Skip to main content
Global

6.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 6.1

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178448

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Kwa mazoezi ya 1 - 2, tambua eneo la kanda kati ya curves mbili katika takwimu iliyotolewa kwa kuunganisha juu ya\(x\) -axis.

    1)\(y=x^2−3\) na\(y=1\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) = x ^ 2-3na g (x) =1. Kati ya grafu hizi ni eneo la kivuli, lililofungwa hapo juu na g (x) na chini na f (x). Eneo la kivuli ni kati ya x=-2 na x=2.

    Jibu
    \(\dfrac{32}{3} \, \text{units}^2\)

    2)\(y=x^2\) na\(y=3x+4\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) = x ^ 2 na g (x) = 3x+4. Kati ya grafu hizi ni eneo la kivuli, lililofungwa hapo juu na g (x) na chini na g (x).

    Kwa mazoezi ya 3 - 4, ugawanye kanda kati ya curves mbili katika mikoa miwili ndogo, kisha ueleze eneo hilo kwa kuunganisha juu ya\(x\) -axis. Kumbuka kwamba utakuwa na integrals mbili kutatua.

    3)\(y=x^3\) na\( y=x^2+x\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) = x ^ 3 na g (x) = x ^ 2+x. grafu hizi intersect mara mbili. Mikoa kati ya makutano ni kivuli. Mkoa wa kwanza umepakana juu na f (x) na chini kwa g (x). Mkoa wa pili umepakana juu na g (x) na chini na f (x).

    Jibu
    \(\dfrac{13}{12}\, \text{units}^2\)

    4)\(y=\cos θ\) na\( y=0.5\), kwa\( 0≤θ≤π\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (theta) = cos (theta) na g (x) = 0.5. Grafu hizi huingiliana mara mbili. Mikoa kati ya makutano ni kivuli. Mkoa wa kwanza umepakana juu na f (x) na chini kwa g (x). Mkoa wa pili umepakana juu na g (x) na chini na f (x).

    Kwa mazoezi 5-6, tambua eneo la kanda kati ya curves mbili kwa kuunganisha juu ya\(y\) -axis.

    5)\(x=y^2\) na\(x=9\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo x=y ^ 2 na x=9. Kanda kati ya grafu ni kivuli. Ni usawa, kati ya mhimili wa y na mstari x=9.

    Jibu
    \(36 \, \text{units}^2\)

    6)\(y=x\) na\( x=y^2\)

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo y=x na x=y ^ 2. Kanda kati ya grafu ni kivuli, imefungwa juu na x=y ^ 2 na chini na y=x.

    Kwa mazoezi ya 7 - 13, graph equations na kivuli eneo la kanda kati ya curves. Kuamua eneo lake kwa kuunganisha juu ya\(x\) -axis.

    7)\(y=x^2\) na\(y=−x^2+18x\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) =x ^ 2 na g (x) =-x ^ 2+18x. Kanda kati ya grafu ni kivuli, imefungwa juu na g (x) na chini na f (x). Ni katika quadrant ya kwanza.

    Vitengo vya mraba 243

    8)\(y=\dfrac{1}{x}, \quad y=\dfrac{1}{x^2}\), na\(x=3\)

    9)\(y=\cos x\) na\(y=\cos^2x\) kuendelea\(x \in [−π,π]\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi y=cos (x) na y=cos ^ 2 (x). Grafu ni mara kwa mara na hufanana na mawimbi. Kuna mikoa minne iliyoundwa na makutano ya curves. Maeneo hayo yamevuliwa.

    4 vitengo vya mraba

    10)\(y=e^x,\quad y=e^{2x−1}\), na\(x=0\)

    11)\(y=e^x, \quad y=e^{−x}, \quad x=−1\) na\(x=1\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) =e ^ x na g (x) =e ^ -x. Kuna mikoa miwili yenye kivuli. Katika roboduara ya pili eneo limepakana na x=-1, g (x) hapo juu na f (x) chini. Mkoa wa pili uko katika roboduara ya kwanza na umepakana na f (x) hapo juu, g (x) chini, na x=1.

