1.4: Kazi za Inverse
- Kuamua hali ya wakati kazi ina inverse.
- Tumia mtihani wa mstari wa usawa kutambua wakati kazi ni moja kwa moja.
- Kupata inverse ya kazi fulani.
- Chora grafu ya kazi ya inverse.
- Tathmini kazi za trigonometric inverse.
Kazi ya inverse inarudia operesheni iliyofanywa na kazi fulani. Kwa maneno mengine, chochote kazi gani, kazi inverse huiondoa. Katika sehemu hii, sisi kufafanua kazi inverse rasmi na kusema hali muhimu kwa ajili ya kazi inverse kuwepo. Tunachunguza jinsi ya kupata kazi inverse na kujifunza uhusiano kati ya grafu ya kazi na grafu ya inverse yake. Kisha tunatumia mawazo haya kufafanua na kujadili mali ya kazi za trigonometric inverse.
Kuwepo kwa Kazi ya Inverse
Tunaanza kwa mfano. Kutokana na kazif na patoy=f(x), sisi mara nyingi nia ya kutafuta nini thamani au maadilix walikuwa mappedy naf. Kwa mfano, fikiria kazif(x)=x3+4. Tangu patoy=x3+4 lolote, tunaweza kutatua equation hiix kwa kupata kwamba pembejeo nix=3√y−4. equation Hii amefafanuax kama kazi yay. Denoting kazi hii kamaf−1x=f−1(y)=3√y−4, na kuandika, tunaona kwamba kwa yeyotex katika uwanja waf,f−1f(x))=f−1(x3+4)=x. Hivyo, kazi hii mpyaf−1, “undid” nini kazi ya awalif alifanya. Kazi na mali hii inaitwa kazi ya inverse ya kazi ya awali.
Kutokanaf na kazi na kikoaD na upeoR, kazi yake ya inverse (ikiwa ipo) ni kazif−1 na kikoaR na ainaD kama hiyof−1(y)=x ikiwa na tu ikiwaf(x)=y. Kwa maneno mengine, kwa ajili ya kazif na inverse yakef−1,
f−1(f(x))=x
kwa ajili ya wotex katikaD na
f(f−1(y))=y
kwa ajili ya wotey katikaR.
Kumbuka kwambaf−1 ni kusoma kama “finverse.” Hapa,−1 si kutumika kama exponent hivyo
f−1(x)≠1f(x).
Kielelezo1.4.1 inaonyesha uhusiano kati ya uwanja na mbalimbali yaf na uwanja na mbalimbali yaf−1.

Kumbuka kwamba kazi ina pato moja hasa kwa kila pembejeo. Kwa hiyo, kufafanua kazi inverse, tunahitaji ramani kila pembejeo kwa pato moja hasa. Kwa mfano, hebu jaribu kupata kazi inverse kwaf(x)=x2. Kutatua equationy=x2 kwax, sisi kufika katika equationx=±√y. Equation hii haina kuelezeax kama kazi yay kwa sababu kuna ufumbuzi mbili kwa equation hii kwa kilay>0. Tatizo na kujaribu kupata kazi inverse kwaf(x)=x2 ni kwamba pembejeo mbili zinatumwa kwa pato sawa kwa kila patoy>0. Kazif(x)=x3+4 iliyojadiliwa mapema haikuwa na tatizo hili. Kwa kazi hiyo, kila pembejeo ilitumwa kwa pato tofauti. Kazi inayotuma kila pembejeo kwa pato tofauti inaitwa kazi moja kwa moja.
Tunasema kazif ni moja kwa moja kazi kamaf(x1)≠f(x2) wakatix1≠x2.
Njia moja ya kuamua kama kazi ni moja kwa moja ni kwa kuangalia grafu yake. Ikiwa kazi ni moja kwa moja, basi hakuna pembejeo mbili zinaweza kutumwa kwa pato sawa. Kwa hiyo, ikiwa tunapata mstari usio na usawa popote kwenyexy ndege ya ndege, kulingana na mtihani wa mstari usio na usawa, hauwezi kuingilia grafu zaidi ya mara moja. Tunaona kwamba mtihani wa mstari wa usawa ni tofauti na mtihani wa mstari wa wima. Mtihani wa mstari wa wima huamua kama grafu ni grafu ya kazi. Mtihani wa mstari wa usawa huamua kama kazi ni moja kwa moja (Kielelezo1.4.2).
