10.2: Mali ya Mfululizo wa Nguvu

Malengo ya kujifunza

• Kuchanganya mfululizo wa nguvu kwa kuongeza au kuondoa.
• Unda mfululizo mpya wa nguvu kwa kuzidisha kwa nguvu ya kutofautiana au mara kwa mara, au kwa kubadilisha.
• Kuzidisha mfululizo wa nguvu mbili pamoja.
• Tofauti na kuunganisha mfululizo wa nguvu mrefu kwa muda.

Katika sehemu iliyotangulia juu ya mfululizo wa nguvu na kazi tulionyesha jinsi ya kuwakilisha kazi fulani kwa kutumia mfululizo wa nguvu. Katika sehemu hii tunazungumzia jinsi mfululizo wa nguvu unaweza kuunganishwa, kutofautishwa, au kuunganishwa ili kuunda mfululizo mpya wa nguvu. Uwezo huu ni muhimu hasa kwa sababu kadhaa. Kwanza, inatuwezesha kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi fulani za msingi, kwa kuandika kazi hizo kwa suala la kazi na mfululizo wa nguvu inayojulikana. Kwa mfano, kutokana na nguvu mfululizo uwakilishi kwa$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, tunaweza kupata nguvu mfululizo uwakilishi kwa$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Pili, kuwa na uwezo wa kuunda mfululizo wa nguvu inatuwezesha kufafanua kazi mpya ambazo haziwezi kuandikwa kwa suala la kazi za msingi. Uwezo huu ni muhimu hasa kwa kutatua equations tofauti ambayo hakuna suluhisho kwa suala la kazi za msingi.

Kuchanganya Power Series

Ikiwa tuna mfululizo wa nguvu mbili na muda sawa wa kuunganisha, tunaweza kuongeza au kuondoa mfululizo wawili ili kuunda mfululizo mpya wa nguvu, pia kwa muda huo wa kuunganisha. Vile vile, tunaweza kuzidisha mfululizo wa nguvu kwa nguvu ya$x$ au kutathmini mfululizo wa nguvu$x^m$ kwa integer chanya$m$ ili kuunda mfululizo mpya wa nguvu. Kuwa na uwezo wa kufanya hivyo inatuwezesha kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi fulani kwa kutumia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu wa kazi nyingine. Kwa mfano, tangu tunajua nguvu mfululizo uwakilishi kwa$f(x)=\frac{1}{1−x}$, tunaweza kupata uwakilishi nguvu mfululizo kwa ajili ya kazi kuhusiana, kama vile

$$y=\dfrac{3x}{1−x^2} \nonumber$$

na

$$y=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}. \nonumber$$

Katika Kumbuka$\PageIndex{1}$, tunasema matokeo kuhusu kuongeza au kuondoa mfululizo wa nguvu, muundo wa mfululizo wa nguvu, na kuzidisha kwa mfululizo wa nguvu kwa nguvu ya kutofautiana. Kwa unyenyekevu, tunasema theorem kwa mfululizo wa nguvu unaozingatia$x=0$. Matokeo kama hayo kushikilia kwa nguvu mfululizo unaozingatia katika$x=a$.

Kumbuka:$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Tuseme kwamba mfululizo wa nguvu mbili$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na$\displaystyle\sum_{n=0}^∞d_nx^n$ hujiunga$f$ na kazi na$g$, kwa mtiririko huo, kwa muda wa kawaida$I$.

1. Mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)$ hujiunga na$f±g$ kuendelea$I$.
2. Kwa integer yoyote$m≥0$ na nambari yoyote halisi$b$, mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n$ hujiunga na$bx^mf(x)$ kuendelea$I$.
3. Kwa integer yoyote$m≥0$ na nambari yoyote halisi$b$, mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ hujiunga na$f(bx^m)$ kwa$x$ vile vyote$bx^m$ vilivyo$I$.

