    \(0.5625\)miguu

    62) Nyumba za whispering ni vyumba vinavyotengenezwa na dari za elliptical. Mtu amesimama kwenye lengo moja anaweza kuongea na kusikilizwa na mtu amesimama kwenye lengo lingine kwa sababu mawimbi yote ya sauti yanayofikia dari yanajitokeza kwa mtu mwingine. Ikiwa nyumba ya sanaa ya whispering ina urefu wa miguu 120 na foci iko miguu 30 kutoka katikati, pata urefu wa dari katikati.

    63) Mtu amesimama miguu 8 kutoka ukuta wa karibu katika nyumba ya sanaa ya whispering. Kama mtu huyo ni katika lengo moja na lengo nyingine ni 80 miguu mbali, ni nini urefu na urefu katikati ya nyumba ya sanaa?

    Jibu
    Urefu ni futi 96 na urefu ni takriban futi 26.53.

    Katika mazoezi 64 - 67, tambua fomu ya usawa wa polar ya obiti iliyotolewa urefu wa mhimili mkubwa na uaminifu kwa njia za comets au sayari. Umbali hutolewa katika vitengo vya astronomia (AU).

    64) Comet ya Halley: urefu wa mhimili mkubwa =\(35.88,\) eccentricity =\(0.967\)

    65) Hale-Bopp Comet: urefu wa mhimili mkubwa =\(525.91,\) eccentricity =\(0.995\)

    Jibu
    \(r=\dfrac{2.616}{1+0.995\cos θ}\)

    66) Mars: urefu wa mhimili mkubwa =\(3.049,\) eccentricity =\(0.0934\)

    67) Jupiter: urefu wa mhimili mkubwa =\(10.408,\) eccentricity =\(0.0484\)

    Jibu
    \(r=\dfrac{5.192}{1+0.0484\cos θ}\)