5.4: Formula za Ushirikiano na Theorem ya Mabadiliko

Malengo ya kujifunza

• Tumia formula za msingi za ushirikiano.
• Eleza umuhimu wa theorem ya mabadiliko ya wavu.
• Tumia theorem ya mabadiliko ya wavu ili kutatua matatizo yaliyotumika.
• Tumia integrals ya kazi isiyo ya kawaida na hata.

Katika sehemu hii, tunatumia formula za msingi za ushirikiano zilizojifunza hapo awali ili kutatua matatizo muhimu yaliyotumika. Ni muhimu kutambua kwamba kanuni hizi zinawasilishwa kwa suala la integrals isiyojulikana. Ingawa integrals uhakika na kwa muda usiojulikana ni karibu kuhusiana, kuna baadhi ya tofauti muhimu kukumbuka. Muhimu wa uhakika ni ama namba (wakati mipaka ya ushirikiano ni mara kwa mara) au kazi moja (wakati moja au mipaka yote ya ushirikiano ni vigezo). Muhimu usiojulikana unawakilisha familia ya kazi, ambayo yote hutofautiana na mara kwa mara. Kama wewe kuwa zaidi ukoo na ushirikiano, utapata kujisikia kwa wakati wa kutumia integrals uhakika na wakati wa kutumia integrals muda usiojulikana. Kwa kawaida utachagua njia sahihi kwa tatizo lililopewa bila kufikiri sana kuhusu hilo. Hata hivyo, mpaka dhana hizi zimeimarishwa katika akili yako, fikiria kwa makini kuhusu kama unahitaji muhimu ya uhakika au muhimu isiyojulikana na uhakikishe unatumia nukuu sahihi kulingana na uchaguzi wako.

Formula za Ushirikiano

Kumbuka formula za ushirikiano zilizotolewa katika sehemu ya Antiderivatives na mali ya integrals uhakika. Hebu tuangalie mifano michache ya jinsi ya kutumia kanuni hizi na mali.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Integrating a Function Using the Power Rule

Tumia utawala wa nguvu ili kuunganisha kazi\( \displaystyle ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt\).

Suluhisho

Hatua ya kwanza ni kuandika upya kazi na kurahisisha ili tuweze kutumia utawala wa nguvu:

\[ \begin{align*} ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt &=∫^4_1t^{1/2}(1+t)\,dt \\[4pt] &=∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt. \end{align*}\]

Sasa tumia utawala wa nguvu:

\[ \begin{align*} ∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt &= \left . \left(\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{2}{5}t^{5/2}\right) \right|^4_1 \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(4)^{3/2}+\frac{2}{5}(4)^{5/2} \right]− \left[\frac{2}{3}(1)^{3/2}+\frac{2}{5}(1)^{5/2}\right] \\[4pt] &=\frac{256}{15}. \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kupata muhimu ya uhakika ya\( f(x)=x^2−3x\) zaidi ya muda\([1,3].\)

Kidokezo

Fuata mchakato kutoka Mfano\(\PageIndex{1}\) ili kutatua tatizo.

Jibu

\[ \int_1^3 \left(x^2 - 3x\right) \, dx = −\frac{10}{3} \nonumber \]

Theorem ya Mabadiliko ya Net

Theorem ya mabadiliko ya wavu inazingatia umuhimu wa kiwango cha mabadiliko. Inasema kwamba wakati kiasi kinabadilika, thamani mpya inalingana na thamani ya awali pamoja na muhimu ya kiwango cha mabadiliko ya kiasi hicho. Fomu inaweza kuelezwa kwa njia mbili. Ya pili ni ya kawaida zaidi; ni muhimu tu.

Net Change Theorem

Thamani mpya ya kiasi cha kubadilisha ni sawa na thamani ya awali pamoja na muhimu ya kiwango cha mabadiliko:

\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)dx \label{Net1} \]

au

\[∫^b_aF'(x)dx=F(b)−F(a). \label{Net2} \]

Kutoa\(F(a)\) kutoka pande zote mbili za Equation\ ref {Net1} mavuno Equation\ ref {Net2}. Kwa kuwa wao ni formula sawa, ambayo tunayotumia inategemea programu.

