5.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 5.4
- Page ID
- 178611
Katika mazoezi ya 1 - 6, tumia formula za msingi za ushirikiano ili kuhesabu antiderivatives zifuatazo.
1)\(\displaystyle ∫\left(\sqrt{x}−\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\)
- Jibu
- \(\displaystyle ∫\left(\sqrt{x}−\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx=∫x^{1/2}\,dx−∫x^{−1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C_1−2x^{1/2+}C_2=\frac{2}{3}x^{3/2}−2x^{1/2}+C\)
2)\(\displaystyle ∫\left(e^{2x}−\frac{1}{2}e^{x/2}\right)\,dx\)
3)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{2x}\)
- Jibu
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln|x|+C\)
4)\(\displaystyle ∫\frac{x−1}{x^2}\,dx\)
5)\(\displaystyle ∫^π_0(\sin x−\cos x)\,dx\)
- Jibu
- \(\displaystyle ∫^π_0\sin x\,dx−∫^π_0\cos x\,dx=−\cos x\big|^π_0−(\sin x)\big|^π_0=(−(−1)+1)−(0−0)=2\)
6)\(\displaystyle ∫^{π/2}_0(x−\sin x)\,dx\)
7) Andika muhimu ambayo inaonyesha ongezeko la mzunguko\(P(s)\) wa mraba wakati urefu wake wa upande\(s\) unaongezeka kutoka vitengo 2 hadi vitengo 4 na kutathmini muhimu.
- Jibu
- \(P(s)=4s,\)hivyo\(\dfrac{dP}{ds}=4\) na\(\displaystyle ∫^4_24\,ds=8.\)
8) Andika muhimu ambayo inathibitisha mabadiliko katika eneo la mraba wakati urefu\(A(s)=s^2\) wa upande unaongezeka mara mbili kutoka\(S\) vitengo hadi\(2S\) vitengo na kutathmini muhimu.
9)\(N\) -gon ya kawaida (polygon ya\(N\) upande mmoja na pande zilizo na urefu sawa\(s\), kama vile pentagon au hexagon) ina mzunguko\(Ns.\) Andika muhimu inayoonyesha ongezeko la mzunguko wa kawaida\(N\) -gon wakati urefu wa kila upande huongezeka kutoka kitengo 1 hadi vitengo 2 na kutathmini muhimu.
- Jibu
- \(\displaystyle ∫^2_1N\,ds=N\)
10) Eneo la pentagon ya kawaida na urefu wa upande\(a>0\) ni\(pa^2\) pamoja na\(p=\frac{1}{4}\sqrt{5+\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\). Pentagon mnamo Washington, DC, ina pande za ndani za urefu wa futi 360 na pande za nje za urefu 920 ft. Andika muhimu kuelezea eneo la paa la Pentagon kulingana na vipimo hivi na kutathmini eneo hili.
11) Dodecahedron ni imara ya Platonic yenye uso unao na pentagons 12, kila moja ya eneo sawa. Kwa kiasi gani eneo la uso wa dodecahedron huongezeka kama urefu wa upande wa kila pentagon mara mbili kutoka kitengo 1 hadi vitengo 2?
- Jibu
- Kwa\(p\) kama ilivyo katika zoezi la awali, kila moja ya pentagoni 12 huongezeka katika eneo kutoka\(2p\) kwa\(4p\) vitengo hivyo ongezeko la wavu katika eneo la dodecahedron ni\(36p\) vitengo.
12) Icosahedron ni imara ya Platonic yenye uso unao na pembetatu 20 za equilateral. Kwa kiasi gani eneo la uso wa icosahedron huongezeka kama urefu wa upande wa kila pembetatu mara mbili kutoka kitengo hadi\(2a\) vitengo?
13) Andika muhimu ambayo inathibitisha mabadiliko katika eneo la uso wa mchemraba wakati urefu wake wa upande unaongezeka mara mbili kutoka\(s\) kitengo hadi\(2s\) vitengo na kutathmini muhimu.
- Jibu
- \(\displaystyle 18s^2=6∫^{2s}_s 2x\,dx\)
14) Andika muhimu ambayo inathibitisha ongezeko la kiasi cha mchemraba wakati urefu wa upande unaongezeka mara mbili kutoka\(s\) kitengo hadi\(2s\) vitengo na kutathmini muhimu.
