1.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 1.5

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178942

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 4, tathmini ya kazi za kielelezo zilizopewa kama ilivyoonyeshwa, sahihi kwa tarakimu mbili muhimu baada ya decimal.

1)$f(x)=5^x$

a.$x=3$

b.$x=\frac{1}{2}$

c.$x=\sqrt{2}$

Jibu: a.$125$
b.$2.24$
c.$9.74$

2)$f(x)=(0.3)^x$

a.$x=−1$

b.$x=4$

c.$x=−1.5$

3)$f(x)=10^x$

a.$x=−2$

b.$x=4$

c.$x=\frac{5}{3}$

Jibu: a.$0.01$
b.$10,000$
c.$46.42$

4)$f(x)=e^x$

a.$x=2$

b.$x=−3.2$

c.$x=π$

Katika mazoezi ya 5 - 10, mechi ya usawa wa kielelezo kwenye grafu sahihi.

a.$y=4^{−x}$

b.$y=3^{x−1}$

c.$y=2^{x+1}$

d.$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x+2$

e.$y=−3^{−x}$

f.$y=1−5^x$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili wa y unatoka -2 hadi 8. Grafu ni ya kazi iliyopungua iliyopungua. Kazi hupungua mpaka inakaribia mstari “y = 2”, lakini kamwe haugusa mstari huu. Kupinga y ni katika hatua (0, 3) na hakuna intercept x.$

Jibu: d

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -9 hadi 2. Grafu ni ya kazi inayoanza kidogo chini ya mstari “y = 1” na huanza kupungua kwa kasi katika pembe. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili.$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kuongezeka kwa pembe inayoanza kidogo juu ya mhimili x na huanza kuongezeka kwa kasi. Hakuna intercept x na y intercept ni katika hatua (0, (1/3)). Hatua nyingine ya grafu iko kwenye (1, 1).$

Jibu: b

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kupungua kwa pembe ambayo inapungua mpaka inakuja karibu na mhimili x bila kuigusa. Hakuna intercept x na y intercept ni katika hatua (0, 1). Hatua nyingine ya grafu ni saa (-1, 4).$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kuongezeka kwa pembe inayoongezeka hadi inakuja karibu na mhimili wa x bila kuigusa. Hakuna intercept x na y intercept ni katika hatua (0, -1). Hatua nyingine ya grafu iko kwenye (-1, -3).$

Jibu: e

10)

Katika mazoezi 11 - 17, mchoro grafu ya kazi ya kielelezo. Tambua kikoa, upeo, na usio na usawa.

11)$f(x)=e^x+2$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kuongezeka kwa pembe inayoanza kidogo juu ya mstari “y = 2” na huanza kuongezeka kwa kasi. Hakuna intercept x na y intercept ni katika hatua (0, 3).$

Jibu: Domain: namba zote halisi, Range:$(2,∞),\; y=2$

12)$f(x)=−2^x$

$alt$

13)$f(x)=3^{x+1}$

Jibu: Domain: namba zote halisi, Range:$(0,∞),\; y=0$

14)$f(x)=4^x−1$

$alt$

15)$f(x)=1−2^{−x}$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kuongezeka kwa pembe inayoongezeka hadi inakuja karibu na mstari “y = 1” bila kuigusa. Kuna x intercept na y intercept ni wote katika asili. Hatua nyingine ya grafu ni saa (-1, -1).$

Jibu: Domain: namba zote halisi, Range:$(−∞,1),\; y=1$

16)$f(x)=5^{x+1}+2$

$alt$

17)$f(x)=e^{−x}−1$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi ya kupungua kwa pembe ambayo inapungua mpaka inakuja karibu na mstari “y = -1” bila kuigusa. Kuna x intercept na y intercept ni wote katika asili. Kuna uhakika wa takriban kwenye grafu saa (-1, 1.7).$

Jibu: Domain: namba zote halisi, Range:$(−1,∞), \;y=−1$

Katika mazoezi 18 - 25, andika equation katika fomu sawa ya kielelezo.

