4.2E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.2

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1) ni makadirio linear kwa kazi yoyote generic linear\(y=mx+b\) nini?

2) Kuamua hali muhimu kama kwamba linear makadirio kazi ni mara kwa mara. Tumia grafu ili kuthibitisha matokeo yako.

Jibu: \(f'(a) = 0\)

3) Eleza kwa nini linear makadirio inakuwa chini sahihi kama wewe kuongeza umbali kati\(x\) na\(a\). Tumia grafu ili kuthibitisha hoja yako.

4) Ni lini linear makadirio halisi?

Jibu: linear makadirio halisi wakati\(y=f(x)\) ni linear au mara kwa mara.

Katika mazoezi ya 5 - 10, pata makadirio\(L(x)\) ya mstari\(y=f(x)\) karibu\(x=a\) na kazi.

5) [T]\(f(x)=x+x^4, \quad a=0\)

6) [T]\(f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2\)

Jibu: \(L(x)=\frac{1}{2}−\frac{1}{4}(x−2)\)

7) [T]\(f(x)=\tan x, \quad a=\frac{π}{4}\)

8) [T]\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)

Jibu: \(L(x)=1\)

9) [T]\(f(x)=x\sin x,\quad a=2π\)

10) [T]\(f(x)=\sin^2x,\quad a=0\)

Jibu: \(L(x)=0\)

Katika mazoezi 11 - 16, compute maadili aliyopewa ndani\(0.01\) kwa kuamua juu ya sahihi\(f(x)\) na\(a\), na kutathmini\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Angalia jibu lako kwa kutumia calculator.

11) [T]\((2.001)^6\)

12) [T]\(\sin(0.02)\)

Jibu: \(\sin(0.02)\approx 0.02\)

13) [T]\(\cos(0.03)\)

14) [T]\((15.99)^{1/4}\)

Jibu: \((15.99)^{1/4}\approx 1.9996875\)

15) [T]\(\dfrac{1}{0.98}\)

16) [T]\(\sin(3.14)\)

Jibu: \(\sin(3.14)\approx 0.001593\)

Katika mazoezi 17 - 22, onyesha sahihi\(f(x)\) na\(a\), na tathmini\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Tathmini ya makosa ya namba katika makadirio ya mstari unaofuata.

17)\((1.01)^3\)

18)\(\cos(0.01)\)

Jibu: \(\cos(0.01) \approx L(0.01) = f(0) + f'(0)(0-0.01) = 1;\)hitilafu,\(~0.00005\)

19)\((\sin(0.01))^2\)

20)\((1.01)^{−3}\)

Jibu: \((1.01)^{−3}\approx L(1.01) = f(1) + f'(1)(1.01 - 1) = 0.97;\)hitilafu,\(~0.0006\)

21)\(\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}\)

22)\(\sqrt{8.99}\)

Jibu: \(\sqrt{8.99} \approx L(8.99) = f(9) + f'(9)(8.99 - 9)= 3−\frac{1}{600};\)hitilafu,\(~4.632×10^{−7}\)

Katika mazoezi 23 - 26, tafuta tofauti ya kazi.

23)\(y=3x^4+x^2−2x+1\)

24)\(y=x\cos x\)

Jibu: \(dy=(\cos x−x\sin x)\,dx\)

25)\(y=\sqrt{1+x}\)

26)\(y=\dfrac{x^2+2}{x−1}\)

Jibu: \(dy=(\dfrac{x^2−2x−2}{(x−1)^2})dx\)

Katika mazoezi 27 - 32, tafuta tofauti na tathmini kwa kutolewa\(x\) na\(dx\).

27)\(y=3x^2−x+6, \;x=2, \;dx=0.1\)

28)\(y=\dfrac{1}{x+1}, \;x=1, \;dx=0.25\)

Jibu: \(dy=−\dfrac{1}{(x+1)^2}dx, \quad dy =−\frac{1}{16}\)

29)\(y=\tan x, \;x=0, \;dx=\frac{π}{10}\)

30)\(y=\dfrac{3x^2+2}{\sqrt{x+1}}, \;x=0, \;dx=0.1\)

Jibu: \(dy=\dfrac{9x^2+12x−2}{2(x+1)^{3/2}}dx,\quad dy = −0.1\)

31)\(y=\dfrac{\sin(2x)}{x}, \;x=π, \;dx=0.25\)

32)\(y=x^3+2x+\dfrac{1}{x}, \;x=1, \;dx=0.05\)

Jibu: \(dy=\left(3x^2+2−\dfrac{1}{x^2}\right)dx, \quad dy = 0.2\)

Katika mazoezi 33 - 38, pata mabadiliko kwa kiasi\(dV\) au katika eneo la uso\(dA.\)

33)\(dV\) ikiwa pande za mchemraba hubadilika kutoka 10 hadi 10.1.

34)\(dA\) ikiwa pande za mchemraba hubadilika kutoka\(x\) hadi\(x+dx\).

Jibu: \(dA = 12x\,dx\)

35)\(dA\) ikiwa radius ya nyanja\(r\) inabadilika kutoka\(dr.\)

36)\(dV\) ikiwa radius ya nyanja inabadilika kutoka\(r\) kwa\(dr\).

Jibu: \(dV=4πr^2dr\)

37)\(dV\) ikiwa silinda ya mviringo na urefu wa\(r=2\) mabadiliko kutoka\(3\) cm hadi\(3.05cm.\)

38)\(dV\) ikiwa silinda ya mviringo ya urefu 3 inabadilika kutoka\(r=2\) hadi\(r=1.9\) cm.

Jibu: \(dV = −1.2π\,\text{cm}^3\)

Katika mazoezi 39 - 41, tumia tofauti ili kukadiria kosa la juu na jamaa wakati wa kompyuta eneo la uso au kiasi.

39) Mpira wa golf wa spherical hupimwa kuwa na radius ya\(5\) mm, na kosa la kipimo cha\(0.1\) mm. Je, ni mabadiliko gani iwezekanavyo kwa kiasi?

40) Bwawa lina msingi wa mstatili wa 10 ft na 20 ft na kina cha futi 6. Je! Ni mabadiliko gani kwa kiasi ikiwa unajaza hadi 5.5 ft?

Jibu: \(−100 \,\text{ft}^3\)

41) koni ya ice cream ina urefu 4 katika. na radius 1 ndani. Ikiwa koni ni 0.1 katika. nene, ni tofauti gani kati ya kiasi cha koni, ikiwa ni pamoja na shell, na kiasi cha ice cream unaweza kuingia ndani ya shell?

Katika mazoezi 42 - 44, kuthibitisha makadirio kwa kutumia makadirio ya mstari\(x=0.\)

42)\(\sqrt{1−x}≈1−\frac{1}{2}x\)

43)\(\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}≈1\)

44)\(\sqrt{c^2+x^2}≈c\)