Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.4: Kazi za Inverse

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Malengo ya kujifunza
  • Kuamua hali ya wakati kazi ina inverse.
  • Tumia mtihani wa mstari wa usawa kutambua wakati kazi ni moja kwa moja.
  • Kupata inverse ya kazi fulani.
  • Chora grafu ya kazi ya inverse.
  • Tathmini kazi za trigonometric inverse.

Kazi ya inverse inarudia operesheni iliyofanywa na kazi fulani. Kwa maneno mengine, chochote kazi gani, kazi inverse huiondoa. Katika sehemu hii, sisi kufafanua kazi inverse rasmi na kusema hali muhimu kwa ajili ya kazi inverse kuwepo. Tunachunguza jinsi ya kupata kazi inverse na kujifunza uhusiano kati ya grafu ya kazi na grafu ya inverse yake. Kisha tunatumia mawazo haya kufafanua na kujadili mali ya kazi za trigonometric inverse.

Kuwepo kwa Kazi ya Inverse

Tunaanza kwa mfano. Kutokana na kazif na patoy=f(x), sisi mara nyingi nia ya kutafuta nini thamani au maadilix walikuwa mappedy naf. Kwa mfano, fikiria kazif(x)=x3+4. Tangu patoy=x3+4 lolote, tunaweza kutatua equation hiix kwa kupata kwamba pembejeo nix=3y4. equation Hii amefafanuax kama kazi yay. Denoting kazi hii kamaf1x=f1(y)=3y4, na kuandika, tunaona kwamba kwa yeyotex katika uwanja waf,f1f(x))=f1(x3+4)=x. Hivyo, kazi hii mpyaf1, “undid” nini kazi ya awalif alifanya. Kazi na mali hii inaitwa kazi ya inverse ya kazi ya awali.

Ufafanuzi: Kazi za Inverse

Kutokanaf na kazi na kikoaD na upeoR, kazi yake ya inverse (ikiwa ipo) ni kazif1 na kikoaR na ainaD kama hiyof1(y)=x ikiwa na tu ikiwaf(x)=y. Kwa maneno mengine, kwa ajili ya kazif na inverse yakef1,

f1(f(x))=x

kwa ajili ya wotex katikaD na

f(f1(y))=y

kwa ajili ya wotey katikaR.

Kumbuka kwambaf1 ni kusoma kama “finverse.” Hapa,1 si kutumika kama exponent hivyo

f1(x)1f(x).

Kielelezo1.4.1 inaonyesha uhusiano kati ya uwanja na mbalimbali yaf na uwanja na mbalimbali yaf1.

Picha ya Bubbles mbili. Bubble ya kwanza ni ya machungwa na ina maandiko mawili: lebo ya juu ni “Domain of f” na lebo ya chini ni “Range of f inverse”. Ndani ya Bubble hii ni variable “x”. Mshale wa machungwa na lebo “f” inaelezea kutoka kwenye Bubble hii hadi kwenye Bubble ya pili. Bubble ya pili ni bluu na ina maandiko mawili: lebo ya juu ni “mbalimbali ya f” na studio ya chini ni “uwanja wa f inverse”. Ndani ya Bubble hii ni variable “y”. Mshale wa bluu na lebo “f inverse” inaonyesha kutoka kwenye Bubble hii hadi kwenye Bubble ya kwanza.
Kielelezo1.4.1: Kutokanaf na kazi na inverse yakef1,f1(y)=x kama na tu kamaf(x)=y. Mbalimbali yaf inakuwa uwanja waf1 na uwanja waf inakuwa mbalimbali yaf1.

Kumbuka kwamba kazi ina pato moja hasa kwa kila pembejeo. Kwa hiyo, kufafanua kazi inverse, tunahitaji ramani kila pembejeo kwa pato moja hasa. Kwa mfano, hebu jaribu kupata kazi inverse kwaf(x)=x2. Kutatua equationy=x2 kwax, sisi kufika katika equationx=±y. Equation hii haina kuelezeax kama kazi yay kwa sababu kuna ufumbuzi mbili kwa equation hii kwa kilay>0. Tatizo na kujaribu kupata kazi inverse kwaf(x)=x2 ni kwamba pembejeo mbili zinatumwa kwa pato sawa kwa kila patoy>0. Kazif(x)=x3+4 iliyojadiliwa mapema haikuwa na tatizo hili. Kwa kazi hiyo, kila pembejeo ilitumwa kwa pato tofauti. Kazi inayotuma kila pembejeo kwa pato tofauti inaitwa kazi moja kwa moja.

Ufafanuzi: Kazi moja kwa moja

Tunasema kazif ni moja kwa moja kazi kamaf(x1)f(x2) wakatix1x2.

