4.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.5

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178850

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

1) Kama$c$ ni hatua muhimu ya$f(x)$, wakati hakuna upeo wa ndani au kiwango cha chini katika$c$? Eleza.

2) Kwa ajili ya kazi$y=x^3$, ni$x=0$ hatua ya kupindua na kiwango cha juu cha ndani/cha chini?

Jibu: Si upeo wa ndani/kiwango cha chini kwa sababu$f'$ haina mabadiliko ya ishara

3) Kwa ajili ya kazi$y=x^3$, ni hatua$x=0$ ya kupigia?

4) Je, inawezekana kwa uhakika$c$ kuwa hatua ya kupindua na mwisho wa ndani wa kazi ya kutofautisha mara mbili?

Jibu: Hapana

5) Kwa nini unahitaji kuendelea kwa mtihani wa kwanza wa derivative? Njoo na mfano.

6) Eleza kama concave-chini kazi ina msalaba$y=0$ kwa baadhi ya thamani ya$x$.

Jibu: Uongo; kwa mfano,$y=\sqrt{x}$.

7) Eleza kama shahada ya polynomial$2$ inaweza kuwa na hatua ya kufuta.

Katika mazoezi 8 - 12, kuchambua grafu ya$f'$, kisha orodha vipindi vyote ambapo$f$ inaongezeka au kupungua.

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili x saa (-1, 0). Kisha inaendelea kuongezeka kidogo kabla ya kupungua na kuvuka mhimili x saa (-1, 0). Inafikia kiwango cha chini cha ndani (1, -6) kabla ya kuongezeka na kuvuka mhimili x saa (2, 0).$

Jibu: Kuongezeka kwa$−2<x<−1$ na$x>2$;
Kupungua kwa$x<−2$ na$−1<x<2$

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili x saa (-1, 0). Kisha inaendelea kuongezeka kidogo kabla ya kupungua na kugusa mhimili x saa (-1, 0). Halafu huongezeka kidogo kabla ya kupungua na kuvuka mhimili x katika asili. Kazi hiyo inapungua kwa kiwango cha chini cha ndani kabla ya kuongezeka, kuvuka x-axis saa (1, 0), na kuendelea kuongezeka.$

10)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na kugusa mhimili x katika asili. Kisha hupungua kidogo kabla ya kuongezeka kuvuka mhimili x saa (1, 0) na kuendelea kuongezeka.$

Jibu: Kupungua kwa$x<1$,
Kuongezeka kwa$x>1$

11)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza chanya na itapungua ili kugusa mhimili x saa (-1, 0). Kisha huongezeka hadi (0, 4.5) kabla ya kupungua ili kugusa mhimili x saa (1, 0). Kisha kazi huongezeka.$

12)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi inaanza saa (-1, 0), inapungua hadi (-1.5, -1.5), huongezeka hadi (-1, 0), na inaendelea kuongezeka kabla ya kupungua hadi asili. Kisha upande mwingine ni ulinganifu: yaani, kazi huongezeka na kisha itapungua kupita (1, 0). Inaendelea kupungua hadi (1.5, -1.5), na kisha kuongezeka hadi (2, 0).$

Jibu: Kupungua kwa$−2<x<−1$ na$1<x<2$;
Kuongezeka kwa$−1<x<1$ na$x<−2$ na$x>2$

Katika mazoezi 13-17, kuchambua grafu ya$f',$ kisha orodha vipindi vyote ambapo

a.$f$ inaongezeka na kupungua na

b. minima na maxima ziko.

13)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi inaanza saa (-1, 0), inapungua kwa kidogo na kisha huongezeka hadi (-1, 0), inaendelea kuongezeka kabla ya kupungua hadi asili, wakati huo inakua.$

14)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza saa (-1, 0), huongezeka na kisha hupungua hadi (-1, 0), hupungua na kisha huongezeka hadi hatua ya kupindua kwa asili. Kisha kazi huongezeka na itapungua kuvuka (1, 0). Inaendelea kupungua na kisha kuongezeka kwa (2, 0).$

Jibu: a. kuongezeka juu ya$−2<x<−1,\;0<x<1,x>2$, Kupungua juu ya$x<−2, \;−1<x<0, \;1<x<2;$
b. maxima katika$x=−1$ na$x=1$, Minima katika$x=−2$ na$x=0$ na$x=2$

15)

$Kazi f' (x) ni graphed kutoka x = -1 kwa x = 2. Inaanza karibu na sifuri saa x = -1, lakini huongezeka kwa kasi na inabakia chanya kwa urefu mzima wa grafu.$

16)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili wa x katika asili, ambayo ni hatua ya kupigia. Kisha inaendelea kuongezeka.$

Jibu: a. kuongezeka juu ya$x>0$, Kupungua juu ya$x<0;$
b. kiwango cha chini katika$x=0$

17)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili x saa (-1, 0). Kisha inaendelea kuongezeka kidogo kabla ya kupungua na kugusa mhimili x katika asili. Inaongezeka tena na kisha itapungua kwa (1, 0). Kisha huongezeka.$

Katika mazoezi 18 - 22, kuchambua grafu ya$f'$, kisha uorodhe pointi zote za kupuuza na vipindi$f$ ambavyo vinapigwa na concave chini.