15) Andika muhimu ambayo inathibitisha ongezeko la eneo la uso wa nyanja kama radius yake mara mbili kutoka\(R\) kitengo hadi\(2R\) vitengo na kutathmini muhimu.
- Jibu
- \(\displaystyle 12πR^2=8π∫^{2R}_Rr\,dr\)
16) Andika muhimu ambayo inathibitisha ongezeko la kiasi cha nyanja kama radius yake mara mbili kutoka\(R\) kitengo hadi\(2R\) vitengo na kutathmini muhimu.
17) Tuseme kwamba chembe huenda kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi\(v(t)=4−2t,\) ambapo\(0≤t≤2\) (kwa mita kwa sekunde). Find makazi yao kwa wakati\(t\) na umbali wa jumla alisafiri hadi\(t=2.\)
- Jibu
- \(\displaystyle d(t)=∫^t_0v(s)\,ds=4t−t^2.\)Umbali wa jumla ni\(d(2)=4\) m.
18) Tuseme kwamba chembe huenda kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi inayofafanuliwa na\(v(t)=t^2−3t−18,\) wapi\(0≤t≤6\) (kwa mita kwa sekunde). Find makazi yao kwa wakati\(t\) na umbali wa jumla alisafiri hadi\(t=6.\)
19) Tuseme kwamba chembe huenda kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi inayofafanuliwa na\(v(t)=|2t−6|,\) wapi\(0≤t≤6\) (kwa mita kwa sekunde). Find makazi yao kwa wakati\(t\) na umbali wa jumla alisafiri hadi\(t=6.\)
- Jibu
- \(\displaystyle d(t)=∫^t_0v(s)\,ds.\)Kwa\(t<3,\;d(t)=∫^t_0(6−2t)\,dt=6t−t^2.\) Kwa umbali\(\displaystyle t>3,\;d(t)=d(3)+∫^t_3(2t−6)\,dt=9+(t^2−6t).\) wa jumla ni\(d(6)=9\) m.
20) Tuseme kwamba chembe huenda kwenye mstari wa moja kwa moja na kuongeza kasi inavyoelezwa na\(a(t)=t−3,\) wapi\(\displaystyle 0≤t≤6\) (kwa mita kwa pili). Find kasi na makazi yao kwa wakati\(t\) na umbali jumla alisafiri hadi\(t=6\) kama\(v(0)=3\) na\( d(0)=0.\)
21) Mpira unatupwa juu kutoka urefu wa 1.5 m kwa kasi ya awali ya 40 m/sec. Kuharakisha kutokana na mvuto ni\(−9.8\, \text{m/sec}^2.\) Kupuuza upinzani wa hewa, kutatua kwa kasi\(v(t)\) na urefu\(h(t)\) wa\(t\) sekunde za mpira baada ya kutupwa na kabla ya kurudi chini.
- Jibu
- \(v(t)=40−9.8t;\; h(t)=1.5+40t−4.9t^2\)m/s
22) Mpira unatupwa juu kutoka urefu wa m 3 kwa kasi ya awali ya 60 m/sec. Kuharakisha kutokana na mvuto ni\(−9.8 \, \text{m/sec}^2\). Kupuuza upinzani wa hewa, kutatua kwa kasi\(v(t)\) na urefu\(h(t)\) wa\(t\) sekunde za mpira baada ya kutupwa na kabla ya kurudi chini.
23) Eneo la sura\(A(t)\) ya mviringo linaongezeka kwa kiwango cha mara kwa mara. Kama eneo kuongezeka kutoka\(4π\) vitengo kwa\(9π\) vitengo kati ya nyakati\(t=2\) na\(t=3,\) kupata mabadiliko wavu katika eneo wakati huo.
- Jibu
- Ongezeko la wavu ni kitengo 1.
24) Puto ya spherical inapendekezwa kwa kiwango cha mara kwa mara. Ikiwa kiasi cha puto kinabadilika kutoka\(36π \text{ in}^3\) hadi\(288π \text{ in}^3\) kati ya muda\(t=30\) na\(t=60\) sekunde, pata mabadiliko ya wavu katika eneo la puto wakati huo.