Njia moja ya kuamua kama kazi ni moja kwa moja ni kwa kuangalia grafu yake. Ikiwa kazi ni moja kwa moja, basi hakuna pembejeo mbili zinaweza kutumwa kwa pato sawa. Kwa hiyo, ikiwa tunapata mstari usio na usawa popote kwenyexy ndege ya ndege, kulingana na mtihani wa mstari usio na usawa, hauwezi kuingilia grafu zaidi ya mara moja. Tunaona kwamba mtihani wa mstari wa usawa ni tofauti na mtihani wa mstari wa wima. Mtihani wa mstari wa wima huamua kama grafu ni grafu ya kazi. Mtihani wa mstari wa usawa huamua kama kazi ni moja kwa moja (Kielelezo1.4.2).

Mtihani wa mstari wa usawa

Kazif ni moja kwa moja ikiwa na tu ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu yaf si zaidi ya mara moja.

Picha ya grafu mbili. Grafu zote mbili zina mhimili x unaoendesha kutoka -3 hadi 3 na mhimili y unaoendesha kutoka -3 hadi 4. Grafu ya kwanza ni ya kazi “f (x) = x squared”, ambayo ni parabola. Kazi hupungua mpaka inapiga asili, ambapo inaanza kuongezeka. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili. Kuna mistari miwili ya machungwa ya usawa pia iliyopangwa kwenye grafu, yote ambayo huendesha kupitia kazi kwa pointi mbili kila mmoja. Grafu ya pili ni ya kazi “f (x) = x cubed”, ambayo ni kazi inayoongezeka. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili. Kuna mistari mitatu ya machungwa pia iliyopangwa kwenye grafu, ambayo kila mmoja huingilia tu kazi kwa wakati mmoja.
Kielelezo1.4.2: (a) kazif(x)=x2 si moja kwa moja kwa sababu inashindwa usawa line mtihani. (b) Kazif(x)=x3 ni moja kwa moja kwa sababu inapita mtihani wa mstari wa usawa.
Mfano1.4.1: Determining Whether a Function Is One-to-One

Kwa kila moja ya kazi zifuatazo, tumia mtihani wa mstari wa usawa ili uone ikiwa ni moja kwa moja.

a)

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 11 na mhimili y unatoka -3 hadi 11. Grafu ni ya kazi ya hatua ambayo ina hatua 10 za usawa. Kila hatua huanza na mduara uliofungwa na kuishia na mduara wazi. Hatua ya kwanza huanza kwa asili na kuishia kwa uhakika (1, 0). Hatua ya pili huanza kwa uhakika (1, 1) na kuishia kwa uhakika (1, 2). Kila moja ya yafuatayo 8 hatua kuanza 1 kitengo juu katika y mwelekeo kuliko ambapo hatua ya awali kumalizika. Hatua ya kumi na ya mwisho huanza katika hatua (9, 9) na kuishia katika hatua (10, 9)

b)

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 6 na mhimili y unatoka -3 hadi 6. Grafu ni ya kazi “f (x) = (1/x)”, kazi iliyopungua iliyopungua. Grafu ya kazi inaanza haki chini ya mhimili x katika roboduara ya 4 na huanza kupungua mpaka inakuja karibu na mhimili y. Grafu inaendelea kupungua kama inakaribia na karibu na mhimili y, lakini kamwe haiugusa kwa sababu ya asymptote ya wima. Katika quadrant ya kwanza, grafu ya kazi huanza karibu na mhimili y na inaendelea kupungua mpaka inakaribia mhimili wa x. Kama kazi inaendelea kupungua inapata karibu na karibu na mhimili x bila kuigusa, ambapo kuna asymptote ya usawa.

Suluhisho

a) Kwa kuwa mstariy=n wa usawa wa integer yoyoten0 huingilia grafu zaidi ya mara moja, kazi hii sio moja kwa moja.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 11 na mhimili y unatoka -3 hadi 11. Grafu ni ya kazi ya hatua ambayo ina hatua 10 za usawa. Kila hatua huanza na mduara uliofungwa na kuishia na mduara wazi. Hatua ya kwanza huanza kwa asili na kuishia kwa uhakika (1, 0). Hatua ya pili huanza kwa uhakika (1, 1) na kuishia kwa uhakika (1, 2). Kila moja ya yafuatayo 8 hatua kuanza 1 kitengo juu katika y mwelekeo kuliko ambapo hatua ya awali kumalizika. Hatua ya kumi na ya mwisho huanza kwa uhakika (9, 9) na kuishia kwa uhakika (10, 9). Pia kuna mistari miwili ya machungwa ya usawa iliyopangwa kwenye grafu, ambayo kila mmoja hupitia hatua nzima ya kazi.

b) Kwa kuwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu mara moja (zaidi), kazi hii ni moja kwa moja.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 6 na mhimili y unatoka -3 hadi 6. Grafu ni ya kazi “f (x) = (1/x)”, kazi iliyopungua iliyopungua. Grafu ya kazi inaanza haki chini ya mhimili x katika roboduara ya 4 na huanza kupungua mpaka inakuja karibu na mhimili y. Grafu inaendelea kupungua kama inakaribia na karibu na mhimili y, lakini kamwe haiugusa kwa sababu ya asymptote ya wima. Katika quadrant ya kwanza, grafu ya kazi huanza karibu na mhimili y na inaendelea kupungua mpaka inakaribia mhimili wa x. Kama kazi inaendelea kupungua inapata karibu na karibu na mhimili x bila kuigusa, ambapo kuna asymptote ya usawa. Pia kuna mistari mitatu ya machungwa ya usawa iliyopangwa kwenye grafu, ambayo kila mmoja huendesha tu kupitia kazi kwa wakati mmoja.

