10.3: Taylor na Maclaurin Series
- Eleza utaratibu wa kutafuta Taylor polynomial ya utaratibu fulani kwa ajili ya kazi.
- Eleza maana na umuhimu wa theorem ya Taylor na salio.
- Makisio salio kwa Taylor mfululizo makadirio ya kazi fulani.
Katika sehemu mbili zilizopita tulijadili jinsi ya kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa aina fulani za kazi-hasa, kazi zinazohusiana na mfululizo wa kijiometri. Hapa tunazungumzia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa aina nyingine za kazi. Hasa, tunashughulikia maswali yafuatayo: Ni kazi gani zinaweza kuwakilishwa na mfululizo wa nguvu na tunawezaje kupata uwakilishi huo? Kama tunaweza kupata nguvu mfululizo uwakilishi kwa ajili ya kazi fulanif na mfululizo converges juu ya baadhi ya muda, jinsi gani sisi kuthibitisha kwamba mfululizo kweli hukutana naf?
Maelezo ya jumla ya Taylor/Maclaurin Series
Fikiria kazif ambayo ina nguvu mfululizo uwakilishi katikax=a. Kisha mfululizo una fomu
∞∑n=0cn(x−a)n=c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+….
Coefficients lazima iwe nini? Kwa sasa, tunapuuza masuala ya kuungana, lakini badala yake tuzingatia kile mfululizo unapaswa kuwa, ikiwa kuna. Tunarudi kujadili muunganiko baadaye katika sehemu hii. Kama mfululizo Equation\ ref {eq1} ni uwakilishi kwaf saax=a, sisi hakika wanataka mfululizo sawaf(a) katikax=a. Kutathmini mfululizo katikax=a, tunaona kwamba
∞∑n=0cn(x−a)n=c0+c1(a−a)+c2(a−a)2+⋯=c0.
Hivyo, mfululizo huo ni sawaf(a) na mgawoc0=f(a). Aidha, tungependa derivative kwanza ya mfululizo nguvu sawaf′(a) katikax=a. Kutofautisha Equation\ ref {eq2} muda kwa muda, tunaona kwamba
ddx(∞∑n=0cn(x−a)n)=c1+2c2(x−a)+3c3(x−a)2+….
Kwa hiyo, katikax=a, derivative ni
ddx(∞∑n=0cn(x−a)n)=c1+2c2(a−a)+3c3(a−a)2+⋯=c1.
Kwa hiyo, derivative ya mfululizo sawaf′(a) kama mgawoc1=f′(a). Kuendelea kwa njia hii, tunatafuta coefficientscn kama vile derivatives yote ya mfululizo wa nguvu Equation\ ref {eq4} itakubaliana na derivatives zote zinazofanana zaf atx=a. Derivatives ya pili na ya tatu ya Equation\ ref {eq3} hutolewa na
d2dx2(∞∑n=0cn(x−a)n)=2c2+3⋅2c3(x−a)+4⋅3c4(x−a)2+…
na
d3dx3(∞∑n=0cn(x−a)n)=3⋅2c3+4⋅3⋅2c4(x−a)+5⋅4⋅3c5(x−a)2+⋯.
Kwa hiyo, saax=a, derivatives pili na ya tatu
d2dx2(∞∑n=0cn(x−a)n)=2c2+3⋅2c3(a−a)+4⋅3c4(a−a)2+⋯=2c2
na
d3dx3(∞∑n=0cn(x−a)n)=3⋅2c3+4⋅3⋅2c4(a−a)+5⋅4⋅3c5(a−a)2+⋯=3⋅2c3
sawaf″ naf'''(a), kwa mtiririko huo, ikiwac_2=\dfrac{f''(a)}{2} nac_3=\dfrac{f'''(a)}{3⋅2}. Kwa ujumla, tunaona kwamba ikiwaf ina uwakilishi wa mfululizo wa nguvux=a, basi coefficients inapaswa kutolewa nac_n=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}. Hiyo ni, mfululizo lazima
\sum_{n=0}^∞\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+\dfrac{f'''(a)}{3!}(x−a)^3+⋯ \nonumber
Mfululizo huu wa nguvuf unajulikana kama mfululizo wa Taylor kwaf saaa. Ifx=0, basi mfululizo huu unajulikana kama mfululizo wa Maclaurin kwaf.
Ikiwaf ina derivatives ya amri zotex=a, basi mfululizo wa Taylorf kwa kazia ni
\sum_{n=0}^∞\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n+⋯ \nonumber
Mfululizo wa Taylor kwaf saa 0 unajulikana kama mfululizo wa Maclaurin kwaf.
Baadaye katika sehemu hii, tutaonyesha mifano ya kutafuta mfululizo wa Taylor na kujadili hali ambayo mfululizo wa Taylor kwa kazi utakutana na kazi hiyo. Hapa, tunasema matokeo muhimu. Kumbuka kwamba uwakilishi wa mfululizo wa nguvu ni wa kipekee. Kwa hiyo, ikiwa kazif ina mfululizo wa nguvua, basi ni lazima iwe mfululizo wa Taylor kwaf saaa.
Kama kazif ina nguvu mfululizo katika kwamba hujiunga na baadhif ya muda wazi zenyea, basi kwamba mfululizo nguvu ni Taylor mfululizo kwaf saaa.
ushahidi ifuatavyo moja kwa moja kutoka kwamba kujadiliwa hapo awali.
Kuamua kama mfululizo wa Taylor unajiunga, tunahitaji kuangalia mlolongo wake wa kiasi cha sehemu. Hizi kiasi sehemu ni ya mwisho polynomials, inayojulikana kama Taylor polynomials.