25) Maji inapita ndani ya tank ya conical\(x\) na eneo\(πx^2\) la msalaba kwa urefu na kiasi\(\frac{πx^3}{3}\) hadi urefu\(x.\) Kama maji inapita ndani ya tank kwa kiwango cha 1\(\text{m}^3\text{/min},\) kupata urefu wa maji katika tank baada ya dakika 5. Pata mabadiliko katika urefu kati ya dakika 5 na dakika 10.
- Jibu
- Katika\(t=5\), urefu wa maji ni\(x=\left(\frac{15}{π}\right)^{1/3}\) m. mabadiliko ya wavu katika urefu kutoka\(t=5\) hadi\(t=10\) ni\(\left(\left(\frac{30}{π}\right)^{1/3}−\left(\frac{15}{π}\right)^{1/3}\right)\) m.
26) Tangi ya cylindrical ya usawa ina eneo la msalaba\(A(x)=4(6x−x^2)\,\text{m}^2\) kwenye\(x\) mita za urefu juu ya chini wakati\(x≤3.\)
a. kiasi\(V\) kati ya urefu\(a\) na\(b\) ni\(\displaystyle ∫^b_aA(x)\,dx.\) Kupata kiasi katika urefu kati ya 2 m na 3 m.
b Tuseme kwamba mafuta yanapigwa ndani ya tangi kwa kiwango cha 50 L/min. Kutumia utawala wa mnyororo,\(\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dx}{dV}\dfrac{dV}{dt},\) kwa mita ngapi kwa dakika ni urefu wa mafuta katika tank kubadilisha, umeelezwa kwa suala la\(x,\) wakati urefu ulipo\(x\) mita?
c Inachukua muda gani ili kujaza tank hadi m 3 kuanzia ngazi ya kujaza ya m 2?
27) Jedwali lifuatayo linaorodhesha nguvu za umeme katika gigawatts-kiwango ambacho nishati hutumiwa-kutumika katika mji fulani kwa masaa tofauti ya siku, kwa kipindi cha kawaida cha saa 24, na saa 1 inalingana na usiku wa manane hadi 1 a.m.
| Saa | Nguvu | Saa | Nguvu |
| 1 | 28 | 13 | 48 |
| 2 | 25 | 14 | 49 |
| 3 | 24 | 15 | 49 |
| 4 | 23 | 16 | 50 |
| 5 | 24 | 17 | 50 |
| 6 | 27 | 18 | 50 |
| 7 | 29 | 19 | 46 |
| 8 | 32 | 20 | 43 |
| 9 | 34 | 21 | 42 |
| 10 | 39 | 22 | 40 |
| 11 | 42 | 23 | 37 |
| 12 | 46 | 24 | 34 |
Pata jumla ya nguvu katika masaa ya gigawatt (GW-h) inayotumiwa na mji kwa kipindi cha kawaida cha saa 24.
- Jibu
- Jumla ya matumizi ya nguvu ya kila siku inakadiriwa kama jumla ya viwango vya nguvu za saa, au 911 GW-h.
28) Matumizi ya umeme ya kawaida ya makazi (katika mamia ya watts) kwa saa hutolewa katika meza ifuatayo.
| Saa | Nguvu | Saa | Nguvu |
| 1 | 8 | 13 | 12 |
| 2 | 6 | 14 | 13 |
| 3 | 5 | 15 | 14 |
| 4 | 4 | 16 | 15 |
| 5 | 5 | 17 | 17 |
| 6 | 6 | 18 | 19 |
| 7 | 7 | 19 | 18 |
| 8 | 8 | 20 | 17 |
| 9 | 9 | 21 | 16 |
| 10 | 10 | 22 | 16 |
| 11 | 10 | 23 | 13 |
| 12 | 11 | 24 | 11 |
a. compute wastani jumla ya nishati kutumika katika siku katika kilowatt-hours (kWh).
b Ikiwa tani ya makaa ya mawe huzalisha 1842 kWh, inachukua muda gani kwa makazi ya wastani ili kuchoma tani ya makaa ya mawe?
c Eleza kwa nini data inaweza kufaa njama ya fomu\(p(t)=11.5−7.5\sin\left(\frac{πt}{12}\right).\)
29) Data katika meza ifuatayo hutumiwa kukadiria pato la wastani la nguvu lililozalishwa na Peter Sagan kwa kila sekunde ya mwisho ya 18 ya Hatua ya 1 ya Tour de France ya 2012.