Zoezi1.4.1

Je! Kazif imefunikwa katika picha inayofuata moja kwa moja?

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 4 na mhimili y unatoka -3 hadi 5. Grafu ni ya kazi “f (x) = (x cubed) - x” ambayo ni kazi ya pembe. Kazi huongezeka, hupungua, kisha huongezeka tena. Vipindi vya x viko kwenye pointi (-1, 0), (0,0), na (1, 0). Kuzuia y ni asili.

Suluhisho

Tumia mtihani wa mstari usio na usawa.

Jibu

Hapana

Kutafuta Inverse ya Kazi

Sasa tunaweza kufikiria kazi moja kwa moja na kuonyesha jinsi ya kupata inverses yao. Kumbuka kwamba kazi ramani mambo katika uwanja waf vipengele katika aina mbalimbali yaf. kazi inverse ramani kila kipengele kutoka mbalimbali yaf nyuma kwa kipengele yake sambamba kutoka uwanja waf. Kwa hiyo, ili kupata kazi inverse ya kazi moja kwa mojaf, kutokana na yoyotey katika aina mbalimbalif, tunahitaji kuamua ambayox katika uwanja waf satisfiesf(x)=y. Kwa kuwaf ni moja kwa moja, kuna thamani moja sawax. Tunaweza kupata kwamba thamanix kwa kutatua equationf(x)=y kwax. Kufanya hivyo, tuna uwezo wa kuandikax kama kazi yay ambapo uwanja wa kazi hii ni aina mbalimbalif na aina mbalimbali ya kazi hii mpya ni uwanja waf. Kwa hiyo, kazi hii ni inverse yaf, na tunaandikax=f1(y). Kwa kuwa sisi kawaida kutumia variablex kuashiria variable huru na y kuashiria variable tegemezi, sisi mara nyingi interchange majukumu yax nay, na kuandikay=f1(x). Anayewakilisha kazi inverse kwa njia hii pia ni muhimu baadaye wakati sisi graph kazif na inverse yakef1 juu ya shoka sawa.

Mkakati wa Kutatua Matatizo: Kutafuta Kazi ya Inverse
  1. Kutatua equationy=f(x) kwax.
  2. Kubadilishana vigezoxy na kuandikay=f1(x).
Mfano1.4.2: Finding an Inverse Function

Pata inverse kwa kazif(x)=3x4. Hali ya kikoa na upeo wa kazi ya inverse. Thibitisha kwambaf1(f(x))=x.

Suluhisho

Fuata hatua ilivyoainishwa katika mkakati.

Hatua ya 1. Ikiway=3x4, basi3x=y+4 nax=13y+43.

Hatua ya 2. Andika upya kamay=13x+43 na waachey=f1(x) .Kwa hiyo,f1(x)=13x+43.

Tangu uwanja waf ni(,), mbalimbali yaf1 ni(,). Kwa kuwa mbalimbali yaf ni(,), uwanja waf1 ni(,).

Unaweza kuthibitisha kwambaf1(f(x))=x kwa kuandika

f1(f(x))=f1(3x4)=13(3x4)+43=x43+43=x.

Kumbuka kwambaf1(x) kwa kuwa inverse yaf(x), wotef1(f(x))=x naf(f1(x))=x kwa wotex katika uwanja wa kazi ndani.

Zoezi1.4.2

Pata inverse ya kazif(x)=3x/(x2). Weka kikoa na upeo wa kazi ya inverse.

Kidokezo

Tumia Mkakati wa Kutatua Matatizo kwa kutafuta kazi za kinyume.

Jibu

f1(x)=2xx3. uwanja waf1 ni{x|x3}. mbalimbali yaf1 ni{y|y2}.

Graphing Inverse Kazi

Hebu fikiria uhusiano kati ya grafu ya kazif na grafu ya inverse yake. Fikiria grafu yaf inavyoonekana katika Kielelezo1.4.3 na uhakika(a,b) kwenye grafu. Tangub=f(a), basif1(b)=a. Kwa hiyo, wakati sisi grafuf1, uhakika(b,a) ni kwenye grafu. Matokeo yake, grafu yaf1 ni mfano wa grafu yaf juu ya mstariy=x.

