11.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 11.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178481

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 4, mchoro curves chini kwa kuondoa parameter$t$. Kutoa mwelekeo wa curve.

1)$ x=t^2+2t, \quad y=t+1$

Jibu

Mwelekeo: chini hadi juu

$Parabola wazi kwa haki na (-1, 0) kuwa hatua ya mbali kushoto na mshale kwenda kutoka chini kupitia (-1, 0) na juu.$

2)$ x=\cos(t), \quad y=\sin(t), \quad \text{for } (0,2π]$

3)$ x=2t+4, \quad y=t−1$

Jibu

Mwelekeo: kushoto kwenda kulia

$Mstari wa moja kwa moja unaopitia (0, 1-3) na (6, 0) na mshale unaoelekeza juu na kulia.$

4)$ x=3−t, \quad y=2t−3, \quad \text{for }1.5≤t≤3$

Katika zoezi la 5, ondoa parameter na mchoro grafu.

5)$x=2t^2,\quad y=t^4+1$

Jibu

$ y=\dfrac{x^2}{4}+1$

$Nusu parabola kuanzia katika asili na kupita kwa njia ya (2, 2) na mshale alisema juu na kulia.$

Katika mazoezi ya 6 - 9, tumia teknolojia (CAS au calculator) ili mchoro wa usawa wa parametric.

6) [T]$x=t^2+t, \quad y=t^2−1$

7) [T]$ x=e^{−t}, \quad y=e^{2t}−1$

Jibu: $Curve kupitia (1, 0) na (0, 3) na mshale akizungumzia juu na kushoto.$

8) [T]$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

9) [T]$ x=\sec t, \quad y=\cos t$

Jibu: $Grafu yenye asymptotes kwenye x na y axes. Kuna sehemu ya grafu katika roboduara ya tatu na mshale unaoelekeza chini na kulia. Kuna sehemu ya grafu katika roboduara ya kwanza na mshale unaoelekeza chini na kulia.$

Katika mazoezi 10 - 20, mchoro usawa wa parametric kwa kuondoa parameter. Eleza asymptotes yoyote ya grafu.

10)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}+1$

11)$ x=6\sin(2θ), \quad y=-4\cos(2θ)$

Jibu: $duaradufu na mhimili mdogo wima na urefu 8 na mhimili mkubwa usawa na urefu 12 kwamba ni katikati katika asili. Mishale huenda kinyume chake.$

12)$ x=\cos θ, \quad y=2\sin(2θ)$

13)$ x=3−2\cos θ, \quad y=−5+3\sin θ$

Jibu: $duaradufu katika roboduara ya nne na mhimili mdogo usawa na urefu 4 na mhimili kuu wima na urefu 6. Mishale huenda saa moja kwa moja.$

14)$ x=4+2\cos θ, \quad y=−1+\sin θ$

15)$ x=\sec t, \quad y=\tan t$

Jibu

Asymptotes ni$ y=x$ na$ y=−x$

$Grafu yenye asymptotes katika y = x na y = -x. sehemu ya kwanza ya grafu hutokea katika roboduara ya pili na ya tatu na kipeo katika (-1, 0). Sehemu ya pili ya grafu hutokea katika quadrants ya kwanza na ya nne na vertex kama (1, 0).$

16)$ x=\ln(2t), \quad y=t^2$

17)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}$

Jibu: $Curve kuanzia kidogo juu ya asili na kuongezeka kwa haki na mshale akizungumzia juu na kulia.$

18)$ x=e^{−2t}, \quad y=e^{3t}$

19)$ x=t^3, \quad y=3\ln t$

Jibu: $Curve na asymptote kuwa mhimili y. Curve huanza katika roboduara ya nne na kuongezeka kwa kasi kwa njia ya (1, 0) ambapo hatua ni kuongezeka polepole zaidi.$

20)$ x=4\sec θ, \quad y=3\tan θ$

Katika mazoezi 21 - 38, kubadilisha equations parametric ya curve katika fomu mstatili. Hakuna mchoro ni muhimu. Weka uwanja wa fomu ya mstatili.