Ushahidi

Sisi$i$ kuthibitisha. katika kesi ya mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$. Tuseme kwamba$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ na ugeuke kwenye kazi$f$ na$g$, kwa mtiririko huo, kwa muda$I$. Hebu$x$ uwe na uhakika$I$ na uache$S_N(x)$ na$T_N(x)$ ueleze kiasi cha Nth cha mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$, kwa mtiririko huo. Kisha mlolongo${S_N(x)}$ hujiunga$f(x)$ na mlolongo${T_N(x)}$ hujiunga na$g(x)$. Aidha, N th sehemu ya jumla ya$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ yake

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n) =\sum_{n=0}^Nc_nx^n+\sum_{n=0}^Nd_nx^n\\[4pt] =S_N(x)+T_N(x).\end{align*}$$

Kwa sababu

$$\begin{align*} \lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x)) =\lim_{N→∞}S_N(x)+\lim_{N→∞}T_N(x)\\[4pt] =f(x)+g(x), \end{align*}$$

tunahitimisha kwamba mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ hujiunga$f(x)+g(x).$

□

Tunachunguza bidhaa za mfululizo wa nguvu katika theorem ya baadaye. Kwanza, tunaonyesha maombi kadhaa ya Kumbuka na jinsi ya kupata muda wa kuunganishwa kwa mfululizo wa nguvu kutokana na muda wa kuunganishwa kwa mfululizo wa nguvu zinazohusiana.

Mfano$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Tuseme hiyo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ ni mfululizo wa nguvu ambao muda wa kuunganisha ni$(−1,1)$, na tuseme kwamba$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ ni mfululizo wa nguvu ambao muda wa kuungana ni$(−2,2).$

1. Pata muda wa kuunganishwa kwa mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).$
2. Pata muda wa kuunganishwa kwa mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.$

Suluhisho

1. Kwa kuwa muda$(−1,1)$ ni muda wa kawaida wa kuunganishwa kwa mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$, muda wa kuunganishwa kwa mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)$ ni$(−1,1)$.
2. Kwa kuwa$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ ni mfululizo wa nguvu unaozingatia kwenye sifuri na radius ya muunganiko$1,$ hujiunga kwa wote$x$ katika kipindi$(−1,1).$ Kwa Kumbuka, mfululizo $$\sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=\sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n \nonumber$$ hujiunga ikiwa$3x$ ni katika kipindi$(−1,1)$. Kwa hiyo, mfululizo hujiunga kwa wote$x$ katika kipindi$\left(−\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Tuseme kwamba$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ ina muda wa muunganiko wa$(−1,1)$. Kupata muda wa muunganiko wa$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(\dfrac{x}{2})^n$.

Kidokezo

Pata maadili ya$x$ vile ambavyo$\dfrac{x}{2}$ viko katika kipindi$(−1,1).$

Jibu

Muda wa muunganiko ni$(−2,2).$

Katika mfano unaofuata, tunaonyesha jinsi ya kutumia Kumbuka na mfululizo wa nguvu kwa kazi f kujenga mfululizo wa nguvu kwa kazi zinazohusiana na$f$. Hasa, tunazingatia kazi zinazohusiana$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ na kazi na tunatumia ukweli kwamba

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

kwa$|x|<1.$

Mfano$\PageIndex{2}$: Constructing Power Series from Known Power Series

Tumia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ pamoja na Kumbuka ili kujenga mfululizo wa nguvu kwa kila kazi zifuatazo. Pata muda wa kuunganishwa kwa mfululizo wa nguvu.

1. $f(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}$

Suluhisho

a. kuandika kwanza$f(x)$ kama

$$f(x)=3x\left(\dfrac{1}{1−(−x^2)}\right). \nonumber$$

Kutumia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ na sehemu ii. na iii. ya Kumbuka, tunaona kwamba uwakilishi wa mfululizo wa nguvu$f$ hutolewa na

$$\sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=\sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. \nonumber$$

Tangu muda wa muunganiko wa mfululizo kwa$\dfrac{1}{1−x}$ ni$(−1,1)$, muda wa muunganiko kwa mfululizo huu mpya ni seti ya namba halisi$x$ kama hiyo$∣x^2∣<1$. Kwa hiyo, muda wa muunganiko ni$(−1,1).$

b Ili kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu, tumia sehemu ndogo za kuandika$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x−3)}$ kama jumla ya vipande viwili. Tuna

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\dfrac{−1/2}{x−1}+\dfrac{1/2}{x−3}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/2}{3−x}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/6}{1−\dfrac{x}{3}}. \nonumber$$

Kwanza, kwa kutumia sehemu ya ii. ya Kumbuka, tunapata

$$\dfrac{1/2}{1−x}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{2}x^n \quad\text{for } |x|<1. \nonumber$$

Kisha, kwa kutumia sehemu ii. na ii. ya Kumbuka, tuna

$$\dfrac{1/6}{1−x/3}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n \quad\text{for } |x|<3. \nonumber$$

Kwa kuwa tunachanganya mfululizo huu wa nguvu mbili, muda wa kuunganishwa kwa tofauti lazima iwe ndogo ya vipindi hivi viwili. Kutumia ukweli huu na sehemu i. ya Kumbuka, tuna

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{6⋅3^n}\right)x^n \nonumber$$

ambapo muda wa muunganiko ni$(−1,1)$.