| Pili | Watts | Pili | Watts |
| 1 | 600 | 10 | 1200 |
| 2 | 500 | 11 | 1170 |
| 3 | 575 | 12 | 1125 |
| 4 | 1050 | 13 | 1100 |
| 5 | 925 | 14 | 1075 |
| 6 | 950 | 15 | 1000 |
| 7 | 1050 | 16 | 950 |
| 8 | 950 | 17 | 900 |
| 9 | 1100 | 18 | 780 |
Wastani wa Chanzo cha Pato la Nguvu: sportsexercisengineering.com
Tathmini nishati ya wavu inayotumiwa katika kilojoules (kJ), akibainisha kuwa 1W = 1 J/s, na wastani wa pato la nguvu na Sagan wakati huu wa muda.
- Jibu
- \(17\)KJ
30) Data katika meza ifuatayo hutumiwa kukadiria wastani wa pato la nguvu zinazozalishwa na Peter Sagan kwa kila muda wa dakika 15 ya Hatua ya 1 ya 2012 Tour de France.
| Dakika | Watts | Dakika | Watts |
| 15 | 200 | 165 | 170 |
| 30 | 180 | 180 | 220 |
| 45 | 190 | 195 | 140 |
| 60 | 230 | 210 | 225 |
| 75 | 240 | 225 | 170 |
| 90 | 210 | 240 | 10 |
| 105 | 210 | 255 | 200 |
| 1120 | 220 | 270 | 220 |
| 135 | 210 | 285 | 250 |
| 150 | 150 | 300 | 400 |
Wastani Power Pato Chanzo: sportsexercisengineering.com
Tathmini nishati ya wavu inayotumiwa katika kilojoules, akibainisha kuwa 1W = 1 J/s.
31) Usambazaji wa mapato kama ya 2012 nchini Marekani katika nyongeza za $5000 hutolewa katika meza ifuatayo. Mstari wa kth unaashiria asilimia ya kaya zilizo na kipato kati\($5000xk\) na\(5000xk+4999\). Mstari\(k=40\) una kaya zote zenye mapato kati ya dola 200,000 na $250,000 na\(k=41\) akaunti kwa kaya zote zenye kipato kisichozidi $250,000.
| 0 | 3.5 | 21 | 1.5 |
| 1 | 4.1 | 22 | 1.4 |
| 2 | 5.9 | 23 | 1.3 |
| 3 | 5.7 | 24 | 1.3 |
| 4 | 5.9 | 25 | 1.1 |
| 5 | 5.4 | 26 | 1.0 |
| 6 | 5.5 | 27 | 0.75 |
| 7 | 5.1 | 28 | 0.8 |
| 8 | 4.8 | 29 | 1.0 |
| 9 | 4.1 | 30 | 0.6 |
| 10 | 4.3 | 31 | 0.6 |
| 11 | 3.5 | 32 | 5. |
| 12 | 3.7 | 33 | 0.5 |
| 13 | 3.2 | 34 | 0.4 |
| 14 | 3.0 | 35 | 0.3 |
| 15 | 2.8 | 36 | 0.3 |
| 16 | 2.5 | 37 | 0.3 |
| 17 | 2.2 | 38 | 0.2 |
| 18 | 2.2 | 39 | 1.8 |
| 19 | 1.8 | 40 | 2.3 |
| 20 | 2.1 | 41 |
Mgawanyiko wa MapatoChanzo: http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf
Makisio ya asilimia ya kaya za Marekani mwaka 2012 na kipato chini ya $55,000.
b Ni asilimia gani ya kaya zilikuwa na kipato kisichozidi $85,000?
c Plot data na kujaribu fit sura yake na ile ya grafu ya fomu\(a(x+c)e^{−b(x+e)}\) kwa ajili ya kufaa\(a,\, b,\, c.\)
- Jibu
-
a. 54.3%;
b. 27.00%;
c. curve katika njama zifuatazo ni\(2.35(t+3)e^{−0.15(t+3)}.\)
32) Sheria ya mvuto wa Newton inasema kwamba nguvu ya mvuto inayotumiwa na kitu cha wingi\(M\) na moja ya wingi\(m\) na vituo vinavyotengwa na umbali r ni\(F=G\dfrac{mM}{r^2}\), na mara kwa mara\(G\) ya upimaji\(G=6.67x10^{−11}\,\text{m}^3/(\text{kg⋅s}^2)\). Kazi iliyofanywa na nguvu ya kutofautiana juu ya muda\( [a,b]\) hufafanuliwa kama\(\displaystyle W=∫^b_aF(x)\,dx\). Ikiwa Dunia ina wingi\(5.97219×10^{24}\) na radius 6371 km, futa kiasi cha kazi ili kuinua satellite ya hali ya hewa ya polar ya kilo 1400 hadi urefu wake wa kilomita 850 juu ya Dunia.
