4.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178866

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 3, pata kiasi cha equation iliyotolewa.

1) Kupata$\frac{dy}{dt}$ katika$x=1$ na$y=x^2+3$ kama$\frac{dx}{dt}=4.$

Jibu: $\dfrac{dy}{dt} = 8$

2) Kupata$\frac{dx}{dt}$ katika$x=−2$ na$y=2x^2+1$ kama$\frac{dy}{dt}=−1.$

3) Kupata$\frac{dz}{dt}$ katika$(x,y)=(1,3)$ na$z^2=x^2+y^2$ kama$\frac{dx}{dt}=4$ na$\frac{dy}{dt}=3$.

Jibu: $\dfrac{dz}{dt} = \frac{13}{\sqrt{10}}$

Katika mazoezi 4 - 15, mchoro hali ikiwa ni lazima na kutumika viwango vya kuhusiana kutatua kwa kiasi.

4) [T] Ikiwa resistors mbili za umeme zinaunganishwa kwa sambamba, upinzani wa jumla (kipimo katika ohms, uliotajwa na barua kuu ya Kigiriki omega,$Ω$) hutolewa na equation$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.$ Ikiwa$R_1$ inaongezeka kwa kiwango cha$0.5Ω/\text{min}$ na$R_2$ kupungua kwa kiwango cha$1.1Ω/\text{min}$, kwa kiwango gani Je, upinzani wa jumla hubadilika wakati$R_1=20Ω$ na$R_2=50Ω/\text{min}$?

5) Ngazi ya$10$ -ft inakabiliwa na ukuta. Ikiwa juu ya ngazi inashuka chini ya ukuta kwa kiwango cha$2$ ft/sec, ni kasi gani chini ya kusonga chini wakati chini ya ngazi ni$5$ ft kutoka ukuta?

$Pembetatu ya kulia inaundwa na ngazi inayotembea juu ya ukuta wa matofali. Ngazi huunda hypotenuse na ni urefu wa futi 10.$

Jibu: $2\sqrt{3}$ft/sec

6) Ngazi ya$25$ -ft inakabiliwa na ukuta. Kama sisi kushinikiza ngazi kuelekea ukuta kwa kiwango cha$1$ ft/sec, na chini ya ngazi ni awali$20$ ft mbali na ukuta, jinsi ya kufunga ngazi hoja juu ya ukuta$5$ sec baada ya kuanza kusuja?

7) Ndege mbili zinaruka hewani kwa urefu sawa: ndege A inaruka mashariki kwa$250$ mi/h na ndege B inaruka kaskazini saa$300$ mi/h Kama wote wanaelekea uwanja wa ndege huo, iko$30$ maili mashariki ya ndege A na$40$ maili kaskazini ya ndege B, kwa kiwango gani ni umbali kati ya ndege kubadilisha?

$Pembetatu ya kulia inaundwa na ndege mbili A na B zinazohamia perpendicularly kwa kila mmoja. Hypotenuse ni umbali kati ya ndege A na B. pande nyingine ni upanuzi wa njia ya kila ndege mpaka kukutana.$

Jibu: Umbali unapungua kwa$390$ mi/h.

8) Wewe na rafiki unaendesha baiskeli zako kwenye mgahawa unaofikiri ni mashariki; rafiki yako anadhani mgahawa ni kaskazini. Wewe wote kuondoka kutoka hatua hiyo, na wewe wanaoendesha katika$16$ mph mashariki na rafiki yako wanaoendesha$12$ mph kaskazini. Baada ya kusafiri$4$ mi, kwa kiwango gani umbali kati yako kubadilisha?

9) Basi mbili ni kuendesha gari pamoja freeways sambamba kwamba ni$5$ mi mbali, moja kuelekea mashariki na nyingine kuelekea magharibi. Kwa kuzingatia kwamba kila basi huendesha$55$ mph mara kwa mara, pata kiwango ambacho umbali kati ya mabasi hubadilika wakati wao ni$13$ mi mbali (kama jogoo inaruka), akielekea kuelekea.

Jibu: Umbali kati yao hupungua kwa kiwango cha$\frac{1320}{13}≈101.5$ mph.

10) Mtu mwenye$6$ urefu mrefu hutembea mbali na taa ya$10$ -ft kwa kiwango cha mara kwa mara cha$3$ ft/sec. Je! Ni kiwango gani ambacho ncha ya kivuli huondoka kwenye pigo wakati mtu$10$ yupo mbali na pole?

