Skip to main content
Global

1.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 1.4

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178951

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Katika mazoezi ya 1 - 6, tumia mtihani wa mstari usio na usawa ili uone kama kila grafu zilizopewa ni moja kwa moja.

    1)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi inayopungua kwa moja kwa moja hadi asili, ambapo inaanza kuongezeka kwa mstari wa moja kwa moja. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili.

    Jibu
    Si moja kwa moja

    2)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka 0 hadi 7 na mhimili wa y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi ambayo inakua daima. Kuna takriban x intercept katika hatua (1, 0) na hakuna y intercept inavyoonekana.

    3)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi inayofanana na mduara wa nusu, nusu ya juu ya mduara. Kazi huanza kwa hatua (-3, 0) na huongezeka hadi hatua (0, 3), ambapo huanza kupungua mpaka itakapomalizika (3, 0). Vipindi vya x viko kwenye (-3, 0) na (3, 0). Kupinga y ni saa (0, 3).

    Jibu
    Si moja kwa moja

    4)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi iliyopigwa. Kazi huongezeka mpaka inapiga asili, halafu inapungua mpaka inapiga hatua (2, -4), ambapo inaanza kuongezeka tena. Kuna x intercepts katika asili na uhakika (3, 0). Kupinga y ni asili.

    5)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi iliyopigwa ambayo inakua daima. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili.

    Jibu
    Moja kwa moja

    6)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 7 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi inayoongezeka kwa mstari wa moja kwa moja mpaka hatua ya takriban (, 3). Baada ya hatua hii, kazi inakuwa mstari wa moja kwa moja wa usawa. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili.

    Katika mazoezi 7 - 12,

    a. kupata kazi inverse, na

    b. kupata uwanja na aina mbalimbali ya kazi inverse.

    7)\(f(x)=x^2−4, \quad x≥0\)

    Jibu
    a.\(f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}\)
    b Domain:\(x≥−4,\) Range:\(y≥0\)

    8)\(f(x)=\sqrt[3]{x−4}\)

    9)\(f(x)=x^3+1\)

    Jibu
    a.\(f^{−1}(x)=\sqrt[3]{x−1}\)
    b. domain: namba zote halisi, Range: namba zote halisi

    10)\(f(x)=(x−1)^2, \quad x≤1\)

    11)\(f(x)=\sqrt{x−1}\)

    Jibu
    a.\(f^{−1}(x)=x^2+1\),
    b Domain:\(x≥0,\) Range:\(y≥1\)

    12)\(f(x)=\dfrac{1}{x+2}\)

    Katika mazoezi 13 - 16, tumia grafu ya kuchora\(f\) grafu ya kazi yake ya inverse.

    13)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi inayoongezeka ya mstari wa moja kwa moja inayoitwa “f” ambayo inakua daima. Kupinga x ni saa (-2, 0) na y intercept ni wote katika (0, 1).

    Jibu
    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi mbili. Kazi ya kwanza ni kazi inayoongezeka ya mstari wa moja kwa moja inayoitwa “f”. Kupinga x ni saa (-2, 0) na y intercept ni wote katika (0, 1). kazi ya pili ni ya kuongeza moja kwa moja line kazi kinachoitwa “f inverse”. Kuzuia x iko kwenye hatua (1, 0) na y intercept iko kwenye hatua (0, -2).

    14)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi iliyopungua iliyopungua iliyoitwa “f”. Kama kazi inapungua, inapata inakaribia mhimili x lakini kamwe huigusa. Kazi haina intercept x na y intercept ni (0, 1).

    15)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -8 hadi 8 na mhimili y unatoka -8 hadi 8. Grafu ni ya kazi inayoongezeka ya mstari wa moja kwa moja inayoitwa “f”. Kazi huanza kwa hatua (0, 1) na huongezeka kwa mstari wa moja kwa moja mpaka hatua (4, 6). Baada ya hatua hii, kazi inaendelea kuongezeka, lakini kwa kiwango cha polepole kuliko hapo awali, kama inakaribia hatua (8, 8). Kazi haina intercept x na y intercept ni (0, 1).

    Jibu
    alt

    16)

    Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi iliyopungua iliyopigwa iliyoitwa “f”, ambayo inaisha kwa asili, ambayo ni ya kupinga x na y kupinga. Jambo lingine juu ya kazi ni (-4, 2).

    Katika mazoezi 17 - 24, tumia utungaji ili kuamua ni jozi gani za kazi zinazoingilia.

    17)\(f(x)=8x, \quad g(x)=\dfrac{x}{8}\)

    Jibu
    Hizi ni inverses.