33) Kwa gari lililopewa, upeo wa kiwango cha juu unaofikia kutoka kwa kusafisha ni takriban\(7 \text{ m/sec}^2\) juu ya saruji kavu. Juu ya lami ya mvua, ni takriban\(2.5 \text{ m/sec}^2.\) Kutokana na kwamba 1 mph inalingana na 0.447 m/sec, tafuta umbali wa jumla ambao gari husafiri kwa mita kwenye saruji kavu baada ya breki hutumiwa mpaka inakuja kuacha kamili ikiwa kasi ya awali ni 67 mph (30 m/sec) au kama kasi ya kwanza ya kusimama ni 56 mph (25 m/sec). Kupata umbali sambamba kama uso ni slippery mvua lami.
- Jibu
- Katika hali kavu, na kasi ya awali\(v_0=30\) m/s,\(D=64.3\) na, kama\(v_0=25,\; D=44.64\). Katika hali ya mvua\(v_0=30\), kama,\(D=180\) na kama\(v_0=25,\;D=125.\)
34) John ni mtu mwenye umri wa miaka 25 ambaye ana uzito 160 lb Anachoma\(500−50t\) kalori/hr wakati akiendesha baiskeli yake kwa\(t\) masaa. Ikiwa cookie ya oatmeal ina 55 cal na John anakula\(4t\) cookies wakati wa\(t^{\text{th}}\) saa, ngapi kalori wavu amepoteza baada ya masaa 3 wanaoendesha baiskeli yake?
35) Sandra ni mwanamke mwenye umri wa miaka 25 ambaye ana uzito 120 lb Anachoma\(300−50t\) cal/hr wakati akitembea kwenye treadmill yake kwa\(t\) masaa. Ulaji wake wa caloric kutoka kunywa Gatorade ni\(100t\) kalori wakati wa\(t^{\text{th}}\) saa. Je, ni kupungua kwake kwa kalori baada ya kutembea kwa masaa 3?
- Jibu
- 225 cal
36) Gari ina ufanisi wa juu wa 33 mpg kwa kasi ya cruising ya 40 mph. Ufanisi hupungua kwa kiwango cha 0.1 mpg/mph kati ya 40 mph na 50 mph, na kwa kiwango cha 0.4 mpg/mph kati ya 50 mph na 80 mph. Ni nini ufanisi katika maili kwa kila lita kama gari ni cruising katika 50 mph? Ni nini ufanisi katika maili kwa kila lita kama gari ni cruising katika 80 mph? Ikiwa petroli inapunguza $3.50/gal, ni gharama gani ya mafuta ya kuendesha 50 mi saa 40 mph, saa 50 mph, na saa 80 mph?
37) Ingawa baadhi ya inji ni bora zaidi kwa kupewa farasi kuliko wengine, kwa wastani, ufanisi wa mafuta hupungua kwa farasi kwa kiwango cha\(1/25\) mpg/horsepower. Ikiwa inji ya kawaida ya 50 ya farasi ina ufanisi wa mafuta ya wastani wa 32 mpg, ni wastani wa ufanisi wa mafuta wa inji na farasi zifuatazo: 150, 300, 450?
- Jibu
- \( E(150)=28,\;E(300)=22,\;E(450)=16\)
38) [T] meza zifuatazo orodha 2013 ratiba ya kodi ya mapato ya shirikisho dhidi ya mapato yanayopaswa.
| Upeo wa Mapato yanayopaswa | Kodi ni... | ... Ya Kiasi Zaidi ya |
| $0 — $8925 | 10% | $0 |
| $8925 — $36,250 | $892.50 + 15% | $8925 |
| $36,250 — $87,850 | $4,991.25 + 25% | $36,250 |
| $87,850 — $183,250 | $17,891.25 + 28% | $87,850 |
| $183,250 — $398,350 | $44,603.25 + 33% | $183,250 |
| $398,350—$400,000 | $115,586.25 + 35% | $398,350 |
| > $400,000 | $116,163.75 + 39.6% | $400,000 |
Kodi ya Mapato ya Shirikisho dhidi IncomeSource yanayopaswa: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.
