4.9E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.9

Katika mazoezi 1 - 5, andika formula ya Newton kama\(x_{n+1}=F(x_n)\) kutatua\(f(x)=0\).

1)\(f(x)=x^2+1\)

2)\(f(x)=x^3+2x+1\)

Jibu

\(F(x_n)=x_n−\dfrac{x_n^3+2x_n+1}{3x_n^2+2}\)

3)\(f(x)=\sin x\)

4)\(f(x)=e^x\)

Jibu

\(F(x_n)=x_n−\dfrac{e^{x_n}}{e^{x_n}}\)

5)\(f(x)=x^3+3xe^x\)

Katika mazoezi ya 6 - 8, tatua\(f(x)=0\) kutumia iteration\(x_{n+1}=x_{n−c}f(x_n)\), ambayo inatofautiana kidogo na njia ya Newton. Kupata\(c\) kwamba kazi na\(c\) kwamba inashindwa kuungana, isipokuwa\(c=0.\)

6)\(f(x)=x^2−4,\) na\(x_0=0\)

Jibu

\(|c|>0.5\)inashindwa,\(|c|≤0.5\) inafanya kazi

7)\(f(x)=x^2−4x+3,\) na\(x_0=2\)

8) Thamani ya njia\(“c”\) ya Newton ni nini?

Jibu

\(c=\dfrac{1}{f′(x_n)}\)

Katika mazoezi 9 - 16, compute\(x_1\) na\(x_2\) kutumia njia maalum ya iterative.

Anza saa

a.\(x_0=0.6\) na

b.\(x_0=2.\)

9)\(x_{n+1}=x_n^2−\frac{1}{2}\)

10)\(x_{n+1}=2x_n\left(1−x_n\right)\)

Jibu

a.\( x_1=\frac{12}{25}, \; x_2=\frac{312}{625};\)
b.\(x_1=−4, \; x_2=−40\)

11)\(x_{n+1}=\sqrt{x_n}\)

12)\(x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{x_n}}\)

Jibu

a.\(x_1=1.291, \; x_2=0.8801;\)
b.\(x_1=0.7071, \; x_2=1.189\)

13)\(x_{n+1}=3x_n(1−x_n)\)

14)\(x_{n+1}=x_n^2+x_{n−2}\)

Jibu

a.\(x_1=−\frac{26}{25}, \; x_2=−\frac{1224}{625};\)
b.\(x_1=4, \;x_2=18\)

15)\(x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n−1\)

16)\(x_{n+1}=|x_n|\)

Jibu

a.\(x_1=\frac{6}{10},\; x_2=\frac{6}{10};\)
b.\(x_1=2, \; x_2=2\)

Katika mazoezi 17 - 26, tatua maeneo manne ya decimal kwa kutumia njia ya Newton na kompyuta au calculator. Chagua nadhani yoyote ya awali\(x_0\) ambayo sio mizizi halisi.

17)\(x^2−10=0\)

18)\(x^4−100=0\)

Jibu

\(3.1623\)au\(−3.1623\)

19)\(x^2−x=0\)

20)\(x^3−x=0\)

Jibu

\(0,\)\(−1\)au\(1\)

21)\(x+5\cos x=0\)

22)\(x+\tan x =0,\) kuchagua\(x_0∈\left(−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)\)

Jibu

\(0\)

23)\(\dfrac{1}{1−x}=2\)

24)\(1+x+x^2+x^3+x^4=2\)

Jibu

\(0.5188\)au\(−1.2906\)

25)\(x^3+(x+1)^3=10^3\)

26)\(x=\sin^2(x)\)

Jibu

\(0\)

Katika mazoezi 27 - 30, tumia njia ya Newton ili kupata pointi zilizowekwa za kazi ambapo\(f(x)=x\); pande zote hadi decimals tatu.

27)\(\sin x\)

28)\(\tan x\) juu\(x=\left(\frac{π}{2},\frac{3π}{2}\right)\)

Jibu

\(4.493\)

29)\(e^x−2\)

30)\(\ln(x)+2\)

Jibu

\(0.159,\; 3.146\)

Njia ya Newton inaweza kutumika kupata maxima na minima ya kazi pamoja na mizizi. Katika kesi hii, tumia njia ya Newton kwa kazi ya derivative\(f′(x)\) ili kupata mizizi yake, badala ya kazi ya awali. Katika mazoezi 31 - 32, fikiria uundaji wa njia.

31) Ili kupata wagombea wa maxima na minima, tunahitaji kupata pointi muhimu\(f′(x)=0.\) Onyesha kwamba kutatua kwa pointi muhimu za kazi\(f(x)\), njia ya Newton inatolewa na\(x_{n+1}=x_n−\dfrac{f′(x_n)}{f''(x_n)}\).

32) Ni vikwazo gani vya ziada vinavyohitajika kwenye kazi\(f\)?

Jibu

\(f\)Tunahitaji kuwa mara mbili kwa kuendelea kutofautisha.

