7.4: Sehemu ndogo

Malengo ya kujifunza

• Unganisha kazi ya busara kwa kutumia njia ya sehemu ndogo.
• Tambua mambo rahisi ya mstari katika kazi ya busara.
• Tambua mambo ya mara kwa mara ya mstari katika kazi ya busara.
• Tambua mambo ya quadratic katika kazi ya busara.

Tumeona baadhi ya mbinu ambazo zinatuwezesha kuunganisha kazi maalum za busara. Kwa mfano, tunajua kwamba

$$\int \dfrac{du}{u}=\ln |u|+C \nonumber$$

na

$$\int \dfrac{du}{u^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1} \left(\dfrac{u}{a}\right)+C.\nonumber$$

Hata hivyo, hatuna mbinu ambayo inaruhusu sisi kukabiliana na quotients ya kiholela ya aina hii. Hivyo, si mara moja wazi jinsi ya kwenda juu ya kutathmini

$$\int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx.\nonumber$$

Hata hivyo, tunajua kutokana na nyenzo zilizotengenezwa hapo awali

$$\int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx=\ln |x+1|+2\ln |x−2|+C.\nonumber$$

Kwa kweli, kwa kupata denominator ya kawaida, tunaona kwamba

$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}=\dfrac{3x}{x^2−x−2}.\nonumber$$

Kwa hiyo,

$$\int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx=\int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx.\nonumber$$

Katika sehemu hii, tunachunguza njia ya kuharibika kwa sehemu ya sehemu, ambayo inatuwezesha kuharibika kazi za busara kwa kiasi cha kazi rahisi, rahisi zaidi zinazounganishwa na busara. Kutumia njia hii, tunaweza kuandika tena maneno kama vile:

$$\dfrac{3x}{x^2−x−2}\nonumber$$

kama usemi kama vile

$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}.\nonumber$$

Funguo la njia ya uharibifu wa sehemu ya sehemu ni kuwa na uwezo wa kutarajia fomu ambayo utengano wa kazi ya busara utachukua. Kama tutakavyoona, fomu hii ni ya kutabirika na inategemea sana factorization ya denominator ya kazi ya busara. Pia ni muhimu sana kukumbuka kwamba uharibifu wa sehemu ya sehemu unaweza kutumika kwa kazi ya busara$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ tu ikiwa$deg(P(x))<deg(Q(x))$. Katika kesi wakati$deg(P(x))≥deg(Q(x))$, ni lazima kwanza kufanya mgawanyiko wa muda mrefu kuandika upya quotient$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ katika fomu$A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$, ambapo$deg(R(x))<deg(Q(x))$. Sisi kisha kufanya sehemu ya sehemu utengano juu$\dfrac{R(x)}{Q(x)}$. Mfano unaofuata, ingawa hauhitaji kuharibika kwa sehemu ya sehemu, unaonyesha njia yetu ya ushirikiano wa kazi za busara za fomu$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, ambapo$deg(P(x))≥deg(Q(x)).$

Mfano$\PageIndex{1}$: Integrating $\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, where $deg(P(x))≥deg(Q(x))$

Tathmini

$$\int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx. \nonumber$$

Suluhisho

Tangu$deg(x^2+3x+5)≥deg(x+1),$ sisi kufanya mgawanyiko wa muda mrefu ili kupata

$$\dfrac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+\dfrac{3}{x+1}. \nonumber$$

Hivyo,

$$\int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx=\int \left(x+2+\dfrac{3}{x+1}\right)\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3\ln |x+1|+C. \nonumber$$

Ziara tovuti hii kwa ajili ya mapitio ya mgawanyo wa muda mrefu wa polynomials.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Tathmini

$$\int \dfrac{x−3}{x+2}\,dx. \nonumber$$

Kidokezo

Tumia mgawanyiko wa muda mrefu ili kupata$\dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber$

Jibu

$$x−5\ln |x+2|+C \nonumber$$

Kuunganisha$\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, wapi$deg(P(x))<deg(Q(x))$, lazima tuanze kwa kuzingatia$Q(x)$.

Mambo yasiyo ya mara kwa mara

Kama$Q(x)$ inaweza kuwa factored kama$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, ambapo kila sababu linear ni tofauti, basi inawezekana kupata constants$A_1,A_2,…A_n$ kuridhisha

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \label{eq:7.4.1}$$

Ushahidi kwamba vipindi vile vilivyopo ni zaidi ya upeo wa kozi hii.

