4.3E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.3

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178858

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

1) Katika precalculus, umejifunza formula kwa nafasi ya kiwango cha juu au cha chini cha equation quadratic$y=ax^2+bx+c$, ambayo ilikuwa$m=−\frac{b}{2a}$. Thibitisha formula hii kwa kutumia calculus.

2) Ikiwa unapata kiwango cha chini kabisa juu ya muda kwa$[a,b],$ nini unahitaji kuangalia mwisho? Chora grafu inayounga mkono hypothesis yako.

Jibu: Katika kipindi cha kufungwa, mwisho wa mwisho mara nyingi hulala juu au chini ya extrema yoyote ya ndani (jamaa). Majibu yanaweza kutofautiana kwa grafu.

3) Ikiwa unachunguza kazi zaidi ya$(a,b),$ muda$a$ na$b$ mwisho, inawezekana kutokuwa na kiwango cha juu kabisa au kiwango cha chini kabisa?

4) Unapoangalia pointi muhimu ili upate extrema ya kazi$f$, kuelezea kwa nini unahitaji pia kuamua pointi ambapo$f'(x)$ haijulikani. Chora grafu ili kuunga mkono maelezo yako.

Jibu: Pointi kwenye grafu ya$f$ mahali ambapo kuna kona, cusp, au kuacha kuruka au kuacha kutolewa kunaweza kuwa kabisa (au ndani) extrema ya kazi. Majibu yanaweza kutofautiana kwa grafu.

5) Je, unaweza kuwa na mwisho kabisa upeo kwa$y=ax^2+bx+c$ zaidi ya$(−∞,∞)$? Eleza kwa nini au kwa nini usitumie hoja za kielelezo.

6) Je, unaweza kuwa na mwisho kabisa upeo kwa$y=ax^3+bx^2+cx+d$ zaidi ya$(−∞,∞)$ kuchukua$a$ ni zisizo zero? Eleza kwa nini au kwa nini usitumie hoja za kielelezo.

Jibu: Hapana; majibu yatatofautiana

7) Hebu$m$ kuwa idadi ya minima ya ndani na$M$ uwe na idadi ya maxima ya ndani. Je, unaweza kujenga kazi ambapo$M>m+2$? Chora grafu ili kuunga mkono maelezo yako.

8) Inawezekana kuwa na kiwango cha juu zaidi ya moja kabisa? Tumia hoja ya kielelezo ili kuthibitisha hypothesis yako.

Jibu: Kwa kuwa kiwango cha juu kabisa ni thamani ya kazi (pato) badala ya thamani x, jibu ni hapana; majibu yatatofautiana

9) Je, inawezekana kuwa hakuna kiwango cha chini kabisa au kiwango cha juu kwa ajili ya kazi? Ikiwa ndivyo, jenga kazi hiyo. Ikiwa sio, kueleza kwa nini hii haiwezekani.

10) [T] Grafu kazi$y=e^{ax}.$ Kwa maadili gani ya$a$, kwenye uwanja wowote usio, utakuwa na kiwango cha chini kabisa na cha juu kabisa?

Jibu: Wakati$a=0$

Katika mazoezi 11 - 14, tambua wapi maxima ya ndani na kabisa na minima hutokea kwenye grafu iliyotolewa. Kudhani domains ni imefungwa vipindi isipokuwa vinginevyo maalum.

11)

$Kazi iliyochapishwa inaanza saa (-4, 60), inapungua kwa kasi hadi (-3, -40), huongezeka hadi (-1, 10) kabla ya kupungua polepole hadi (2, 0), ambapo huongezeka kwa kasi hadi (3, 30).$

12)

$Kazi iliyochapishwa inaanza saa (-2.2, 10), inapungua kwa kasi hadi (ї2, -11), huongezeka hadi (-1, 5) kabla ya kupungua polepole hadi (1, 3), ambapo huongezeka hadi (2, 7), halafu hupungua hadi (3, -20).$

Jibu: Kiwango cha chini kabisa saa 3; Upeo kabisa saa -2.2; minima ya ndani saa -1, 1; maxima ya ndani saa -1, 2

13)

$Kazi iliyochapishwa inaanza saa (-3, -1), huongezeka kwa kasi hadi (-2, 0.7), inapungua hadi (-1, -0.25) kabla ya kupungua polepole hadi (1, 0.25), ambapo inapungua hadi (2, 0.7), halafu huongezeka hadi (3, 1).$

14)

$Kazi iliyochapishwa inaanza saa (-2.5, 1), inapungua kwa kasi hadi (ї2, -1.25), huongezeka hadi (-1, 0.25) kabla ya kupungua polepole hadi (0, 0.2), ambapo huongezeka polepole hadi (1, 0.25), halafu hupungua kwa kasi hadi (2, -1.25), na hatimaye huongezeka hadi (2.5, 1).$

Jibu: Kima cha chini kabisa saa -1, 2; maxima kabisa saa -2.5, 2.5; kiwango cha chini cha ndani saa 0; maxima ya ndani saa -1, 1

Kwa mazoezi 15 - 18, futa grafu za$f(x)$, ambazo zinaendelea, zaidi ya muda$[−4,4]$ na mali zifuatazo:

15) Upeo wa juu kabisa$x=2$ na kiwango cha chini kabisa$x=±3$

16) Kima cha chini kabisa$x=1$ na kiwango cha juu kabisa$x=2$

Jibu: Majibu yanaweza kutofautiana.