Kazif ni moja kwa moja ikiwa na tu ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu yaf si zaidi ya mara moja.

Kwa kila moja ya kazi zifuatazo, tumia mtihani wa mstari wa usawa ili uone ikiwa ni moja kwa moja.
a)
b)
Suluhisho
a) Kwa kuwa mstariy=n wa usawa wa integer yoyoten≥0 huingilia grafu zaidi ya mara moja, kazi hii sio moja kwa moja.
b) Kwa kuwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu mara moja (zaidi), kazi hii ni moja kwa moja.
Je! Kazif imefunikwa katika picha inayofuata moja kwa moja?
- Suluhisho
-
Tumia mtihani wa mstari usio na usawa.
- Jibu
-
Hapana
Kutafuta Inverse ya Kazi
Sasa tunaweza kufikiria kazi moja kwa moja na kuonyesha jinsi ya kupata inverses yao. Kumbuka kwamba kazi ramani mambo katika uwanja waf vipengele katika aina mbalimbali yaf. kazi inverse ramani kila kipengele kutoka mbalimbali yaf nyuma kwa kipengele yake sambamba kutoka uwanja waf. Kwa hiyo, ili kupata kazi inverse ya kazi moja kwa mojaf, kutokana na yoyotey katika aina mbalimbalif, tunahitaji kuamua ambayox katika uwanja waf satisfiesf(x)=y. Kwa kuwaf ni moja kwa moja, kuna thamani moja sawax. Tunaweza kupata kwamba thamanix kwa kutatua equationf(x)=y kwax. Kufanya hivyo, tuna uwezo wa kuandikax kama kazi yay ambapo uwanja wa kazi hii ni aina mbalimbalif na aina mbalimbali ya kazi hii mpya ni uwanja waf. Kwa hiyo, kazi hii ni inverse yaf, na tunaandikax=f−1(y). Kwa kuwa sisi kawaida kutumia variablex kuashiria variable huru na y kuashiria variable tegemezi, sisi mara nyingi interchange majukumu yax nay, na kuandikay=f−1(x). Anayewakilisha kazi inverse kwa njia hii pia ni muhimu baadaye wakati sisi graph kazif na inverse yakef−1 juu ya shoka sawa.
- Kutatua equationy=f(x) kwax.
- Kubadilishana vigezoxy na kuandikay=f−1(x).
Pata inverse kwa kazif(x)=3x−4. Hali ya kikoa na upeo wa kazi ya inverse. Thibitisha kwambaf−1(f(x))=x.
Suluhisho
Fuata hatua ilivyoainishwa katika mkakati.
Hatua ya 1. Ikiway=3x−4, basi3x=y+4 nax=13y+43.
Hatua ya 2. Andika upya kamay=13x+43 na waachey=f−1(x) .Kwa hiyo,f−1(x)=13x+43.
Tangu uwanja waf ni(−∞,∞), mbalimbali yaf−1 ni(−∞,∞). Kwa kuwa mbalimbali yaf ni(−∞,∞), uwanja waf−1 ni(−∞,∞).
Unaweza kuthibitisha kwambaf−1(f(x))=x kwa kuandika
f−1(f(x))=f−1(3x−4)=13(3x−4)+43=x−43+43=x.
Kumbuka kwambaf−1(x) kwa kuwa inverse yaf(x), wotef−1(f(x))=x naf(f−1(x))=x kwa wotex katika uwanja wa kazi ndani.
Pata inverse ya kazif(x)=3x/(x−2). Weka kikoa na upeo wa kazi ya inverse.
- Kidokezo
-
Tumia Mkakati wa Kutatua Matatizo kwa kutafuta kazi za kinyume.