18)$\log_3 81=4$

19)$\log_8 2=\frac{1}{3}$

Jibu: $8^{1/3}=2$

20)$\log_5 1=0$

21)$\log_5 25=2$

Jibu: $5^2=25$

22)$\log 0.1=−1$

23)$\ln\left(\frac{1}{e^3}\right)=−3$

Jibu: $e^{−3}=\dfrac{1}{e^3}$

24)$\log_9 3=0.5$

25)$\ln 1=0$

Jibu: $e^0=1$

Katika mazoezi 26 - 35, andika equation katika fomu sawa ya logarithmic.

26)$2^3=8$

27)$4^{−2}=\frac{1}{16}$

Jibu: $\log_4\left(\frac{1}{16}\right)=−2$

28)$10^2=100$

29)$9^0=1$

Jibu: $\log_9 1=0$

30)$\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$

31)$\sqrt[3]{64}=4$

Jibu: $\log_{64}4=\frac{1}{3}$

32)$e^x=y$

33)$9^y=150$

Jibu: $\log_9 150=y$

34)$b^3=45$

35)$4^{-3/2}=0.125$

Jibu: $\log_4 0.125=−\frac{3}{2}$

Katika mazoezi 36 - 41, mchoro grafu ya kazi ya logarithmic. Tambua kikoa, upeo, na asymptote ya wima.

36)$f(x)=3+\ln x$

$alt$

37)$f(x)=\ln(x−1)$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi inayozidi kuongezeka ambayo huanza kidogo kwa haki ya mstari wa wima “x = 1”. Hakuna y intercept na intercept x ni katika hatua ya takriban (2, 0).$

Jibu: Domain:$(1,∞)$, Range:$(−∞,∞),\; x=1$

38)$f(x)=\ln(−x)$

$alt$

39)$f(x)=1−\ln x$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -1 hadi 9 na mhimili y unatoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi iliyopungua iliyopungua ambayo huanza kidogo kwa haki ya mhimili y. Hakuna y intercept na intercept x ni katika hatua (e, 0).$

Jibu: Domain:$(0,∞)$, Range:$(−∞,∞),\; x=0$

40)$f(x)=\log x−1$

$221$

41)$f(x)=\ln(x+1)$

$Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -5 hadi 5 na mhimili y huendesha kutoka -5 hadi 5. Grafu ni ya kazi inayozidi kuongezeka ambayo huanza kidogo kwa haki ya mstari wa wima “x = -1”. Kuna y intercept na intercept x ni wote katika asili.$

Jibu: Domain:$(−1,∞)$, Range:$(−∞,∞)$,$x=−1$

Katika mazoezi 42 - 47, tumia mali ya logarithms kuandika maneno kama jumla, tofauti, na/au bidhaa za logarithms.

42)$\log x^4y$

43)$\log_3\frac{9a^3}{b}$

Jibu: $2+3\log_3 a−\log_3 b$

44)$\ln a\sqrt[3]{b}$

45)$\log_5\sqrt{125xy^3}$

Jibu: $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\log_5 x+\frac{3}{2}\log_5 y$

46)$\log_4 \frac{\sqrt[3]{xy}}{64}$

47)$\ln\left(\frac{6}{\sqrt{e^3}}\right)$

Jibu: $−\frac{3}{2}+\ln 6$

Katika mazoezi 48 - 55, tatua usawa wa kielelezo hasa.

48)$5^x=125$

49)$e^{3x}−15=0$

Jibu: $\frac{\ln 15}{3}$

50)$8^x=4$

51)$4^{x+1}−32=0$

Jibu: $\frac{3}{2}$

52)$3^{x/14}=\frac{1}{10}$

53)$10^x=7.21$

Jibu: $\log 7.21$

54)$4⋅2^{3x}−20=0$

55)$7^{3x−2}=11$

Jibu: $\frac{2}{3}+\frac{\log 11}{3\log 7}$

Katika mazoezi 56 - 63, tatua usawa wa logarithmic hasa, ikiwa inawezekana.