Picha ya grafu mbili. Grafu ya kwanza ni ya “y = f (x)”, ambayo ni kazi ya kuongeza ikiwa, ambayo huongezeka kwa kiwango cha kasi kama x inavyoongezeka. Hatua (a, b) iko kwenye grafu ya kazi katika quadrant ya kwanza. Grafu ya pili pia grafu “y = f (x)” na uhakika (a, b), lakini pia grafu kazi “y = f inverse (x)”, kazi inayoongezeka ikiwa, ambayo huongezeka kwa kiwango cha polepole kama ongezeko x. Kazi hii inajumuisha uhakika (b, a). Mbali na kazi hizo mbili, kuna mstari wa dotted ulalo uliowekwa na equation “y =x”, ambayo inaonyesha kwamba “f (x)” na “f inverse (x)” ni picha za kioo kuhusu mstari “y =x”.
Kielelezo1.4.3: (a) graph ya kazi hiif inaonyesha uhakika(a,b) juu ya grafu yaf. (b) Kwa kuwa(a,b) ni juu ya grafu yaf, uhakika(b,a) ni juu ya grafu yaf1. Grafu yaf1 ni mfano wa grafu yaf juu ya mstariy=x.
Mfano1.4.3: Sketching Graphs of Inverse Functions

Kwa grafu yaf katika picha ifuatayo, mchoro grafu yaf1 kwa sketching mstariy=x na kutumia ulinganifu. Kutambua uwanja na aina mbalimbali yaf1.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -2 hadi 2 na mhimili wa y unatoka 0 hadi 2. Grafu ni ya kazi “f (x) = mizizi ya mraba ya (x +2)”, kazi inayoongezeka. Kazi huanza kwa uhakika (-2, 0). Kipindi cha x ni saa (-2, 0) na y intercept iko katika hatua ya takriban (0, 1.4).

Suluhisho

Fikiria grafu kuhusu mstariy=x. uwanja waf1 ni[0,). mbalimbali yaf1 ni[2,). Kwa kutumia mkakati uliopita kwa ajili ya kutafuta kazi inverse, tunaweza kuthibitisha kwamba kazi inverse nif1(x)=x22, kama inavyoonekana katika grafu.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -2 hadi 2 na mhimili wa y unatoka -2 hadi 2. Grafu ni ya kazi mbili. Kazi ya kwanza ni “f (x) = mizizi ya mraba ya (x +2)”, kazi inayoongezeka. Kazi huanza kwa uhakika (-2, 0). Kipindi cha x ni saa (-2, 0) na y intercept iko katika hatua ya takriban (0, 1.4). Kazi ya pili ni “f inverse (x) = (x squared) -2”, kazi inayoongezeka ikiwa inayoanza kwa uhakika (0, -2). Kuzuia x ni katika hatua ya takriban (1.4, 0) na y intercept ni katika hatua (0, -2). Mbali na kazi hizo mbili, kuna mstari wa dotted ulalo uliowekwa na equation “y =x”, ambayo inaonyesha kwamba “f (x)” na “f inverse (x)” ni picha za kioo kuhusu mstari “y =x”.

Zoezi1.4.3

Mchoro grafu yaf(x)=2x+3 na grafu ya inverse yake kwa kutumia mali ya ulinganifu wa kazi za inverse.

Kidokezo

Grafu ni symmetric kuhusu mstariy=x

Jibu

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -3 hadi 4 na mhimili y unatoka -3 hadi 5. Grafu ni ya kazi mbili. Kazi ya kwanza ni “f (x) = 2x +3", kazi inayoongezeka ya mstari wa moja kwa moja. Kazi ina x intercept katika (-1.5, 0) na y intercept katika (0, 3). Kazi ya pili ni “f inverse (x) = (x - 3) /2”, kazi inayoongezeka ya mstari wa moja kwa moja, ambayo huongezeka kwa kiwango cha polepole kuliko kazi ya kwanza. Kazi ina x intercept katika (3, 0) na y intercept saa (0, -1.5). Mbali na kazi hizo mbili, kuna mstari wa dotted ulalo uliowekwa na equation “y =x”, ambayo inaonyesha kwamba “f (x)” na “f inverse (x)” ni picha za kioo kuhusu mstari “y =x”.

Kuzuia Domains

Kama tulivyoona,f(x)=x2 hana kazi inverse kwa sababu si moja kwa moja. Hata hivyo, tunaweza kuchagua subset ya uwanja waf vile kwamba kazi ni moja kwa moja. Subset hii inaitwa kikoa kilichozuiliwa. Kwa kuzuia uwanja waf, tunaweza kufafanua kazi mpyag kama kwamba uwanja wag ni kikoa vikwazo yaf nag(x)=f(x) kwa wotex katika uwanja wag. Basi tunaweza kufafanua kazi inverse kwa ajili yag juu ya uwanja huo. Kwa mfano, tanguf(x)=x2 ni moja kwa moja juu ya muda[0,), tunaweza kufafanua kazi mpyag kama kwamba uwanja wag ni[0,) nag(x)=x2 kwa wotex katika uwanja wake. Kwa kuwag ni kazi moja kwa moja, ina kazi inverse, iliyotolewa na formulag1(x)=x. Kwa upande mwingine, kazi piaf(x)=x2 ni moja kwa moja kwenye uwanja(,0]. Kwa hiyo, tunaweza pia kufafanua kazi mpyah kama kwamba uwanja wah ni(,0] nah(x)=x2 kwa wotex katika uwanja wah. Kishah ni kazi moja kwa moja na lazima pia kuwa na inverse. Inverse yake hutolewa na formulah1(x)=x (Kielelezo1.4.4).