Umuhimu wa theorem ya mabadiliko ya wavu iko katika matokeo. Mabadiliko ya wavu yanaweza kutumika kwa eneo, umbali, na kiasi, ili kutaja maombi machache tu. Mabadiliko ya Net akaunti kwa kiasi hasi moja kwa moja bila ya kuandika zaidi ya moja muhimu. Ili kuonyesha, hebu tumia theorem ya mabadiliko ya wavu kwa kazi ya kasi ambayo matokeo yake ni makazi yao.

Tuliangalia mfano rahisi wa hili katika sehemu ya uhakika ya Integral. Tuseme gari ni kusonga kutokana kaskazini (mwelekeo chanya) katika 40 mph kati ya 2 p.m. na 4 p.m., kisha gari hatua kusini saa 30 mph kati ya 4 p.m. na 5 p.m. Tunaweza graph mwendo huu kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Grafu inaonyesha kasi dhidi ya wakati wa mwendo uliopewa wa gari.

Kama tulivyofanya kabla, tunaweza kutumia integrals uhakika kwa mahesabu ya makazi ya wavu pamoja na umbali jumla alisafiri. Uhamisho wa wavu hutolewa na

\[ ∫^5_2v(t)\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_4−30\,dt=80−30=50. \nonumber \]

Hivyo, saa 5 p.m gari ni 50 mi kaskazini ya nafasi yake ya kuanzia. Umbali wa jumla uliosafiri unatolewa na

\[ ∫^5_2|v(t)|\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_430\,dt=80+30=110. \nonumber \]

Kwa hiyo, kati ya 2 p.m. na 5 p.m., gari alisafiri jumla ya 110 mi.

Kwa muhtasari, uhamisho wa wavu unaweza kujumuisha maadili mazuri na hasi. Kwa maneno mengine, akaunti ya kazi ya kasi kwa umbali wa mbele na umbali wa nyuma. Ili kupata uhamisho wa wavu, kuunganisha kazi ya kasi juu ya muda. Jumla ya umbali alisafiri, kwa upande mwingine, daima ni chanya. Ili kupata umbali wa jumla uliosafiri na kitu, bila kujali mwelekeo, tunahitaji kuunganisha thamani kamili ya kazi ya kasi.

Mfano\(\PageIndex{2}\): Finding Net Displacement

Kutokana na kazi kasi\(v(t)=3t−5\) (katika mita kwa sekunde) kwa chembe katika mwendo mara\(t=0\) kwa mara\(t=3,\) kupata makazi ya wavu ya chembe.

Suluhisho

Kutumia theorem ya mabadiliko ya wavu, tuna

\[ ∫^3_0(3t−5)\,dt=\left(\frac{3t^2}{2}−5t\right)\bigg|^3_0=\left[\frac{3(3)^2}{2}−5(3)\right]−0=\frac{27}{2}−15=\frac{27}{2}−\frac{30}{2}=−\frac{3}{2}. \nonumber \]

Uhamisho wa wavu ni\( −\frac{3}{2}\) m (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Grafu inaonyesha kasi dhidi ya muda kwa chembe inayohamia na kazi ya kasi ya mstari.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Finding the Total Distance Traveled

Tumia Mfano\(\PageIndex{2}\) ili kupata umbali wa jumla uliosafiri na chembe kulingana na kazi ya kasi\(v(t)=3t−5\) m/sec kwa muda wa muda\([0,3].\)

Suluhisho

Umbali wa jumla uliosafiri unajumuisha maadili mazuri na hasi. Kwa hiyo, lazima tuunganishe thamani kamili ya kazi ya kasi ili kupata umbali wa jumla uliosafiri.