Katika mfano huu unaofuata, tunaona jinsi ya kutumia sehemu ndogo ili kuunganisha kazi ya busara ya aina hii.

Mfano$\PageIndex{2}$: Partial Fractions with Nonrepeated Linear Factors

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx.$

Suluhisho

Tangu$deg(3x+2)<deg(x^3−x^2−2x)$, sisi kuanza kwa factoring denominator ya$\dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}$. Tunaweza kuona hilo$x^3−x^2−2x=x(x−2)(x+1)$. Hivyo, kuna constants$A$$B$, na$C$ kuridhisha Equation\ ref {eq:7.4.1} kama

$$\dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x−2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber$$

Ni lazima sasa kupata constants hizi. Kwa kufanya hivyo, tunaanza kwa kupata denominator ya kawaida upande wa kulia. Hivyo,

$$\dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2)}{x(x−2)(x+1)}. \nonumber$$

Sasa, sisi kuweka nambari sawa na kila mmoja, kupata

$$3x+2=A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2).\label{Ex2Numerator}$$

Kuna mikakati miwili tofauti ya kutafuta coefficients$A$,$B$, na$C$. Tunataja haya kama njia ya kusawazisha coefficients na njia ya badala ya kimkakati.

Mkakati mmoja: Njia ya Kulinganisha Coefficients

Andika upya Equation$\ref{Ex2Numerator}$ katika fomu

$$3x+2=(A+B+C)x^2+(−A+B−2C)x+(−2A). \nonumber$$

Coefficients equating hutoa mfumo wa equations

$$\begin{align*} A+B+C &=0 \\[4pt] −A+B−2C &= 3 \\[4pt] −2A &=2. \end{align*}$$

Ili kutatua mfumo huu, sisi kwanza tunaona kwamba$−2A=2⇒A=−1.$ Kubadilisha thamani hii katika equations mbili za kwanza hutupa mfumo

$B+C=1$

$B−2C=2$.

Kuzidisha equation pili$−1$ na na kuongeza equation kusababisha inazalisha kwanza

$−3C=1,$

ambayo kwa upande ina maana kwamba$C=−\dfrac{1}{3}$. Kubadilisha thamani hii katika$B+C=1$ mavuno ya equation$B=\dfrac{4}{3}$. Hivyo, kutatua milinganyo haya mavuno$A=−1, B=\dfrac{4}{3}$, na$C=−\dfrac{1}{3}$.

Ni muhimu kutambua kwamba mfumo unaozalishwa na njia hii ni thabiti ikiwa na tu ikiwa tumeanzisha utengano kwa usahihi. Ikiwa mfumo haukubaliani, kuna hitilafu katika utengano wetu.

Mkakati wa pili: Njia ya Kubadilisha Mkakati

Njia ya uingizaji wa kimkakati inategemea dhana kwamba tumeanzisha utengano kwa usahihi. Kama utengano ni kuanzisha kwa usahihi, basi kuna lazima kuwa na maadili ya$A, B,$ na$C$ kwamba kukidhi Equation$\ref{Ex2Numerator}$ kwa maadili yote ya$x$. Hiyo ni, equation hii lazima kuwa kweli kwa thamani yoyote ya$x$ sisi huduma ya mbadala ndani yake. Kwa hiyo, kwa kuchagua maadili ya$x$ makini na kuwabadilisha katika equation, tunaweza kupata$A, B$, na$C$ kwa urahisi. Kwa mfano, kama sisi mbadala$x=0$, equation inapunguza kwa$2=A(−2)(1)$. Kutatua kwa$A$ mavuno$A=−1$. Kisha, kwa kubadili$x=2$, equation inapunguza$8=B(2)(3)$, au sawa$B=4/3$. Mwisho, sisi badala$x=−1$ katika equation na kupata$−1=C(−1)(−3).$ Kutatua, tuna$C=−\dfrac{1}{3}$.

Ni muhimu kukumbuka kwamba ikiwa tunajaribu kutumia njia hii kwa kuharibika ambayo haijaanzishwa kwa usahihi, bado tunaweza kupata maadili kwa vipindi, lakini hizi mara kwa mara hazina maana. Ikiwa tunachagua kutumia njia ya kubadilisha kimkakati, basi ni wazo nzuri kuangalia matokeo kwa kuunganisha maneno algebraically.

