5.8: Sura ya 5 Mazoezi ya Mapitio

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178539

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi 1 - 4, jibu Kweli au Uongo. Thibitisha jibu lako kwa ushahidi au mfano wa kukabiliana. Fikiria kazi zote$f$ na$ g$ zinaendelea juu ya vikoa vyao.

1) Ikiwa$ f(x)>0,\;f′(x)>0$ kwa wote$ x$, basi utawala wa mkono wa kulia unadharau muhimu$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.$ Tumia grafu ili kuhalalisha jibu lako.

Jibu: Uongo

2)$\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx$

3) Ikiwa$ f(x)≤g(x)$ kwa wote$ x∈[a,b]$, basi$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.$

Jibu: Kweli

4) Kazi zote zinazoendelea zina antiderivative.

Katika mazoezi ya 5 - 8, tathmini kiasi cha Riemann$ L_4$ na$ R_4$ kwa kazi zilizopewa juu ya muda maalum. Linganisha jibu lako na jibu halisi, iwezekanavyo, au tumia calculator kuamua jibu.

5)$ y=3x^2−2x+1)$ juu$ [−1,1]$

Jibu: $ L_4=5.25, \;R_4=3.25,$jibu halisi: 4

6)$ y=\ln(x^2+1)$ juu$ [0,e]$

7)$ y=x^2\sin x$ juu$ [0,π]$

Jibu: $ L_4=5.364,\;R_4=5.364,$jibu halisi:$ 5.870$

8)$ y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ juu$ [1,4]$

Katika mazoezi 9 - 12, tathmini integrals.

9)$\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx$

Jibu: $ −\frac{4}{3}$

10)$\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt$

11)$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ$

Jibu: $1$

12)$\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx$

Katika mazoezi 13 - 16, pata antiderivative.

13)$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}$

Jibu: $ −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C$

14)$\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx$

15)$\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx$

Jibu: $\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C$

16)$\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx$

Katika mazoezi 17 - 20, pata derivative.

17)$\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

Jibu: $ \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}$

18)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt$

19)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt$

Jibu: $ 4\dfrac{\ln x}{x}+1$

20)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt$

Katika mazoezi 21 - 23, fikiria gharama ya wastani ya kihistoria kwa gigabyte ya RAM kwenye kompyuta.

Mwaka	Mabadiliko ya Mwaka wa 5 ($)
1980	$0$
1985	$−5,468,750$
1990	$-755,495$
1995	$−73,005$
2000	$−29,768$
2005	$−918$
2010	$−177$

21) Ikiwa gharama ya wastani kwa gigabyte ya RAM mwaka 2010 ni$$12$, pata gharama ya wastani kwa gigabyte ya RAM mwaka 1980.

Jibu: $$6,328,113$

Suluhisho: $6,328,113

22) Gharama ya wastani kwa gigabyte ya RAM inaweza kuhesabiwa na kazi$ C(t)=8,500,000(0.65)^t$, ambapo$ t$ inapimwa kwa miaka tangu 1980, na$ C$ ni gharama kwa dola za Marekani. Pata gharama ya wastani kwa gigabyte ya RAM kwa kipindi cha 1980 hadi 2010.

23) Pata gharama ya wastani ya$1$ GB RAM kutoka 2005 hadi 2010.

Jibu: $$73.36$

24) kasi ya risasi kutoka bunduki inaweza kuwa takriban na$ v(t)=6400t^2−6505t+2686,$ ambapo$ t$ ni sekunde baada ya risasi na v ni kasi kipimo katika miguu kwa sekunde. Equation hii mifano tu kasi kwa nusu ya pili ya kwanza baada ya risasi:$ 0≤t≤0.5.$ ni jumla ya umbali risasi safari katika$0.5$ sec nini?

25) Je! Ni kasi ya wastani ya risasi kwa nusu ya pili ya pili?

Jibu: $ \frac{19117}{12}$ft/sec, au kuhusu$1593$ ft/sec