4.6E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.6

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178879

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi 1 - 5, angalia grafu. Tambua wapi asymptotes ya wima iko.

$Kazi iliyopigwa hupungua kwa kasi sana kama inakaribia x = 1 kutoka upande wa kushoto, na upande mwingine wa x = 1, inaonekana kuanza karibu na infinity na kisha kupungua kwa kasi.$

Jibu: $x=1$

$Kazi iliyochapishwa huongezeka kwa kasi sana kama inakaribia x = 1-3 kutoka upande wa kushoto, na upande wa pili wa x = -3, inaonekana kuanza karibu na infinity hasi na kisha kuongezeka kwa kasi ili kuunda aina ya sura ya U ambayo inaelezea chini, na upande wa pili wa U kuwa katika x = 2. Kwa upande mwingine wa x = 2, grafu inaonekana kuanza karibu na infinity na kisha kupungua kwa kasi.$

$Kazi iliyopigwa hupungua kwa kasi sana kama inakaribia x = -1 kutoka upande wa kushoto, na upande wa pili wa x = -1, inaonekana kuanza karibu na infinity hasi na kisha kuongezeka kwa kasi ili kuunda aina ya sura ya U ambayo inaelezea chini, na upande wa pili wa U kuwa katika x = 2. Kwa upande mwingine wa x = 2, grafu inaonekana kuanza karibu na infinity na kisha kupungua kwa kasi.$

Jibu: $x=−1,\;x=2$

$kazi graphed itapungua kwa kasi sana kama inakaribia x = 0 kutoka kushoto, na upande wa pili wa x = 0, inaonekana kuanza karibu infinity na kisha kupungua kwa kasi na kuunda aina ya U sura kwamba ni akizungumzia juu, na upande wa pili wa U kuwa katika x = 1. Kwa upande wa pili wa x = 1, kuna sura nyingine U inayoelekeza chini, na upande wake mwingine kuwa katika x = 2. Kwa upande mwingine wa x = 2, grafu inaonekana kuanza karibu na infinity hasi na kisha kuongezeka kwa kasi.$

Jibu: $x=0$

Kwa kazi$f(x)$ katika mazoezi ya 6 - 10, onyesha kama kuna asymptote saa$x=a$. Thibitisha jibu lako bila kuchora kwenye calculator.

6)$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+5x+4},\quad a=−1$

7)$f(x)=\dfrac{x}{x−2},\quad a=2$

Jibu: Ndiyo, kuna asymptote ya wima$x = 2$.

8)$f(x)=(x+2)^{3/2},\quad a=−2$

9)$f(x)=(x−1)^{−1/3},\quad a=1$

Jibu: Ndiyo, kuna asymptote ya wima$x = 1$.

10)$f(x)=1+x^{−2/5},\quad a=1$

Katika mazoezi 11 - 20, tathmini kikomo.

11)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{3x+6}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{3x+6} = 0$

12)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{2x−5}{4x}$

13)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x^2−2x+5}{x+2}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x^2−2x+5}{x+2} = ∞$

14)$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{3x^3−2x}{x^2+2x+8}$

15)$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x^4−4x^3+1}{2−2x^2−7x^4}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x^4−4x^3+1}{2−2x^2−7x^4} = −\frac{1}{7}$

16)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$

17)$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{\sqrt{4x^2−1}}{x+2}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{\sqrt{4x^2−1}}{x+2} = -2$

18)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}}$

19)$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}} = -4$

20)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{2\sqrt{x}}{x−\sqrt{x}+1}$

Kwa mazoezi 21 - 25, pata asymptotes ya usawa na wima.

21)$f(x)=x−\dfrac{9}{x}$

Jibu: Horizontal: hakuna,
wima:$x=0$

22)$f(x)=\dfrac{1}{1−x^2}$

23)$f(x)=\dfrac{x^3}{4−x^2}$

Jibu: Horizontal: hakuna,
wima:$x=±2$

24)$f(x)=\dfrac{x^2+3}{x^2+1}$

25)$f(x)=\sin(x)\sin(2x)$

Jibu: Horizontal: hakuna,
Wima: hakuna

26)$f(x)=\cos x+\cos(3x)+\cos(5x)$

27)$f(x)=\dfrac{x\sin(x)}{x^2−1}$

Jibu: Horizontal:$y=0,$
Wima:$x=±1$

28)$f(x)=\dfrac{x}{\sin(x)}$

29)$f(x)=\dfrac{1}{x^3+x^2}$

Jibu: Horizontal:$y=0,$
Wima:$x=0$ na$x=−1$

30)$f(x)=\dfrac{1}{x−1}−2x$

31)$f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^3−1}$

Jibu: Horizontal:$y=1,$
Wima:$x=1$

32)$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}$

33)$f(x)=x−\sin x$

Jibu: Horizontal: hakuna,
Wima: hakuna

34)$f(x)=\dfrac{1}{x}−\sqrt{x}$

Kwa mazoezi 35 - 38, jenga kazi$f(x)$ ambayo ina asymptotes iliyotolewa.