Sasa kwa kuwa tuna maadili ya$A, B,$ na$C,$ tunaandika upya muhimu ya awali:

$$\int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=\int \left(−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{x−2}−\dfrac{1}{3}⋅\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx. \nonumber$$

Kutathmini muhimu inatupa

$$\int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=−\ln |x|+\dfrac{4}{3}\ln |x−2|−\dfrac{1}{3}\ln |x+1|+C. \nonumber$$

Katika mfano unaofuata, tunaunganisha kazi ya busara ambayo kiwango cha nambari sio chini ya kiwango cha denominator.

Mfano$\PageIndex{3}$: Dividing before Applying Partial Fractions

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx.$

Suluhisho

Tangu$deg(x^2+3x+1)≥deg(x^2−4),$ tunapaswa kufanya mgawanyiko mrefu wa polynomials. Hii inasababisha

$$\dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}=1+\dfrac{3x+5}{x^2−4} \nonumber$$

Kisha, tunafanya uharibifu wa sehemu ya sehemu$\dfrac{3x+5}{x^2−4}=\dfrac{3x+5}{(x+2)(x−2)}$. Tuna

$$\dfrac{3x+5}{(x−2)(x+2)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{B}{x+2}. \nonumber$$

Hivyo,

$$3x+5=A(x+2)+B(x−2). \nonumber$$

Kutatua$A$ na$B$ kutumia njia yoyote, tunapata$A=11/4$ na$B=1/4.$

Kuandika upya muhimu ya awali, tuna

$$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=\int \left(1+\dfrac{11}{4}⋅\dfrac{1}{x−2}+\dfrac{1}{4}⋅\dfrac{1}{x+2}\right)\,dx. \nonumber$$

Kutathmini muhimu inazalisha

$$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=x+\dfrac{11}{4}\ln |x−2|+\dfrac{1}{4}\ln |x+2|+C. \nonumber$$

Kama tunavyoona katika mfano unaofuata, inaweza kuwa inawezekana kutumia mbinu ya uharibifu wa sehemu ya sehemu kwa kazi isiyo ya kawaida. Hila ni kubadili kazi isiyo ya busara kwa kazi ya busara kupitia badala.

Mfano$\PageIndex{4}$: Applying Partial Fractions after a Substitution

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx.$

Suluhisho

Hebu tuanze kwa kuruhusu$u=\sin x.$ Kwa hiyo,$du=\cos x\,dx.$ Baada ya kufanya mbadala hizi, tuna

$$\int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=\int \dfrac{du}{u^2−u}=\int \dfrac{du}{u(u−1)}. \nonumber$$

Kutumia sehemu ya sehemu ya utengano kwa$\dfrac{1}{u(u−1)}$ kutoa$\dfrac{1}{u(u−1)}=−\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u−1}.$

Hivyo,

$$\int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |\sin x|+\ln |\sin x−1|+C. \nonumber$$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}\,dx.$

Kidokezo

$$\dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber$$

Jibu

$$\dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber$$

Mambo ya Mstari wa mara

Kwa baadhi ya maombi, tunahitaji kuunganisha maneno ya busara ambayo yana denominators na mambo ya mara kwa mara linear-yaani, kazi za busara na angalau sababu moja ya fomu$(ax+b)^n,$ ambapo$n$ ni integer chanya kubwa kuliko au sawa na$2$. Ikiwa denominator ina sababu ya mara kwa mara$(ax+b)^n$, basi utengano lazima uwe na

$$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \label{eq:7.4.2}$$

Kama tunavyoona katika mfano wetu unaofuata, mbinu ya msingi inayotumiwa kutatua kwa coefficients ni sawa, lakini inahitaji algebra zaidi kuamua nambari za sehemu ndogo.

Mfano$\PageIndex{5}$: Partial Fractions with Repeated Linear Factors

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}\,dx.$

Suluhisho

Tuna$deg(x−2)<deg((2x−1)^2(x−1)),$ hivyo tunaweza kuendelea na kuharibika. Tangu$(2x−1)^2$ ni mara kwa mara linear sababu, ni pamoja na

$$\dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2} \nonumber$$

katika utengano katika Equation\ ref {eq:7.4.2}. Hivyo,

$$\dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}=\dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2}+\dfrac{C}{x−1}. \nonumber$$

Baada ya kupata denominator ya kawaida na equating numerators, tuna

$$x−2=A(2x−1)(x−1)+B(x−1)+C(2x−1)^2. \label{Ex5Numerator}$$

Sisi kisha kutumia njia ya equating coefficients kupata maadili ya$A, B,$ na$C$.