17) Upeo kamili kwa kiwango cha chini$x=4,$ kabisa katika upeo wa$x=−1,$ ndani$x=−2,$ na hatua muhimu ambayo sio kiwango cha juu au cha chini$x=2$

18) Maxima kabisa$x=2$ na$x=−3$, kiwango cha chini cha ndani$x=1$, na kiwango cha chini kabisa$x=4$

Jibu: Majibu yanaweza kutofautiana.

Katika mazoezi 19 - 28, pata pointi muhimu katika nyanja za kazi zilizopewa.

19)$y=4x^3−3x$

20)$y=4\sqrt{x}−x^2$

Jibu: $x=1$

21)$y=\dfrac{1}{x−1}$

22)$y=\ln(x−2)$

Jibu: Hakuna

23)$y=\tan(x)$

24)$y=\sqrt{4−x^2}$

Jibu: $x=0$

25)$y=x^{3/2}−3x^{5/2}$

26)$y=\dfrac{x^2−1}{x^2+2x−3}$

Jibu: Hakuna

27)$y=\sin^2(x)$

28)$y=x+\dfrac{1}{x}$

Jibu: $x=−1$na$x = 1$

Katika mazoezi 29 - 39, tafuta maxima ya ndani na/au kabisa kwa kazi juu ya uwanja maalum.

29)$f(x)=x^2+3$ juu$[−1,4]$

30)$y=x^2+\dfrac{2}{x}$ juu$[1,4]$

Jibu: Upeo kabisa:$x=4, y=\frac{33}{2}$; kiwango cha chini kabisa:$x=1, y=3$

31)$y=(x−x^2)^2$ juu$[−1,1]$

32)$y=\dfrac{1}{x−x^2}$ juu$[0,1]$

Jibu: Kima cha chini kabisa:$x=\frac{1}{2}, y=4$

33)$y=\sqrt{9−x}$ juu$[1,9]$

34)$y=x+\sin(x)$ juu$[0,2π]$

Jibu: Upeo kamili: kiwango cha chini$x=2π, y=2π;$ kabisa:$x=0, y=0$

35)$y=\dfrac{x}{1+x}$ juu$[0,100]$

36)$y=|x+1|+|x−1|$ juu$[−3,2]$

Jibu: Upeo kamili: kiwango cha chini$x=−3, y = 6;$ kabisa:$−1≤x≤1, y=2$

37)$y=\sqrt{x}−\sqrt{x^3}$ juu$[0,4]$

38)$y=\sin x+\cos x$ juu$[0,2π]$

Jibu: Upeo kabisa:$x=\frac{π}{4}, y=\sqrt{2}$; kiwango cha chini kabisa:$x=\frac{5π}{4}, y=−\sqrt{2}$

39)$y=4\sin θ−3\cos θ$ juu$[0,2π]$

Katika mazoezi ya 40 - 45, tafuta minima ya ndani na kabisa na maxima kwa kazi$(−∞,∞).$

40)$y=x^2+4x+5$

Jibu: Kima cha chini kabisa:$x=−2, y=1$

41)$y=x^3−12x$

42)$y=3x^4+8x^3−18x^2$

Jibu: Kiwango cha chini kabisa: upeo wa$x=−3, y=−135;$ ndani:$x=0, y=0$; kiwango cha chini cha ndani:$x=1, y=−7$

43)$y=x^3(1−x)^6$

44)$y=\dfrac{x^2+x+6}{x−1}$

Jibu: Upeo wa ndani:$x=1−2\sqrt{2}, y=3−4\sqrt{2}$; kiwango cha chini cha ndani:$x=1+2\sqrt{2}, y=3+4\sqrt{2}$

45)$y=\dfrac{x^2−1}{x−1}$

Katika mazoezi 46 - 50, tumia calculator kwa graph kazi na kukadiria maxima kabisa na ya ndani na minima. Kisha, tatua kwa waziwazi.

46) [T]$y=3x\sqrt{1−x^2}$

Jibu: Upeo kamili: kiwango cha chini$x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{3}{2};$ kabisa:$x=−\frac{\sqrt{2}}{2}, y=−\frac{3}{2}$

47) [T]$y=x+\sin(x)$

48) [T]$y=12x^5+45x^4+20x^3−90x^2−120x+3$

Jibu: Upeo wa ndani:$x=−2,y=59$; kiwango cha chini cha ndani:$x=1, y=−130$

49) [T]$y=\dfrac{x^3+6x^2−x−30}{x−2}$

50) [T]$y=\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{\sqrt{4+x^2}}$

Jibu: Upeo kamili: kiwango cha chini$x=0, y=1;$ kabisa:$x=−2,2, y=0$

51) Kampuni inayozalisha simu za mkononi ina kazi ya gharama ya$C=x^2−1200x+36,400,$ wapi gharama$C$ kwa dola na$x$ ni idadi ya simu za mkononi zinazozalishwa (kwa maelfu). Ngapi vitengo ya simu ya mkononi (katika maelfu) itapunguza kazi hii gharama?

52) Mpira unatupwa hewani na msimamo wake unatolewa na$h(t)=−4.9t^2+60t+5m.$ Kupata urefu ambao mpira unaacha kupanda. Je, hii inatokea muda gani baada ya kutupwa?

Jibu: $h=\frac{9245}{49}$m,$t=\frac{300}{49}$ s

Kwa mazoezi 53-54, fikiria uzalishaji wa dhahabu wakati wa kukimbilia dhahabu ya California (1848—1888). Uzalishaji wa dhahabu unaweza kuwa inatokana na$G(t)=\dfrac{(25t)}{(t^2+16)}$, ambapo$t$ ni idadi ya miaka tangu kukimbilia ilianza$(0≤t≤40)$ na$G$ ni ounces ya dhahabu zinazozalishwa (katika mamilioni). Muhtasari wa data umeonyeshwa katika takwimu ifuatayo.

$Grafu ya bar inaonyesha dhahabu (katika mamilioni ya ounces ya troy) kwa mwaka, kuanzia mwaka wa 1848 na kuishia mwaka wa 1888. Mwaka 1848, grafu ya bar inaonyesha 0.05; mwaka 1849, 0.5; mwaka 1850, 2; mwaka 1851, 3.6; mwaka 1852, 3.9; mwaka 1853, 3.3; mwaka 1854, 3.4; mwaka 1855, 2.6; mwaka 1856, 2.75; mwaka 1857, 2.1; mwaka 1858, 2.2; mwaka 1859, 2.15; mwaka 1860, 2.1; mwaka 1861, 2; mwaka 1862, 1.8; mwaka 1863, 1.1; mwaka 1864, 1.15; mwaka 1865, 0.9; mwaka 1866, 0.85; mwaka 1867, 0.9; katika 1868, 0.85 ; mwaka 1869, 0.9; mwaka 1870, 0.85; mwaka 1871, 0.85; mwaka 1872, 0.75; mwaka 1873, 0.7; mwaka 1874, 0.85; mwaka 1875, 0.75; mwaka 1876, 0.7; mwaka 1877, 0.73; mwaka 1878, 0.9; mwaka 1879, 0.95; mwaka 1880, 1; mwaka 1881, 0.95; mwaka 1882, 0.85; katika 1883, 1.1; mwaka 1884, 0.6; mwaka 1885, 0.55; mwaka 1886, 0.65; mwaka 1887, 0.6; na mwaka 1888, 0.55.$

53) Kupata wakati kiwango cha juu (ndani na kimataifa) uzalishaji wa dhahabu ilitokea, na kiasi cha dhahabu zinazozalishwa wakati wa kiwango cha juu kwamba.

54) Kupata wakati kiwango cha chini (ndani na kimataifa) uzalishaji wa dhahabu ilitokea. Kiasi gani cha dhahabu kilichozalishwa wakati wa kiwango cha chini hiki?

Jibu: Kiwango cha chini cha kimataifa kilikuwa mwaka 1848, wakati hakuna dhahabu iliyozalishwa.

Katika mazoezi 55 & 56, kupata pointi muhimu, maxima, na minima kwa ajili ya kazi kupewa piecewise.

55)$y= \begin{cases} x^2−4x, & \text{if }0≤x≤1\\x^2−4, & \text{if }1<x≤2 \end{cases}$

56)$y=\begin{cases}x^2+1, & \text{if }x≤1 \\ x^2−4x+5, & \text{if }x>1\end{cases}$

Jibu: Kima cha chini kabisa:$x=0, x=2, y=1$; upeo wa ndani$x=1, y=2$

Katika mazoezi 57 - 58, pata pointi muhimu za kazi zifuatazo za generic. Je, wao maxima, minima, au wala? Hali ya hali muhimu.

57)$y=ax^2+bx+c,$ kutokana na kwamba$a>0$

58)$y=(x−1)^a$, kutokana na kwamba$a>1$

Jibu: Hakuna maxima/minima kama$a$ ni isiyo ya kawaida, kiwango cha chini katika$x=1$ kama$a$ ni hata

Wachangiaji na Majina

Template:ContribOpenStaxCalc
Paul Seeburger (Monroe Community College) added answers for exercises 2 and 4.