21)$ x=t^2−1, \quad y=\dfrac{t}{2}$

Jibu: $ x=4y^2−1;$kikoa:$ x∈[1,∞)$.

22)$ x=\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}, \quad y=\dfrac{t}{1+t}, \quad \text{for }t>−1$

23)$ x=4\cos θ, \quad y=3\sin θ, \quad \text{for }t∈(0,2π]$

Jibu: $ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1;$kikoa$ x∈[−4,4].$

24)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

25)$ x=2t−3, \quad y=6t−7$

Jibu: $ y=3x+2;$domain: namba zote halisi.

26)$ x=t^2, \quad y=t^3$

27)$ x=1+\cos t, \quad y=3−\sin t$

Jibu: $ (x−1)^2+(y−3)^2=1$; kikoa:$ x∈[0,2]$.

28)$ x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4$

29)$ x=\sec t, \quad y=\tan t, \quad \text{for } π≤t<\frac{3π}{2}$

Jibu: $ y=\sqrt{x^2−1}$; kikoa:$ x∈(−\infty,-1]$.

30)$ x=2\cosh t, \quad y=4\sinh t$

31)$ x=\cos(2t), \quad y=\sin t$

Jibu: $ y^2=\dfrac{1−x}{2};$kikoa:$ x∈[-1,1].$

32)$ x=4t+3, \quad y=16t^2−9$

33)$ x=t^2, \quad y=2\ln t, \quad \text{for }t≥1$

Jibu: $ y=\ln x;$kikoa:$ x∈[1,∞).$

34)$ x=t^3, \quad y=3\ln t, \quad \text{for }t≥1$

35)$ x=t^n, \quad y=n\ln t, \quad \text{for } t≥1,$$n$ wapi idadi ya asili

Jibu: $ y=\ln x;$kikoa:$ x∈(0,∞).$

36)$ x=\ln(5t), \quad y=\ln(t^2)$ wapi$ 1≤t≤e$

37)$ x=2\sin(8t), \quad y=2\cos(8t)$

Jibu: $ x^2+y^2=4;$kikoa:$ x∈[−2,2].$

38)$ x=\tan t, \quad y=\sec^2t−1$

Katika mazoezi 39 - 48, jozi za equations parametric zinawakilisha mistari, parabolas, miduara, ellipses, au hyperbolas. Jina aina ya Curve ya msingi ambayo kila jozi ya equations inawakilisha.

39)$ x=3t+4, \quad y=5t−2$

Jibu: mstari

40)$ x−4=5t, \quad y+2=t$

41)$ x=2t+1, \quad y=t^2−3$

Jibu: parabola

42)$ x=3\cos t, \quad y=3\sin t$

43)$ x=2\cos(3t), \quad y=2\sin(3t)$

Jibu: mduara

44)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

45)$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

Jibu: duaradufu

46)$ x=2\cos(3t), \quad y=5\sin(3t)$

47)$ x=3\cosh(4t) \quad y=4\sinh(4t)$

Jibu: tawi la kulia la hyperbola ya kufungua usawa

48)$ x=2\cosh t, \quad y=2\sinh t$

49) Onyesha kwamba$ x=h+r\cos θ, \quad y=k+r\sin θ$ inawakilisha equation ya mduara.

50) Tumia equations katika tatizo lililotangulia ili kupata seti ya milinganyo ya parametric kwa mduara ambao radius ni$5$ na ambao kituo chake ni$ (−2,3)$.

Katika mazoezi 51 - 53, tumia matumizi ya graphing kwa grafu ya safu iliyowakilishwa na equations parametric na kutambua curve kutoka equation yake.

51) [T]$ x=θ+\sin θ, \quad y=1−\cos θ$

Jibu

Equations inawakilisha cycloid.