    \(\dfrac{2(e−1)^2}{e}\, \text{units}^2\)

    12)\( y=e, \quad y=e^x,\) na\(y=e^{−x}\)

    13)\(y=|x|\) na\(y=x^2\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) =x ^ 2 na g (x) =thamani kamili ya x. kuna mikoa miwili ya kivuli. Mkoa wa kwanza uko katika roboduara ya pili na uko kati ya g (x) juu na f (x) chini. Mkoa wa pili uko katika roboduara ya kwanza na umepakana juu na g (x) na chini kwa f (x).

    \(\dfrac{1}{3}\, \text{units}^2\)

    Kwa mazoezi 14 - 19, graph equations na kivuli eneo la kanda kati ya curves. Ikiwa ni lazima, piga kanda ndani ya mikoa ndogo ili kuamua eneo lake lote.

    14)\(y=\sin(πx),\quad y=2x,\) na\(x>0\)

    15)\(y=12−x,\quad y=\sqrt{x},\) na\(y=1\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu tatu. Wao ni kazi f (x) = mrabamizizi ya x, y = 12-x, na y = 1. Kanda kati ya grafu ni kivuli, imefungwa juu na kushoto na f (x), juu na kulia kwa mstari y = 12-x, na chini kwa mstari y = 1. Ni katika quadrant ya kwanza.

    \(\dfrac{34}{3}\, \text{units}^2\)

    16)\(y=\sin x\) na\(y=\cos x\) zaidi\(x \in [−π,π]\)

    17)\(y=x^3\) na\(y=x^2−2x\) zaidi\(x \in [−1,1]\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) =x ^ 3 na g (x) =x ^ 2-2x. Kuna mikoa miwili yenye kivuli kati ya grafu. Mkoa wa kwanza umefungwa upande wa kushoto na mstari x=-2, juu na g (x) na chini na f (x). Mkoa wa pili umefungwa juu na f (x), chini na g (x) na kulia kwa mstari x=2.

    \(\dfrac{5}{2}\, \text{units}^2\)

    18)\(y=x^2+9\) na\( y=10+2x\) zaidi\(x \in [−1,3]\)

    19)\(y=x^3+3x\) na\(y=4x\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni kazi f (x) =x ^ 3+3x na g (x) =4x. Kuna mikoa miwili yenye kivuli kati ya grafu. Mkoa wa kwanza umepakana juu na f (x) na chini kwa g (x). Mkoa wa pili umepakana juu na g (x), chini na f (x).

    \(\dfrac{1}{2}\, \text{units}^2\)

    Kwa mazoezi 20 -25, graph equations na kivuli eneo la kanda kati ya curves. Kuamua eneo lake kwa kuunganisha juu ya\(y\) -axis.

    20)\(x=y^3\) na\( x = 3y−2\)

    21)\(x=y\) na\( x=y^3−y\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo x=2y na x=y ^ 3-y. Grafu huingiliana katika quadrant ya tatu na tena katika quadrant ya kwanza kutengeneza mikoa miwili iliyofungwa kati yao.

    \(\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2\)

    22)\(x=−3+y^2\) na\( x=y−y^2\)

    23)\(y^2=x\) na\(x=y+2\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni equations x=y+2 na y ^ 2=x. grafu intersect, kutengeneza kanda katika kati yao

    \(\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2\)

    24)\(x=|y|\) na\(2x=−y^2+2\)

    25)\(x=\sin y,\quad x=\cos(2y),\quad y=π/2\), na\( y=−π/2\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo x=cos (y) na x=sin (y). Grafu zinaingiliana, na kutengeneza mikoa miwili imefungwa hapo juu na mstari y = pi/2 na chini na mstari y =-pi/2.

    \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, \text{units}^2\)

    Kwa mazoezi 26 - 37, graph equations na kivuli eneo la kanda kati ya curves. Kuamua eneo lake kwa kuunganisha juu ya\(x\) -axis au\(y\) -axis, kwa namna yoyote inaonekana rahisi zaidi.

    26)\(x=y^4\) na\(x=y^5\)

    27)\(y=xe^x,\quad y=e^x,\quad x=0\), na\(x=1\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni equations y=xe ^ x na y=e ^ x. grafu intersect, kutengeneza kanda katika kati yao katika roboduara ya kwanza.

    \(e^{−2}\, \text{units}^2\)

    28)\(y=x^6\) na\(y=x^4\)

    29)\(x=y^3+2y^2+1\) na\(x=−y^2+1\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo x=-y ^ 2+1 na x=y ^ 3+2y ^ 2. Grafu huingiliana, na kutengeneza mikoa miwili kati yao.