Tuseme kwamba Steve alipokea tu $10,000 kuongeza. Kiasi gani cha ongezeko hili kinaachwa baada ya kodi za shirikisho ikiwa mshahara wa Steve kabla ya kupokea ongezeko hilo lilikuwa $40,000? Kama ilikuwa $90,000? Kama ilikuwa $385,000?
39) [T] Jedwali lifuatalo linatoa data ya nadharia kuhusu kiwango cha huduma kwa barabara kuu fulani.
| Highway Speed Range (mph) | Magari kwa Saa kwa Lane | Uzito wa wiani (magari/mi) |
| >60 | <600 | <10 |
| 60-57 | 300-1000 | 10-20 |
| 57-54 | 1000-1500 | 20-30 |
| 57-54 | 1500-1900 | 30-45 |
| 46-30 | 1900-2100 | 48-70 |
| <30 | Imara | 70-200 |
a. magari Plot kwa saa kwa kila mstari juu ya\(x\) -mhimili na barabara kasi ya\(y\) -mhimili.
b Kuhesabu kupungua kwa kasi (kwa maili kwa saa) kwa ongezeko la kitengo katika msongamano (magari kwa saa kwa kila mstari) kama mwisho huongezeka kutoka 600 hadi 1000, kutoka 1000 hadi 1500, na kutoka 1500 hadi 2100. Je, kupungua kwa maili kwa saa kunategemea linearly juu ya ongezeko la magari kwa saa kwa kila mstari?
c. dakika Plot kwa maili (60 mara ya kurudi ya maili kwa saa) kama kazi ya magari kwa saa kwa kila mstari. Je, hii ni kazi linear?
- Jibu
-
a.
b Kati ya 600 na 1000 kupungua kwa wastani kwa magari kwa saa kwa kila mstari ni -0.0075. Kati ya 1000 na 1500 ni -0.006 kwa magari kwa saa kwa kila mstari, na kati ya 1500 na 2100 ni magari -0.04 kwa saa kwa kila mstari.
c.
Grafu ni nonlinear, na dakika kwa maili kuongezeka kwa kasi kama magari kwa saa kwa kila mstari kufikia 2000.
Kwa mazoezi mawili ijayo kutumia data katika meza ifuatayo, ambayo inaonyesha wakazi bald tai kutoka 1963 kwa 2000 katika bara la Marekani.
| Mwaka | Idadi ya Kuzalisha Jozi ya Eagles Bald |
| 1963 | 487 |
| 1974 | 791 |
| 1981 | 1188 |
| 1986 | 1875 |
| 1992 | 3749 |
| 1996 | 5094 |
| 2000 | 6471 |
Idadi ya Kuzalisha Bald Eagle jozi Chanzo: http://www.fws.gov/Midwest/eagle/pop... /chtofprs.html.
40) [T] Grafu hapa chini inahusisha quadratic\(p(t)=6.48t^2−80.31t+585.69\) dhidi ya data katika meza iliyotangulia, normalized ili\(t=0\) sambamba na 1963. Tathmini ya wastani wa idadi ya tai bald kwa mwaka sasa kwa 37 miaka kwa kompyuta thamani ya wastani wa\(p\) zaidi\([0,37].\)
41) [T] Grafu hapa chini inahusisha ujazo\(p(t)=0.07t^3+2.42t^2−25.63t+521.23\) dhidi ya data katika meza iliyotangulia, normalized ili\(t=0\) sambamba na 1963. Tathmini ya wastani wa idadi ya tai bald kwa mwaka sasa kwa 37 miaka kwa kompyuta thamani ya wastani wa\(p\) zaidi\([0,37].\)
- Jibu
- \(\displaystyle \frac{1}{37}∫^{37}_0p(t)\,dt=\frac{0.07(37)^3}{4}+\frac{2.42(37)^2}{3}−\frac{25.63(37)}{2}+521.23≈2037\)
Suluhisho:
42) [T] Tuseme unakwenda safari ya barabara na rekodi kasi yako kila nusu saa, kama ilivyoandaliwa katika meza ifuatayo. Fit bora ya quadratic kwa data ni\(q(t)=5x^2−11x+49\), inavyoonekana kwenye grafu inayoambatana. Unganisha\(q\) ili kukadiria umbali wa jumla unaendeshwa zaidi ya masaa 3.