Taylor Polynomials
Jumla yan^{\text{th}} sehemu ya mfululizo Taylor kwa ajili ya kazif katikaa inajulikana kaman^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial. Kwa mfano, 0 th, 1 st, 2 nd, na 3 rd kiasi cha sehemu ya mfululizo wa Taylor hutolewa na
\begin{align*} p_0(x) &=f(a) \\[4pt] p_1(x) &=f(a)+f′(a)(x−a) \\[4pt]p_2(x) &=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2\ \\[4pt]p_3(x) &=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+\dfrac{f'''(a)}{3!}(x−a)^3 \end{align*}
mtawalia. Hizi kiasi sehemu inajulikana kama 0 th, 1 st, 2 nd, na 3 rd shahada Taylor polynomials yaf ata, kwa mtiririko huo. Ikiwax=a, basi polynomials hizi zinajulikana kama Maclaurin polynomials kwaf. Sisi sasa kutoa ufafanuzi rasmi wa Taylor na Maclaurin polynomials kwa ajili ya kazif.
Kamaf inan derivatives katikax=a, basin^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial yaf saaa ni
p_n(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+\dfrac{f'''(a)}{3!}(x−a)^3+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n. \nonumber
n^{\text{th}}-shahada Taylor polynomial kwaf at0 inajulikana kaman^{\text{th}} -shahada Maclaurin polynomial kwaf.
Sasa tunaonyesha jinsi ya kutumia ufafanuzi huu ili kupata polynomials kadhaa ya Taylor kwaf(x)=\ln x saax=1.
Kupata Taylor polynomialsp_0,p_1,p_2 nap_3 kwaf(x)=\ln x saax=1. Tumia matumizi ya graphing kulinganisha grafu yaf na grafu yap_0,p_1,p_2 nap_3.
Suluhisho
Ili kupata polynomials hizi Taylor, tunahitaji kutathminif na derivatives yake ya kwanza tatu katikax=1.
\ [kuanza {align*} f (x) &=\ ln x & f (1) &=0\\ [5pt] f (x) &=\
dfrac {1} {x} & f (1) &=1\\ [5pt]
f "(x) &=\\ dfrac {1} {x ^ 2} & f" (1) &=-1\\ [5pt]
f"' (x) &=\ dfrac {2} {x ^ 3} & f"' (1) &=2\ mwisho {align*}\]
Kwa hiyo,
\begin{align*} p_0(x) &= f(1)=0,\\[4pt]p_1(x) &=f(1)+f′(1)(x−1) =x−1,\\[4pt]p_2(x) &=f(1)+f′(1)(x−1)+\dfrac{f''(1)}{2}(x−1)^2 = (x−1)−\dfrac{1}{2}(x−1)^2 \\[4pt]p_3(x) &=f(1)+f′(1)(x−1)+\dfrac{f''(1)}{2}(x−1)^2+\dfrac{f'''(1)}{3!}(x−1)^3=(x−1)−\dfrac{1}{2}(x−1)^2+\dfrac{1}{3}(x−1)^3 \end{align*}
Grafu yay=f(x) na ya kwanza Taylor polynomials tatu ni inavyoonekana katika Kielelezo\PageIndex{1}.

Kupata Taylor polynomialsp_0,p_1,p_2 nap_3 kwaf(x)=\dfrac{1}{x^2} saax=1.
- Kidokezo
-
Kupata kwanza derivatives tatu yaf na kutathmini yao katikax=1.
- Jibu
-
\ [kuanza {align*} p_0 (x) &=1\\ [5pt]
p_1 (x) &=1,1-2 (x-1)\\ [5pt]
p_2 (x) &=1,1-2 (x-1) +3 (x-1) ^2\\ [5pt]
p_3 (x) &=1,1-2 (x-1) +3 (x-1) +3 (x-1) -1) ^2,14 (x-1) ^3\ mwisho {align*}\]
Sasa tunaonyesha jinsi ya kupata Maclaurin polynomials kwae^x, \sin x, na\cos x. Kama ilivyoelezwa hapo juu, Maclaurin polynomials ni Taylor polynomials unaozingatia katika sifuri.
Kwa kila moja ya kazi zifuatazo, tafuta formula kwa polynomials ya Maclaurinp_0,p_1,p_2 nap_3. Pata fomu yan^{\text{th}} shahada ya Maclaurin polynomial na uandike kwa kutumia alama ya sigma. Tumia matumizi ya graphing kulinganisha grafu yap_0,p_1,p_2p_3 na kwaf.
- f(x)=e^x
- f(x)=\sin x
- f(x)=\cos x
Suluhisho
Tanguf(x)=e^x, tunajua kwambaf(x)=f′(x)=f''(x)=⋯=f^{(n)}(x)=e^x kwa integers zote chanyan. Kwa hiyo,
f(0)=f′(0)=f''(0)=⋯=f^{(n)}(0)=1 \nonumber
kwa integers wote chanyan. Kwa hiyo, tuna
\ (\ kuanza {align*} p_0 (x) &= f (0) =1,\\ [
5pt] p_1 (x) &f (0) +f (0) x=1+x,\\ [5pt]
p_2 (x) &= f (0) +f (0) x+\ dfrac {f "(0)} {2!} x^2=1+x+\ dfrac {1} {2} x ^ 2,\\ [5pt]
p_3 (x) &f (0) +f (0) x+\ dfrac {f "(0)} {2} x ^ 2+\ dfrac {f"' (0)} {3!} x^3=1+x+\ dfrac {1} {2} x^2+\ dfrac {1} {3!} x ^ 3,\ mwisho {align*}\)
\ (\ displaystyle\ kuanza {align*} p_n (x) &= f (0) +f (0) x+\ dfrac {f "(0)} {2} x ^ 2+\ dfrac {f"' (0)} {3!} x ^ 3++\ dfrac {f^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n\\ [5pt]
&=1+x+\ dfrac {x ^ 2} {2!} +\ dfrac {x ^ 3} {3!} ++\ dfrac {x ^ n} {n!} \\ [5pt]
&=\ sum_ {k=0} ^n\ dfrac {x^k} {k!} \ mwisho {align*}\).