$Kipande cha taa kinaonyeshwa kuwa kina urefu wa futi 10. Kwa haki yake, kuna mtu ambaye ni urefu wa futi 6. Kuna mstari kutoka juu ya lamppost ambayo inagusa juu ya kichwa cha mtu na kisha inaendelea chini. Urefu kutoka mwisho wa mstari huu hadi ambapo lamppost inagusa ardhi ni 10 + x. umbali kutoka kwa lamppost kwa mtu juu ya ardhi ni 10, na umbali kutoka kwa mtu hadi mwisho wa mstari ni x.$

11) Kutumia tatizo la awali, ni kiwango gani ambacho ncha ya kivuli huondoka na mtu wakati mtu$10$ anapoondoka kwenye pigo?

Jibu: $\frac{9}{2}$ft/sec

12) Mtu mwenye$5$ urefu mrefu anatembea kuelekea ukuta kwa kiwango cha$2$ ft/sec. Uangalizi iko chini ya$40$ mguu kutoka ukuta. Urefu wa kivuli cha mtu juu ya ukuta hubadilika kwa kasi wakati mtu$10$ anapoondoka ukuta?

13) Kutumia tatizo la awali, ni kiwango gani ambacho kivuli kinabadilika wakati mtu$10$ anapotoka kwenye ukuta, ikiwa mtu anatembea mbali na ukuta kwa kiwango cha$2$ ft/sec?

Jibu: Inakua kwa kiwango cha$\frac{4}{9}$ ft/sec

14) helikopta kuanzia chini inaongezeka moja kwa moja ndani ya hewa kwa kiwango cha$25$ ft/sec. Wewe ni mbio juu ya ardhi kuanzia moja kwa moja chini ya helikopta kwa kiwango cha$10$ ft/sec. Kupata kiwango cha mabadiliko ya umbali kati ya helikopta na wewe mwenyewe baada ya$5$ sec.

15) Kutumia tatizo la awali, kuchukua helikopta inaongezeka tena kwa kiwango cha$25$ ft/sec na unaendesha chini kuanzia moja kwa moja chini ya helikopta kwa kiwango cha$10$ ft/sec, ni kiwango gani ambacho umbali kati yako na helikopta unabadilika wakati helikopta imeongezeka hadi urefu wa$60$ ft katika hewa, kuchukua kwamba, awali, ilikuwa$30$ ft juu yenu?

Jibu: Umbali unaongezeka kwa$\frac{135\sqrt{26}}{26}$ ft/sec

Katika mazoezi 16 - 24, kuteka na studio michoro ili kusaidia kutatua matatizo yanayohusiana na viwango.

16) Upande wa mchemraba huongezeka kwa kiwango cha$\frac{1}{2}$ m/sec. Pata kiwango ambacho kiasi cha mchemraba kinaongezeka wakati upande wa mchemraba ni$4$ m.

17) Kiasi cha mchemraba hupungua kwa kiwango$10 \text{ m}^3$ cha/sec. Pata kiwango ambacho upande wa mchemraba hubadilika wakati upande wa mchemraba ni$2$ m.

Jibu: $−\frac{5}{6}$m/sec

18) Radi ya mzunguko huongezeka kwa kiwango cha$2$ m/sec. Pata kiwango ambacho eneo la mduara huongezeka wakati radius ni$5$ m.

19) Radi ya nyanja inapungua kwa kiwango cha$3$ m/sec. Pata kiwango ambacho eneo la uso hupungua wakati radius ni$10$ m.

Jibu: $240π \,\text{m}^2\text{/sec}$

20) Radi ya nyanja huongezeka kwa kiwango cha$1$ m/sec. Pata kiwango ambacho kiasi kinaongezeka wakati radius ni$20$ m.

21) Radi ya nyanja inaongezeka kwa kiwango cha$9$ cm/sec. Pata radius ya nyanja wakati kiasi na radius ya nyanja zinaongezeka kwa kiwango sawa cha namba.

Jibu: $\frac{1}{2\sqrt{π}}$sentimita

22) Msingi wa pembetatu unapungua kwa kiwango cha$1$ cm/min na urefu wa pembetatu unaongezeka kwa kiwango cha$5$ cm/min. Pata kiwango ambacho eneo la pembetatu linabadilika wakati urefu ni$22$ cm na msingi ni$10$ cm.

23) Pembetatu ina pande mbili za urefu wa$3$ ft na$5$ ft. Pembe kati ya pande hizi mbili inaongezeka kwa kiwango cha$0.1$ rad/sec. Pata kiwango ambacho eneo la pembetatu linabadilika wakati angle kati ya pande mbili ni$π/6.$

Jibu: Eneo hilo linaongezeka kwa kiwango$\frac{3\sqrt{3}}{8}\,\text{ft}^2\text{/sec}$.