Picha ya grafu mbili. Grafu zote mbili zina mhimili x unaoendesha kutoka -2 hadi 5 na mhimili y unaoendesha kutoka -2 hadi 5. Grafu ya kwanza ni ya kazi mbili. Kazi ya kwanza ni “g (x) = x squared”, kazi inayoongezeka ikiwa inayoanza kwa uhakika (0, 0). Kazi hii kuongezeka kwa kiwango cha kasi kwa ajili ya maadili kubwa ya x. kazi ya pili ni “g inverse (x) = mraba mzizi wa x”, kuongeza ikiwa kazi ambayo huanza katika hatua (0, 0). Kazi hii kuongezeka kwa kiwango cha polepole kwa maadili kubwa ya x. kazi ya kwanza ni “h (x) = x squared”, kupungua ikiwa kazi kwamba mwisho katika hatua (0, 0). Kazi hii itapungua kwa kiwango cha polepole kwa maadili kubwa ya x. kazi ya pili ni “h inverse (x) = - (mraba mizizi ya x)”, kuongeza ikiwa kazi ambayo huanza katika hatua (0, 0). Kazi hii itapungua kwa kiwango cha polepole kwa maadili makubwa ya x Mbali na kazi mbili, kuna mstari wa diagonal uliofunikwa na equation “y =x”, ambayo inaonyesha kwamba “f (x)” na “f inverse (x)” ni picha za kioo kuhusu mstari “y =x”.
Kielelezo1.4.4: (a) Kwag(x)=x2 vikwazo[0,),g1(x)=x. (b) Kwah(x)=x2 vikwazo(,0],h1(x)=x.
Mfano1.4.4: Restricting the Domain

Fikiria kazif(x)=(x+1)2.

  1. Mchoro grafu yaf na kutumia usawa line mtihani kuonyesha kwambaf si moja kwa moja.
  2. Onyesha kwambaf ni moja kwa moja kwenye kikoa kilichozuiliwa[1,). Tambua kikoa na upeo kwa inverse yaf kwenye kikoa hiki kilichozuiliwa na upate fomu yaf1.

Suluhisho

a) Grafu yaf ni grafu ya1 kitengo cha kushotoy=x2 kilichobadilishwa. Kwa kuwa kuna mstari usio na usawa unaoingilia grafu zaidi ya mara moja,f sio moja kwa moja.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -6 hadi 6 na mhimili y unatoka -2 hadi 10. Grafu ni ya kazi “f (x) = (x+ 1) squared”, ambayo ni parabola. Kazi hupungua mpaka hatua (-1, 0), ambapo inaanza kuongezeka. Kuzuia x iko kwenye hatua (-1, 0) na y intercept iko kwenye hatua (0, 1). Pia kuna mstari ulio na usawa uliopangwa kwenye grafu, ambayo huvuka kupitia kazi kwa pointi mbili.

b) Wakati huo[1,),f ni moja kwa moja.

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -6 hadi 6 na mhimili y unatoka -2 hadi 10. Grafu ni ya kazi “f (x) = (x+ 1) mraba”, kwa muda [1, infinity). Kazi huanza kutoka hatua (-1, 0) na huongezeka. Kuzuia x iko kwenye hatua (-1, 0) na y intercept iko kwenye hatua (0, 1).

Domain na mbalimbali yaf1 hutolewa na mbalimbali na uwanja waf, kwa mtiririko huo. Kwa hiyo, uwanja waf1 ni[0,) na aina mbalimbalif1 ni[1,). Ili kupata formula kwaf1, kutatua equationy=(x+1)2 kwax. Kamay=(x+1)2, basix=1±y. Kwa kuwa sisi ni kuzuia uwanja kwa muda ambapox1, tunahitaji±y0. Kwa hiyo,x=1+y. xKubadilishana nay, tunaandikay=1+x na kuhitimisha hilof1(x)=1+x.

Zoezi1.4.4

Fikiriaf(x)=1/x2 vikwazo kwenye kikoa(,0). Thibitisha kwambaf ni moja kwa moja kwenye uwanja huu. Kuamua uwanja na mbalimbali ya inverse yaf na kupata formula kwaf1.

Kidokezo

Domain na mbalimbali yaf1 hutolewa na mbalimbali na uwanja waf, kwa mtiririko huo. Ili kupataf1, tatuay=1/x2x.

Jibu

uwanja waf1 ni(0,). mbalimbali yaf1 ni(,0). Kazi ya inverse inapewa na formulaf1(x)=1/x.