Zoezi$\PageIndex{}2$

Matumizi mfululizo kwa$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ juu ya$|x|<1$ kujenga mfululizo kwa$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.$ Kuamua muda wa muunganiko.

Kidokezo

Tumia sehemu ndogo ili uandike upya$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}$ kama tofauti ya vipande viwili.

Jibu

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(−1+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n$. Muda wa kuungana ni$(−1,1)$.

Katika Mfano$\PageIndex{2}$, tulionyesha jinsi ya kupata mfululizo wa nguvu kwa kazi fulani. Katika Mfano$\PageIndex{3}$ tunaonyesha jinsi ya kufanya kinyume: kutokana na mfululizo wa nguvu, tambua ni kazi gani inawakilisha.

Mfano$\PageIndex{3}$: Finding the Function Represented by a Given Power Series

Fikiria mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n.$ Pata kazi f iliyowakilishwa na mfululizo huu. Tambua muda wa kuunganishwa kwa mfululizo.

Suluhisho

Kuandika mfululizo uliopewa kama

$$\sum_{n=0}^∞2^nx^n=\sum_{n=0}^∞(2x)^n, \nonumber$$

tunaweza kutambua mfululizo huu kama mfululizo wa nguvu

$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x}. \nonumber$$

Kwa kuwa hii ni mfululizo wa kijiometri, mfululizo hujiunga ikiwa na tu kama$|2x|<1.$ Kwa hiyo, muda wa kuungana ni$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Pata kazi iliyowakilishwa na mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{3^n}x^n$.

Kuamua muda wake wa kuungana.

Kidokezo

Andika$\dfrac{1}{3^n}x^n=\left(\dfrac{x}{3}\right)^n$.

Jibu

$f(x)=\dfrac{3}{3−x}.$Muda wa kuungana ni$(−3,3)$.

Kumbuka maswali yaliyotolewa katika kopo ya sura kuhusu njia bora ya kupokea malipo kutoka kwa winnings ya bahati nasibu. Sasa tunaangalia tena maswali hayo na kuonyesha jinsi ya kutumia mfululizo kulinganisha maadili ya malipo kwa muda na malipo ya pesa leo. Sisi compute kiasi gani malipo ya baadaye ni ya thamani katika suala la dola za leo, kuchukua tuna uwezo wa kuwekeza winnings na kupata riba. Thamani ya malipo ya baadaye kwa suala la dola za leo inajulikana kama thamani ya sasa ya malipo hayo.

Mfano$\PageIndex{4}$: Present Value of Future Winnings

Tuseme unashinda bahati nasibu na unapewa chaguzi tatu zifuatazo:

• Pata dola milioni 20 leo;
• Kupokea dola milioni 1.5 kwa mwaka zaidi ya miaka 20 ijayo; au
• Pata dola milioni 1 kwa mwaka kwa muda usiojulikana (kupitishwa kwa warithi wako).

Ambayo ni mpango bora, kuchukua kwamba kiwango cha riba ya kila mwaka ni 5%? Tunajibu hili kwa kufanya kazi kupitia mlolongo wa maswali yafuatayo.

1. Ni kiasi gani cha dola milioni 1.5 zilizopatikana kila mwaka kwa kipindi cha miaka 20 yenye thamani ya dola za leo, kuchukua kiwango cha riba ya kila mwaka ya 5%?
2. Tumia jibu kwa sehemu a. kupata formula ya jumla kwa thamani ya sasa ya malipo ya$C$ dola kupokea kila mwaka zaidi ya miaka n ijayo, kuchukua wastani wa kiwango cha riba ya kila mwaka$r$.
3. Kupata formula kwa thamani ya sasa kama malipo ya kila mwaka ya$C$ dola kuendelea kwa muda usiojulikana, kuchukua wastani wa kiwango cha riba ya kila mwaka$r$.
4. Tumia jibu kwa sehemu c. kuamua thamani ya sasa ya dola milioni 1 kulipwa kila mwaka kwa muda usiojulikana.
5. Tumia majibu yako kwa sehemu a. na d. kuamua ni ipi kati ya chaguzi tatu ni bora.