Kazi na polynomials tatu za kwanza za Maclaurin zinaonyeshwa kwenye Kielelezo\PageIndex{2}.

b Kwaf(x)=\sin x, maadili ya kazi na derivatives yake ya kwanza ya nnex=0 hutolewa kama ifuatavyo:
\ [kuanza {align*} f (x) &=\ dhambi x & f (0) &=0\\ [5pt]
f (x) &=\ cos x & f (0) &=1\\ [5pt]
f "(x) &=-\\ dhambi x & f" (0) &=0\\ [5pt]
f"' (x) &=\ x & f"' (0) &=-1\\ [5pt]
f^ {(4)} (x) &=\ dhambi x & f^ {(4)} (0) &=0. \ mwisho {align*}\]
Tangu derivative\sin x, ya nne ni mfano kurudia. Hiyo ni,f^{(2m)}(0)=0 naf^{(2m+1)}(0)=(−1)^m kwam≥0. hivyo, tuna
\ (\ kuanza {align*} p_0 (x) &=0,\\ [5pt]
p_1 (x) &=0+x=x,\\ [5pt]
p_2 (x) &=0+x+0=x,\\ [5pt]
p_3 (x) &=0+x+0-\ dfrac {1} {3!} x^3=x\ dfrac {x^3} {3!} ,\\ [5pt]
p_4 (x) &=0+x+0-\ dfrac {1} {3!} x^3+0=x\ dfrac {x^3} {3!} ,\\ [5pt]
p_5 (x) &=0+x+0-\ dfrac {1} {3!} x ^ 3+0+\ dfrac {1} {5!} x^5=x\ dfrac {x^3} {3!} +\ dfrac {x^5} {5!} ,\ mwisho {align*}\)
na kwa ajili yam≥0,
\ [kuanza {align*} p_ {2m+1} (x) =p_ {2m+2} (x) &=x\ dfrac {x^3} {3!} +\ dfrac {x^5} {5!} -+ (-1) ^m\ dfrac {x^ {2m+1}} {(2m+1)!} \\ [5pt]
&=\ sum_ {k=0} ^m (-1) ^k\ dfrac {x^ {2k+1}} {(2k+1)!}. \ mwisho {align*}\]
Grafu ya kazi na polynomials yake Maclaurin ni inavyoonekana katika Kielelezo\PageIndex{3}.

c Kwaf(x)=\cos x, maadili ya kazi na derivatives yake ya kwanza ya nnex=0 hutolewa kama ifuatavyo:
\ [kuanza {align*} f (x) &=\ cos x & f (0) &=1\\ [5pt]
f (x) &=-\ dhambi x & f (0) &=0\\ [5pt]
f "(x) &=\\ cos x & f" (0) &=-1\\ [5pt]
f"' (x) &=\\ dhambi x & f"' (0) &=0\\ [5pt]
f^ {(4)} (x) &=\ cos x & f^ {(4)} (0) &=1. \ mwisho {align*}\]
Tangu derivative ya nne ni\sin x, mfano unarudia. Kwa maneno mengine,f^{(2m)}(0)=(−1)^m naf^{(2m+1)}=0 kwam≥0. Kwa hiyo,
\ (\ kuanza {align*} p_0 (x) &=1,\\ [5pt]
p_1 (x) &=1+0=1,\\ [5pt]
p_2 (x) &=1+0-\ dfrac {1} {2!} x^2=1-\ dfrac {x^2} {2!} ,\\ [5pt]
p_3 (x) &=1+0\ dfrac {1} {2!} x^2+0=1\ dfrac {x^2} {2!} ,\\ [5pt]
p_4 (x) &=1+0\ dfrac {1} {2!} x ^ 2+0+\ dfrac {1} {4!} x^4=1-\ dfrac {x^2} {2!} +\ dfrac {x ^ 4} {4!} ,\\ [5pt]
p_5 (x) &=1+0\ dfrac {1} {2!} x ^ 2+0+\ dfrac {1} {4!} x^4+0=1\ dfrac {x^2} {2!} +\ dfrac {x ^ 4} {4!} ,\ mwisho {align*}\)
na kwa ajili yan≥0,
\ [kuanza {align*} p_ {2m} (x) &=p_ {2m+1} (x)\\ [5pt]
&=1-\ dfrac {x^2} {2!} +\ dfrac {x ^ 4} {4!} -+ (-1) ^m\ dfrac {x^ {2m}} {(2m)!} \\ [5pt]
&=\ sum_ {k=0} ^m (-1) ^k\ dfrac {x^ {2k}} {(2k)!}. \ mwisho {align*}\]
Grafu ya kazi na polynomials Maclaurin kuonekana katika Kielelezo\PageIndex{4}.

Kupata formula kwa ajili ya Maclaurin polynomialsp_0,\,p_1,\,p_2 nap_3 kwaf(x)=\dfrac{1}{1+x}.
Pata formula yan^{\text{th}} shahada ya Maclaurin polynomial. Andika jibu lako kwa kutumia alama ya sigma.