Kazi za Trigonometric Inverse

Kazi sita za msingi za trigonometric ni mara kwa mara, na kwa hiyo sio moja kwa moja. Hata hivyo, ikiwa tunazuia uwanja wa kazi ya trigonometric kwa muda ambapo ni moja kwa moja, tunaweza kufafanua inverse yake. Fikiria kazi ya sine. kazi sine ni moja kwa moja juu ya idadi usio wa vipindi, lakini mkataba kiwango ni kuzuia uwanja kwa muda[π2,π2]. Kwa kufanya hivyo, sisi kufafanua inverse sine kazi kwenye uwanja[1,1] kama kwamba kwa yeyotex katika muda[1,1], inverse sine kazi inatuambia ambayo angleθ katika muda[π2,π2] satisfiessinθ=x. Vile vile, tunaweza kuzuia nyanja za kazi nyingine za trigonometric ili kufafanua kazi za trigonometric inverse, ambazo ni kazi ambazo zinatuambia angle katika kipindi fulani ina thamani maalum ya trigonometric.

Ufafanuzi: inverse trigonometric kazi

Kazi ya sine inverse, iliyoashiriasin1 auarcsin, na kazi ya cosine inverse, iliyoashiriacos1 auarccos, inaelezwa kwenye uwanjaD={x|1x1} kama ifuatavyo:

sin1(x)=y

  • ikiwa na tu ikiwasin(y)=x naπ2yπ2;

cos1(x)=y

  • kama na tu kamacos(y)=x na0yπ.

Kazi ya tangent inverse, iliyoashiriatan1 auarctan, na kazi ya cotangent inverse, iliyoashiriacot1 auarccot, inaelezwa kwenye uwanjaD={x|<x<} kama ifuatavyo:

tan1(x)=y

  • ikiwa na tu ikiwatan(y)=x naπ2<y<π2;

cot1(x)=y

  • kama na tu kamacot(y)=x na0<y<π.

Kazi ya cosecant inverse, iliyoashiriacsc1 auarccsc, na kazi ya secant inverse, iliyoashiriasec1 auarcsec, inaelezwa kwenye uwanjaD={x||x|1} kama ifuatavyo:

csc1(x)=y

  • ikiwa na tu ikiwacsc(y)=x naπ2yπ2,y0;

sec1(x)=y

  • kama na tu kamasec(y)=x na0yπ,yπ/2.

Ili kuchora kazi za trigonometric inverse, tunatumia grafu za kazi za trigonometric zilizozuiliwa kwenye nyanja zilizoelezwa mapema na kutafakari grafu kuhusu mstariy=x (Kielelezo1.4.5).

Picha ya grafu sita. Grafu ya kwanza ni ya kazi “f (x) = dhambi inverse (x)”, ambayo ni kazi ya kuongezeka kwa kasi. Kazi huanza kwa hatua (-1, - (pi/2)) na huongezeka mpaka itakapomalizika kwenye hatua (1, (pi/2)). Kupinga x na y intercept ni asili. Grafu ya pili ni ya kazi “f (x) = cos inverse (x)”, ambayo ni kazi iliyopungua iliyopungua. Kazi huanza kwa hatua (-1, pi) na inapungua mpaka itakapomalizika kwa uhakika (1, 0). Kuzuia x ni katika hatua (1, 0). Kupinga y ni katika hatua (0, (pi/2)). Grafu ya tatu ni ya kazi f (x) = tan inverse (x)”, ambayo ni kazi ya kuongezeka kwa kasi. Kazi huanza karibu na mstari wa usawa “y = - (pi/2)” na huongezeka mpaka inakuja karibu “y = (pi/2)”. Kazi haipatikani mojawapo ya mistari hii, daima inakaa kati yao - ni asymptotes ya usawa. Kupinga x na y intercept ni wote katika asili. Grafu ya nne ni ya kazi “f (x) = cot inverse (x)”, ambayo ni kazi iliyopungua iliyopungua. Kazi inaanza kidogo chini ya mstari wa usawa “y = pi” na hupungua hadi inapofunga karibu na mhimili x. Kazi haipatikani mojawapo ya mistari hii, daima inakaa kati yao - ni asymptotes ya usawa. Grafu ya tano ni ya kazi “f (x) = csc inverse (x)”, kazi iliyopungua iliyopungua. Kazi huanza kidogo chini ya mhimili wa x, kisha hupungua mpaka inapiga hatua ya mduara iliyofungwa (-1, - (pi/2)). Kazi kisha huchukua tena kwenye hatua (1, (pi/2)), ambapo inaanza kupungua na kufikia mhimili x, bila ya kugusa mhimili x. Kuna asymptote ya usawa kwenye mhimili wa x. Grafu ya sita ni ya kazi “f (x) = sec inverse (x)”, kazi inayoongezeka. Kazi huanza kidogo juu ya mstari wa usawa “y = (pi/2)”, kisha huongezeka mpaka inapiga hatua ya mduara iliyofungwa kwenye (-1, pi). Kazi kisha huchukua tena kwenye hatua (1, 0), ambapo inaanza kuongezeka na kufikia mstari wa usawa “y = (pi/2)”, bila kugusa mstari. Kuna asymptote ya usawa kwenye “y = (pi/2)”.
Kielelezo1.4.5: Grafu ya kila kazi za trigonometric inverse ni kutafakari juu ya mstariy=x wa kazi inayozuia trigonometric inayofanana.