    \(\dfrac{27}{4}\, \text{units}^2\)

    30)\( y=|x|\) na\( y=x^2−1\)

    31)\(y=4−3x\) na\(y=\dfrac{1}{x}\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni equations y = 4-3x na y = 1/x. grafu intersect, kuwa kanda kati yao kivuli. Mkoa uko katika roboduara ya kwanza.

    \(\left(\dfrac{4}{3}−\ln(3)\right)\, \text{units}^2\)

    32)\(y=\sin x,\quad x=−π/6,\quad x=π/6,\) na\(y=\cos^3 x\)

    33)\(y=x^2−3x+2\) na\( y=x^3−2x^2−x+2\)

    Jibu
    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo y=x ^ 2-3x+2 na y=x^3-2x^2-x+2. Grafu huingiliana, ikiwa na kanda kati yao yenye kivuli.
    \(\dfrac{1}{2}\)    vitengo vya mraba

    34)\(y=2\cos^3(3x),\quad y=−1,\quad x=\dfrac{π}{4},\) and \( x=−\dfrac{π}{4}\)

    35)\(y+y^3=x\) and \(2y=x\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo 2y=x na y+y ^ 3=x. grafu intersect, kutengeneza mikoa miwili. Mikoa ni kivuli.

    \(\dfrac{1}{2}\)vitengo vya mraba

    36)\( y=\sqrt{1−x^2}\) na\(y=x^2−1\)

    37)\(y=\cos^{−1}x,\quad y=\sin^{−1}x,\quad x=−1,\) na\( x=1\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu mbili. Wao ni milinganyo y=arccos (x) na y=arcsin (x). Grafu huingiliana, na kutengeneza mikoa miwili. Eneo la kwanza limepakana upande wa kushoto na x=-1. Eneo la pili limepakana upande wa kulia na x=1. Mikoa yote miwili ni kivuli.

    \(−2(\sqrt{2}−π)\)vitengo vya mraba

    Kwa mazoezi 38 - 47, tafuta eneo halisi la kanda iliyofungwa na equations iliyotolewa ikiwa inawezekana. Ikiwa huwezi kuamua pointi za makutano kwa uchambuzi, tumia calculator ili kufikia pointi za makutano na maeneo matatu ya decimal na ueleze eneo la karibu la kanda.

    38) [T]\(x=e^y\) na\(y=x−2\)

    39) [T]\(y=x^2\) na\(y=\sqrt{1−x^2}\)

    Jibu
    \(1.067\)vitengo vya mraba

    40) [T]\(y=3x^2+8x+9\) na\(3y=x+24\)

    41) [T]\(x=\sqrt{4−y^2}\) na\( y^2=1+x^2\)

    Jibu
    \(0.852\)vitengo vya mraba

    42) [T]\(x^2=y^3\) na\(x=3y\)

    43) [T]\(y=\sin^3x+2,\quad y=\tan x,\quad x=−1.5,\) na\(x=1.5\)

    Jibu
    \(7.523\)vitengo vya mraba

    44) [T]\(y=\sqrt{1−x^2}\) na\(y^2=x^2\)

    45) [T]\(y=\sqrt{1−x^2}\) na\(y=x^2+2x+1\)

    Jibu
    \(\dfrac{3π−4}{12}\)vitengo vya mraba

    46) [T]\(x=4−y^2\) na\( x=1+3y+y^2\)

    47) [T]\(y=\cos x,\quad y=e^x,\quad x=−π,\quad\) na\(\quad x=0\)

    Jibu
    \(1.429\)vitengo vya mraba

    48) Pembetatu kubwa na msingi juu ya\(x\) -axis inayofaa ndani ya nusu ya juu ya mduara wa kitengo\(y^2+x^2=1\) hutolewa\( y=1+x\) na na\( y=1−x\). Angalia takwimu ifuatayo. Ni eneo gani ndani ya semicircle lakini nje ya pembetatu?

    Takwimu hii ina grafu ya mduara na kituo cha asili na radius ya 1. Kuna pembetatu iliyoandikwa na msingi kwenye mhimili wa x kutoka -1 hadi 1 na kona ya tatu kwa uhakika y=1.