18)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi ni mstari na huanza hasi. Inavuka mhimili x kwenye asili.$

Jibu: Concave kwa ajili ya wote$x$,
Hakuna pointi inflection

19)

$Kazi f' (x) ni graphed. Ni parabola ya juu-inakabiliwa na 0 kama kiwango cha chini cha ndani.$

20)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi inafanana na grafu ya x3: yaani, inaanza hasi na huvuka mhimili x kwa asili. Kisha inaendelea kuongezeka.$

Jibu: Concave kwa ajili ya wote$x$,
Hakuna pointi inflection

21)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili x saa (-0.5, 0). Kisha inaendelea kuongezeka kwa (0, 1.5) kabla ya kupungua na kugusa mhimili x saa (1, 0). Kisha huongezeka.$

22)

$Kazi f' (x) ni graphed. Kazi huanza hasi na huvuka mhimili x saa (-1, 0). Kisha inaendelea kuongezeka kwa upeo wa ndani katika (0, 1), ambapo inapungua na kugusa mhimili x katika (1, 0). Kisha huongezeka.$

Jibu: Concave kwa ajili$x<0$ na$x>1$,
Concave chini kwa$0<x<1$,
Inflection pointi katika$x=0$ na$x=1$

Kwa mazoezi 23 - 27, futa grafu ambayo inatimiza maelezo yaliyotolewa kwa uwanja$x=[−3,3].$ Kazi haipaswi kuendelea au kutofautishwa.

23)$f(x)>0,\;f'(x)>0$$x>1,\;−3<x<0,\;f'(x)=0$ juu ya$0<x<1$

24)$f'(x)>0$ juu ya$x>2,\;−3<x<−1,\;f'(x)<0$ juu$−1<x<2,\;f''(x)<0$ kwa ajili ya wote$x$

Jibu: Majibu yatatofautiana

25)$f''(x)<0$ juu ya$−1<x<1,\;f''(x)>0,\;−3<x<−1,\;1<x<3,$ upeo wa$x=0,$ ndani katika minima ya ndani$x=±2$

26) Kuna upeo wa ndani kwa kiwango cha chini cha$x=2,$ ndani$x=1,$ na grafu sio concave juu wala concave chini.

Jibu: Majibu yatatofautiana

27) Kuna maxima ndani katika$x=±1,$ kazi ni concave kwa ajili ya wote$x$, na kazi bado chanya kwa ajili ya wote$x.$

Kwa mazoezi yafuatayo, onyesha

a. vipindi ambapo$f$ ni kuongezeka au kupungua na

b. minima ya ndani na maxima ya$f$.

28)$f(x)=\sin x+\sin^3x$ juu$−π<x<π$

Jibu

a Kuongezeka juu ya$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2},$ kupungua kwa$x<−\frac{π}{2},\; x>\frac{π}{2}$

b. upeo wa ndani katika$x=\frac{π}{2}$; kiwango cha chini ndani$x=−\frac{π}{2}$

29)$f(x)=x^2+\cos x$

Kwa zoezi 30, onyesha

a. vipindi ambapo$f$ ni concave juu au concave chini, na

b. pointi inflection ya$f$.

30)$f(x)=x^3−4x^2+x+2$

Jibu

a. concave kwa ajili ya$x>\frac{4}{3},$ concave chini kwa$x<\frac{4}{3}$

b. Inflection uhakika katika$x=\frac{4}{3}$

Kwa mazoezi 31 - 37, onyesha

a. vipindi ambapo$f$ inaongezeka au kupungua,

b. minima ya ndani na maxima ya$f$,

c. vipindi ambapo$f$ ni concave juu na concave chini, na

d. pointi za kupigia$f.$

31)$f(x)=x^2−6x$

32)$f(x)=x^3−6x^2$

Jibu: a. kuongezeka juu$x<0$ na$x>4,$ kupungua juu ya$0<x<4$
b. kiwango cha juu katika$x=0$, kiwango cha chini katika$x=4$
c. concave kwa ajili ya$x>2$, concave chini kwa$x<2$
d. inflection uhakika katika$x=2$

33)$f(x)=x^4−6x^3$

34)$f(x)=x^{11}−6x^{10}$

Jibu: a. kuongezeka tena$x<0$ na$x>\frac{60}{11}$, kupungua juu ya$0<x<\frac{60}{11}$
b. kiwango cha juu katika$x=0$, kiwango cha chini katika$x=\frac{60}{11}$
c. concave chini kwa$x<\frac{54}{11}$, concave kwa ajili ya$x>\frac{54}{11}$
d. inflection uhakika katika$x=\frac{54}{11}$

35)$f(x)=x+x^2−x^3$

36)$f(x)=x^2+x+1$

Jibu: a Kuongezeka zaidi$x>−\frac{1}{2}$, kupungua juu ya$x<−\frac{1}{2}$
b Kiwango cha chini katika$x=−\frac{1}{2}$
c. concave kwa ajili ya wote$x$
d Hakuna pointi inflection

37)$f(x)=x^3+x^4$

Kwa mazoezi 38 - 47, onyesha

a. vipindi ambapo$f$ inaongezeka au kupungua,

b. minima ya ndani na maxima ya$f,$

c. vipindi ambapo$f$ ni concave juu na concave chini, na

d. pointi inflection ya$f.$ Mchoro Curve, kisha kutumia calculator kulinganisha jibu lako. Ikiwa huwezi kuamua jibu halisi kwa uchambuzi, tumia calculator.

