4.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.4

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1) Kwa nini unahitaji kuendelea kutumia Theorem ya Theorem ya Maana? Kujenga mfano counter.

2) Kwa nini unahitaji kutofautisha kutumia Theorem ya Theorem ya Maana? Pata mfano wa kukabiliana.

Jibu: Mfano mmoja ni\(f(x)=|x|+3,−2≤x≤2\)

3) Theorem ya Rolle na Theorem ya Theorem ya Theorem ya Maana ni sawa?

4) Kama una kazi na kukomesha, bado inawezekana kuwa na\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?\) Chora mfano kama au kuthibitisha kwa nini.

Jibu: Ndiyo, lakini Theorem ya Theorem ya Thamani ya Maana bado haitumiki

Katika mazoezi ya 5 - 9, onyesha juu ya vipindi gani (kama ipo) Theorem ya Theorem ya Maana inatumika. Thibitisha jibu lako.

5)\(y=\sin(πx)\)

6)\(y=\dfrac{1}{x^3}\)

Jibu: \((−∞,0),(0,∞)\)

7)\(y=\sqrt{4−x^2}\)

8)\(y=\sqrt{x^2−4}\)

Jibu: \((−∞,−2),(2,∞)\)

9)\(y=\ln(3x−5)\)

Katika mazoezi ya 10 - 13, graph kazi kwenye calculator na kuteka mstari wa salama unaounganisha mwisho. Tathmini ya idadi ya pointi\(c\) kama vile\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).\)

10) [T]\(y=3x^3+2x+1\) juu\([−1,1]\)

Jibu: Pointi 2

11) [T]\(y=\tan\left(\frac{π}{4}x\right)\) juu\(\left[−\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]\)

12) [T]\(y=x^2\cos(πx)\) juu\([−2,2]\)

Jibu: Pointi 5

13) [T]\(y=x^6−\frac{3}{4}x^5−\frac{9}{8}x^4+\frac{15}{16}x^3+\frac{3}{32}x^2+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\) juu\([−1,1]\)

Katika mazoezi 14 - 19, tumia Theorem ya Thamani ya Maana na upate pointi zote\(0<c<2\) kama hizo\(f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)\).

14)\(f(x)=x^3\)

Jibu: \(c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

15)\(f(x)=\sin(πx)\)

16)\(f(x)=\cos(2πx)\)

Jibu: \(c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\)

17)\(f(x)=1+x+x^2\)

18)\(f(x)=(x−1)^{10}\)

Jibu: \(c=1\)

19)\(f(x)=(x−1)^9\)

Katika mazoezi 20 - 23, onyesha hakuna\(c\) vile vile\(f(1)−f(−1)=f′(c)(2)\). Eleza kwa nini Theorem ya Thamani ya Maana haitumiki zaidi ya muda\([−1,1].\)

20)\(f(x)=\left|x−\frac{1}{2} \right|\)

Jibu: Si kutofautishwa

21)\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)

22)\(f(x)=\sqrt{|x|}\)

Jibu: Si kutofautishwa

23)\(f(x)=\lfloor x \rfloor\) (Dokezo: Hii inaitwa kazi ya sakafu na inaelezwa hivyo kwamba\(f(x)\) ni integer kubwa chini ya au sawa na\(x\).)

Katika mazoezi 24 - 34, onyesha kama Theorem ya Theorem ya Maana inatumika kwa kazi juu ya muda uliopewa\([a,b]\). Thibitisha jibu lako.

24)\(y=e^x\) juu\([0,1]\)

Jibu: Ndio

25)\(y=\ln(2x+3)\) juu\([−\frac{3}{2},0]\)

26)\(f(x)=\tan(2πx)\) juu\([0,2]\)

Jibu: Theorem Theorem ya Thamani ya Maana haitumiki tangu kazi imekoma\(x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.\)

27)\(y=\sqrt{9−x^2}\) juu\([−3,3]\)

28)\(y=\dfrac{1}{|x+1|}\) juu\([0,3]\)

Jibu: Ndio

29)\(y=x^3+2x+1\) juu\([0,6]\)

30)\(y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}\) juu\([−1,1]\)

Jibu: Theorem ya Thamani ya Maana haitumiki; kuacha\(x=0.\)

31)\(y=\dfrac{x}{\sin(πx)+1}\) juu\([0,1]\)

32)\(y=\ln(x+1)\) juu\([0,e−1]\)

Jibu: Ndio

33)\(y=x\sin(πx)\) juu\([0,2]\)

34)\(y=5+|x|\) juu\([−1,1]\)

Jibu: Theorem ya Thamani ya Maana haitumiki; si kutofautishwa katika\(x=0\).

Kwa mazoezi 35 - 37, fikiria mizizi ya kila equation.

35) Onyesha kwamba equation\(y=x^3+3x^2+16\) ina mizizi moja halisi. Ni nini?

36) Kupata masharti ya hasa mizizi moja (mizizi mara mbili) kwa equation\(y=x^2+bx+c\)

Jibu: \(b=±2\sqrt{c}\)

37) Kupata masharti ya\(y=e^x−b\) kuwa na mizizi moja. Inawezekana kuwa na mizizi zaidi ya moja?

Katika mazoezi 38 - 42, tumia calculator kwa grafu ya kazi juu ya muda\([a,b]\) na grafu mstari wa salama kutoka\(a\) hadi\(b\). Tumia calculator kukadiria maadili yote ya\(c\) kama uhakika na Theorem Mean Theorem Theorem. Kisha, tafuta thamani halisi ya\(c\), ikiwa inawezekana, au uandike equation ya mwisho na utumie calculator kukadiria kwa tarakimu nne.

38) [T]\(y=\tan(πx)\) juu\(\left[−\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]\)

Jibu: \(c \approx ±0.1533\)
\(c=±\frac{1}{π}\cos^{−1}(\frac{\sqrt{π}}{2})\)

39) [T]\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) juu\([0,3]\)

40) [T]\(y=|x^2+2x−4|\) juu\([−4,0]\)

Jibu: Theorem ya Thamani ya Maana haitumiki.

41) [T]\(y=x+\dfrac{1}{x}\) juu\(\left[\frac{1}{2},4\right]\)

42) [T]\(y=\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x^2}\) juu\([3,8]\)

Jibu: \(\dfrac{1}{2\sqrt{c+1}}−\dfrac{2}{c^3}=\dfrac{521}{2880}\)
\(c \approx 3.133, 5.867\)

43) Katika 10:17 a.m., wewe kupita gari polisi katika 55 mph kwamba ni kusimamishwa juu ya barabara kuu. Unapita gari la pili la polisi saa 55 mph saa 10:53 a.m., ambayo iko 39 mi kutoka gari la kwanza la polisi. Ikiwa kikomo cha kasi ni 60 mph, polisi wanaweza kukutaja kwa kasi?

44) Magari mawili huendesha gari kutoka kwenye kituo kimoja hadi ijayo, na kuacha wakati huo huo na kuwasili kwa wakati mmoja. Je, kuna milele wakati wao ni kwenda kasi sawa? Kuthibitisha au kukanusha.

Jibu: Ndio

45) Onyesha hilo\(y=\sec^2x\) na\(y=\tan^2x\) uwe na derivative sawa. Unaweza kusema nini kuhusu\(y=\sec^2x−\tan^2x\)?

46) Onyesha hilo\(y=\csc^2x\) na\(y=\cot^2x\) uwe na derivative sawa. Unaweza kusema nini kuhusu\(y=\csc^2x−\cot^2x\)?

Jibu: Ni mara kwa mara.