24) Pembetatu ina urefu unaoongezeka kwa kiwango cha$2$ cm/sec na eneo lake linaongezeka kwa kiwango cha$4 \,\text{cm}^2\text{/sec}$. Pata kiwango ambacho msingi wa pembetatu unabadilika wakati urefu wa pembetatu ni$4$ cm na eneo hilo ni$20 \,\text{cm}^2$.

Katika mazoezi 25 - 27, fikiria koni iliyoingizwa ambayo inavuja maji. (Inverted inamaanisha hatua ya koni inakabiliwa chini, kama funnel.) Vipimo vya tank conical ni urefu wa 16 ft na radius ya futi 5.

25) Kina cha maji kinabadilika kwa kasi wakati maji yanapokuwa$10$ juu ikiwa koni huvuja maji kwa kiwango cha$10 \,\text{ft}^3\text{/min}$?

Jibu: Ya kina cha maji hupungua kwa$\frac{128}{125π}$ ft/min.

26) Kupata kiwango ambapo eneo la uso wa maji mabadiliko wakati maji ni$10$ ft juu kama koni uvujaji maji kwa kiwango cha$10 \,\text{ft}^3\text{/min}$.

27) Ikiwa kiwango cha maji kinapungua kwa kiwango cha$3$ katika/min wakati kina cha maji ni$8$ ft, onyesha kiwango ambacho maji yanavuja nje ya koni.

Jibu: Kiasi kinapungua kwa kiwango cha$\frac{25π}{16}\,\text{ft}^3\text{/min}$.

28) Silinda wima ni kinachovuja maji kwa kiwango cha$1 \,\text{ft}^3\text{/sec}$. Ikiwa silinda ina urefu wa$10$ ft na radius ya$1$ ft, kwa kiwango gani urefu wa maji hubadilika wakati urefu ni$6$ ft?

29) Silinda inavuja maji lakini huwezi kuamua kwa kiwango gani. Silinda ina urefu wa$2$ m na radius ya$2$ m Kupata kiwango ambacho maji huvuja nje ya silinda ikiwa kiwango ambacho urefu unapungua ni$10$ cm/min wakati urefu ni$1$ m.

Jibu: Maji hutoka kwa kiwango$\frac{2π}{5}\,\text{m}^3\text{/min}$.

30) Mguu umeisha umbo kama pembetatu za isosceles, na upana$3$$4$ m na urefu m, na mto ni$10$ m mrefu. Maji yanapigwa ndani ya mto kwa kiwango cha$5\,\text{m}^3\text{/min}$. Kwa kiwango gani urefu wa maji hubadilika wakati maji ni$1$ m kirefu?

$Mguu unaonyeshwa na mwisho umbo kama pembetatu za isosceles. Pembetatu hizi zina upana 3 na urefu wa 4. Mto huo unajumuisha mstatili ambao ni wa urefu wa 10. Kuna baadhi ya maji katika mto.$

31) Tangi imeumbwa kama piramidi ya mraba ya chini, na msingi wa$4$$4$ m na m na urefu wa$12$ m (angalia takwimu zifuatazo). Je! Urefu unaongezeka kwa kasi wakati maji ni$2$ m kirefu ikiwa maji yanapigwa kwa kiwango cha$\frac{2}{3} \text{ m}^3$ /sec?

$Piramidi ya mraba ya chini-chini inavyoonyeshwa kwa urefu wa mraba 4 na urefu wa 12. Kuna kiasi kisichojulikana cha maji ndani ya sura.$

Jibu: $\frac{3}{2}$m/sec

Kwa mazoezi 32 - 34, fikiria umbo la bwawa kama nusu ya chini ya nyanja, ambayo inajazwa kwa kiwango$25 \,\text{ft}^3$ cha/min. Radi ya bwawa ni$10$ ft.

32) Pata kiwango ambacho kina cha maji kinabadilika wakati maji yana kina cha$5$ ft.

33) Pata kiwango ambacho kina cha maji kinabadilika wakati maji yana kina cha$1$ ft.

Jibu: $\frac{25}{19π}$ft/min

34) Ikiwa urefu unaongezeka kwa kiwango cha$1$ katika/sec wakati kina cha maji ni$2$ ft, tafuta kiwango ambacho maji yanapigwa.

35) Gravel ni kuwa unloaded kutoka lori na kuanguka katika rundo umbo kama koni kwa kiwango cha$10 \,\text{ft}^3/\text{min}$. Radi ya msingi wa koni ni mara tatu urefu wa koni. Pata kiwango ambacho urefu wa changarawe hubadilika wakati rundo lina urefu wa$5$ ft.