$$x−2=(2A+4C)x^2+(−3A+B−4C)x+(A−B+C). \nonumber$$

Kulinganisha coefficients mavuno$2A+4C=0$$−3A+B−4C=1$,, na$A−B+C=−2$. Kutatua mazao ya mfumo huu$A=2, B=3,$ na$C=−1.$

Vinginevyo, tunaweza kutumia njia ya badala ya kimkakati. Katika kesi hii, kubadilisha$x=1$ na$x=1/2$ katika Equation$\ref{Ex5Numerator}$ kwa urahisi hutoa maadili$B=3$ na$C=−1$. Katika hatua hii, inaweza kuonekana kwamba tuna kukimbia nje ya uchaguzi mzuri kwa ajili ya$x$, hata hivyo, tangu sisi tayari kuwa na maadili kwa$B$ na$C$, tunaweza mbadala katika maadili haya na kuchagua thamani yoyote kwa ajili ya$x$ si awali kutumika. Thamani$x=0$ ni chaguo nzuri. Katika kesi hii, tunapata equation$−2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)^2$ au, sawa,$A=2.$

Sasa kwa kuwa tuna maadili$A, B,$ na$C$, tunaandika upya muhimu ya awali na tathmini yake:

\ [kuanza {align*}\ int\ dfrac {x-1} {(2x-1) ^2 (x-1)}\, dx &=\ int\ kushoto (\ dfrac {2} {2x-1} +\ dfrac {3} {(2x-1) {(2x-1) ^2} \dfrac {1} {x-1}\ haki)\ dx\\ [4pt]
&=\ ln |2x-1|⸺-\ drac {3} {2 (2x-1)}} -\ ln |X-1|+C.\ mwisho {align*}\]

Zoezi$\PageIndex{3}$

Weka utengano wa sehemu ya sehemu

$$\int \dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}\,dx. \nonumber$$

(Je, si kutatua kwa coefficients au kukamilisha ushirikiano.)

Kidokezo

Tumia njia ya kutatua matatizo ya Mfano$\PageIndex{5}$ kwa mwongozo.

Jibu

$$\dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{(x+3)^2}+\dfrac{C}{(x+3)^3}+\dfrac{D}{(x−4)}+\dfrac{E}{(x−4)^2} \nonumber$$

Njia ya jumla

Sasa kwa kuwa tunaanza kupata wazo la jinsi mbinu ya uharibifu wa sehemu ya sehemu inavyofanya kazi, hebu tufafanue njia ya msingi katika mkakati wa kutatua matatizo yafuatayo.

Mkakati wa Kutatua matatizo: Uharibifu wa sehemu ya sehemu

Ili kuharibu kazi ya busara$P(x)/Q(x)$, tumia hatua zifuatazo:

1. Hakikisha kwamba$deg(P(x))<deg(Q(x)).$ Ikiwa sio, fanya mgawanyiko wa muda mrefu wa polynomials.
2. Sababu$Q(x)$ katika bidhaa ya mambo ya quadratic linear na irreducible. Quadratic isiyoweza kupunguzwa ni quadratic ambayo haina zero halisi.
3. Kutokana kwamba$deg(P(x))<deg(Q(x)$, sababu ya$Q(x)$ kuamua aina ya utengano wa$P(x)/Q(x).$
   1. Kama$Q(x)$ inaweza kuwa factored kama$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, ambapo kila sababu linear ni tofauti, basi inawezekana kupata constants$A_1,A_2,...A_n$ kuridhisha $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \nonumber$$
   2. Ikiwa$Q(x)$ ina sababu ya mstari wa mara kwa mara$(ax+b)^n$, basi utengano lazima uwe na $$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \nonumber$$
   3. Kwa kila sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa$ax^2+bx+c$ ambayo$Q(x)$ ina, utengano lazima ujumuishe $$\dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}. \nonumber$$
   4. Kwa kila sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa mara$(ax^2+bx+c)^n,$ kwa mara, utengano lazima ujumuishe $$\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋯+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}. \nonumber$$
   5. Baada ya kuharibika kwa usahihi kunaamua, tatua kwa mara kwa mara.
   6. Mwisho, uandike upya muhimu katika fomu yake iliyoharibika na uitathmini kwa kutumia mbinu zilizotengenezwa hapo awali au formula za ushirikiano.