Wakati wa kutathmini kazi ya trigonometric inverse, pato ni angle. Kwa mfano, kutathminicos1(12), tunahitaji kupata angleθ kama hiyocosθ=12. Kwa wazi, pembe nyingi zina mali hii. Hata hivyo, kutokana na ufafanuzi wacos1, tunahitaji angleθ ambayo sio tu kutatua equation hii, lakini pia iko katika muda[0,π]. Tunahitimisha kuwacos1(12)=π3.

Sasa tunazingatia muundo wa kazi ya trigonometric na inverse yake. Kwa mfano, fikiria maneno mawilisin(sin1(22)) nasin1(sin(π)).

Kwa kwanza, sisi kurahisisha kama ifuatavyo:

sin(sin1(22))=sin(π4)=22.

Kwa pili, tuna

sin1(sin(π))=sin1(0)=0.

Kazi inverse inatakiwa “kurekebisha” kazi ya awali, kwa nini si Kumbukasin1(sin(π))=π? ufafanuzi wetu wa kazi inverse, kazif na inverse yakef1 kukidhi mashartif(f1(y))=y kwa wotey katika uwanja waf1 naf1(f(x))=x kwa wotex uwanja waf, hivyo nini kilichotokea hapa? Suala ni kwamba inverse sine kazisin1,, ni kinyume cha vikwazo sine kazi defined kwenye uwanja[π2,π2]. Kwa hiyo,x kwa wakati huo[π2,π2], ni kweli kwambasin1(sinx)=x. Hata hivyo, kwa maadili yax nje ya muda huu, equation haina kushikilia, ingawasin1(sinx) inaelezwa kwa namba zote halisix.

Nini kuhususin(sin1y)? Je, hiyo ina suala sawa? Jibu ni hapana. Kwa kuwa uwanja wasin1 ni muda[1,1], sisi kuhitimisha kwambasin(sin1y)=y kama1y1 na kujieleza si defined kwa maadili mengine yay. Kwa muhtasari,

sin(sin1y)=ykama1y1

na

sin1(sinx)=xkamaπ2xπ2.

Vile vile, kwa kazi ya cosine,

cos(cos1y)=ykama1y1

na

cos1(cosx)=xkama0xπ.

Mali kama hiyo inashikilia trigonometric nyingine ya kazi na inverses yao.

Mfano1.4.5: Evaluating Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions

Tathmini kila moja ya maneno yafuatayo.

  1. sin1(32)
  2. tan(tan1(13))
  3. cos1(cos(5π4))
  4. sin1(cos(2π3))

Suluhisho

  1. Kutathminisin1(3/2) ni sawa na kutafuta angleθ kama hiyosinθ=3/2 naπ/2θπ/2. Pembeθ=π/3 hutimiza hali hizi mbili. Kwa hiyo,sin1(3/2)=π/3.
  2. Kwanza tunatumia ukweli kwambatan1(1/3)=π/6. Kishatan(π/6)=1/3. Kwa hiyo,tan(tan1(1/3))=1/3.
  3. Kutathminicos1(cos(5π/4)), kwanza utumie ukweli kwambacos(5π/4)=2/2. Kisha tunahitaji kupata angleθ kama hiyocos(θ)=2/2 na0θπ. Tangu3π/4 satisfies hali hizi zote mbili, tunacos1(cos(5π/4))=cos1(2/2))=3π/4.
  4. Tangucos(2π/3)=1/2, tunahitaji kutathminisin1(1/2). Hiyo ni, tunahitaji kupata angleθ kama hiyosin(θ)=1/2 naπ/2θπ/2. Tanguπ/6 satisfies wote hali hizi, tunaweza kuhitimisha kwambasin1(cos(2π/3))=sin1(1/2)=π/6.
Thamani ya Juu ya Kazi

Katika maeneo mengi ya sayansi, uhandisi, na hisabati, ni muhimu kujua thamani ya kiwango cha juu kazi inaweza kupata, hata kama hatujui thamani yake halisi kwa papo fulani. Kwa mfano, ikiwa tuna kazi inayoelezea nguvu ya boriti ya paa, tunataka kujua uzito wa juu boriti inaweza kusaidia bila kuvunja. Ikiwa tuna kazi inayoelezea kasi ya treni, tungependa kujua kasi yake ya juu kabla ya kuruka kwenye reli. Muundo salama mara nyingi hutegemea kujua maadili ya juu.