Ili kuendelea na mfano, tumia viungo viwili ili kupata umbali wa jumla. Kwanza, tafuta\(t\) -intercept ya kazi, kwani ndio ambapo mgawanyiko wa muda hutokea. Kuweka equation sawa na sifuri na kutatua kwa\(t\). Hivyo,

\[ \begin{align*} 3t−5 &=0 \\[4pt] 3t &=5 \\[4pt] t &=\frac{5}{3}. \end{align*}\]

Vipindi viwili ni\( \left[0,\frac{5}{3}\right]\) na\( \left[\frac{5}{3},3\right]\). Ili kupata umbali wa jumla uliosafiri, kuunganisha thamani kamili ya kazi. Kwa kuwa kazi ni hasi juu ya muda\(\left[0,\frac{5}{3}\right]\), tuna\(\big|v(t)\big|=−v(t)\) zaidi ya muda huo. Zaidi ya\(\left[ \frac{5}{3},3\right]\), kazi ni chanya, hivyo\(\big|v(t)\big|=v(t)\). Hivyo, tuna

\ [kuanza {align*} ^3_0|v (t) |\, dt &=^ {5/3} _0,1v (t)\, dt+^3_ {5/3} v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {5/3} {5/3} {5/3} {5/3} 3—5\, dt\\ [4pt]
&=\ kushoto (5-\ frac {3t ^ 2} {2}\ haki)\ kubwa|^ {5/3} _0+\ kushoto (\ frac {3t ^ 2} {2} -5t\ haki)\ kubwa|^3_ {5/3}\ [4pt]
&=\ kushoto [5 (\ frac {5} {5} 3}) -\ Frac {3 (5/3) ^2} {2}\ haki] —0+\ kushoto [\ frac {27} {2} -15\ haki] -kushoto [\ frac {3 (5/3) ^2} {2}}\ Frac {25} {3} {3} {25} {25} {25} 6} +\ frac {27} {2} -15-\ frac {25} {6} +\ frac {25} {3}\ [4pt]
&=\ Frac {41} {6}\ mwisho {align*}\]

Kwa hiyo, umbali wa jumla uliosafiri ni\( \frac{14}{6}\) m.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kupata makazi yao wavu na umbali jumla alisafiri katika mita kutokana kasi kazi\(f(t)=\frac{1}{2}e^t−2\) juu ya muda\([0,2]\).

Kidokezo

Fuata taratibu kutoka Mifano\(\PageIndex{2}\) na\(\PageIndex{3}\). Kumbuka kuwa\(f(t)≤0\) kwa\(t≤\ln 4\) na\(f(t)≥0\) kwa\(t≥\ln 4\).

Jibu

Uhamisho wa wavu:\( \frac{e^2−9}{2}≈−0.8055\) m; umbali wa jumla uliosafiri:\( 4\ln 4−7.5+\frac{e^2}{2}≈1.740\) m.

Kutumia Theorem ya Mabadiliko ya Net

Theorem ya mabadiliko ya wavu inaweza kutumika kwa mtiririko na matumizi ya maji, kama inavyoonekana katika Mfano\(\PageIndex{4}\).

Mfano\(\PageIndex{4}\): How Many Gallons of Gasoline Are Consumed?

Ikiwa motor kwenye motorboat imeanza\(t=0\) na mashua hutumia petroli kwa kiwango cha\(5−t^3\) gal/hr, ni kiasi gani cha petroli kinatumiwa katika\(2\) masaa ya kwanza?

Suluhisho

Eleza tatizo kama muhimu ya uhakika, kuunganisha, na kutathmini kutumia Theorem ya Msingi ya Calculus. Mipaka ya ushirikiano ni mwisho wa muda [0,2]. Tuna

\[ \begin{align*} ∫^2_0\left(5−t^3\right)\,dt &=\left(5t−\frac{t^4}{4}\right)∣^2_0 \\[4pt] &=\left[5(2)−\frac{(2)^4}{4}\right]−0 \\[4pt] &=10−\frac{16}{4} \\[4pt] &=6. \end{align*} \nonumber \]

Hivyo, motorboat hutumia\(6\) gal ya gesi katika\(2\) masaa.

Mfano\(\PageIndex{5}\): Chapter Opener: Iceboats

Kama tulivyoona mwanzoni mwa sura, racers ya juu ya barafu inaweza kufikia kasi ya hadi mara tano kasi ya upepo. Andrew ni barafu la kati, ingawa, hivyo anapata kasi sawa na kasi ya upepo mara mbili tu.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): (mikopo: mabadiliko ya kazi na Carter Brown, Flickr)