Jibu: $\frac{2}{45π}$ft/min

36) Kutumia kuanzisha sawa kutoka kwa tatizo lililotangulia, pata kiwango ambacho changarawe inafunguliwa ikiwa rundo ni$5$ ft juu na urefu unaongezeka kwa kiwango cha$4$ katika/min.

Katika mazoezi 37 - 41, kuteka hali na kutatua matatizo yanayohusiana na kiwango.

37) Wewe umesimama chini na unatazama ndege kuruka kwa usawa kwa kiwango cha$10$ m/sec. Ndege iko$40$ m juu ya kichwa chako. Je! Angle ya mwinuko inabadilika kwa kasi wakati umbali wa usawa kati yako na ndege ni$9$ m?

Jibu: Pembe hupungua kwa$\frac{400}{1681}$ rad/sec.

38) Wewe kusimama$40$ ft kutoka roketi chupa juu ya ardhi na kuangalia kama inachukua mbali wima katika hewa kwa kiwango cha$20$ ft/sec. Pata kiwango ambacho angle ya mwinuko inabadilika wakati roketi iko$30$ ft hewani.

39) Lighthouse$L$,, ni katika kisiwa$4$ mi mbali na hatua ya karibu$P$,, pwani (angalia picha ifuatayo). Ikiwa mwanga wa lighthouse huzunguka saa moja kwa moja kwa kiwango cha$10$ mapinduzi/min, ni kasi gani boriti ya mwanga inakwenda pwani$2$ mi mbali na hatua ya karibu zaidi pwani?

$Pembetatu ya kulia hutengenezwa na lighthouse L, hatua P kwenye pwani ambayo ni perpendicular kwa mstari kutoka lighthouse hadi pwani, na hatua ya maili 2 kwa haki ya uhakika P. umbali kutoka P hadi L ni maili 4.$

Jibu: $100π$mi/min

40) Kutumia kuanzisha sawa na tatizo la awali, kuamua kwa kiwango gani boriti ya mwanga huenda kote pwani$1$ mi mbali na hatua ya karibu zaidi pwani.

41) Unatembea kwenye kituo cha basi kwenye kona ya kulia. Unahamia kaskazini kwa kiwango cha$2$ m/sec na ni$20$ m kusini mwa makutano. Basi husafiri magharibi kwa kiwango cha$10$ m/sec mbali na makutano - umekosa basi! Je! Ni kiwango gani ambacho angle kati yako na basi inabadilika unapokuwa$20$ m kusini mwa makutano na basi ni$10$ m magharibi ya makutano?

Jibu: Pembe inabadilika kwa kiwango cha$\frac{11}{25}$ rad/sec.

Katika mazoezi 42 - 45, rejea takwimu ya almasi ya baseball, ambayo ina pande za 90 ft.

$uwanja baseball ni umeonyesha, na besi kinachoitwa Home, 1, 2, na 3 kufanya mraba na urefu upande 90 ft.$

42) [T] kugonga hits mpira kuelekea msingi wa tatu katika$75$ ft/sec na anaendesha kuelekea msingi kwanza kwa kiwango cha$24$ ft/sec. Kwa kiwango gani umbali kati ya mpira na batter hubadilika wakati$2$ sec imepita?

43) [T] kugonga hits mpira kuelekea msingi wa pili katika$80$ ft/sec na anaendesha kuelekea msingi kwanza kwa kiwango cha$30$ ft/sec. Kwa kiwango gani umbali kati ya mpira na kugonga hubadilika wakati mkimbiaji amefunikwa theluthi moja ya umbali wa msingi wa kwanza? (Kidokezo: Kumbuka sheria ya cosines.)

Jibu: Umbali unaongezeka kwa kiwango cha$62.50$ ft/sec.

44) [T] kugonga hits mpira na anaendesha kuelekea msingi kwanza kwa kasi ya$22$ ft/sec. Kwa kiwango gani umbali kati ya mkimbiaji na wa pili hubadilika wakati mkimbiaji ameendesha$30$ ft?

45) [T] Runners kuanza saa ya kwanza na ya pili ya msingi. Wakati baseball ni hit, mwanariadha katika msingi wa kwanza anaendesha kwa kasi ya$18$ ft/sec kuelekea msingi wa pili na mkimbiaji katika msingi wa pili anaendesha kwa kasi ya$20$ ft/sec kuelekea msingi wa tatu. Je, umbali kati ya wanariadha hubadilisha sekunde 1 baada ya mpira kupigwa?

Jibu: Umbali unapungua kwa kiwango cha$11.99$ ft/sec.