Katika mazoezi 33 - 40, tumia njia ya Newton ili kupata eneo la minima ya ndani na/au maxima ya kazi zifuatazo; pande zote kwa decimals tatu.

33) Kiwango cha chini cha\(f(x)=x^2+2x+4\)

34) Kiwango cha chini cha\(f(x)=3x^3+2x^2−16\)

Jibu

\(x=0\)

35) Kiwango cha chini cha\(f(x)=x^2e^x\)

36) Upeo wa\(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\)

Jibu

\(x=−1\)

37) Upeo wa\(f(x)=x^3+10x^2+15x−2\)

38) Upeo wa\(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x}\)

Jibu

\(x=5.619\)

39) Kiwango cha chini cha\(f(x)=x^2\sin x,\) karibu cha zisizo na sifuri\(x=0\)

40) Kiwango cha chini cha\(f(x)=x^4+x^3+3x^2+12x+6\)

Jibu

\(x=−1.326\)

Katika mazoezi 41 - 44, tumia njia maalum ya kutatua equation. Ikiwa haifanyi kazi, eleza kwa nini haifanyi kazi.

41) njia ya Newton,\(x^2+2=0\)

42) njia ya Newton,\(0=e^x\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi wa equation.

43) Njia ya Newton,\(0=1+x^2\) kuanzia\(x_0=0\)

44) Kutatua\(x_{n+1}=−x_n^3\) kuanzia\(x_0=−1\)

Jibu

Inaingia mzunguko.

Katika mazoezi 45 - 48, tumia njia ya salama, njia mbadala ya iterative kwa njia ya Newton. Fomu hiyo inatolewa na

\(x_n=x_{n−1}−f(x_{n−1})\dfrac{x_{n−1}−x_{n−2}}{f(x_{n−1})−f(x_{n−2})}.\)

45) mizizi\(0=x^2−x−3\) sahihi kwa maeneo matatu ya decimal.

46) Pata mizizi\(0=\sin x+3x\) sahihi kwa maeneo manne ya decimal.

Jibu

\(0\)

47) Pata mizizi\(0=e^x−2\) sahihi kwa maeneo manne ya decimal.

48) Pata mizizi\(\ln(x+2)=\dfrac{1}{2}\) sahihi kwa maeneo manne ya decimal.

Jibu

\(−0.3513\)

49) Kwa nini unatumia njia ya salama juu ya njia ya Newton? Vikwazo muhimu ni\(f\) nini?

Katika mazoezi 50 - 54, tumia njia zote za Newton na njia ya salama ya kuhesabu mizizi kwa equations zifuatazo. Tumia calculator au kompyuta kuhesabu jinsi iterations nyingi za kila zinahitajika kufikia ndani ya maeneo matatu ya decimal ya jibu halisi. Kwa njia ya salama, tumia nadhani ya kwanza kutoka kwa njia ya Newton.

50)\(f(x)=x^2+2x+1,\quad x_0=1\)

Jibu

Newton:\(11\) iterations, secant:\(16\) iterations

51)\(f(x)=x^2, \quad x_0=1\)

52)\(f(x)=\sin x, \quad x_0=1\)

Jibu

Newton: iterations tatu, secant: iterations sita

53)\(f(x)=e^x−1, \quad x_0=2\)

54)\(f(x)=x^3+2x+4, \quad x_0=0\)

Jibu

Newton: iterations tano, secant: iterations nane

Katika mazoezi 55 - 56, fikiria equation ya Kepler kuhusu njia za sayari\(M=E−ε\sin(E)\), wapi\(M\) shida ya maana,\(E\) ni uharibifu wa eccentric, na\(ε\) hupima usawa.

55) Tumia njia ya Newton kutatua kwa shida ya eccentric\(E\) wakati uharibifu wa maana\(M=\frac{π}{3}\) na uwiano wa mzunguko wa obiti\(ε=0.25;\) hadi decimals tatu.

56) Tumia njia ya Newton kutatua kwa shida ya eccentric\(E\) wakati uharibifu wa maana\(M=\frac{3π}{2}\) na uwiano wa mzunguko wa obiti\(ε=0.8;\) hadi decimals tatu.

Jibu

\(E=4.071\)

Katika mazoezi 57-58, fikiria uwekezaji wa benki. Uwekezaji wa awali ni\($10,000\). Baada ya\(25\) miaka, uwekezaji ina mara tatu kwa\($30,000.\)

57) Tumia njia ya Newton kuamua kiwango cha riba ikiwa riba ilikuwa imezungukwa kila mwaka.

58) Tumia njia ya Newton kuamua kiwango cha riba ikiwa riba ilikuwa imezungukwa kuendelea.

Jibu

\(4.394%\)

59) Gharama ya kuchapisha kitabu inaweza kutolewa kwa equation\(C(x)=1000+12x+\frac{1}{2}x^{2/3}\). Tumia njia ya Newton ili kupata uhakika wa kuvunja hata ikiwa printer inauza kila kitabu\($20.\)