Tuseme Andrew inachukua barafu yake nje asubuhi moja wakati mwanga\(5\) -mph breeze imekuwa kupiga kila asubuhi. Kama Andrew anapata barafu yake kuanzisha, ingawa, upepo huanza kuchukua. Wakati wa nusu saa yake ya kwanza ya iceboating, kasi ya upepo huongezeka kulingana na kazi\(v(t)=20t+5.\) Kwa nusu saa ya pili ya kuondoka kwa Andrew, upepo unabaki thabiti kwa\(15\) mph. Kwa maneno mengine, kasi ya upepo hutolewa na

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\15, & \text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases} \nonumber \]

Akikumbuka kwamba barafu la barafu la Andrew husafiri mara mbili kasi ya upepo, na kudhani anahamia kwenye mstari wa moja kwa moja mbali na hatua yake ya kuanzia, Andrew ni umbali gani kutoka mwanzo wake baada ya\(1\) saa?

Suluhisho

Ili kujua jinsi mbali Andrew amesafiri, tunahitaji kuunganisha kasi yake, ambayo ni mara mbili kasi ya upepo. Kisha

\[\text{Distance} = ∫^1_02v(t)\,dt. \nonumber \]

Kubadilisha maneno tuliyopewa\(v(t)\), tunapata

\ [kuanza {align*} ^1_02v (t)\, dt &=^ {1/2} _02v (t)\, dt+^1_ {1/2} 2v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {1/2} _02 (20t+5)\, dt+^ 1_ {1/3} 2 (15)\, dt\\ [4pt]
&=^ {1/2} _0 (40t+10)\, dt+^1_ {1/2} 30\, dt\\ [4pt]
&=\ kubwa [20t ^ 2+10t\ kubwa]\ kubwa|^ {1/2} _0+\ kubwa [30t\ kubwa]\ ^1_ {1/2}\\ [4pt]
&=\ kushoto (\ frac {20} {4} +5\ kulia) —0+ (30—15)\\ [4pt]
&=25. \ mwisho {align*}\]

Andrew ni 25 mi kutoka hatua yake ya mwanzo baada ya saa 1.

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Tuseme kwamba, badala ya kukaa kwa kasi wakati wa nusu saa ya pili ya kuondoka kwa Andrew, upepo huanza kufa kulingana na kazi\(v(t)=−10t+15.\) Kwa maneno mengine, kasi ya upepo hutolewa na

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\−10t+15, &\text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases}. \nonumber \]

Chini ya hali hizi, ni mbali gani kutoka mwanzo wake Andrew baada ya saa 1?

Kidokezo

Usisahau kwamba barafu la barafu la Andrew huenda mara mbili kwa haraka kama upepo.

Jibu

\(17.5\)mi

Kuunganisha Kazi Hata na isiyo ya kawaida

Tuliona katika Kazi na Grafu kwamba hata kazi ni kazi ambayo\(f(−x)=f(x)\) kwa ajili ya wote\(x\) katika domain-yaani, grafu ya Curve ni unchanged wakati\(x\) ni kubadilishwa na\(−x\). Grafu ya kazi hata ni sawa na\(y\) -axis. Kazi isiyo ya kawaida ni moja ambayo\(f(−x)=−f(x)\) kwa wote\(x\) katika uwanja, na grafu ya kazi ni sawa na asili.

Integrals ya hata kazi, wakati mipaka ya ushirikiano ni kutoka\(−a\) kwa\(a\), kuhusisha maeneo mawili sawa, kwa sababu wao ni symmetric kuhusu\(y\) -axis. Integrals ya kazi isiyo ya kawaida, wakati mipaka ya ushirikiano ni sawa\([−a,a],\) kutathmini kwa sifuri kwa sababu maeneo ya juu na chini ya\(x\) -axis ni sawa.

Integrals ya Hata na Odd Kazi

Kwa ajili ya kuendelea hata kazi kama hiyo\(f(−x)=f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=2∫^a_0f(x)\,dx. \nonumber \]

Kwa ajili ya kazi ya kuendelea isiyo ya kawaida kama\(f(−x)=−f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=0. \nonumber \]

Mfano\(\PageIndex{6}\): Integrating an Even Function

Unganisha kazi hata\(\displaystyle ∫^2_{−2}(3x^8−2)\,dx\) na uhakikishe kuwa formula ya ushirikiano kwa kazi hata inashikilia.