Rahisi Quadratic Mambo

Sasa hebu tuangalie kuunganisha maneno ya busara ambayo denominator ina sababu isiyoweza kupunguzwa ya quadratic. Kumbuka kwamba quadratic$ax^2+bx+c$ ni irreducible kama$ax^2+bx+c=0$ haina zero halisi-yaani, kama$b^2−4ac<0.$

Mfano$\PageIndex{6}$: Rational Expressions with an Irreducible Quadratic Factor

Tathmini

$$\int \dfrac{2x−3}{x^3+x}\,dx.\nonumber$$

Suluhisho

Tangu$deg(2x−3)<deg(x^3+x),$ sababu denominator na kuendelea na sehemu ya sehemu kuharibika. Kwa kuwa$x^3+x=x(x^2+1)$ ina irreducible quadratic sababu$x^2+1$, ni pamoja na$\dfrac{Ax+B}{x^2+1}$ kama sehemu ya kuoza, pamoja na$\dfrac{C}{x}$ kwa muda linear$x$. Hivyo, utengano una fomu

$$\dfrac{2x−3}{x(x^2+1)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{C}{x}.\nonumber$$

Baada ya kupata denominator ya kawaida na kusawazisha nambari, tunapata equation

$$2x−3=(Ax+B)x+C(x^2+1).\nonumber$$

Kutatua kwa$A,B,$ na$C,$ sisi kupata$A=3, B=2,$ na$C=−3.$

Hivyo,

$$\dfrac{2x−3}{x^3+x}=\dfrac{3x+2}{x^2+1}−\dfrac{3}{x}.\nonumber$$

Kubadilisha nyuma katika muhimu, tunapata

\ [kuanza {align*}\ int\ dfrac {2x-3} {x ^ 3+x}\, dx &=\ int\ kushoto (\ dfrac {3x+2} {x^2+1}}}\ dfrac {3} {x}\ haki)\, dx\ nonumber\\ [4pt]
&=3\ int\ dfrac {x} {x} {x} ^ 2+1}\, dx+2\ int\ dfrac {1} {x ^ 2+1}\, dx-1-3\ int\ dfrac {1} {x}\, dx & &\ maandishi {Split up muhimu}\\ [4pt]
&=\ dfrac {3} {2}\ ln x ^ 2 +1+2\ tan^ {-1} x-3\ ln |X|+C. & &\ maandishi {Tathmini kila muhimu}\ mwisho {align*}\]

Kumbuka: Tunaweza kuandika upya$\ln ∣x^2+1∣=\ln (x^2+1)$, ikiwa tunataka kufanya hivyo, tangu$x^2+1>0.$

Mfano$\PageIndex{7}$: Partial Fractions with an Irreducible Quadratic Factor

Tathmini$\displaystyle \int \dfrac{\,dx}{x^3−8}.$

Solution: Tunaweza kuanza kwa factoring$x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4).$ Tunaona kwamba sababu quadratic$x^2+2x+4$ ni irreducible tangu$2^2−4(1)(4)=−12<0.$ Kutumia mtengano ilivyoelezwa katika mkakati wa kutatua matatizo, sisi kupata

$$\dfrac{1}{(x−2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4}. \nonumber$$

Baada ya kupata denominator ya kawaida na kusawazisha nambari, hii inakuwa

$$1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2). \nonumber$$

Kutumia njia yoyote, tunapata$A=\dfrac{1}{12},B=−\dfrac{1}{12},$ na$C=−\dfrac{1}{3}.$

Kuandika tena$\int \dfrac{\,dx}{x^3−8},$ tuna

$$\int \dfrac{\,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\int \dfrac{1}{x−2}\,dx−\dfrac{1}{12}\int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx. \nonumber$$

Tunaweza kuona kwamba

$$\int \dfrac{1}{x−2}\,dx=\ln |x−2|+C,\nonumber$$

lakini

$$\int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx \nonumber$$

inahitaji jitihada kidogo zaidi. Hebu tuanze kwa kukamilisha mraba juu$x^2+2x+4$ ya kupata

$$x^2+2x+4=(x+1)^2+3. \nonumber$$

Kwa kuruhusu$u=x+1$ na hivyo$du=\,dx,$ tunaona kwamba

\ [kuanza {align*}\ int\ dfrac {x+4} {x ^ 2+2x+4}\, dx &=\ int\ dfrac {x+4} {(x+1) ^2+3}\, dx & &\ maandishi {Kukamilisha mraba kwenye denominator}\\ [4pt]
&=\ int\ dfrac {u^2+3} {u ^ 2 +3}\, du & &\ maandishi {mbadala} u=x+1,\, x=u-1,\ maandishi {na} du=dx\\ [4pt]
&=\ int\ dfrac {u} {u ^ 2+3 } du+\ int\ dfrac {3} {u ^ 2+3} du & &\ maandishi {Piga namba mbali}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2}\ ln u^2+3+\ dfrac {3} {\ sqrt {3}}\ tan^ {-1}\ dfrac {u} {\ sqrt 3} {\ sqrt 3} {\ sqrt 3}} +C & &\ maandishi {Tathmini kila muhimu}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2}\ ln x ^ 2x+4+\ sqrt {3}\ tan^ {-1}\ kushoto (\ dfrac {x+1} {\ sqrt {3}}\ haki) +C & &\ maandishi {Andika upya katika suala la} x\ maandishi {na kurahisisha}\ mwisho {align*}\]

Kubadilisha nyuma katika muhimu ya awali na kurahisisha inatoa

$$\int \dfrac{ \,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\ln |x−2|−\dfrac{1}{24}\ln |x^2+2x+4|−\dfrac{\sqrt{3}}{12}\tan^{−1}\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C. \nonumber$$

Hapa tena, tunaweza kuacha thamani kamili ikiwa tunataka kufanya hivyo, tangu$x^2+2x+4>0$ kwa wote$x$.

Mfano$\PageIndex{8}$: Finding a Volume

Pata kiasi cha imara ya mapinduzi yaliyopatikana kwa kuzunguka kanda iliyofungwa na grafu ya$f(x)=\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ na x -axis juu ya muda$[0,1]$ kuhusu y -axis.

Suluhisho

Hebu tuanze kwa sketching kanda kuwa revolved (angalia Kielelezo$\PageIndex{1}$). Kutoka mchoro, tunaona kwamba njia ya shell ni chaguo nzuri la kutatua tatizo hili.

Kielelezo$\PageIndex{1}$: Tunaweza kutumia njia ya shell ili kupata kiasi cha mapinduzi yaliyopatikana kwa kuzunguka eneo lililoonyeshwa kuhusu$y$ -axis.

Kiasi kinatolewa na

$$V=2π\int ^1_0x⋅\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int ^1_0\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx. \nonumber$$

Kwa kuwa$deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3),$ tunaweza kuendelea na utengano wa sehemu ya sehemu. Kumbuka kuwa$(x^2+1)^2$ ni quadratic isiyoweza kupunguzwa mara kwa mara. Kutumia mtengano ilivyoelezwa katika mkakati wa kutatua matatizo, tunapata

$$\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+1)^2}. \nonumber$$

Kupata denominator ya kawaida na equating numerators inatoa

$$x^3=(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D. \nonumber$$

Kutatua, sisi kupata$A=1, B=0, C=−1,$ na$D=0.$ Badilisha nyuma katika muhimu, tuna

$$V=2π\int _0^1\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int _0^1\left(\dfrac{x}{x^2+1}−\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\right)\,dx=2π\left(\dfrac{1}{2}\ln (x^2+1)+\dfrac{1}{2}⋅\dfrac{1}{x^2+1}\right)\Big|^1_0=π\left(\ln 2−\tfrac{1}{2}\right). \nonumber$$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Weka utengano wa sehemu ya sehemu $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}\,dx. \nonumber$$

Kidokezo

Tumia mkakati wa kutatua matatizo.

Jibu

$$\dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x−3}+\dfrac{C}{(x−3)^2}+\dfrac{Dx+E}{x^2+4}+\dfrac{Fx+G}{(x^2+4)^2} \nonumber$$

Dhana muhimu

• Uharibifu wa sehemu ya sehemu ni mbinu inayotumiwa kuvunja kazi ya busara kwa jumla ya kazi rahisi za busara ambazo zinaweza kuunganishwa kwa kutumia mbinu zilizojifunza hapo awali.
• Wakati wa kutumia uharibifu wa sehemu ya sehemu, lazima tuhakikishe kwamba kiwango cha nambari ni chini ya kiwango cha denominator. Ikiwa sio, tunahitaji kufanya mgawanyiko mrefu kabla ya kujaribu kuharibika kwa sehemu ya sehemu.
• Fomu ya kuharibika inachukua inategemea aina ya mambo katika denominator. Aina ya mambo ni pamoja na mambo yasiyo ya kawaida ya mstari, mambo ya mara kwa mara ya mstari, mambo yasiyopunguzwa ya quadratic, na sababu za quadratic zisizoweza kupunguzwa mara kwa mara.

faharasa

utengano wa sehemu ya sehemu

mbinu inayotumiwa kuvunja kazi ya busara kwa jumla ya kazi rahisi za busara