11.2E: Mazoezi ya Sehemu ya 11.2

Katika mazoezi ya 1 - 4, kila seti ya equations parametric inawakilisha mstari. Bila kuondoa parameter, pata mteremko wa kila mstari.

1)\(x=3+t,\quad y=1−t\)

2)\( x=8+2t, \quad y=1\)

Jibu

\(m=0\)

3)\( x=4−3t, \quad y=−2+6t\)

4)\( x=−5t+7, \quad y=3t−1\)

Jibu

\(m= -\frac{3}{5}\)

Katika mazoezi ya 5 - 9, tambua mteremko wa mstari wa tangent, kisha upate usawa wa mstari wa tangent kwa thamani iliyotolewa ya parameter.

5)\( x=3\sin t,\quad y=3\cos t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

6)\( x=\cos t, \quad y=8\sin t, \quad \text{for }t=\frac{π}{2}\)

Jibu

Slope\(=0; y=8.\)

7)\( x=2t, \quad y=t^3, \quad \text{for } t=−1\)

8)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t}, \quad \text{for }t=1\)

Jibu

Mteremko haujafafanuliwa;\( x=2\).

9)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t, \quad \text{for }t=4\)

Katika mazoezi ya 10 - 13, pata pointi zote kwenye safu ambayo ina mteremko uliopewa.

10)\( x=4\cos t, \quad y=4\sin t,\) mteremko =\(0.5\)

Suluhisho

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{4\cos t}{-4\sin t} = - \cot t.\)
Kuweka derivative hii sawa na\(0.5,\) sisi kupata equation,\(\tan t = -2.\)
\( \tan t = -2 \implies \dfrac{y}{x} = -2 \implies y = -2x.\)
Kumbuka pia kwamba jozi hii ya milinganyo parametric inawakilisha mduara\(x^2 + y^2 = 16.\)
By badala, tunaona kwamba Curve hii ina \(0.5\)mteremko wa pointi:
\(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{−8\sqrt{5}}{5}\right)\) na\(\left(\frac{-4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5}\right).\)

11)\( x=2\cos t, \quad y=8\sin t,\) mteremko =\(−1\)

12)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t},\) mteremko =\(1\)

Jibu

Hakuna pointi iwezekanavyo; kujieleza undefined.

13)\( x=2+\sqrt{t}, \quad y=2−4t,\) mteremko =\(0\)

Katika mazoezi 14 - 16, weka usawa wa mstari wa tangent katika kuratibu za Cartesian kwa parameter iliyotolewa\(t\).

14)\( x=e^{\sqrt{t}}, \quad y=1−\ln t^2, \quad \text{for }t=1\)

Jibu

\( y=−\left(\frac{4}{e}\right)x+5\)

15)\( x=t\ln t, \quad y=\sin^2t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

16)\( x=e^t, \quad y=(t−1)^2,\) katika\((1,1)\)

Jibu

\( y=-2x+3\)

17) Kwa\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) wapi\( 0≤t<2π.\) Pata maadili yote ambayo mstari wa\(t\) tangent usio na usawa upo.

18) Kwa\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) wapi\( 0≤t<2π\). Pata maadili yote ambayo mstari wa\(t\) tangent wima upo.

Jibu

Mstari wa tangent wima upo\(t = \frac{π}{4},\frac{5π}{4},\frac{3π}{4},\frac{7π}{4}\)

19) Kupata pointi zote juu ya Curve\( x=4\cos(t), \quad y=4\sin(t)\) ambayo mteremko wa\( \frac{1}{2}\).

20) Kupata\( \dfrac{dy}{dx}\) kwa ajili ya\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\).

Jibu

\( \dfrac{dy}{dx}=−\tan(t)\)

21) Kupata equation ya mstari tangent kwa\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\) saa\( t=\frac{π}{4}\).

22) Kwa curve\( x=4t, \quad y=3t−2,\) kupata mteremko na concavity ya Curve saa\( t=3\).