Kielelezo$\PageIndex{1}$: (mikopo: mabadiliko ya kazi na Robert Huffstutter, Flickr)

Suluhisho

Fikiria malipo ya dola milioni 1.5 yaliyotolewa mwishoni mwa mwaka wa kwanza. Ikiwa ungeweza kupokea malipo hayo leo badala ya mwaka mmoja kuanzia sasa, unaweza kuwekeza fedha hizo na kupata riba ya 5%. Kwa hiyo, thamani ya sasa ya fedha hiyo$P_1$ inatimiza dola$P_1(1+0.05)=1.5$ milioni. Sisi kuhitimisha kwamba

$P_1=\dfrac{1.5}{1.05}=$1.429$dola milioni.

Vile vile, fikiria malipo ya dola milioni 1.5 zilizofanywa mwishoni mwa mwaka wa pili. Ikiwa ungeweza kupokea malipo hayo leo, unaweza kuwekeza fedha hizo kwa miaka miwili, ukipata riba ya 5%, imezungukwa kila mwaka. Kwa hiyo, thamani ya sasa ya fedha hiyo$P_2$ inatimiza dola$P_2(1+0.05)^2=1.5$ milioni. Sisi kuhitimisha kwamba

$P_2=1.5(1.05)^2=$1.361$dola milioni.

Thamani ya malipo ya baadaye leo ni jumla ya maadili ya sasa$P_1,P_2,…,P_{20}$ ya kila malipo hayo ya kila mwaka. Thamani ya sasa$P_k$ inatimiza

$P_k=\dfrac{1.5}{(1.05)^k}$.

Kwa hiyo,

$P=\dfrac{1.5}{1.05}+\dfrac{1.5}{(1.05)^2}+\ldots+\dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693$dola milioni.

b Kutumia matokeo kutoka kwa sehemu a. tunaona kwamba thamani ya sasa P ya dola C kulipwa kila mwaka kwa kipindi cha miaka n, kuchukua kiwango cha riba ya kila mwaka r, hutolewa na

$P=\dfrac{C}{1+r}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\ldots+\dfrac{C}{(1+r)^n}$dola.

c Kutumia matokeo kutoka sehemu b. tunaona kwamba thamani ya sasa ya annuity ambayo inaendelea kwa muda usiojulikana inatolewa na mfululizo usio

$$P=\sum_{n=0}^∞\dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}.\nonumber$$

Tunaweza kuona thamani ya sasa kama mfululizo nguvu katika$r$, ambayo hujiunga kwa muda mrefu kama$\Bigg|\dfrac{1}{1+r}\Bigg|<1$. Tangu$r>0$, mfululizo huu unajiunga. Kuandika upya mfululizo kama

$$P=\dfrac{C}{(1+r)}\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^n,\nonumber$$

tunatambua mfululizo huu kama mfululizo wa nguvu

$f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}$.

Tunahitimisha kwamba thamani ya sasa ya annuity hii ni

$P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.$

d Kutoka matokeo hadi sehemu c. tunahitimisha kuwa thamani ya sasa ya dola$C=1$ milioni$P$ kulipwa nje kila mwaka kwa muda usiojulikana, kuchukua kiwango cha riba ya kila mwaka$r=0.05$, hutolewa na

$P=\dfrac{1}{0.05}=20$dola milioni.

e Kutoka sehemu ya a. tunaona kwamba kupokea dola milioni 1.5 kwa kipindi cha miaka 20 ni thamani ya dola milioni 18.693 kwa dola za leo. Kutoka sehemu d. tunaona kwamba kupokea dola milioni 1 kwa mwaka kwa muda usiojulikana ni thamani ya dola milioni 20 kwa dola za leo. Kwa hiyo, ama kupokea malipo ya jumla ya dola milioni 20 leo au kupokea dola milioni 1 kwa muda usiojulikana kuwa na thamani sawa ya sasa.