35)$x=1$ na$y=2$

Jibu: Majibu yatatofautiana, kwa mfano:$y=\dfrac{2x}{x−1}$

36)$x=1$ na$y=0$

37)$y=4, \;x=−1$

Jibu: Majibu yatatofautiana, kwa mfano:$y=\dfrac{4x}{x+1}$

38)$x=0$

Katika mazoezi 39 - 43, graph kazi kwenye calculator ya graphing kwenye dirisha$x=[−5,5]$ na ukadiria asymptote ya usawa au kikomo. Kisha, hesabu asymptote halisi ya usawa au kikomo.

39) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{x+10}=0$hivyo$f$ ina asymptote usawa wa$y=0$.

40) [T]$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+7x+6}$

41) [T]$\displaystyle \lim_{x→−∞}x^2+10x+25$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→−∞}x^2+10x+25 = ∞$

42) [T]$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x+2}{x^2+7x+6}$

43) [T]$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x+2}{x+5}$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x+2}{x+5}=3$hivyo kazi hii ina asymptote usawa wa$y=3$.

Katika mazoezi 44 - 55, futa grafu ya kazi bila kutumia calculator. Hakikisha kutambua vipengele vyote muhimu vya grafu: maxima ya ndani na minima, pointi za kupigia, na tabia isiyo ya kawaida.

44)$y=3x^2+2x+4$

45)$y=x^3−3x^2+4$

Jibu: $Kazi huanza katika roboduara ya tatu, huongezeka kupitisha (-1, 0), huongezeka hadi kiwango cha juu na y kupinga saa 4, hupungua kugusa (2, 0), na kisha huongezeka hadi (4, 20).$

46)$y=\dfrac{2x+1}{x^2+6x+5}$

47)$y=\dfrac{x^3+4x^2+3x}{3x+9}$

Jibu: $Parabola inayoelekea juu na kiwango cha chini kati ya x = 0 na x = -1 na y kukatiza kati ya 0 na 1.$

48)$y=\dfrac{x^2+x−2}{x^2−3x−4}$

49)$y=\sqrt{x^2−5x+4}$

Jibu: $Grafu hii inaanza saa (-1, 4) na inapungua kwa njia ya kuzingatia (1, 0). Kisha grafu huanza tena saa (4, 0) na huongezeka kwa njia ya kuzingatia (6, 3).$

50)$y=2x\sqrt{16−x^2}$

51)$y=\dfrac{\cos x}{x}$, juu$x=[−2π,2π]$

Jibu: $Grafu hii ina asymptote wima katika x = 0. Sehemu ya kwanza ya kazi hutokea katika quadranti ya pili na ya tatu na inaanza katika roboduara ya tatu chini tu (-2π, 0), huongezeka na hupita kupitia mhimili x saa -3π/2, hufikia kiwango cha juu halafu hupungua kupitia mhimili x kwenye -π/2 kabla ya kukaribia asymptote. Upande wa pili wa asymptote, kazi inaanza katika roboduara ya kwanza, inapungua haraka kupita π/2, inapungua hadi kiwango cha chini cha ndani halafu huongezeka kupitia (3π/2, 0) kabla ya kukaa juu tu (2π, 0).$

52)$y=e^x−x^3$

53)$y=x\tan x, \quad x=[−π,π]$

Jibu: $Grafu hii ina asymptotes wima katika x = ± π/2. Grafu ni sawa na mhimili y, hivyo kuelezea upande wa kushoto utatosha. Kazi inaanza saa (-π, 0) na inapungua haraka hadi asymptote. Kisha inaanza upande mwingine wa asymptote katika roboduara ya pili na itapungua hadi asili.$

54)$y=x\ln(x), \quad x>0$

55)$y=x^2\sin(x),\quad x=[−2π,2π]$

Jibu: $Kazi hii inaanza saa (-2π, 0), inakua hadi karibu (-3π/2, 25), inapungua kupitia (-π, 0), inafikia kiwango cha chini cha ndani halafu huongezeka kupitia asili. Kwa upande mwingine wa asili, grafu ni sawa lakini imeshuka, yaani, inalingana na nusu nyingine kwa mzunguko wa digrii 180.$

56) Kwa$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kuwa na asymptote wakati$y=2$ huo polynomials$P(x)$ na$Q(x)$ lazima uwe na uhusiano gani?

57) Kwa$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kuwa na asymptote saa$x=0$, basi polynomials$P(x)$ na$Q(x).$ lazima uwe na uhusiano gani?

Jibu: $Q(x).$lazima uwe$x^{k+1}$ na sababu, ambapo$P(x)$ ina$x^k$ kama sababu.

58) Ikiwa$f′(x)$ ina asymptotes$y=3$ na$x=1$, basi$f(x)$ ina nini asymptotes?

59) Wote$f(x)=\dfrac{1}{x−1}$ na$g(x)=\dfrac{1}{(x−1)^2}$ kuwa na asymptotes katika$x=1$ na ni tofauti$y=0.$ gani wazi zaidi kati ya kazi hizi mbili?

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)=-\infty \text{ and } \lim_{x→1^−}g(x)=\infty$

60) Kweli au uongo: Kila uwiano wa polynomials una asymptotes wima.