- Jibu
-
f−1(x)=2xx−3. uwanja waf−1 ni{x|x≠3}. mbalimbali yaf−1 ni{y|y≠2}.
Graphing Inverse Kazi
Hebu fikiria uhusiano kati ya grafu ya kazif na grafu ya inverse yake. Fikiria grafu yaf inavyoonekana katika Kielelezo1.4.3 na uhakika(a,b) kwenye grafu. Tangub=f(a), basif−1(b)=a. Kwa hiyo, wakati sisi grafuf−1, uhakika(b,a) ni kwenye grafu. Matokeo yake, grafu yaf−1 ni mfano wa grafu yaf juu ya mstariy=x.

Kwa grafu yaf katika picha ifuatayo, mchoro grafu yaf−1 kwa sketching mstariy=x na kutumia ulinganifu. Kutambua uwanja na aina mbalimbali yaf−1.
Suluhisho
Fikiria grafu kuhusu mstariy=x. uwanja waf−1 ni[0,∞). mbalimbali yaf−1 ni[−2,∞). Kwa kutumia mkakati uliopita kwa ajili ya kutafuta kazi inverse, tunaweza kuthibitisha kwamba kazi inverse nif−1(x)=x2−2, kama inavyoonekana katika grafu.
Mchoro grafu yaf(x)=2x+3 na grafu ya inverse yake kwa kutumia mali ya ulinganifu wa kazi za inverse.
- Kidokezo
-
Grafu ni symmetric kuhusu mstariy=x
- Jibu
-
Kuzuia Domains
Kama tulivyoona,f(x)=x2 hana kazi inverse kwa sababu si moja kwa moja. Hata hivyo, tunaweza kuchagua subset ya uwanja waf vile kwamba kazi ni moja kwa moja. Subset hii inaitwa kikoa kilichozuiliwa. Kwa kuzuia uwanja waf, tunaweza kufafanua kazi mpyag kama kwamba uwanja wag ni kikoa vikwazo yaf nag(x)=f(x) kwa wotex katika uwanja wag. Basi tunaweza kufafanua kazi inverse kwa ajili yag juu ya uwanja huo. Kwa mfano, tanguf(x)=x2 ni moja kwa moja juu ya muda[0,∞), tunaweza kufafanua kazi mpyag kama kwamba uwanja wag ni[0,∞) nag(x)=x2 kwa wotex katika uwanja wake. Kwa kuwag ni kazi moja kwa moja, ina kazi inverse, iliyotolewa na formulag−1(x)=√x. Kwa upande mwingine, kazi piaf(x)=x2 ni moja kwa moja kwenye uwanja(−∞,0]. Kwa hiyo, tunaweza pia kufafanua kazi mpyah kama kwamba uwanja wah ni(−∞,0] nah(x)=x2 kwa wotex katika uwanja wah. Kishah ni kazi moja kwa moja na lazima pia kuwa na inverse. Inverse yake hutolewa na formulah−1(x)=−√x (Kielelezo1.4.4).

Fikiria kazif(x)=(x+1)2.
- Mchoro grafu yaf na kutumia usawa line mtihani kuonyesha kwambaf si moja kwa moja.
- Onyesha kwambaf ni moja kwa moja kwenye kikoa kilichozuiliwa[−1,∞). Tambua kikoa na upeo kwa inverse yaf kwenye kikoa hiki kilichozuiliwa na upate fomu yaf−1.
Suluhisho
a) Grafu yaf ni grafu ya1 kitengo cha kushotoy=x2 kilichobadilishwa. Kwa kuwa kuna mstari usio na usawa unaoingilia grafu zaidi ya mara moja,f sio moja kwa moja.
b) Wakati huo[−1,∞),f ni moja kwa moja.
Domain na mbalimbali yaf−1 hutolewa na mbalimbali na uwanja waf, kwa mtiririko huo. Kwa hiyo, uwanja waf−1 ni[0,∞) na aina mbalimbalif−1 ni[−1,∞). Ili kupata formula kwaf−1, kutatua equationy=(x+1)2 kwax. Kamay=(x+1)2, basix=−1±√y. Kwa kuwa sisi ni kuzuia uwanja kwa muda ambapox≥−1, tunahitaji±√y≥0. Kwa hiyo,x=−1+√y. xKubadilishana nay, tunaandikay=−1+√x na kuhitimisha hilof−1(x)=−1+√x.