Mradi huu inaeleza mfano rahisi wa kazi na thamani ya kiwango cha juu ambayo inategemea coefficients mbili equation. Tutaona kwamba maadili ya kiwango cha juu yanaweza kutegemea mambo kadhaa isipokuwa kutofautiana kwa kujitegemeax.

1. Fikiria grafu katika Kielelezo1.4.6 cha kaziy=sinx+cosx. Eleza sura yake ya jumla. Je, ni mara kwa mara? Unajuaje?

Picha ya grafu. Mhimili wa x unatoka -4 hadi 4 na mhimili y unatoka -4 hadi 4. Grafu ni ya kazi “y = dhambi (x) + cos (x)”, kazi ya wimbi la pembe. Grafu ya kazi hupungua mpaka inapiga hatua ya takriban (- (3pi/4), -1.4), ambapo huongezeka hadi kiwango cha wastani ((pi/4), 1.4), ambapo huanza kupungua tena. Vipindi vya x vinavyoonyeshwa kwenye grafu hii ya kazi ni saa (- (5pi/4), 0), (- (pi/4), 0), na ((3pi/4), 0). Kupinga y ni saa (0, 1).
Kielelezo1.4.6: grafu yay=sinx+cosx.

Kutumia calculator ya graphing au kifaa kingine cha kuchora, tathmini yax - nay -maadili ya kiwango cha juu cha grafu (hatua ya kwanza ambapox>0). Inaweza kuwa na manufaa kwa kuelezax -thamani kama nyingi yaπ.

2. Sasa fikiria grafu nyingine za fomuy=Asinx+Bcosx kwa maadili mbalimbali yaA naB. Mchoro grafu wakatiA=2B=1, na kupatax - nay -maadili kwa kiwango cha juu. (Kumbuka kuelezax -thamani kama nyingi yaπ, ikiwezekana.) Je, ni wakiongozwa?

3. Rudia kwaA=1,B=2. Je, kuna uhusiano wowote na kile ulichopata sehemu (2)?

4. Kukamilisha meza ifuatayo, kuongeza uchaguzi chache wa yako mwenyewe kwa ajiliA naB:

A B x y A B x y
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 0 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 3 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 4 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 0 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 4 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 3 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; ">3 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 2 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (B\)” style="wima align:katikati; ">3 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 2 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 1 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 12 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 5 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">
\ (A\)” style="wima align:katikati; "> 2 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 2 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; "> \ (A\)” style="wima align:katikati; "> 5 \ (B\)” style="wima align:katikati; "> 12 \ (x\)” style="wima align:katikati; "> \ (y\)” style="wima align:katikati; ">

5. Jaribu kufikiri formula kway maadili -.

6. Fomu yax maadili ya -ni vigumu kidogo. Vipengele muhimu zaidi kutoka meza ni(1,1),(1,3),(3,1). (Kidokezo: Fikiria kazi za trigonometric inverse.)

7. Ikiwa umepata formula kwa sehemu (5) na (6), onyesha kwamba wanafanya kazi pamoja. Hiyo ni, badala yax formula ya thamani uliyoipatay=Asinx+Bcosx na kurahisisha ili kufika kwenye formula yay thamani uliyoipata.

Dhana muhimu

  • Kwa kazi ya kuwa na inverse, kazi lazima iwe moja kwa moja. Kutokana na grafu ya kazi, tunaweza kuamua kama kazi ni moja kwa moja kwa kutumia mtihani wa mstari wa usawa.
  • Ikiwa kazi sio moja kwa moja, tunaweza kuzuia kikoa kwenye uwanja mdogo ambapo kazi ni moja kwa moja na kisha kufafanua inverse ya kazi kwenye uwanja mdogo.
  • Kwa kazif na inverse yakef1,f(f1(x))=x kwa ajili ya wotex katika uwanja waf1 naf1(f(x))=x kwa ajili ya wotex katika uwanja waf.
  • Kwa kuwa kazi za trigonometric ni mara kwa mara, tunahitaji kuzuia vikoa vyao ili kufafanua kazi za trigonometric inverse.
  • Grafu ya kazif na inverse yakef1 ni sawa na mstariy=x.

Mlinganyo muhimu

  • Kazi ya inverse

f1(f(x))=xkwa wotex katikaD, naf(f1(y))=y kwa ajili ya wotey katikaR.

faharasa

mtihani wa mstari wa usawa
kazif ni moja kwa moja ikiwa na tu ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu yaf, mara nyingi, mara moja
kazi inverse
kwa ajili ya kazif, kazi inversef1 satisfiesf1(y)=x kamaf(x)=y
inverse trigonometric kazi
inverses ya kazi trigonometric hufafanuliwa kwenye vikoa vikwazo ambapo ni kazi moja kwa moja
kazi moja kwa moja
kazif ni moja kwa mojaf(x1)f(x2) ikiwax1x2
kikoa kilichozuiliwa
subset ya uwanja wa kazif