| Muda (hr) | Kasi (m [h) |
| 0 (kuanza) | 50 |
| 1 | 40 |
| 2 | 50 |
| 3 | 60 |
Kama gari inaharakisha, haina kasi kwa kiwango cha mara kwa mara; badala yake, kuongeza kasi ni kutofautiana. Kwa mazoezi yafuatayo, tumia meza ifuatayo, ambayo ina kasi ya kupimwa kila pili kama dereva anaunganisha kwenye barabara kuu.
| Muda (sec) | Kuharakisha (mph/sec) |
| 1 | 11.2 |
| 2 | 10.6 |
| 3 | 8.1 |
| 4 | 5.4 |
| 5 | 0 |
43) [T] grafu kuandamana viwanja bora quadratic fit\(a(t)=−0.70t^2+1.44t+10.44\),, kwa data kutoka meza iliyotangulia. Compute thamani ya wastani wa\(a(t)\) kukadiria kuongeza kasi ya wastani kati\(t=0\) na\(t=5.\)
- Jibu
- Wastani wa kuongeza kasi ni\(\displaystyle A=\frac{1}{5}∫^5_0a(t)\,dt=−\frac{0.7(5^2)}{3}+\frac{1.44(5)}{2}+10.44≈8.2\) mph/s
44) [T] Kutumia kasi yako equation kutoka zoezi uliopita, kupata sambamba kasi equation. Kutokana kasi ya mwisho ni 0 mph, kupata kasi kwa wakati\(t=0.\)
45) [T] Kwa kutumia kasi yako equation kutoka zoezi uliopita, kupata sambamba umbali equation, kuchukua umbali wako wa awali ni 0 mi. Ulikuwa mbali gani kusafiri wakati wewe kasi ya gari yako? (Kidokezo: Utahitaji kubadilisha vitengo vya muda.)
- Jibu
- \(\displaystyle d(t)=∫^1_0|v(t)|\,dt=∫^t_0\left(\frac{7}{30}t^3−0.72t^2−10.44t+41.033\right)\,dt=\frac{7}{120}t^4−0.24t^3−5.22t^3+41.033t.\)Kisha,\(d(5)≈81.12 \,\text{mph} × \text{sec}≈119\) miguu.
46) [T] Idadi ya hamburgers zinazouzwa katika mgahawa siku nzima hutolewa katika meza ifuatayo, na grafu inayoambatana na kupanga njama bora za ujazo kwa data,\(b(t)=0.12t^3−2.13t^3+12.13t+3.91,\) na\(t=0\)\(t=12\) sambamba na 9:00 na sambamba na 9 p.m.\(b(t)\) makisio ya wastani wa idadi ya hamburgers kuuzwa kwa saa.
| Masaa ya usiku wa manane | Idadi ya Burgers kuuzwa |
| 9 | 3 |
| 12 | 28 |
| 15 | 20 |
| 18 | 30 |
| 21 | 45 |
47) [T] mwanamichezo anaendesha na detector mwendo, ambayo kumbukumbu kasi yake, kama inavyoonekana katika meza ifuatayo. Mstari bora unaofaa kwa data hii\(ℓ(t)=−0.068t+5.14\), inavyoonekana kwenye grafu inayoambatana. Tumia thamani ya wastani ya\(ℓ(t)\) kati\(t=0\) na\(t=40\) kukadiria kasi ya wastani wa mkimbiaji.
| Dakika | Kasi (m/sec) |
| 0 | 5 |
| 10 | 4.8 |
| 20 | 3.6 |
| 30 | 3.0 |
| 40 | 2.5 |
- Jibu
- \(\displaystyle \tfrac{1}{40} ∫^{40}_0(−0.068t+5.14)\,dt=−\frac{0.068(40)}{2}+5.14=3.78\) m/sec