Kuongezeka kwa Mfululizo wa Nguvu

Tunaweza pia kuunda mfululizo mpya wa nguvu kwa kuzidisha mfululizo wa nguvu. Kuwa na uwezo wa kuzidisha mfululizo wa nguvu mbili hutoa njia nyingine ya kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi. Njia tunayozidisha ni sawa na jinsi tunavyozidisha polynomials. Kwa mfano, tuseme tunataka kuzidisha

$$\sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

na

$$\sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+\ldots. \nonumber$$

Inaonekana kwamba bidhaa lazima kukidhi

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=−0}^∞d_nx^n\right)=(c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots)⋅(d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+\ldots. \nonumber$$

Katika Kumbuka, tunasema matokeo makuu kuhusu kuzidisha mfululizo wa nguvu, kuonyesha kwamba ikiwa$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ kugeuka kwa muda wa kawaida$I$, basi tunaweza kuzidisha mfululizo kwa njia hii, na mfululizo unaofuata pia hujiunga na muda$I$.

Kuzidisha Nguvu Series

Tuseme kwamba mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ ugeuke$f$ na$g$, kwa mtiririko huo, kwa muda wa kawaida$I$. Hebu

$$e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+\ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=\sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}. \nonumber$$

Kisha

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^∞d_nx^n\right)=\sum_{n=0}^∞e_nx^n \nonumber$$

na

$$\sum_{n=0}^∞e_nx^n \text{ converges to }f(x)⋅g(x) \text{ on } I. \nonumber$$

Mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞e_nx^n$ unajulikana kama bidhaa ya Cauchy ya mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$.

Sisi saza ushahidi wa theorem hii, kama ilivyo zaidi ya kiwango cha maandishi haya na ni kawaida kufunikwa katika kozi ya juu zaidi. Sasa tunatoa mfano wa theorem hii kwa kutafuta uwakilishi wa mfululizo wa nguvu

$$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)} \nonumber$$

kutumia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu

$$y=\dfrac{1}{1−x} \text{ and } y=\dfrac{1}{1−x^2} \nonumber$$ .

Mfano$\PageIndex{5}$: Multiplying Power Series

Kuzidisha uwakilishi wa mfululizo wa nguvu

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

$|x|<1$kwa uwakilishi wa mfululizo wa nguvu

$$\dfrac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞\big(x^2\big)^n=1+x^2+x^4+x^6+\ldots \nonumber$$

$|x|<1$kwa ajili ya kujenga mfululizo nguvu$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}$ kwa muda$(−1,1)$.

Suluhisho

Tunahitaji kuzidisha

$$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots).\nonumber$$

Kuandika maneno kadhaa ya kwanza, tunaona kwamba bidhaa hutolewa na

$$(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+\ldots)+(x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+\ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+\ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+\ldots.\nonumber$$

Tangu mfululizo$y=\dfrac{1}{1−x}$ na$y=\dfrac{1}{1−x^2}$ wote wawili hujiunga na muda$(−1,1)$, mfululizo wa bidhaa pia hujiunga na wakati$(−1,1)$.

Zoezi$\PageIndex{4}$

Kuzidisha mfululizo$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$ peke yake ili kujenga mfululizo$\dfrac{1}{(1−x)(1−x)}.$

Kidokezo

Kuzidisha masharti machache ya kwanza$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x+x^2+x^3+\ldots)$

Jibu

$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots$

Kutofautisha na kuunganisha Mfululizo wa Nguvu

Fikiria nguvu mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots$ kwamba hujiunga na baadhi ya muda$I$, na basi$f$ kuwa kazi inavyoelezwa na mfululizo huu. Hapa tunashughulikia maswali mawili kuhusu$f$.

• Ni$f$ tofauti, na kama ni hivyo, tunawezaje kuamua derivative$f′$?
• Je, sisi kutathmini muhimu kwa muda usiojulikana$∫f(x)\,dx$?

Tunajua kwamba, kwa polynomial yenye idadi ya mwisho ya maneno, tunaweza kutathmini derivative kwa kutofautisha kila neno tofauti. Vile vile, tunaweza kutathmini muhimu kwa kudumu kwa kuunganisha kila neno tofauti. Hapa tunaonyesha kwamba tunaweza kufanya kitu kimoja kwa mfululizo wa nguvu zinazobadilika. Hiyo ni, kama