Fikiriaf(x)=1/x2 vikwazo kwenye kikoa(−∞,0). Thibitisha kwambaf ni moja kwa moja kwenye uwanja huu. Kuamua uwanja na mbalimbali ya inverse yaf na kupata formula kwaf−1.
- Kidokezo
-
Domain na mbalimbali yaf−1 hutolewa na mbalimbali na uwanja waf, kwa mtiririko huo. Ili kupataf−1, tatuay=1/x2x.
- Jibu
-
uwanja waf−1 ni(0,∞). mbalimbali yaf−1 ni(−∞,0). Kazi ya inverse inapewa na formulaf−1(x)=−1/√x.
Kazi za Trigonometric Inverse
Kazi sita za msingi za trigonometric ni mara kwa mara, na kwa hiyo sio moja kwa moja. Hata hivyo, ikiwa tunazuia uwanja wa kazi ya trigonometric kwa muda ambapo ni moja kwa moja, tunaweza kufafanua inverse yake. Fikiria kazi ya sine. kazi sine ni moja kwa moja juu ya idadi usio wa vipindi, lakini mkataba kiwango ni kuzuia uwanja kwa muda[−π2,π2]. Kwa kufanya hivyo, sisi kufafanua inverse sine kazi kwenye uwanja[−1,1] kama kwamba kwa yeyotex katika muda[−1,1], inverse sine kazi inatuambia ambayo angleθ katika muda[−π2,π2] satisfiessinθ=x. Vile vile, tunaweza kuzuia nyanja za kazi nyingine za trigonometric ili kufafanua kazi za trigonometric inverse, ambazo ni kazi ambazo zinatuambia angle katika kipindi fulani ina thamani maalum ya trigonometric.
Kazi ya sine inverse, iliyoashiriasin−1 auarcsin, na kazi ya cosine inverse, iliyoashiriacos−1 auarccos, inaelezwa kwenye uwanjaD={x|−1≤x≤1} kama ifuatavyo:
sin−1(x)=y
- ikiwa na tu ikiwasin(y)=x na−π2≤y≤π2;
cos−1(x)=y
- kama na tu kamacos(y)=x na0≤y≤π.
Kazi ya tangent inverse, iliyoashiriatan−1 auarctan, na kazi ya cotangent inverse, iliyoashiriacot−1 auarccot, inaelezwa kwenye uwanjaD={x|−∞<x<∞} kama ifuatavyo:
tan−1(x)=y
- ikiwa na tu ikiwatan(y)=x na−π2<y<π2;
cot−1(x)=y
- kama na tu kamacot(y)=x na0<y<π.
Kazi ya cosecant inverse, iliyoashiriacsc−1 auarccsc, na kazi ya secant inverse, iliyoashiriasec−1 auarcsec, inaelezwa kwenye uwanjaD={x||x|≥1} kama ifuatavyo:
csc−1(x)=y
- ikiwa na tu ikiwacsc(y)=x na−π2≤y≤π2,y≠0;
sec−1(x)=y
- kama na tu kamasec(y)=x na0≤y≤π,y≠π/2.
Ili kuchora kazi za trigonometric inverse, tunatumia grafu za kazi za trigonometric zilizozuiliwa kwenye nyanja zilizoelezwa mapema na kutafakari grafu kuhusu mstariy=x (Kielelezo1.4.5).

Wakati wa kutathmini kazi ya trigonometric inverse, pato ni angle. Kwa mfano, kutathminicos−1(12), tunahitaji kupata angleθ kama hiyocosθ=12. Kwa wazi, pembe nyingi zina mali hii. Hata hivyo, kutokana na ufafanuzi wacos−1, tunahitaji angleθ ambayo sio tu kutatua equation hii, lakini pia iko katika muda[0,π]. Tunahitimisha kuwacos−1(12)=π3.