38) [T]$f(x)=\sin(πx)−\cos(πx)$ juu$x=[−1,1]$

Jibu: a. kuongezeka zaidi$−\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ itapungua tena$x>\frac{3}{4}$ na$x<−\frac{1}{4}$
b. kiwango cha chini katika$x=−\frac{1}{4}$, kiwango cha juu katika$x=\frac{3}{4}$
c. concave kwa ajili ya$−\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}$, concave chini kwa$x<−\frac{3}{4}$ na$x>\frac{1}{4}$
d. pointi inflection katika$x=−\frac{3}{4},\;x=\frac{1}{4}$

39) [T]$f(x)=x+\sin(2x)$ juu$x=[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$

40) [T]$f(x)=\sin x+\tan x$ juu$(−\frac{π}{2},\frac{π}{2})$

Jibu: a. kuongezeka kwa wote$x$
b. hakuna chini ya ndani au kiwango
cha juu c. concave kwa ajili ya$x>0$, concave chini kwa$x<0$
d. inflection uhakika katika$x=0$

41) [T]$f(x)=(x−2)^2(x−4)^2$

42) [T]$f(x)=\dfrac{1}{1−x},\quad x≠1$

Jibu: a. Kuongezeka kwa wote$x$ ambapo defined
b. hakuna minima ndani au maxima
c. concave kwa ajili ya$x<1$; concave chini kwa$x>1$
d. pointi Hakuna inflection katika uwanja

43) [T]$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ juu$x=[-2π,0)∪(0,2π]$

44)$f(x)=\sin(x)e^x$ juu$x=[−π,π]$

Jibu: a. kuongezeka juu$−\frac{π}{4}<x<\frac{3π}{4}$, kupungua juu ya$x>\frac{3π}{4},\;x<−\frac{π}{4}$
b. kiwango cha chini katika$x=−\frac{π}{4}$, kiwango cha juu katika$x=\frac{3π}{4}$
c. concave up kwa$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}$, concave chini kwa$x<−\frac{π}{2},\;x>\frac{π}{2}$
d. pointi inflection katika$x=±\frac{π}{2}$

45)$f(x)=\ln x\sqrt{x},\quad x>0$

46)$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},\quad x>0$

Jibu: Kuongezeka kwa zaidi ya$x>4,$ kupungua kwa$0<x<4$
b. kiwango cha chini katika$x=4$
c. concave up kwa$0<x<8\sqrt[3]{2}$, concave chini kwa$x>8\sqrt[3]{2}$
d. inflection uhakika katika$x=8\sqrt[3]{2}$

47)$f(x)=\dfrac{e^x}{x},\quad x≠0$

Katika mazoezi 48 - 52, kutafsiri hukumu kwa suala la$f,\;f',$ na$f''.$

48) Idadi ya watu inakua polepole zaidi. Hapa$f$ ni idadi ya watu.

Jibu: $f>0,\;f'>0,\;f''<0$

49) Baiskeli huharakisha kasi, lakini gari huenda kwa kasi. Hapa nafasi$f=$ baiskeli ya bala msimamo gari ya.

50) Ndege ya ardhi vizuri. Hapa$f$ ni urefu wa ndege.

Jibu: $f>0,\;f'<0,\;f''>0$

51) Bei za hisa ziko kwenye kilele chao. Hapa$f$ ni bei ya hisa.

52) Uchumi unachukua kasi. Hapa$f$ ni kipimo cha uchumi, kama vile Pato la Taifa.

Jibu: $f>0,\;f'>0,\;f''>0$

Kwa mazoezi 53 - 57, fikiria polynomial ya shahada ya tatu$f(x),$ ambayo ina mali$f'(1)=0$ na$f'(3)=0$.

Kuamua kama kauli zifuatazo ni kweli au uongo. Thibitisha jibu lako.

53)$f(x)=0$ kwa baadhi$1≤x≤3$.

54)$f''(x)=0$ kwa baadhi$1≤x≤3$.

Jibu: Kweli, kwa Theorem ya Thamani ya Maana

55) Hakuna upeo kabisa katika$x=3$.

56) Ikiwa$f(x)$ ina mizizi mitatu, basi ina hatua ya$1$ kupigia.

Jibu: Kweli, kuchunguza derivative

57) Ikiwa$f(x)$ ina hatua moja ya kupigia, basi ina mizizi mitatu halisi.