$Grafu inayoanzia saa (-6, 0) inakua kwa kasi hadi kufikia hatua kali saa (1-3, 2) na kisha kupungua kwa kasi hadi asili. Grafu ni sawa na mhimili y, hivyo grafu huongezeka kwa kasi hadi (3, 2) kabla ya kupungua kwa kasi hadi (6, 0).$

52) [T]$ x=2t−2\sin t, \quad y=2−2\cos t$

53) [T]$ x=t−0.5\sin t, \quad y=1−1.5\cos t$

Jibu: $Grafu kuanzia saa takribani (-6, 0) kuongezeka kwa hatua iliyozunguka na kisha kupungua kwa takribani (0, -0.5). Grafu ni sawa na mhimili y, hivyo grafu huongezeka kwa hatua iliyozunguka kabla ya kupungua kwa takribani (6, 0).$

54) Ndege inayosafiri kwa usawa saa 100 m/s juu ya ardhi ya gorofa kwenye mwinuko wa mita 4000 inapaswa kuacha mfuko wa dharura kwenye lengo chini. Trajectory ya mfuko hutolewa na$ x=100t, \quad y=−4.9t^2+4000, \quad \text{where }t≥0$ ambapo asili ni hatua juu ya ardhi moja kwa moja chini ya ndege wakati wa kutolewa. Ni mita ngapi za usawa kabla ya lengo lazima mfuko utolewe ili kugonga lengo?

55) Trajectory ya risasi hutolewa na$ x=v_0(\cos α)t, \quad y=v_0(\sin α)t−\frac{1}{2}gt^2$ wapi$ v_0=500$ m/s$g=9.8=9.8\text{ m/s}^2$,, na$ α=30$ digrii. Je! Risasi itaanguka lini? Jinsi mbali na bunduki risasi hit chini?

Jibu: Mita 22,092 kwa takriban sekunde 51.

56) [T] Matumizi ya teknolojia ya mchoro Curve inawakilishwa na$ x=\sin(4t), \quad y=\sin(3t), \quad \text{for }0≤t≤2π$.

57) [T] Tumia teknolojia kwa mchoro$ x=2\tan(t), \quad y=3\sec(t), \quad \text{for }−π<t<π.$

Jibu: $Grafu yenye asymptotes karibu na y = x na y = -x. sehemu ya kwanza ya grafu ni katika quadrants ya kwanza na ya pili na kipeo karibu (0, 3). Sehemu ya pili ya grafu iko katika quadrants ya tatu na ya nne na vertex karibu (0, 1-3).$

58) Mchoro Curve inayojulikana kama epitrochoid, ambayo inatoa njia ya uhakika juu ya mduara wa Radius$b$ kama Rolls juu ya nje ya mduara wa Radius$a$. equations ni

$ x=(a+b)\cos t−c⋅\cos\left[\frac{(a+b)t}{b}\right], \quad y=(a+b)\sin t−c⋅\sin\left[\frac{(a+b)t}{b}\right]$.

Hebu$ a=1,\;b=2,\;c=1.$

59) [T] Matumizi ya teknolojia ya mchoro Curve ond iliyotolewa na$ x=t\cos(t), \quad y=t\sin(t)$ kwa$ −2π≤t≤2π.$

Jibu: $Grafu inayoanzia takribani (-6, -1) ikipungua kwa kiwango cha chini katika roboduara ya tatu karibu (-1, -4.8) inayoongezeka kupitia takribani (0, -4.7) na (3, 0) hadi kiwango cha juu karibu (1, 1.9) kabla ya kupungua kupitia (0, 1.5) hadi asili. Grafu ni sawa na mhimili y, hivyo grafu huongezeka kupitia (0, 1.5) hadi kiwango cha juu katika roboduara ya pili, hupungua tena kupitia (0, -4.7), na kisha huongezeka hadi (6, -1).$

60) [T] Tumia teknolojia ya kuchora safu iliyotolewa na milinganyo ya parametric Curve$ x=2\cot(t), \quad y=1−\cos(2t), \quad \text{for }−π/2≤t≤π/2.$ hii inajulikana kama Mchawi wa Agnesi.

61) [T] Mchoro Curve iliyotolewa na equations parametric$ x=\cosh(t), \quad y=\sinh(t),$ kwa$ −2≤t≤2.$

Jibu: $Grafu isiyojulikana ya parabolic na vertex kwenye hatua (1, 0) inayofungua kwa haki.$