Sasa tunazingatia muundo wa kazi ya trigonometric na inverse yake. Kwa mfano, fikiria maneno mawilisin(sin−1(√22)) nasin−1(sin(π)).
Kwa kwanza, sisi kurahisisha kama ifuatavyo:
sin(sin−1(√22))=sin(π4)=√22.
Kwa pili, tuna
sin−1(sin(π))=sin−1(0)=0.
Kazi inverse inatakiwa “kurekebisha” kazi ya awali, kwa nini si Kumbukasin−1(sin(π))=π? ufafanuzi wetu wa kazi inverse, kazif na inverse yakef−1 kukidhi mashartif(f−1(y))=y kwa wotey katika uwanja waf−1 naf−1(f(x))=x kwa wotex uwanja waf, hivyo nini kilichotokea hapa? Suala ni kwamba inverse sine kazisin−1,, ni kinyume cha vikwazo sine kazi defined kwenye uwanja[−π2,π2]. Kwa hiyo,x kwa wakati huo[−π2,π2], ni kweli kwambasin−1(sinx)=x. Hata hivyo, kwa maadili yax nje ya muda huu, equation haina kushikilia, ingawasin−1(sinx) inaelezwa kwa namba zote halisix.
Nini kuhususin(sin−1y)? Je, hiyo ina suala sawa? Jibu ni hapana. Kwa kuwa uwanja wasin−1 ni muda[−1,1], sisi kuhitimisha kwambasin(sin−1y)=y kama−1≤y≤1 na kujieleza si defined kwa maadili mengine yay. Kwa muhtasari,
sin(sin−1y)=ykama−1≤y≤1
na
sin−1(sinx)=xkama−π2≤x≤π2.
Vile vile, kwa kazi ya cosine,
cos(cos−1y)=ykama−1≤y≤1
na
cos−1(cosx)=xkama0≤x≤π.
Mali kama hiyo inashikilia trigonometric nyingine ya kazi na inverses yao.
Tathmini kila moja ya maneno yafuatayo.
- sin−1(−√32)
- tan(tan−1(−1√3))
- cos−1(cos(5π4))
- sin−1(cos(2π3))
Suluhisho
- Kutathminisin−1(−√3/2) ni sawa na kutafuta angleθ kama hiyosinθ=−√3/2 na−π/2≤θ≤π/2. Pembeθ=−π/3 hutimiza hali hizi mbili. Kwa hiyo,sin−1(−√3/2)=−π/3.
- Kwanza tunatumia ukweli kwambatan−1(−1/√3)=−π/6. Kishatan(−π/6)=−1/√3. Kwa hiyo,tan(tan−1(−1/√3))=−1/√3.
- Kutathminicos−1(cos(5π/4)), kwanza utumie ukweli kwambacos(5π/4)=−√2/2. Kisha tunahitaji kupata angleθ kama hiyocos(θ)=−√2/2 na0≤θ≤π. Tangu3π/4 satisfies hali hizi zote mbili, tunacos−1(cos(5π/4))=cos−1(−√2/2))=3π/4.
- Tangucos(2π/3)=−1/2, tunahitaji kutathminisin−1(−1/2). Hiyo ni, tunahitaji kupata angleθ kama hiyosin(θ)=−1/2 na−π/2≤θ≤π/2. Tangu−π/6 satisfies wote hali hizi, tunaweza kuhitimisha kwambasin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.
Katika maeneo mengi ya sayansi, uhandisi, na hisabati, ni muhimu kujua thamani ya kiwango cha juu kazi inaweza kupata, hata kama hatujui thamani yake halisi kwa papo fulani. Kwa mfano, ikiwa tuna kazi inayoelezea nguvu ya boriti ya paa, tunataka kujua uzito wa juu boriti inaweza kusaidia bila kuvunja. Ikiwa tuna kazi inayoelezea kasi ya treni, tungependa kujua kasi yake ya juu kabla ya kuruka kwenye reli. Muundo salama mara nyingi hutegemea kujua maadili ya juu.