56)$\log_3 x=0$

57)$\log_5 x=−2$

Jibu: $x=\frac{1}{25}$

58)$\log_4(x+5)=0$

59)$\log(2x−7)=0$

Jibu: $x=4$

60)$\ln\sqrt{x+3}=2$

61)$\log_6(x+9)+\log_6 x=2$

Jibu: $x=3$

62)$\log_4(x+2)−\log_4(x−1)=0$

63)$\ln x+\ln(x−2)=\ln 4$

Jibu: $1+\sqrt{5}$

Katika mazoezi 64 - 69, tumia fomu ya mabadiliko-msingi na ama msingi$10$ au msingi$e$ ili kutathmini maneno yaliyotolewa. Jibu kwa fomu halisi na kwa fomu takriban, kuzunguka kwa maeneo manne ya decimal.

64)$\log_5 47$

65)$\log_7 82$

Jibu: $\dfrac{\log 82}{\log 7}≈2.2646$

66)$\log_6 103$

67)$\log_{0.5}211$

Jibu: $\dfrac{\log 211}{\log 0.5}≈−7.7211$

68)$\log_2 π$

69)$\log_{0.2}0.452$

Jibu: $\dfrac{\log 0.452}{\log 0.2}≈0.4934$

70) Andika upya maneno yafuatayo kwa suala la maonyesho na kurahisisha.

a.$2\cosh(\ln x)$ b.$\cosh 4x+\sinh 4x$ c.$\cosh 2x−\sinh 2x$ d.$\ln(\cosh x+\sinh x)+\ln(\cosh x−\sinh x)$

71) [T] Idadi ya bakteria$N$ katika utamaduni baada ya$t$ siku inaweza kuonyeshwa na kazi$N(t)=1300⋅(2)^{t/4}$. Pata idadi ya bakteria iliyopo baada ya$15$ siku.

Jibu: $\sim 17,491$

72) [T] Mahitaji$D$ (kwa mamilioni ya mapipa) ya mafuta katika nchi yenye utajiri wa mafuta hutolewa na kazi$D(p)=150⋅(2.7)^{−0.25p}$, ambapo$p$ ni bei (kwa dola) ya pipa la mafuta. Pata kiasi cha mafuta kilichohitajika (kwa mapipa milioni ya karibu) wakati bei iko kati ya $15 na $20.

73) [T] Kiasi$A$ cha $100,000 uwekezaji kulipa kuendelea na imezungukwa kwa miaka t hutolewa na$A(t)=100,000⋅e^{0.055t}$. Pata kiasi$A$ kilichokusanywa kwa$5$ miaka.

Jibu: Takriban $131,653 hukusanywa katika miaka 5.

74) [T] uwekezaji ni imezungukwa kila mwezi, robo mwaka, au kila mwaka na ni kutolewa na kazi$A=P\left(1+\frac{j}{n}\right)^{nt}$, ambapo$A$ ni thamani ya uwekezaji kwa wakati$t$,$P$ ni kanuni ya awali kwamba alikuwa imewekeza,$j$ ni kiwango cha riba ya kila mwaka, na$n$ ni idadi ya muda maslahi ni imezungukwa kwa mwaka. Kutokana na kiwango cha riba ya kila mwaka ya 3.5% na kanuni ya awali ya $100,000, pata kiasi$A$ kilichokusanywa katika miaka 5 kwa maslahi ambayo yamezungua. kila siku, b., kila mwezi, c. robo mwaka, na d. kila mwaka.

75) [T] Mkusanyiko wa ions hidrojeni katika dutu inaashiria$[H+]$, kipimo katika moles kwa lita. PH ya dutu hufafanuliwa na kazi ya logarithmic$pH=−\log[H+]$. Kazi hii hutumiwa kupima asidi ya dutu. PH ya maji ni 7. Dutu yenye pH chini ya 7 ni asidi, ambapo moja ambayo ina pH ya zaidi ya 7 ni msingi.