Jibu

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{4}\)na\( \dfrac{d^2y}{dx^2}=0\), hivyo Curve ni wala concave juu wala concave chini katika\( t=3\). Kwa hiyo grafu ni linear na ina mteremko wa mara kwa mara lakini hakuna concavity.

23) Kwa curve parametric ambao equation ni\( x=4\cos θ, \quad y=4\sin θ\), kupata mteremko na concavity ya Curve saa\( θ=\frac{π}{4}\).

24) Kupata mteremko na concavity kwa Curve ambao equation ni\( x=2+\sec θ, \quad y=1+2\tan θ\) saa\( θ=\frac{π}{6}\).

Jibu

\( \dfrac{dy}{dx}=4, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}=−4\sqrt{3};\)Curve ni concave chini katika\( θ=\frac{π}{6}\).

25) Pata pointi zote\( x=t+4, \quad y=t^3−3t\) kwenye safu ambayo kuna tangents ya wima na ya usawa.

26) Pata pointi zote kwenye safu\( x=\sec θ, \quad y=\tan θ\) ambayo tangents za usawa na wima zipo.

Jibu

Hakuna tangents ya usawa. Tangents wima saa\( (1,0)\) na\((−1,0)\).

Katika mazoezi 27 - 29, tafuta\( d^2y/dx^2\).

27)\( x=t^4−1, \quad y=t−t^2\)

28)\( x=\sin(πt), \quad y=\cos(πt)\)

Jibu

\( d^2y/dx^2 = −\sec^3(πt)\)

29)\( x=e^{−t}, \quad y=te^{2t}\)

Katika mazoezi 30 - 31, pata pointi kwenye safu ambayo mstari wa tangent ni usawa au wima.

30)\( x=t(t^2−3), \quad y=3(t^2−3)\)

Jibu

\( (0,−9)\)Horizontal;
Wima\( (±2,−6).\)

31)\( x=\dfrac{3t}{1+t^3}, \quad y=\dfrac{3t^2}{1+t^3}\)

Katika mazoezi 32 - 34, tafuta\( dy/dx\) thamani ya parameter.

32)\( x=\cos t,y=\sin t, \quad \text{for }t=\frac{3π}{4}\)

Jibu

\(dy/dx = 1\)

33)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4,t=9\)

34)\( x=4\cos(2πs), \quad y=3\sin(2πs), \quad \text{for }s=−\frac{1}{4}\)

Jibu

\(dy/dx = 0\)

Katika mazoezi 35 - 36, pata\( d^2y/dx^2\) hatua iliyotolewa bila kuondoa parameter.

35)\( x=\frac{1}{2}t^2, \quad y=\frac{1}{3}t^3, \quad \text{for }t=2\)

36)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4, \quad \text{for }t=1\)

Jibu

\(d^2y/dx^2 = 4\)

37) Kupata vipindi\(t\) kwa ambayo Curve\( x=3t^2, \quad y=t^3−t\) ni concave up kama vile concave chini.

38) Kuamua concavity ya curve\( x=2t+\ln t, \quad y=2t−\ln t\).

Jibu

Concave juu ya\( t>0\).

39) Mchoro na kupata eneo chini ya arch moja ya cycloid\( x=r(θ−\sin θ), \quad y=r(1−\cos θ)\).

40) Kupata eneo imepakana na Curve\( x=\cos t, \quad y=e^t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) na mistari\( y=1\) na\( x=0\).

Jibu

\(1\text{ unit}^2\)

41) Pata eneo lililofungwa na ellipse\( x=a\cos θ, \quad y=b\sin θ, \quad \text{for }0≤θ<2π.\)

42) Kupata eneo la mkoa imepakana na\( x=2\sin^2θ, \quad y=2\sin^2θ\tan θ\), kwa\( 0≤θ≤\frac{π}{2}\).

Jibu

\( \frac{3π}{2}\text{ units}^2\)

Katika mazoezi 43 - 46, tafuta eneo la mikoa iliyofungwa na curves za parametric na maadili yaliyoonyeshwa ya parameter.

43)\( x=2\cot θ, \quad y=2\sin^2θ, \quad \text{for }0≤θ≤π\)

44) [T]\( x=2a\cos t−a\cos(2t), \quad y=2a\sin t−a\sin(2t), \quad \text{for }0≤t<2π\)

Jibu

\( 6πa^2\text{ units}^2\)

45) [T]\( x=a\sin(2t), \quad y=b\sin(t), \quad \text{for }0≤t<2π\) (“hourglass”)

46) [T]\( x=2a\cos t−a\sin(2t), \quad y=b\sin t, \quad \text{for }0≤t<2π\) (“teardrop”)

Jibu

\( 2πab\text{ units}^2\)

Katika mazoezi 47 - 52, tafuta urefu wa arc wa curve kwenye muda ulioonyeshwa wa parameter.

47)\( x=4t+3, \quad y=3t−2, \quad \text{for }0≤t≤2\)

48)\( x=\frac{1}{3}t^3, \quad y=\frac{1}{2}t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Jibu

\( s = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)vitengo

49)\( x=\cos(2t), \quad y=\sin(2t), \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\)

50)\( x=1+t^2, \quad y=(1+t)^3, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Jibu

\(s = 7.075\)vitengo

51)\( x=e^t\cos t, \quad y=e^t\sin t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) (jibu jibu kama decimal mviringo kwa maeneo matatu)

52)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ\) kwa muda\( [0,2π)\) (hypocycloid)

Jibu

\( s = 6a\)vitengo

53) Pata urefu wa arch moja ya cycloid\( x=4(t−\sin t), \quad y=4(1−\cos t).\)

54) Pata umbali uliosafiri na chembe na nafasi\( (x,y)\) kama\(t\) inatofautiana katika kipindi cha muda uliopewa:\( x=\sin^2t, \quad y=\cos^2t, \quad \text{for }0≤t≤3π\).

Jibu

\( 6\sqrt{2}\)vitengo

55) Pata urefu wa arch moja ya cycloid\( x=θ−\sin θ, \quad y=1−\cos θ\).

56) Onyesha kwamba urefu wa jumla wa ellipse\( x=4\sin θ, \quad y=3\cos θ\) ni\( \displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\sin^2θ}\,dθ\), wapi\( e=\frac{c}{a}\) na\( c=\sqrt{a^2−b^2}\).

57) Pata urefu wa pembe\( x=e^t−t, \quad y=4e^{t/2}, \quad \text{for }−8≤t≤3.\)

Katika mazoezi 58 - 59, tafuta eneo la uso uliopatikana kwa kupokezana safu iliyotolewa kuhusu\(x\) -axis.

58)\( x=t^3, \quad y=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Jibu

\( \dfrac{2π(247\sqrt{13}+64)}{1215}\text{ units}^2\)

59)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ, \quad \text{for }0≤θ≤\frac{π}{2}\)

60) [T] Tumia CAS ili kupata eneo la uso lililozalishwa na kupokezana\( x=t+t^3, \quad y=t−\frac{1}{t^2}, \quad \text{for }1≤t≤2\) kuhusu\(x\) -axis. (Jibu kwa maeneo matatu ya decimal.)

Jibu

\(59.101\text{ units}^2\)

61) Pata eneo la uso lililopatikana kwa kupokezana\( x=3t^2, \quad y=2t^3, \quad \text{for }0≤t≤5\) kuhusu\(y\) -axis.

62) Pata eneo la uso linalozalishwa na kuzunguka\( x=t^2, \quad y=2t, \quad \text{for }0≤t≤4\) juu ya\(x\) -axis.

Jibu

\( \frac{8π}{3}(17\sqrt{17}−1) \text{ units}^2\)

63) Pata eneo la uso linalozalishwa na kuzunguka\( x=t^2, \quad y=2t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\) kuhusu\(y\) -axis.