- Kidokezo
-
Kutathmini kwanza derivatives nne yaf na kuangalia kwa mfano.
- Jibu
-
\displaystyle p_0(x)=1;\;p_1(x)=1−x;\;p_2(x)=1−x+x^2;\;p_3(x)=1−x+x^2−x^3;\;p_n(x)=1−x+x^2−x^3+⋯+(−1)^nx^n=\sum_{k=0}^n(−1)^kx^k
Theorem ya Taylor na Salio
Kumbuka kwamban^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial kwa ajili ya kazif katikaa nin^{\text{th}} sehemu ya jumla ya Taylor mfululizo kwaf saaa. Kwa hiyo, ili kuamua kama mfululizo wa Taylor unajiunga, tunahitaji kuamua kama mlolongo wa Taylor polynomials{p_n} hujiunga. Hata hivyo, si tu tunataka kujua kama mlolongo wa Taylor polynomials hujiunga, tunataka kujua kama hujiunga naf. Ili kujibu swali hili, tunafafanua salioR_n(x) kama
R_n(x)=f(x)−p_n(x). \nonumber
Kwa mlolongo wa Taylor polynomialsf kuungana na, tunahitaji salioR_n kuungana na sifuri. Kuamua ikiwaR_n hujiunga na sifuri, tunaanzisha theorem ya Taylor na salio. Siyo tu theorem hii muhimu katika kuthibitisha kwamba mfululizo wa Taylor hujiunga na kazi yake inayohusiana, lakini pia itatuwezesha kupima jinsin^{\text{th}} shahada ya Taylor polynomial inavyofikia kazi.
Hapa sisi kuangalia kwa amefungwa juu ya|R_n|. Fikiria kesi rahisi:n=0. Hebup_0 10 th Taylor polynomial saaa kwa ajili ya kazif. SalioR_0 linatimiza
R_0(x)=f(x)−p_0(x)=f(x)−f(a).
Ikiwaf inatofautiana kwa mudaI unaoa nax, basi kwa Theorem ya Theorem ya Thamani ya Maana kuna idadi halisic katia nax vile vilef(x)−f(a)=f′(c)(x−a). Kwa hiyo,
R_0(x)=f′(c)(x−a). \nonumber
Kutumia Theorem ya Thamani ya Maana katika hoja sawa, tunaweza kuonyesha kwamba ikiwaf nin mara kutofautishwa kwa mudaI unaoa nax, kishan^{\text{th}} salioR_n hutimiza
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1} \nonumber
kwa baadhi ya idadi halisic kati yaa nax. Ni muhimu kutambua kwamba thamanic katika nambari hapo juu sio katikatia, bali ni thamani isiyojulikanac katia nax. Fomula hii inaruhusu sisi kupata amefungwa juu ya salioR_n. Kama sisi kutokea kwa kujua kwamba∣f^{(n+1)}(x)∣ ni imepakana na baadhi ya idadi halisiM juu ya kipindi hikiI, basi
|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1} \nonumber
kwa wotex katika kipindiI.
Sisi sasa hali Theorem Taylor ya, ambayo inatoa uhusiano rasmi kati ya kazif na waken^{\text{th}} -shahada Taylor polynomialp_n(x). Theorem hii inaruhusu sisi kufungwa makosa wakati wa kutumia Taylor polynomial takriban thamani kazi, na itakuwa muhimu katika kuthibitisha kwamba Taylor mfululizo kwaf converges kwaf.
Hebuf kuwa kazi ambayo inaweza kutofautishwan+1 mara juu ya mudaI zenye idadi halisia. Hebup_n kuwan^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial yaf saaa na basi
R_n(x)=f(x)−p_n(x) \nonumber
kuwan^{\text{th}} salio. Kisha kwa kila mmojax katika kipindiI, kuna idadi halisic katia nax vile
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1} \nonumber .
Ikiwa kuna idadi halisiM kama hiyo∣f^{(n+1)}(x)∣≤M kwa wotex∈I, basi
|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1} \nonumber
kwa ajili ya wotex katikaI.
Ushahidi
Kurekebisha uhakikax∈I na kuanzisha kazig kama hiyo
g(t)=f(x)−f(t)−f′(t)(x−t)−\dfrac{f''(t)}{2!}(x−t)^2−⋯−\dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x−t)^n−R_n(x)\dfrac{(x−t)^{n+1}}{(x−a)^{n+1}}. \nonumber
Tunadai kwambag inatimiza vigezo vya theorem ya Rolle. Kwa kuwag ni kazi ya polynomial (int), ni kazi tofauti. Pia,g ni sifuri katikat=a nat=x kwa sababu
\begin{align*} g(a) &=f(x)−f(a)−f′(a)(x−a)−\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n−R_n(x) \\[4pt] &=f(x)−p_n(x)−R_n(x) \\[4pt] &=0, \\[4pt] g(x) &=f(x)−f(x)−0−⋯−0 \\[4pt] &=0. \end{align*}
Kwa hiyo,g satisfies Theorem Rolle ya, na kwa hiyo, kunac katia nax vile kwambag′(c)=0. Sisi sasa mahesabug′. Kutumia utawala wa bidhaa, tunaona kuwa
\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x−t)^n\right]=−\dfrac{f^{(n)}(t)}{(n−1)!}(x−t)^{n−1}+\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x−t)^n. \nonumber
Kwa hiyo,
\ [kuanza {align} g( t) &=-f′ (t) + [f′ (t) -f "(t) (t) (x-t)] +\ kushoto [f" (t) (x-t) -\ dfrac {f"' (t)} {2!} (x-t) ^2\ haki] +\ nonumber\\
&\ quad+\ kushoto [\ dfrac {f^ {(n)} (t)} {(n)} {(n-1)!} (x-t) ^ {n -1} -\ dfrac {f^ {(n+1)} (t)} {n!} (x-t) ^n\ kulia] + (n+1) R_n (x)\ dfrac {(x-t) ^n} {(x-a) ^ {n+1}}\ mwisho {align}\ nonumber\].
Angalia kwamba kuna athari ya darubini. Kwa hiyo,
g'(t)=−\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x−t)^n+(n+1)R_n(x)\dfrac{(x−t)^n}{(x−a)^{n+1}} \nonumber .
By theorem Rolle ya, sisi kuhitimisha kwamba kuna idadic kati yaa nax vile kwambag′(c)=0. Tangu
g′(c)=−\dfrac{f^{(n+1})(c)}{n!}(x−c)^n+(n+1)R_n(x)\dfrac{(x−c)^n}{(x−a)^{n+1}} \nonumber
tunahitimisha kwamba
−\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x−c)^n+(n+1)R_n(x)\dfrac{(x−c)^n}{(x−a)^{n+1}}=0. \nonumber
Kuongeza muda wa kwanza upande wa kushoto kwa pande zote mbili za equation na kugawanya pande zote mbili za equation nan+1, tunahitimisha kwamba
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1} \nonumber
kama taka. Kutokana na ukweli huu, inafuata kwamba kama kunaM vile kwamba∣f^{(n+1)}(x)∣≤M kwa wotex katikaI, basi
|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1} \nonumber .
□
Si tu kwamba theorem Taylor ya kuruhusu sisi kuthibitisha kwamba Taylor mfululizo hujiunga na kazi, lakini pia inaruhusu sisi kukadiria usahihi wa Taylor polynomials katika makadirio ya maadili kazi. Tunaanza kwa kuangalia makadirio linear na quadratic yaf(x)=\sqrt[3]{x} saax=8 na kuamua jinsi sahihi makadirio haya ni katika kukadiria\sqrt[3]{11}.
Fikiria kazif(x)=\sqrt[3]{x}.
- Kupata kwanza na ya pili Taylor polynomials kwaf saax=8. Tumia matumizi ya graphing kulinganisha polynomials hizi naf karibux=8.
- Tumia polynomials hizi mbili kukadiria\sqrt[3]{11}.
- Matumizi theorem Taylor ya kufungwa makosa.
Suluhisho:
a. kwaf(x)=\sqrt[3]{x}, maadili ya kazi na derivatives yake ya kwanza mbili katikax=8 ni kama ifuatavyo:
\ [kuanza {align*} f (x) &=\ sqrt [3] {x}, & f (8) &=2\\ [5pt] f (x) &=\
dfrac {1} {3x^ {2/3}}, & f (8) &=\ dfrac {1} {12}\ [5pt]
f "(x) &=\ dfrac {ї2} {9x^ {5/3}}, & f" (8) &=\ dfrac {1} {144.} \ mwisho {align*}\]
Hivyo, polynomials ya kwanza na ya pili ya Taylor katikax=8 hutolewa na
\ (\ kuanza {align*} p_1 (x) &f (8) +f (8) (x-8)\\ [5pt]
&=2+\ dfrac {1} {12} (x-8)\ mwisho {align*}\)
\ (\ kuanza {align*} p_2 (x) &= f (8) +f (8) (x-8) +\ dfrac {f "(8)} {2!} (x-8) ^2\\ [5pt]
&=2+\ dfrac {1} {12} (x-8) -\ dfrac {1} {288} (x-8) ^2. \ mwisho {align*}\)
Kazi na polynomials ya Taylor huonyeshwa kwenye Kielelezo\PageIndex{5}.

b Kutumia kwanza Taylor polynomial saax=8, tunaweza kukadiria
\sqrt[3]{11}≈p_1(11)=2+\dfrac{1}{12}(11−8)=2.25. \nonumber
Kwa kutumia pili Taylor polynomial saax=8, tunapata
\sqrt[3]{11}≈p_2(11)=2+\dfrac{1}{12}(11−8)−\dfrac{1}{288}(11−8)^2=2.21875. \nonumber
c Kwa Kumbuka, kuna c katika kipindi(8,11) kama vile salio wakati\sqrt[3]{11} inakadiriwa na polynomial ya kwanza ya Taylor inatimiza
R_1(11)=\dfrac{f''(c)}{2!}(11−8)^2. \nonumber
Hatujui thamani halisi yac, hivyo sisi kupata juu amefungwa juuR_1(11) kwa kuamua thamani ya juu yaf'' juu ya muda(8,11). Tanguf''(x)=−\dfrac{2}{9x^{5/3}}, thamani kubwa zaidi|f''(x)| kwa muda huo hutokeax=8. Kwa kutumia ukweli kwambaf''(8)=−\dfrac{1}{144}, sisi kupata
|R_1(11)|≤\dfrac{1}{144⋅2!}(11−8)^2=0.03125.
Vile vile, kwa makisioR_2(11), sisi kutumia ukweli kwamba
R_2(11)=\dfrac{f'''(c)}{3!}(11−8)^3.
Tanguf'''(x)=\dfrac{10}{27x^{8/3}}, thamani yaf''' juu ya muda(8,11) nif'''(8)≈0.0014468. Kwa hiyo, tuna
|R_2(11)|≤\dfrac{0.0011468}{3!}(11−8)^3≈0.0065104.
Kupata kwanza na ya pili Taylor polynomials kwaf(x)=\sqrt{x} saax=4. Tumia polynomials hizi kukadiria\sqrt{6}. Matumizi theorem Taylor ya kufungwa makosa.
- Kidokezo
-
Tathminif(4),f′(4), naf''(4).
- Jibu
-
p_1(x)=2+\dfrac{1}{4}(x−4);p_2(x)=2+\dfrac{1}{4}(x−4)−\dfrac{1}{64}(x−4)^2;p_1(6)=2.5;p_2(6)=2.4375;
|R_1(6)|≤0.0625;|R_2(6)|≤0.015625
Kutoka Mfano\PageIndex{2b}, polynomials ya Maclaurin\sin x hutolewa na
p_{2m+1}(x)=p_{2m+2}(x)=x−\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}−\dfrac{x^7}{7!}+⋯+(−1)^m\dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \nonumber
kwam=0,1,2,….
- Matumizi ya tano Maclaurin polynomial\sin x kwa takriban\sin\left(\dfrac{π}{18}\right) na amefungwa makosa.
- Kwa maadilix gani ya tano Maclaurin polynomial\sin x inakaribia ndani0.0001?
Suluhisho
a.
Maclaurin ya tano ya polynomial ni
p_5(x)=x−\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!} \nonumber .
Kutumia polynomial hii, tunaweza kukadiria kama ifuatavyo:
\sin\left(\dfrac{π}{18}\right)≈p_5\left(\dfrac{π}{18}\right)=\dfrac{π}{18}−\dfrac{1}{3!}\left(\dfrac{π}{18}\right)^3+\dfrac{1}{5!}\left(\dfrac{π}{18}\right)^5≈0.173648. \nonumber
Ili kukadiria kosa, tumia ukweli kwamba Maclaurin ya sita ya polynomial nip_6(x)=p_5(x) na kuhesabu imefungwaR_6(\dfrac{π}{18}). Kwa Kumbuka, salio ni
R_6\left(\dfrac{π}{18}\right)=\dfrac{f^{(7)}(c)}{7!}\left(\dfrac{π}{18}\right)^7 \nonumber
kwa baadhic kati ya 0 na\dfrac{π}{18}. Kutumia ukweli kwamba∣f^{(7)}(x)∣≤1 kwa wotex, tunaona kwamba ukubwa wa kosa ni zaidi
\dfrac{1}{7!}⋅\left(\dfrac{π}{18}\right)^7≤9.8×10^{−10}. \nonumber
b.
Tunahitaji kupata maadili yax vile
\dfrac{1}{7!}|x|^7≤0.0001. \nonumber
Kutatua usawa huu kwax, tuna kwamba tano Maclaurin polynomial inatoa makadirio ya ndani kwa muda mrefu0.0001 kama|x|<0.907.
Matumizi ya nne Maclaurin polynomial\cos x kwa takriban\cos\left(\dfrac{π}{12}\right).
- Kidokezo
-
Maclaurin ya nne ya polynomial nip_4(x)=1−\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}.
- Jibu
-
0.96593
Sasa kwa kuwa tuna uwezo wa kufungwa salioR_n(x), tunaweza kutumia hii wajibu wa kuthibitisha kwamba Taylor mfululizo kwaf saa converges kwaf.
Kuwakilisha Kazi na Taylor na Maclaurin Series
Sasa tunajadili masuala ya muunganiko kwa mfululizo wa Taylor. Tunaanza kwa kuonyesha jinsi ya kupata Taylor mfululizo kwa kazi, na jinsi ya kupata muda wake wa muunganiko.
Kupata Taylor mfululizo kwaf(x)=\dfrac{1}{x} saax=1. Tambua muda wa kuunganishwa.
Suluhisho
Kwa maadilif(x)=\dfrac{1}{x}, ya kazi na derivatives yake ya kwanza ya nnex=1 ni
\ [kuanza {align*} f (x) &=\ dfrac {1} {x} & f (1) &=1\\ [5pt] f (x)
&=\dfrac {1} {x ^ 2} & f (1) &=-1\\ [5pt]
f "(x) &=\ dfrac {2} {x ^ 3} & f" (1) &=2! \\ [5pt]
f"' (x) &=\ dfrac {32} {x ^ 4} & f"' (1) &=—3! \\ [5pt]
f^ {(4)} (x) &=\ dfrac {432} {x ^ 5} & f^ {(4)} (1) &=4!. \ mwisho {align*}\]
Hiyo ni, tunaf^{(n)}(1)=(−1)^nn! kwa woten≥0. Kwa hiyo, mfululizo wa Taylor kwaf saax=1 hutolewa na
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}(x−1)^n=\sum_{n=0}^∞(−1)^n(x−1)^n.
Ili kupata muda wa kuunganisha, tunatumia mtihani wa uwiano. Tunaona kwamba
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\dfrac{∣(−1)^{n+1}(x−1)n^{+1}∣}{|(−1)^n(x−1)^n|}=|x−1|.
Hivyo, mfululizo hujiunga ikiwa|x−1|<1. Hiyo ni, mfululizo hujiunga0<x<2. Kisha, tunahitaji kuangalia mwisho. Katikax=2, tunaona kwamba
\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^n(2−1)^n=\sum_{n=0}^∞(−1)^n
diverges na mtihani tofauti. Vile vile, katikax=0,
\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^n(0−1)^n=\sum_{n=0}^∞(−1)^{2n}=\sum_{n=0}^∞1
hutengana. Kwa hiyo, muda wa kuungana ni(0,2).
Kupata Taylor mfululizo kwaf(x)=\dfrac{1}{2} saax=2 na kuamua muda wake wa muunganiko.
- Kidokezo
-
f^{(n)}(2)=\dfrac{(−1)^nn!}{2^{n+1}}
- Jibu
-
\dfrac{1}{2}\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{2−x}{2}\right)^n. Muda wa kuungana ni(0,4).
Tunajua kwamba mfululizo Taylor kupatikana katika mfano huu converges juu ya muda(0,2), lakini jinsi gani sisi kujua ni kweli hujiunga naf? Tunazingatia swali hili kwa ujumla zaidi kwa muda, lakini kwa mfano huu, tunaweza kujibu swali hili kwa kuandika
f(x)=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1−(1−x)}. \nonumber
Hiyo ni,f inaweza kuwakilishwa na mfululizo wa kijiometri\displaystyle \sum_{n=0}^∞(1−x)^n. Kwa kuwa hii ni mfululizo wa kijiometri, hujiunga kwa muda mrefu\dfrac{1}{x} kama|1−x|<1. Kwa hiyo, mfululizo wa Taylor unaopatikana katika Mfanof(x)=\dfrac{1}{x} haujiunga(0,2).
Sasa tunaona swali zaidi ya jumla: kama Taylor mfululizo kwa kazif hujiunga katika baadhi ya muda, tunawezaje kuamua kama kweli hujiunga naf? Ili kujibu swali hili, kumbuka kwamba mfululizo hujiunga na thamani fulani ikiwa na tu ikiwa mlolongo wake wa kiasi cha sehemu hujiunga na thamani hiyo. Kutokana na mfululizo wa Taylor kwaf saaa, jumla yan^{\text{th}} sehemu hutolewa nan^{\text{th}} -shahada Taylor polynomialp_n. Kwa hiyo, ili kuamua kama mfululizo wa Taylorf unajiunga na, tunahitaji kuamua kama
\displaystyle \lim_{n→∞}p_n(x)=f(x).
Tangu salioR_n(x)=f(x)−p_n(x), mfululizo wa Taylor hujiunga naf ikiwa na tu
\displaystyle \lim_{n→∞}R_n(x)=0.
Sasa tunasema theorem hii rasmi.
Tuseme kwambaf ina derivatives ya maagizo yote juu ya mudaI zenyea. Kisha mfululizo wa Taylor
\sum_{n=0}^∞\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n \nonumber
converges kwaf(x) ajili ya wotex katikaI kama na tu kama
\lim_{n→∞}R_n(x)=0 \nonumber
kwa ajili ya wotex katikaI.
Pamoja na theorem hii, tunaweza kuthibitisha kwamba Taylor mfululizo kwaf saa converges naf kama tunaweza kuthibitisha kwamba salioR_n(x)→0. Ili kuthibitisha kwambaR_n(x)→0, sisi kawaida kutumia amefungwa
|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1} \nonumber
kutoka Theorem Taylor na salio.
Katika mfano unaofuata, tunapata mfululizo wa Maclaurine^x\sin x na kuonyesha kwamba mfululizo huu hujiunga na kazi zinazofanana kwa namba zote halisi kwa kuthibitisha kuwa mabakiR_n(x)→0 kwa namba zote halisix.
Kwa kila moja ya kazi zifuatazo, tafuta mfululizo wa Maclaurin na muda wake wa kuungana. Tumia Kumbuka ili kuthibitisha kwamba mfululizo wa Maclaurinf unajiunga naf wakati huo.
- e^x
- \sin x
Suluhisho
a Kutumian^{\text{th}} shahada ya Maclaurin polynomial kwae^x kupatikana katika Mfano a., tunaona kwamba mfululizo wa Maclaurine^x hutolewa na
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{x^n}{n!}.
Kuamua muda wa kuunganisha, tunatumia mtihani wa uwiano. Tangu
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}⋅\dfrac{n!}{|x|^n}=\dfrac{|x|}{n+1},
tuna
\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n→∞}\dfrac{|x|}{n+1}=0
kwa ajili ya wotex. Kwa hiyo, mfululizo hujiunga kabisa kwa wotex, na hivyo, muda wa kuungana ni(−∞,∞). Ili kuonyesha kwamba mfululizo hujiunga nae^x wotex, tunatumia ukweli kwambaf^{(n)}(x)=e^x kwa woten≥0 nae^x ni kazi inayoongezeka(−∞,∞). Kwa hiyo, kwa idadi yoyote halisib, thamani ya juue^x ya wote|x|≤b nie^b. Hivyo,
|R_n(x)|≤\dfrac{e^b}{(n+1)!}|x|^{n+1}.
Tangu sisi tu ilionyesha kuwa
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{|x|^n}{n!}
converges kwa ajili ya wotex, na mtihani tofauti, tunajua kwamba
\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0
kwa idadi yoyote halisix. Kwa kuchanganya ukweli huu na theorem itapunguza, matokeo ni\displaystyle \lim_{n→∞}R_n(x)=0.
b Kutumian^{\text{th}} shahada ya Maclaurin polynomial\sin x iliyopatikana katika Mfano b., tunaona kwamba mfululizo wa Maclaurin\sin x hutolewa na
\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Ili kutumia mtihani wa uwiano, fikiria
\ [kuanza {align*}\ dfrac {|a_ {n+1} |} {|a_n|} &=\ dfrac {|x|^ {2n+3}} {(2n+3)!} \ drac {(2n+1)!} {|x|^ {2n+1}}\ [5pt]
&=\ dfrac {|x|^2} {(2n+3) (2n+2)}\ mwisho {align*}. \ nambari isiyo\]
Tangu
\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)}=0
kwa ajili ya wotex, sisi kupata muda wa muunganiko kama(−∞,∞). Kuonyesha kwamba mfululizo Maclaurin hujiunga na\sin x, angaliaR_n(x). Kwa kilax kuna idadi halisic kati0 nax vile kwamba
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}.
Tangu∣f^{(n+1)}(c)∣≤1 kwa integers woten na namba zote halisi c, tuna
|R_n(x)|≤\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
kwa idadi yote halisix. Kutumia wazo sawa na katika sehemu a., Matokeo ni\displaystyle \lim_{n→∞}R_n(x)=0 kwa wotex, na kwa hiyo, mfululizo wa Maclaurin kwa\sin x hujiunga na\sin x kwa kwelix.
Kupata Maclaurin mfululizo kwaf(x)=\cos x. Tumia mtihani wa uwiano ili kuonyesha kwamba muda wa kuunganisha ni(−∞,∞). Onyesha kwamba mfululizo wa Maclaurin hujiunga na\cos x namba zote halisix.
- Kidokezo
-
Tumia polynomials ya Maclaurin\cos x.
- Jibu
-
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{(−1)^nx^{2n}}{(2n)!}
Kwa mtihani wa uwiano, muda wa kuunganisha ni(−∞,∞). Tangu|R_n(x)|≤\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}, mfululizo hujiunga na\cos x kwa kwelix.
Katika mradi huu, sisi kutumia Polynomials Maclaurin kwae^x kuthibitisha kwambae ni irrational. Ushahidi unategemea kudhani kuwae ni busara na kufika kwa utata. Kwa hiyo, katika hatua zifuatazo, tunadhanie=r/s kwa baadhi ya integersr nas wapis≠0.
- Andika polynomials ya Maclaurinp_0(x),p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) kwae^x. Tathminip_0(1),p_1(1),p_2(1),p_3(1),p_4(1) ili kukadiriae.
- HebuR_n(x) ueleze salio wakati unatumiap_n(x) kukadiriae^x. Kwa hiyo,R_n(x)=e^x−p_n(x), naR_n(1)=e−p_n(1). Kutokana kwambae=\dfrac{r}{s} kwa integersr nas, kutathminiR_0(1),R_1(1),R_2(1),R_3(1),R_4(1).
- Kutumia matokeo kutoka sehemu ya 2, onyesha kwamba kwa kila salioR_0(1),R_1(1),R_2(1),R_3(1),R_4(1), tunaweza kupata integerk kama hiyokR_n(1) ni integer kwan=0,1,2,3,4.
- Andika formula kwan^{\text{th}} -shahada Maclaurin polynomialp_n(x) kwae^x na sambamba salioR_n(x). Onyesha kwambasn!R_n(1) ni integer.
- Matumizi theorem Taylor ya kuandika formula wazi kwaR_n(1). Kuhitimisha kwambaR_n(1)≠0, na kwa hiyo,sn!R_n(1)≠0.
- Tumia theorem ya Taylor ili kupata makadirio yaR_n(1). Tumia makadirio haya pamoja na matokeo kutoka sehemu ya 5 ili kuonyesha hilo|sn!R_n(1)|<\dfrac{se}{n+1}. Kuhitimisha kwamba ikiwan ni kubwa ya kutosha, basi|sn!R_n(1)|<1. Kwa hiyo,sn!R_n(1) ni integer na ukubwa chini ya 1. Hivyo,sn!R_n(1)=0. Lakini kutoka sehemu ya 5, tunajua hilosn!R_n(1)≠0. Tumefika kwa utata, na kwa hiyo, dhana ya awali kwamba e ni busara lazima iwe uongo.
Dhana muhimu
- Taylor polynomials hutumiwa takriban kazi karibu na thamanix=a. Maclaurin polynomials ni Taylor polynomials katikax=0.
- n^{\text{th}}-shahada Taylor polynomials kwa ajili ya kazif ni kiasi sehemu ya Taylor mfululizo kwaf.
- Ikiwa kazif ina uwakilishi wa mfululizo wa nguvux=a, basi hutolewa na mfululizo wake wa Taylorx=a.
- mfululizo Taylor kwaf converges naf kama na tu kama\displaystyle \lim_{n→∞}R_n(x)=0 wapiR_n(x)=f(x)−p_n(x).
- Taylor mfululizo kwae^x, \sin x,\cos x na kuungana na kazi husika kwa kila x halisi.
Mlinganyo muhimu
- Taylor mfululizo kwa ajili ya kazi katikaf hatuax=a
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n+⋯
faharasa
- Maclaurin polynomial
- a Taylor polynomial katikati katika0;n^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial kwaf saa0 nin^{\text{th}} -shahada Maclaurin polynomial kwaf
- Maclaurin mfululizo
- Taylor mfululizo kwa ajili ya kazif katikax=0 inajulikana kama Maclaurin mfululizo kwaf
- Taylor polynomials
- n^{\text{th}}shahada ya Taylor polynomial kwaf saax=a nip_n(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n
- Taylor mfululizo
- mfululizo nguvu kwaa kuwa hujiunga na kazi katika baadhif ya muda wazi zenyea.
- Theorem ya Taylor na salio
-
kwa ajili ya kazif nan^{\text{th}} -shahada Taylor polynomial kwaf saax=a, salioR_n(x)=f(x)−p_n(x) satisfiesR_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}
kwa baadhic katix naa; ikiwa kuna mudaI unaoa na idadi halisiM kama hiyo∣f^{(n+1)}(x)∣≤Mx kwa woteI, basi|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}