Suluhisho

Ulinganifu unaonekana kwenye grafu katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Grafu (a) inaonyesha kanda chini ya pembe na juu ya\(x\) -axis. Tunapaswa kuvuta kwenye grafu hii kwa kiasi kikubwa ili kuona kanda. Grafu (b) inaonyesha kanda juu ya pembe na chini ya\(x\) -axis. Eneo lililosainiwa la mkoa huu ni hasi. Maoni yote yanaonyesha ulinganifu kuhusu\(y\) -axis wa kazi hata. Tuna

\ [kuanza {align*} ^2_ {ї2} (3x^8,12)\, dx &=\ kushoto (\ frac {x^9} {3} -2x\ kulia) ^2_ {ї2}\\ [4pt]
&=\ kushoto [\ frac {(2) ^9} {3} ї2 (2)\ haki] ≈\ [kushoto\ Frac {(ї2) ^9} {3} -2 (-2)\ haki]\\ [4pt]
&=\ kushoto (\ frac {512} {3} -4\ kulia) -\ kushoto (Δ\ Frac {512} {3} +4\ haki)\\ [4pt]
&=\ Frac {1000} {3} . \ mwisho {align*}\]

Ili kuthibitisha formula ya ushirikiano kwa kazi hata, tunaweza kuhesabu muhimu kutoka\(0\) kwa\(2\) na mara mbili, kisha angalia ili uhakikishe tunapata jibu sawa.

\[ ∫^2_0(3x^8−2)\,dx=\left(\frac{x^9}{3}−2x\right)\bigg|^2_{0}=\frac{512}{3}−4=\frac{500}{3} \nonumber \]

Kwa kuwa\( 2⋅\frac{500}{3}=\frac{1000}{3},\) tumehakikishia formula kwa kazi hata katika mfano huu.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Grafu (a) inaonyesha eneo chanya kati ya pembe na\(x\) -axis, wakati grafu (b) inaonyesha eneo hasi kati ya pembe na\(x\) -axis. Maoni yote yanaonyesha ulinganifu kuhusu\(y\) -axis.

Mfano\(\PageIndex{7}\): Integrating an Odd Function

Tathmini muhimu ya uhakika ya kazi isiyo ya kawaida\(−5 \sin x\) juu ya muda\([−π,π].\)

Suluhisho

Grafu inavyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{5}\). Tunaweza kuona ulinganifu kuhusu asili na eneo chanya juu ya\(x\) -axis juu\([−π,0]\), na eneo hasi chini\(x\) -axis juu ya\([0,π].\) tuna

\[ \begin{align*} ∫^π_{−π}−5\sin x \,dx &=−5(−\cos x)\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=5\cos x\,\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=[5\cos π]−[5\cos(−π)] \\[4pt] &=−5−(−5)=0. \end{align*}\]

\(\PageIndex{5}\)Kielelezo:Grafu inaonyesha maeneo kati ya pembe na -axis\(x\) kwa kazi isiyo ya kawaida.

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Unganisha kazi\(\displaystyle ∫^2_{−2}x^4\,dx.\)

Kidokezo

Unganisha hata kazi.

Jibu

\(\dfrac{64}{5}\)

Dhana muhimu

• Theorem ya mabadiliko ya wavu inasema kwamba wakati kiasi kinabadilika, thamani ya mwisho inalingana na thamani ya awali pamoja na muhimu ya kiwango cha mabadiliko. Mabadiliko ya wavu yanaweza kuwa namba nzuri, nambari hasi, au sifuri.
• Eneo chini ya kazi hata juu ya muda wa ulinganifu unaweza kuhesabiwa kwa mara mbili eneo juu ya\(x\) mhimili mzuri. Kwa kazi isiyo ya kawaida, muhimu juu ya muda wa ulinganifu ni sawa na sifuri, kwa sababu eneo la nusu ni hasi.

Mlinganyo muhimu

• Net Change Theorem\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)\,dx\nonumber \] au\[∫^b_aF'(x)\,dx=F(b)−F(a) \nonumber \]

faharasa

mabadiliko ya wavu theorem

ikiwa tunajua kiwango cha mabadiliko ya wingi, theorem ya mabadiliko ya wavu inasema kiasi cha baadaye ni sawa na kiasi cha awali pamoja na kiwango cha mabadiliko ya kiasi