    18)\(f(x)=8x+3, \quad g(x)=\dfrac{x-3}{8}\)

    19)\(f(x)=5x−7, \quad g(x)=\dfrac{x+5}{7}\)

    Jibu
    Hizi sio inverses.

    20)\(f(x)=\frac{2}{3}x+2, \quad g(x)=\frac{3}{2}x+3\)

    21)\(f(x)=\dfrac{1}{x−1}, \;x≠1, \quad g(x)=\dfrac{1}{x}+1,\; x≠0\)

    Jibu
    Hizi ni inverses.

    22)\(f(x)=x^3+1,\quad g(x)=(x−1)^{1/3}\)

    23)\(f(x)=x^2+2x+1,\; x≥−1, \quad g(x)=−1+\sqrt{x},\; x≥0\)

    Jibu
    Hizi ni inverses.

    24)\(f(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2, \quad g(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2\)

    Katika mazoezi 25 - 33, tathmini kazi. Kutoa thamani halisi.

    25)\(\tan^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)

    Jibu
    \(\frac{π}{6}\)

    26)\(\cos^{−1}\left(−\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

    27)\(\cot^{−1}(1)\)

    Jibu
    \(\frac{π}{4}\)

    28)\(\sin^{−1}(−1)\)

    29)\(\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

    Jibu
    \(\frac{π}{6}\)

    30)\(\cos\big(\tan^{−1}(\sqrt{3})\big)\)

    31)\(\sin\left(\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\)

    Jibu
    \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

    32)\(\sin^{−1}\left(\sin\left(\frac{π}{3}\right)\right)\)

    33)\(\tan^{−1}\left(\tan\left(−\frac{π}{6}\right)\right)\)

    Jibu
    \(-\frac{π}{6}\)

    34) Kazi\(C=T(F)=(5/9)(F−32)\) inabadilisha digrii Fahrenheit kwa digrii Celsius.

    a) Pata kazi ya inverse\(F=T^{−1}(C)\)

    b) Kazi ya inverse inatumiwa nini?

    35) [T] Kasi\(V\) (kwa sentimita kwa pili) ya damu katika ateri umbali\(x\) cm kutoka katikati ya ateri inaweza kuonyeshwa na kazi\(V=f(x)=500(0.04−x^2)\) kwa\(0≤x≤0.2.\)

    a) Tafuta\(x=f^{−1}(V).\)

    b) Tafsiri nini kazi ya inverse inatumiwa.

    c) Pata umbali kutoka katikati ya ateri yenye kasi ya 15 cm/sec, 10 cm/sec, na 5 cm/sec.

    Jibu
    a.\(x=f^{−1}(V)=\sqrt{0.04−\dfrac{V}{500}}\)
    b. kazi inverse huamua umbali kutoka katikati ya ateri ambayo damu inapita kwa kasi\(V.\)
    c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

    36) Kazi inayobadilisha ukubwa wa mavazi nchini Marekani kwa wale wa Ulaya hutolewa na\(D(x)=2x+24.\)

    a) Pata ukubwa wa mavazi ya Ulaya ambayo yanahusiana na ukubwa 6, 8, 10, na 12 nchini Marekani.

    b) Kupata kazi kwamba waongofu Ulaya mavazi ukubwa kwa ukubwa wa mavazi ya Marekani.

    c) Tumia sehemu b. kupata ukubwa wa mavazi nchini Marekani unaohusiana na 46, 52, 62, na 70.

    37) [T] Gharama ya kuondoa sumu kutoka ziwa inatokana na kazi\(C(p)=\dfrac{75p}{85−p},\) ambapo\(C\) ni gharama (kwa maelfu ya dola) na\(p\) ni kiasi cha sumu katika ziwa dogo (kipimo kwa sehemu kwa bilioni [ppb]). Mfano huu halali tu wakati kiasi cha sumu ni chini ya 85 ppb.

    a) Pata gharama ya kuondoa 25 ppb, 40 ppb, na 50 ppb ya sumu kutoka ziwa.

    b) Pata kazi ya inverse.

    c) Tumia sehemu b. kuamua ni kiasi gani cha sumu kinachoondolewa kwa $50,000.

    Jibu
    a. $31,250, $66,667, $107,143
    b.\(p=\dfrac{85C}{C+75}\)
    c. 34 ppb

    38) [T] Gari la mbio linaharakisha kwa kasi iliyotolewa na\(v(t)=\frac{25}{4}t+54,\)

    \(v\)wapi kasi (kwa miguu kwa pili) kwa wakati\(t.\)

    a) Pata kasi ya gari kwa sekunde 10.

    b) Pata kazi ya inverse.

    c) Tumia sehemu b. kuamua muda gani inachukua gari kufikia kasi ya 150 ft/sec.