Pata pH ya vitu vifuatavyo. Majibu ya pande zote kwa tarakimu moja.

b Kuamua kama dutu hii ni asidi au msingi.

i. mayai:$[H+]=1.6×10^{−8}$ mol/L

ii. Bia:$[H+]=3.16×10^{−3}$ mol/L

iii. Juisi ya Nyanya:$[H+]=7.94×10^{−5}$ mol/L

Jibu: i. a. pH = 8 b. msingi
ii. a. pH = 3 b. asidi
iii. a. pH = 4 b. asidi

76) [T] Iodini-131 ni dutu ya mionzi inayoharibika kulingana na kazi$Q(t)=Q_0⋅e^{−0.08664t}$, ambapo$Q_0$ ni kiasi cha awali cha sampuli ya dutu na$t$ iko katika siku. Kuamua muda gani inachukua (kwa siku ya karibu) kwa 95% ya kiasi cha kuoza.

77) [T] Kulingana na Benki ya Dunia, mwishoni mwa 2013 idadi$(t=0)$ ya watu wa Marekani ilikuwa milioni 316 na iliongezeka kulingana na mfano wafuatayo:

\[P(t)=316e^{0.0074t}, \nonumber \]

ambapo$P$ ni kipimo katika mamilioni ya watu na$t$ ni kipimo katika miaka baada ya 2013.

a Kulingana na mfano huu, itakuwa nini idadi ya watu wa Marekani mwaka 2020?

b Kuamua wakati idadi ya watu wa Marekani itakuwa mara mbili ni nini katika 2013.

Jibu: a.$\sim 333$ Milioni
b. Miaka 94 kutoka 2013, au katika 2107

78) [T] Kiasi$A$ kilichokusanywa baada ya$1000$ dola kinawekeza kwa$t$ miaka kwa kiwango cha riba cha 4% kinatokana na kazi$A(t)=1000(1.04)^t$.

Pata kiasi kilichokusanywa baada ya$5$ miaka na$10$ miaka.

b Kuamua muda gani inachukua kwa ajili ya uwekezaji wa awali kwa mara tatu.

79) [T] koloni ya bakteria iliyopandwa katika maabara inajulikana mara mbili kwa idadi katika$12$ masaa. Tuseme, awali, kuna$1000$ bakteria zilizopo.

Tumia kazi ya kielelezo$Q=Q_0e^{kt}$ ili kuamua thamani$k$, ambayo ni kiwango cha ukuaji wa bakteria. Pande zote hadi sehemu nne za decimal.

b Kuamua takriban muda gani inachukua kwa$200,000$ bakteria kukua.

Jibu: a.$k≈0.0578$
b. ≈$92$ masaa

80) [T] idadi ya watu sungura juu ya mchezo hifadhi mara mbili kila baada ya$6$ miezi. Tuseme kulikuwa na$120$ sungura awali.

Tumia kazi ya kielelezo$P=P_0a^t$ ili kuamua kiwango cha ukuaji wa mara kwa mara$a$. Pande zote hadi sehemu nne za decimal.

Kutumia kazi katika sehemu ya a. kuamua takriban muda gani inachukua kwa idadi ya sungura kufikia 3500.

81) [T] Tetemeko la ardhi la 1906 huko San Francisco lilikuwa na ukubwa wa 8.3 kwa kiwango cha Richter. Wakati huo huo, huko Japan, tetemeko la ardhi na ukubwa wa 4.9 lilisababisha uharibifu mdogo tu. Takriban ni kiasi gani cha nishati kilichotolewa na tetemeko la ardhi la San Francisco kuliko tetemeko la ardhi

Jibu: Tetemeko la ardhi la San Francisco lilikuwa$10^{3.4}$ na nishati zaidi kuliko tetemeko la ardhi la$\sim 2512$

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc