10.9: Kazi na Nguvu kwa Mwendo wa Mzunguko
- Page ID
- 176941
- Tumia theorem ya kazi ya nishati kuchambua mzunguko ili kupata kazi iliyofanyika kwenye mfumo wakati inapozungushwa juu ya mhimili uliowekwa kwa makazi ya angular ya mwisho
- Tatua kwa kasi ya angular ya mwili unaozunguka kwa kutumia theorem ya kazi-nishati
- Kupata nguvu mikononi kupokezana mwili rigid, kutokana na moment kutumika na kasi angular.
- Fupisha vigezo vya mzunguko na usawa na uwaeleze na wenzao wa kutafsiri
Hadi sasa katika sehemu hiyo, tumeelezea sana kinematics na mienendo ya kupokezana miili imara karibu na mhimili uliowekwa. Katika kifungu hiki cha mwisho, tunafafanua kazi na nguvu ndani ya mazingira ya mzunguko kuhusu mhimili uliowekwa, ambao una maombi kwa fizikia na uhandisi. Majadiliano ya kazi na nguvu hufanya matibabu yetu ya mwendo wa mzunguko karibu kabisa, isipokuwa kwa mwendo unaoendelea na kasi ya angular, ambayo hujadiliwa katika Momentum ya Angular. Tunaanza kifungu hiki na matibabu ya theorem ya kazi-nishati kwa mzunguko.
Kazi kwa Mzunguko wa Mzunguko
Sasa kwa kuwa tumeamua jinsi ya kuhesabu nishati ya kinetic kwa miili inayozunguka imara, tunaweza kuendelea na majadiliano ya kazi iliyofanywa kwenye mwili mgumu unaozunguka kuhusu mhimili uliowekwa. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha mwili mgumu ambao umezungushwa kupitia angle d\(\theta\) kutoka A hadi B wakati chini ya ushawishi wa nguvu\(\vec{F}\). Nguvu ya nje\(\vec{F}\) hutumiwa kwa uhakika P, ambaye msimamo ni\(\vec{r}\), na mwili mgumu unakabiliwa na mzunguko juu ya mhimili fasta ambayo ni perpendicular kwa ukurasa na hupitia O. mhimili wa mzunguko ni fasta, hivyo vector\(\vec{r}\) hatua katika mduara wa radius r, na vector d \(\vec{s}\)ni perpendicular kwa\(\vec{r}\).
Tuna
\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Hivyo,
\[d \vec{s} = d (\vec{\theta} \times \vec{r}) = d \vec{\theta} \times \vec{r} + d \vec{r} \times \vec{\theta} = d \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Kumbuka kuwa d\(\vec{r}\) ni sifuri kwa sababu\(\vec{r}\) ni fasta juu ya mwili rigid kutoka asili O kwa uhakika P. kutumia ufafanuzi wa kazi, tunapata
\[W = \int \sum \vec{F}\; \cdotp d \vec{s} = \int \sum \vec{F}\; \cdotp (d \vec{\theta} \times \vec{r}) = \int d \vec{\theta}\; \cdotp (\vec{r} \times \sum \vec{F})\]
ambapo sisi kutumika utambulisho\(\vec{a}\; \cdotp (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}\; \cdotp (\vec{c} \times \vec{a})\). Akibainisha kuwa\((\vec{r} \times \sum \vec{F}) = \sum \vec{\tau}\), tunakuja kwenye maneno ya kazi ya mzunguko iliyofanywa kwenye mwili mgumu:
\[W = \int \sum \vec{\tau}\; \cdotp d \vec{\theta} \ldotp \label{10.27}\]
Kazi ya jumla iliyofanywa kwenye mwili mgumu ni jumla ya torques zilizounganishwa juu ya angle ambayo mwili huzunguka. Kazi ya ziada ni
\[dW = \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \label{10.28}\]
ambapo tumechukua bidhaa ya dot katika Equation\ ref {10.27}, na kuacha torques tu kwenye mhimili wa mzunguko. Katika mwili mgumu, chembe zote zinazunguka kupitia pembe moja; hivyo kazi ya kila nguvu ya nje ni sawa na mara moment angle ya kawaida ya ziada d\(\theta\). Kiasi\(\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)\) ni wakati wa wavu kwenye mwili kutokana na nguvu za nje.
Vile vile, tumegundua nishati ya kinetic ya mwili mgumu unaozunguka karibu na mhimili uliowekwa kwa kuhesabu nishati ya kinetic ya kila chembe ambayo hufanya mwili mgumu. Kwa kuwa theorem ya kazi ya nishati W i =\(\Delta\) K i halali kwa kila chembe, halali kwa jumla ya chembe na mwili mzima.
Theorem ya kazi ya nishati kwa mwili mgumu unaozunguka karibu na mhimili uliowekwa ni
\[W_{AB} = K_{B} - K_{A} \label{10.29}\]
wapi
\[K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\]
na kazi ya mzunguko iliyofanywa na nguvu ya wavu inayozunguka mwili kutoka hatua A hadi kumweka B ni
\[W_{AB} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}} \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \ldotp \label{10.30}\]
Tunatoa mkakati wa kutumia equation hii wakati wa kuchambua mwendo wa mzunguko.
- Tambua nguvu kwenye mwili na kuteka mchoro wa mwili wa bure. Tumia wakati wa kila nguvu.
- Tumia kazi iliyofanyika wakati wa mzunguko wa mwili kwa kila wakati.
- Tumia theorem ya kazi ya nishati kwa kulinganisha kazi ya wavu iliyofanywa kwenye mwili kwa mabadiliko katika nishati ya kinetic ya mzunguko
Hebu tuangalie mifano miwili na utumie theorem ya kazi ya nishati ili kuchambua mwendo wa mzunguko.
Wakati wa 12.0 N • m hutumiwa kwenye flywheel inayozunguka kuhusu mhimili uliowekwa na ina wakati wa inertia ya kilo 30.0 • m 2. Ikiwa flywheel inapumzika awali, ni kasi gani ya angular baada ya kugeuka kupitia mapinduzi nane?
Mkakati
Tunatumia theorem ya kazi ya nishati. Tunajua kutokana na maelezo ya tatizo ni nini wakati huo na uhamisho wa angular wa flywheel. Kisha tunaweza kutatua kwa kasi ya mwisho ya angular.
Suluhisho
Flywheel inarudi kupitia mapinduzi nane, ambayo ni\(\pi\) radians 16. Kazi iliyofanywa na moment, ambayo ni ya mara kwa mara na kwa hiyo inaweza kuja nje muhimu katika Equation\ ref {10.30}, ni
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) \ldotp\]
Tunatumia theorem ya kazi ya nishati:
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) = \frac{1}{2} I \omega_{B}^{2} - \frac{1}{2} I \omega_{A}^{2} \ldotp\]
Na\(\tau\) = 12.0 N • m,\(\theta_{B} - \theta_{A}\) = 16.0\(\pi\) rad, I = 30.0 kg • m 2, na\(\omega_{A}\) = 0, tuna
\[(12.0\; N\; \cdotp m)(16.0 \pi\; rad) = \frac{1}{2} (30.0\; kg\; \cdotp m^{2})(\omega_{B}^{2}) - 0 \ldotp\]
Kwa hiyo,
\[\omega_{B} = 6.3\; rad/s \ldotp\]
Hii ni kasi ya angular ya flywheel baada ya mapinduzi nane.
Umuhimu
Theorem ya kazi ya nishati hutoa njia bora ya kuchambua mwendo wa mzunguko, kuunganisha wakati na nishati ya kinetic ya mzunguko.
Kamba amefungwa kuzunguka kapi katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\) ni vunjwa na nguvu\(\vec{F}\) ya kushuka mara kwa mara ya ukubwa 50 N. radius R na wakati wa inertia I ya kapi ni 0.10 m na 2.5 x 10 -3 kg • m 2, kwa mtiririko huo. Ikiwa kamba haina kuingizwa, ni kasi gani ya angular ya pulley baada ya 1.0 m ya kamba imefungua? Fikiria pulley huanza kutoka kupumzika.
Mkakati
Kuangalia mchoro wa bure wa mwili, tunaona kwamba wala\(\vec{B}\), nguvu juu ya fani za pulley, wala M\(\vec{g}\), uzito wa pulley, hufanya moment karibu na mhimili wa mzunguko, na kwa hiyo haifanyi kazi kwenye pulley. Kama kapi inazunguka kupitia angle\(\theta\),\(\vec{F}\) vitendo kwa umbali d kama kwamba d = R\(\theta\).
Suluhisho
Tangu wakati kutokana\(\vec{F}\) na ukubwa\(\tau\) = RF, tuna
\[W = \tau \theta = (FR) \theta = FD \ldotp\]
Ikiwa nguvu kwenye kamba hufanya umbali wa 1.0 m, tuna, kutoka kwa theorem ya kazi ya nishati,
\[\begin{split} W_{AB} & = K_{B} - K_{A} \\ Fd & = \frac{1}{2} I \omega^{2} - 0 \\ (50.0\; N)(1.0\; m) & = \frac{1}{2} (2.5 \times 10^{-3}\; kg\; \cdotp m^{2}) \omega^{2} \ldotp \end{split}\]
Kutatua kwa\(\omega\), tunapata
\[\omega = 200.0\; rad/s \ldotp\]
Nguvu kwa Mzunguko wa Mzunguko
Nguvu daima inakuja katika majadiliano ya maombi katika uhandisi na fizikia. Nguvu kwa mwendo wa mzunguko ni muhimu kama nguvu katika mwendo wa mstari na inaweza kupatikana kwa njia sawa na katika mwendo wa mstari wakati nguvu ni mara kwa mara. Nguvu ya mstari wakati nguvu ni mara kwa mara ni P =\(\vec{F}\; \cdotp \vec{v}\). Kama moment wavu ni mara kwa mara juu ya makazi ya angular, Equation 10.8.4 simplifies na moment wavu inaweza kuchukuliwa nje ya muhimu. Katika majadiliano yafuatayo, sisi kudhani moment wavu ni mara kwa mara. Tunaweza kutumia ufafanuzi wa nguvu inayotokana na Nguvu ya mwendo wa mzunguko. Kutoka Kazi na Nishati ya Kinetic, nguvu ya papo hapo (au nguvu tu) inaelezwa kama kiwango cha kufanya kazi,
\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp\]
Ikiwa tuna wakati wa wavu wa mara kwa mara, Equation 10.8.4 inakuwa W =\(\tau \theta\) na nguvu ni
\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (\tau \theta) = \tau \frac{d \theta}{dt}\]
au
\[P = \tau \omega \ldotp \label{10.31}\]
Injini ya mashua inayoendesha saa 9.0 x 10 4 W inaendesha saa 300 rev/min. Je! Ni wakati gani kwenye shimoni la propeller?
Mkakati
Tunapewa kiwango cha mzunguko katika rev/min na matumizi ya nguvu, hivyo tunaweza kuhesabu kwa urahisi wakati.
Suluhisho
\[300.0\; rev/min = 31.4\; rad/s;\]
\[\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{9.0 \times 10^{4}\; N\; \cdotp m/s}{31.4\; rad/s} = 2864.8\; N\; \cdotp m \ldotp\]
Umuhimu
Ni muhimu kutambua radian ni kitengo dimensionless kwa sababu ufafanuzi wake ni uwiano wa urefu mbili. Kwa hiyo haionekani katika suluhisho.
Moment ya mara kwa mara ya 500 kN • m inatumika kwa turbine ya upepo ili kuiweka inayozunguka saa 6 rad/s Ni nguvu gani zinazohitajika ili kuweka turbine inayozunguka?
Mahusiano ya mzunguko na ya kutafsiri Muhtasari
Kiasi cha mzunguko na analog yao ya mstari ni muhtasari katika meza tatu. Jedwali 10.5 linafupisha vigezo vya mzunguko kwa mwendo wa mviringo kuhusu mhimili uliowekwa na analogs zao za mstari na equation ya kuunganisha, isipokuwa kwa kasi ya centripetal, ambayo inasimama yenyewe. Jedwali 10.6 linafupisha usawa wa kinematic wa mzunguko na wa kutafsiri. Jedwali 10.7 linafupisha usawa wa mienendo ya mzunguko na analogs zao za mstari.
Jedwali 10.5 - Vigezo vya Mzunguko na Tafsiri: Muhtasari
| Mzunguko | Tafsiri | Uhusiano |
|---|---|---|
| $$\ theta $$ | $x $$ | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| $$\ omega $$ | $$v_ {f} $$ | $$\ omega =\ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$\ alpha $$ | $a_ {t} $$ | $$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $$a_ {c} $$ | $$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
Jedwali 10.6 - Ulinganisho wa Kinematic wa mzunguko na wa kutafsiri: Muhtasari
| Mzunguko | Tafsiri |
|---|---|
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$ | $$x = x_ {0} +\ bar {v} t $$ |
| $$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + saa $$ |
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2} $$ | $x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} katika^ {2} $$ |
| $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta) $$ | $$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$ |
Jedwali 10.7 - Ulinganisho wa mzunguko na wa kutafsiri: Dynamics
| Mzunguko | Tafsiri |
|---|---|
| $$I =\ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} $$ | $$m $$ |
| $$ K =\ frac {1} {2} I\ omega^ {2} $$ | $K =\ frac {1} {2} mv^ {2} $$ |
| $$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = I\ alpha$$ | $$\ sum_ {i}\ vec {F} _ {i} = m\ vec {a} $$ |
| $$ W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ kushoto (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ haki) d\ theta $$ | $$ W =\ int\ vec {F}\;\ cdotp d\ vec {s} $$ |
| $$P =\ tau\ omega $$ | $P =\ vec {F}\ cdotp\ vec {v} $$ |