$$f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

hujiunga na muda fulani mimi, basi

$$f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\ldots \nonumber$$

na

$$∫f(x)\,dx=C+c_0x+c_1\dfrac{x^2}{2}+c_2\dfrac{x^3}{3}+\ldots. \nonumber$$

Kutathmini derivative na isiyojulikana muhimu kwa njia hii inaitwa neno kwa muda tofauti ya mfululizo wa nguvu na muungano wa muda mrefu wa mfululizo wa nguvu, kwa mtiririko huo. Uwezo wa kutofautisha na kuunganisha mfululizo wa nguvu neno kwa muda pia inatuwezesha kutumia uwakilishi wa mfululizo wa nguvu inayojulikana ili kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi nyingine. Kwa mfano, kutokana na mfululizo wa nguvu kwa$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, tunaweza kutofautisha muda kwa muda ili kupata mfululizo wa nguvu kwa$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Vile vile, kwa kutumia nguvu mfululizo kwa$g(x)=\dfrac{1}{1+x}$, tunaweza kuunganisha muda kwa muda ili kupata nguvu mfululizo kwa$G(x)=\ln(1+x)$, antiderivative ya g. Tunaonyesha jinsi ya kufanya hivyo katika Mfano$\PageIndex{6}$ na Mfano$\PageIndex{7}$. Kwanza, tunasema Kumbuka, ambayo hutoa matokeo kuu kuhusu tofauti na ushirikiano wa mfululizo wa nguvu.

Muda kwa muda Tofauti na Ushirikiano kwa Mfululizo wa Nguvu

Tuseme kwamba mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ hujiunga kwa muda$(a−R,a+R)$ kwa baadhi$R>0$. Hebu f kuwa kazi inavyoelezwa na mfululizo

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \nonumber$$

kwa$|x−a|<R$. Kisha f ni tofauti juu ya muda$(a−R,a+R)$ na tunaweza kupata$f′$ kwa kutofautisha mfululizo mrefu kwa muda:

$$f′(x)=\sum_{n=1}^∞ n c_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \nonumber$$

kwa$|x−a|<R.$ Pia, kupata$∫f(x)\,dx$, tunaweza kuunganisha mfululizo mrefu kwa muda. Mfululizo unaosababisha hujiunga$(a−R,a+R),$ na tuna

$$∫f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+c_1\dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2\dfrac{(x−a)^3}{3}+\ldots \nonumber$$

kwa$|x−a|<R.$

Ushahidi wa matokeo haya ni zaidi ya upeo wa maandiko na umeondolewa. Kumbuka kwamba ingawa Kumbuka inathibitisha radius sawa ya muunganiko wakati mfululizo wa nguvu umefafanuliwa au kuunganishwa kwa muda mrefu, inasema chochote kuhusu kile kinachotokea kwenye mwisho. Inawezekana kwamba mfululizo wa nguvu tofauti na jumuishi una tabia tofauti katika mwisho kuliko mfululizo wa awali. Tunaona tabia hii katika mifano inayofuata.

Mfano$\PageIndex{6}$: Differentiating Power Series

1. Matumizi nguvu mfululizo uwakilishi $$f(x)=\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$ kwa$|x|<1$ kupata nguvu mfululizo uwakilishi kwa $$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2} \nonumber$$ muda$(−1,1).$ Kuamua kama mfululizo kusababisha hujiunga katika endpoints.
2. Tumia matokeo ya sehemu a. kutathmini jumla ya mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{n+1}{4^n}$.

Suluhisho

a. tangu$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$ ni derivative ya$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, tunaweza kupata nguvu mfululizo uwakilishi kwa g kwa kutofautisha nguvu mfululizo kwa f mrefu mrefu mrefu. Matokeo yake ni

$$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}=\dfrac{d}{\,dx}(\dfrac{1}{1−x})=\sum_{n=0}^∞\dfrac{d}{\,dx}(x^n)=\dfrac{d}{\,dx}(1+x+x^2+x^3+\ldots)=0+1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n \nonumber$$

kwa$|x|<1.$

Kumbuka$\PageIndex{1}$ haina uhakika chochote kuhusu tabia ya mfululizo huu katika mwisho. Kupima mwisho wa mwisho kwa kutumia mtihani wa kutofautiana, tunaona kwamba mfululizo unatofautiana katika mwisho wote$x=±1$ .Kumbuka kwamba hii ni matokeo sawa yaliyopatikana katika Mfano.

b Kutoka sehemu. tunajua kwamba

$$\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1−x)^2}. \nonumber$$

Kwa hiyo,

\ [kuanza {align*}\ sum_ {n = 0} ^Δ\ dfrac {n+1} {4 ^ n} &=\ sum_ {n = 0} ^Δ (n+1)\ kushoto (\ dfrac {1} {4}\ haki) ^n\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {1} {\ kushoto (1 -\ dfrac {1} 4}\ kulia) ^2}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ kushoto (\ dfrac {3} {4}\ haki) ^2}\\ [4pt]
& =\ dfrac {16} {9}\ mwisho {align*}\]

Zoezi$\PageIndex{5}$

$\dfrac{1}{(1−x)^2}=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n$Tofautisha mfululizo mrefu kwa muda ili kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu$\dfrac{2}{(1−x)^3}$ kwa muda$(−1,1)$.