    39) [T] Nambari ya ndege ya Mach\(M\) ni uwiano wa kasi yake hadi kasi ya sauti. Wakati ndege inaruka kwenye urefu wa mara kwa mara, basi angle yake ya Mach inapewa na\(μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right).\)

    Pata angle ya Mach (kwa kiwango cha karibu) kwa namba zifuatazo za Mach.

    Picha ya mtazamo wa jicho la ndege. Moja kwa moja mbele ya ndege ni sura ya “V” ya upande, na ndege ikiruka moja kwa moja kwenye ufunguzi wa sura ya “V”. Sura ya “V” inaitwa “mach wimbi”. Kuna mishale miwili yenye maandiko. Mshale wa kwanza unaonyesha kutoka pua ya ndege hadi kona ya sura ya “V”. Mshale huu una lebo “velocity = v”. Mshale wa pili unaonyesha diagonally kutoka pua ya ndege hadi makali ya sehemu ya juu ya sura ya “V”. Mshale huu una lebo “kasi ya sauti = a”. Kati ya mishale hii miwili ni angle iliyoitwa “Mach angle”. Pia kuna maandishi katika picha ambayo inasoma “mach = M 1.0”." style="width: 465px; height: 305px;" width="465px" height="305px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_04_215.jpeg">

    a.\(μ=1.4\)

    b.\(μ=2.8\)

    c.\(μ=4.3\)

    Jibu
    a.\(\sim 92°\) b.\(\sim 42°\) c.\(\sim 27°\)

    40) [T] Kwa kutumia\(μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right)\), kupata Mach idadi M kwa pembe zifuatazo.

    a.\(μ=\frac{π}{6}\)

    b.\(μ=\frac{2π}{7}\)

    c.\(μ=\frac{3π}{8}\)

    41) [T] Joto (kwa digrii Celsius) ya mji kaskazini mwa Marekani inaweza kuonyeshwa na kazi

    \(T(x)=5+18\sin\left[\frac{π}{6}(x−4.6)\right],\)

    ambapo\(x\) ni wakati katika miezi na\(x=1.00\) sambamba na Januari 1. Kuamua mwezi na siku wakati joto ni\(21°C.\)

    Jibu
    \(x≈6.69,\, 8.51\); hivyo, joto hutokea Juni 21 na Agosti 15

    42) [T] Kina (kwa miguu) cha maji kwenye kizimbani kinabadilika na kupanda na kuanguka kwa mawimbi. Inatokana na kazi\(D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8,\) ambapo\(t\) ni idadi ya masaa baada ya usiku wa manane. Kuamua mara ya kwanza baada ya usiku wa manane wakati kina\(11.75\) kina.

    43) [T] Kitu kinachohamia katika mwendo rahisi wa harmonic kinatokana na kazi\(s(t)=−6\cos\left(\dfrac{πt}{2}\right),\) ambapo\(s\) hupimwa kwa inchi na\(t\) hupimwa kwa sekunde. Tambua mara ya kwanza wakati umbali uliohamishwa\(4.5\) umeingia.

    Jibu
    \(\sim 1.5\)sekunde

    44) [T] Nyumba ya sanaa ya ndani ina picha ya urefu wa 3 ft ambayo imefungwa 2.5 ft juu ya kiwango cha jicho la mtu wa kawaida. Angle ya kutazama\(θ\) inaweza kuonyeshwa na kazi\(θ=\tan^{−1}\frac{5.5}{x}−\tan^{−1}\frac{2.5}{x}\),\(x\) wapi umbali (kwa miguu) kutoka kwenye picha. Pata angle ya kutazama wakati mtu akiwa na futi 4 kutoka kwenye picha.

    45) [T] Tumia calculator kutathmini\(\tan^{−1}(\tan(2.1))\) na\(\cos^{−1}(\cos(2.1))\). Eleza matokeo ya kila mmoja.

    Jibu
    \(\tan^{−1}(\tan(2.1))≈−1.0416\); usemi haufanani\(2.1\) tangu\(2.1>1.57=\frac{π}{2}\) -kwa maneno mengine, sio katika kikoa kilichozuiliwa cha\(\tan x\). \(\cos^{−1}(\cos(2.1))=2.1\), tangu\(2.1\) iko katika kikoa kilichozuiliwa cha\(\cos x\).

    46) [T] Tumia calculator kutathmini\(\sin(\sin^{−1}(−2))\) na\(\tan(\tan^{−1}(−2))\). Eleza matokeo ya kila mmoja.