Mradi huu inaeleza mfano rahisi wa kazi na thamani ya kiwango cha juu ambayo inategemea coefficients mbili equation. Tutaona kwamba maadili ya kiwango cha juu yanaweza kutegemea mambo kadhaa isipokuwa kutofautiana kwa kujitegemeax.
1. Fikiria grafu katika Kielelezo1.4.6 cha kaziy=sinx+cosx. Eleza sura yake ya jumla. Je, ni mara kwa mara? Unajuaje?

Kutumia calculator ya graphing au kifaa kingine cha kuchora, tathmini yax - nay -maadili ya kiwango cha juu cha grafu (hatua ya kwanza ambapox>0). Inaweza kuwa na manufaa kwa kuelezax -thamani kama nyingi yaπ.
2. Sasa fikiria grafu nyingine za fomuy=Asinx+Bcosx kwa maadili mbalimbali yaA naB. Mchoro grafu wakatiA=2B=1, na kupatax - nay -maadili kwa kiwango cha juu. (Kumbuka kuelezax -thamani kama nyingi yaπ, ikiwezekana.) Je, ni wakiongozwa?
3. Rudia kwaA=1,B=2. Je, kuna uhusiano wowote na kile ulichopata sehemu (2)?
4. Kukamilisha meza ifuatayo, kuongeza uchaguzi chache wa yako mwenyewe kwa ajiliA naB:
A | B | x | y | A | B | x | y |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 0 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 3 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 4 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 0 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 4 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 3 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; ">√3 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 2 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (B\)” style="wima align:katikati; ">√3 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 2 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 12 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 5 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 2 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 2 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> | \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 5 | \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 12 | \ (x\)” style="wima align:katikati; "> | \ (y\)” style="wima align:katikati; "> |
5. Jaribu kufikiri formula kway maadili -.
6. Fomu yax maadili ya -ni vigumu kidogo. Vipengele muhimu zaidi kutoka meza ni(1,1),(1,√3),(√3,1). (Kidokezo: Fikiria kazi za trigonometric inverse.)
7. Ikiwa umepata formula kwa sehemu (5) na (6), onyesha kwamba wanafanya kazi pamoja. Hiyo ni, badala yax formula ya thamani uliyoipatay=Asinx+Bcosx na kurahisisha ili kufika kwenye formula yay thamani uliyoipata.
Dhana muhimu
- Kwa kazi ya kuwa na inverse, kazi lazima iwe moja kwa moja. Kutokana na grafu ya kazi, tunaweza kuamua kama kazi ni moja kwa moja kwa kutumia mtihani wa mstari wa usawa.
- Ikiwa kazi sio moja kwa moja, tunaweza kuzuia kikoa kwenye uwanja mdogo ambapo kazi ni moja kwa moja na kisha kufafanua inverse ya kazi kwenye uwanja mdogo.
- Kwa kazif na inverse yakef−1,f(f−1(x))=x kwa ajili ya wotex katika uwanja waf−1 naf−1(f(x))=x kwa ajili ya wotex katika uwanja waf.
- Kwa kuwa kazi za trigonometric ni mara kwa mara, tunahitaji kuzuia vikoa vyao ili kufafanua kazi za trigonometric inverse.
- Grafu ya kazif na inverse yakef−1 ni sawa na mstariy=x.
Mlinganyo muhimu
- Kazi ya inverse
f−1(f(x))=xkwa wotex katikaD, naf(f−1(y))=y kwa ajili ya wotey katikaR.
faharasa
- mtihani wa mstari wa usawa
- kazif ni moja kwa moja ikiwa na tu ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu yaf, mara nyingi, mara moja
- kazi inverse
- kwa ajili ya kazif, kazi inversef−1 satisfiesf−1(y)=x kamaf(x)=y
- inverse trigonometric kazi
- inverses ya kazi trigonometric hufafanuliwa kwenye vikoa vikwazo ambapo ni kazi moja kwa moja
- kazi moja kwa moja
- kazif ni moja kwa mojaf(x1)≠f(x2) ikiwax1≠x2
- kikoa kilichozuiliwa
- subset ya uwanja wa kazif