Kidokezo

Andika maneno kadhaa ya kwanza na utumie utawala wa nguvu.

Jibu

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n$

Mfano$\PageIndex{7}$: Integrating Power Series

Kwa kila moja ya kazi zifuatazo f, kupata nguvu mfululizo uwakilishi kwa f kwa kuunganisha nguvu mfululizo kwa$f′$ na kupata muda wake wa muunganiko.

1. $f(x)=\ln(1+x)$
2. $f(x)=\tan^{−1}x$

Suluhisho:

a. kwa$f(x)=\ln(1+x)$, derivative ni$f′(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Tunajua kwamba

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1−(−x)}=\sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2−x^3+\ldots\nonumber$$

kwa$|x|<1$. Ili kupata mfululizo nguvu kwa$f(x)=\ln(1+x)$, sisi kuunganisha mfululizo mrefu kwa muda.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x+x^2−x^3+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots\nonumber$$

Tangu$f(x)=\ln(1+x)$ ni antiderivative ya$\dfrac{1}{1+x}$, inabakia kutatua kwa mara kwa mara$C$. tangu$\ln(1+0)=0$, tuna$C=0$. Kwa hiyo, uwakilishi wa mfululizo wa nguvu$f(x)=\ln(1+x)$ ni

$$\ln(1+x)=x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber$$

Kumbuka$\PageIndex{1}$ haina uhakika chochote kuhusu tabia ya mfululizo huu wa nguvu katika mwisho. Hata hivyo, kuangalia mwisho, tunaona kwamba katika mfululizo ni mfululizo$x=1$ wa mfululizo wa harmonic, ambao hujiunga. Pia, katika$x=−1$, mfululizo ni mfululizo wa harmonic, ambayo hutofautiana. Ni muhimu kutambua kwamba, hata kama mfululizo huu hujiunga katika$x=1$, Kumbuka haina dhamana kwamba mfululizo kweli hujiunga na$\ln(2)$. Kwa kweli, mfululizo hujiunga na$\ln(2)$, lakini kuonyesha ukweli huu inahitaji mbinu za juu zaidi. (Theorem ya Abel, iliyofunikwa katika maandiko ya juu zaidi, inahusika na hatua hii ya kiufundi zaidi.) Muda wa kuungana ni$(−1,1]$.

b. derivative ya$f(x)=\tan^{−1}x$ ni$f′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Tunajua kwamba

$\displaystyle \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1−(−x^2)}=\sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1−x^2+x^4−x^6+\ldots$

kwa$|x|<1$. Ili kupata mfululizo nguvu kwa$f(x)=\tan^{−1}x$, sisi kuunganisha mfululizo huu mrefu kwa muda.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots \nonumber$$

tangu$\tan^{−1}(0)=0$, tuna$C=0$. Kwa hiyo, uwakilishi wa mfululizo wa nguvu$f(x)=\tan^{−1}x$ ni

$$\tan^{−1}x=x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\nonumber$$

kwa$|x|<1$. Tena, Kumbuka$\PageIndex{1}$ haina uhakika chochote kuhusu muunganiko wa mfululizo huu katika mwisho. Hata hivyo, kuangalia mwisho na kutumia mtihani wa mfululizo wa mfululizo, tunaona kwamba mfululizo hujiunga$x=1$ na$x=−1$. Kama ilivyojadiliwa katika sehemu a., kwa kutumia theorem ya Abel, inaweza kuonyeshwa kuwa mfululizo kweli hujiunga$\tan^{−1}(1)$ na$x=1$ na$\tan^{−1}(−1)$$x=−1$, kwa mtiririko huo. Hivyo, muda wa kuungana ni$[−1,1]$.

Zoezi$\PageIndex{6}$

Unganisha mfululizo wa$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$ nguvu neno kwa muda ili kutathmini$\displaystyle ∫\ln(1+x)\,dx.$

Kidokezo

Tumia ukweli kwamba$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}$ ni antiderivative ya$\dfrac{x^n}{n}$.