    49) kiwanda kuuza simu za mkononi ina pembezoni gharama kazi\(C(x)=0.01x^2−3x+229\), ambapo\(x\) inawakilisha idadi ya simu za mkononi, na pembezoni mapato kazi iliyotolewa na\(R(x)=429−2x.\) Kupata eneo kati ya grafu ya curves haya na\(x=0.\) Je eneo hili kuwakilisha?

    Jibu
    $33,333.33 jumla ya faida kwa simu za mkononi 200 kuuzwa

    50) Hifadhi ya pumbao ina pembezoni gharama kazi\(C(x)=1000e−x+5\), ambapo\(x\) inawakilisha idadi ya tiketi kuuzwa, na pembezoni mapato kazi iliyotolewa na\(R(x)=60−0.1x\). Kupata jumla ya faida yanayotokana wakati wa kuuza\(550\) tiketi. Tumia calculator kuamua pointi za makutano, ikiwa ni lazima, kwa maeneo mawili ya decimal.

    51) Kobe dhidi ya sungura: kasi ya sungura hutolewa na kazi ya sinusoidal\(H(t)=1−\cos((πt)/2)\) wakati kasi ya kobe ni\(T(t)=(1/2)\tan^{−1}(t/4)\), wapi wakati\(t\) unapimwa kwa masaa na kasi hupimwa kwa maili kwa saa. Find eneo kati ya curves mara\(t=0\) kwa mara ya kwanza baada ya saa moja wakati kobe na sungura ni kusafiri kwa kasi moja. Inawakilisha nini? Tumia calculator kuamua pointi za makutano, ikiwa ni lazima, sahihi kwa maeneo matatu ya decimal.

    Jibu
    \(3.263\)mi inawakilisha jinsi mbali mbele ya sungura ni kutoka kobe

    52) Kobe dhidi ya sungura: kasi ya sungura hutolewa na kazi ya sinusoidal\(H(t)=(1/2)−(1/2)\cos(2πt)\) wakati kasi ya kobe ni\(T(t)=\sqrt{t}\), ambapo\(t\) wakati unapimwa kwa masaa na kasi hupimwa kwa kilomita kwa saa. Ikiwa mbio imekwisha saa 1, ni nani aliyeshinda mbio na kwa kiasi gani? Tumia calculator kuamua pointi za makutano, ikiwa ni lazima, sahihi kwa maeneo matatu ya decimal.

    Kwa mazoezi 53 - 55, tafuta eneo kati ya curves kwa kuunganisha kwa heshima\(x\) na kisha kwa heshima na\(y\). Je, njia moja rahisi zaidi kuliko nyingine? Je, kupata jibu moja?

    53)\(y=x^2+2x+1\) na\(y=−x^2−3x+4\)

    Jibu
    \(\dfrac{343}{24}\)vitengo vya mraba

    54)\(y=x^4\) na\(x=y^5\)

    55)\(x=y^2−2\) na\(x=2y\)

    Jibu
    \(4\sqrt{3}\)vitengo vya mraba

    Kwa mazoezi 56 - 57, tatua kutumia calculus, kisha angalia jibu lako na jiometri.

    56) Kuamua equations kwa pande za mraba ambayo inagusa mduara wa kitengo pande zote nne, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Pata eneo kati ya mzunguko wa mraba huu na mduara wa kitengo. Je, kuna njia nyingine ya kutatua hili bila kutumia calculus?

    Takwimu hii ni grafu ya mduara unaozingatia asili na radius ya 1. Kuna mraba unaozunguka karibu na mduara.

    57) Pata eneo kati ya mzunguko wa mduara wa kitengo na pembetatu iliyoundwa kutoka\(y=2x+1,\,y=1−2x\) na\(y=−\dfrac{3}{5}\), kama inavyoonekana katika takwimu ifuatayo. Je, kuna njia ya kutatua hili bila kutumia calculus?

    Takwimu hii ni grafu ya mduara unaozingatia asili na radius ya 1. Kuna mistari mitatu inayozunguka mduara. Mstari huingilia mduara kwa pointi tatu ili kuunda pembetatu ndani ya mduara.

    Jibu
    \( \left(π−\dfrac{32}{25}\right)\)vitengo vya mraba