Jibu

$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)}$

Hadi kufikia hatua hii, tumeonyesha mbinu kadhaa za kutafuta uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi. Hata hivyo, tunajuaje kwamba mfululizo huu wa nguvu ni wa kipekee? Hiyo ni, kutokana$f$ na kazi na nguvu mfululizo kwa$f$ saa$a$, Je, inawezekana kwamba kuna tofauti nguvu mfululizo kwa$f$ saa tuweze kupatikana kama tulikuwa wametumia mbinu mbalimbali? Jibu la swali hili ni hapana. Ukweli huu haupaswi kuonekana kushangaza ikiwa tunadhani mfululizo wa nguvu kama polynomials na idadi isiyo na kipimo cha maneno. Intuitively, kama

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots \nonumber$$

kwa maadili yote$x$ katika kipindi fulani cha wazi mimi kuhusu sifuri, basi coefficients$c_n$ lazima iwe sawa$d_n$$n≥0$. Sasa tunasema matokeo haya rasmi.

Upekee wa mfululizo wa Nguvu

Hebu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n$ kuwa mbili convergent nguvu mfululizo vile

$$\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=\sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n \nonumber$$

kwa wote x katika muda wazi zenye$a$. Kisha$c_n=d_n$ kwa wote$n≥0$.

Ushahidi

Hebu

$$\begin{align*} f(x) =c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \\ =d_0+d_1(x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+\ldots. \end{align*}$$

Kisha$f(a)=c_0=d_0.$ Kwa Kumbuka, tunaweza kutofautisha wote mfululizo mrefu kwa muda. Kwa hiyo,

$$\begin{align*}f′(x) =c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \\ =d_1+2d_2(x−a)+3d_3(x−a)^2+\ldots,\end{align*}$$

na hivyo,$f′(a)=c_1=d_1.$ Vivyo hivyo,

$$\begin{align*} f''(x) =2c_2+3⋅2c_3(x−a)+\ldots \\ =2d_2+3⋅2d_3(x−a)+\ldots\end{align*}$$

ina maana kwamba$f''(a)=2c_2=2d_2,$ na kwa hiyo,$c_2=d_2$. Zaidi kwa ujumla, kwa integer yoyote$n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,$ na hivyo,$c_n=d_n$ kwa ajili ya wote$n≥0.$

□

Katika sehemu hii tumeonyesha jinsi ya kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi fulani kwa kutumia shughuli mbalimbali za algebraic, upambanuzi, au ushirikiano. Katika hatua hii, hata hivyo, sisi bado ni mdogo kama kwa kazi ambayo tunaweza kupata uwakilishi nguvu mfululizo. Kisha, tunaonyesha jinsi ya kupata uwakilishi wa mfululizo wa nguvu kwa kazi nyingi zaidi kwa kuanzisha mfululizo wa Taylor.

Dhana muhimu

• Kutokana$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ na mfululizo wa nguvu mbili na$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ kwamba hujiunga$f$ na kazi na$g$ kwa muda wa kawaida$I$, jumla na tofauti ya mfululizo mbili hujiunga na$f±g$, kwa mtiririko huo, juu$I$. Kwa kuongeza, kwa idadi yoyote halisi$b$ na integer$m≥0$, mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n$ hujiunga$bx^mf(x)$ na mfululizo$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ hujiunga na$f(bx^m)$ wakati wowote$bx^m$ ulipo katika kipindi$I$.
• Kutokana na mfululizo wa nguvu mbili ambazo hujiunga na muda$(−R,R),$ wa bidhaa ya Cauchy ya mfululizo wa nguvu mbili hujiunga na muda$(−R,R)$.
• Kutokana nguvu mfululizo kwamba hujiunga na kazi$f$ ya muda$(−R,R)$, mfululizo inaweza kutofautishwa muda kwa muda na mfululizo kusababisha hujiunga na$f′$ kuendelea$(−R,R)$. Mfululizo unaweza pia kuunganishwa kwa muda mrefu na mfululizo unaosababisha hujiunga$(−R,R)$.$∫f(x)\,dx$

faharasa

Kipengee cha muda mrefu cha mfululizo wa nguvu

mbinu ya kutathmini derivative ya mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ kwa kutathmini derivative ya kila neno tofauti ili kuunda mfululizo mpya wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}$

ushirikiano wa muda mrefu wa mfululizo wa nguvu

mbinu ya kuunganisha mfululizo wa nguvu$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ kwa kuunganisha kila neno tofauti ili kuunda mfululizo mpya wa nguvu$\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}$