10.8: Sheria ya Pili ya Newton ya Mzunguko

Malengo ya kujifunza

• Tumia torques juu ya mifumo inayozunguka kuhusu mhimili uliowekwa ili kupata kasi ya angular
• Eleza jinsi mabadiliko katika wakati wa hali ya mfumo unaozunguka huathiri kasi ya angular na wakati uliowekwa.

Katika kifungu hiki, tunaweka vipande vyote vilivyojifunza hadi sasa katika sura hii ili kuchambua mienendo ya miili inayozunguka imara. Sisi kuchambua mwendo na kinematics na rotational kinetic nishati lakini bado kushikamana mawazo haya kwa nguvu na/au moment. Katika kifungu hiki, tunaanzisha mzunguko sawa na sheria ya pili ya Newton ya mwendo na kuitumia kwa miili imara na mzunguko wa mhimili wa kudumu.

Sheria ya Pili ya Newton ya Mzunguko

Sisi hadi sasa kupatikana wenzao wengi kwa maneno translational kutumika katika maandishi haya, hivi karibuni, moment, Analog rotational kwa nguvu. Hii inaleta swali: Je, kuna equation sawa na sheria ya pili ya Newton,\(\sum \vec{F}\) = m\(\vec{a}\), ambayo inahusisha moment na mzunguko mwendo? Ili kuchunguza hili, tunaanza na sheria ya pili ya Newton kwa chembe moja inayozunguka karibu na mhimili na kutekeleza mwendo wa mviringo. Hebu kutumia nguvu\(\vec{F}\) juu ya molekuli uhakika m yaani umbali r kutoka hatua egemeo (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Chembe inakabiliwa na kuhamia kwenye njia ya mviringo na radius fasta na nguvu ni tangent kwa mduara. Tunatumia sheria ya pili ya Newton ili kuamua ukubwa wa kuongeza kasi a =\(\frac{F}{m}\) katika mwelekeo wa\(\vec{F}\). Kumbuka kwamba ukubwa wa kuongeza kasi ya tangential ni sawa na ukubwa wa kasi ya angular kwa = r\(\alpha\). Kubadilisha maneno haya katika sheria ya pili ya Newton, tunapata

\[F = mr \alpha \ldotp\]

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Kitu kinasaidiwa na meza ya usawa isiyo na msuguano na inaunganishwa na hatua ya egemeo kwa kamba ambayo hutoa nguvu ya centripetal. Nguvu\(\vec{F}\) hutumiwa kwa kitu kinachotumiwa kwa r radius, na kusababisha kuharakisha kuhusu hatua ya pivot. Nguvu ni perpendicular kwa r.

Kuzidisha pande zote mbili za equation hii na r,

\[rF = mr^{2} \alpha \ldotp\]

Kumbuka kuwa upande wa kushoto wa equation hii ni moment kuhusu mhimili wa mzunguko, ambapo r ni mkono wa lever na F ni nguvu, perpendicular kwa r Kumbuka kwamba wakati wa inertia kwa chembe ya uhakika ni I = mr ². moment kutumika perpendicularly kwa molekuli uhakika katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kwa hiyo ni

\[\tau = I \alpha \ldotp\]

Wakati juu ya chembe ni sawa na wakati wa inertia kuhusu mzunguko wa mzunguko mara kasi ya angular. Tunaweza kuzalisha equation hii kwa mwili rigid kupokezana kuhusu mhimili fasta.

Sheria ya Pili ya Newton ya Mzunguko

Ikiwa moment zaidi ya moja hufanya mwili mgumu juu ya mhimili uliowekwa, basi jumla ya torques inalingana na wakati wa inertia mara kasi ya angular:

\[\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha \ldotp \label{10.25}\]

Neno I\(\alpha\) ni kiasi cha scalar na inaweza kuwa chanya au hasi (kinyume chake au saa moja kwa moja) kulingana na ishara ya wakati wa wavu. Kumbuka mkataba ambao kasi ya kasi ya angular ni chanya. Kwa hiyo, ikiwa mwili mgumu unazunguka saa moja kwa moja na hupata wakati mzuri (kinyume chake), kasi ya angular ni chanya.

Equation\ ref {10.25} ni sheria ya pili ya Newton kwa mzunguko na inatuambia jinsi ya kuhusisha moment, wakati wa inertia, na kinematiki ya mzunguko. Hii inaitwa equation kwa mienendo ya mzunguko. Kwa equation hii, tunaweza kutatua darasa zima la matatizo yanayohusisha nguvu na mzunguko. Inafaa kuwa uhusiano kwa kiasi gani cha nguvu inachukua ili kugeuza mwili ungekuwa ni pamoja na wakati wa inertia, kwa kuwa hiyo ni kiasi kinachotuambia jinsi rahisi au ngumu ni kubadili mwendo wa mzunguko wa kitu.

Kupata Sheria ya Pili ya Newton kwa Mzunguko katika Fomu ya Vector

Kama hapo awali, tulipopata kasi ya angular, tunaweza pia kupata vector moment. Sheria ya pili\(\sum \vec{F}\) = m\(\vec{a}\) inatuambia uhusiano kati ya nguvu wavu na jinsi ya kubadilisha mwendo wa kutafsiri wa kitu. Tuna vector rotational sawa ya equation hii, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia Equation 10.2.10 na Kielelezo 10.2.7. Equation 10.2.10 inahusiana na kuongeza kasi ya angular kwa nafasi na vectors tangential kuongeza kasi:

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp\]

Tunaunda bidhaa ya msalaba wa equation hii\(\vec{r}\) na kutumia utambulisho wa bidhaa za msalaba (kumbuka kuwa\(\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}\) = 0):

\[\vec{r} \times \vec{a} = \vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) - \vec{r} (\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) = \vec{\alpha} r^{2} \ldotp\]

Sasa tunaunda bidhaa ya msalaba wa sheria ya pili ya Newton na vector msimamo\(\vec{r}\),

\[\sum (\vec{r} \times \vec{F}) = \vec{r} \times (m \vec{a}) = m \vec{r} \times \vec{a} = mr^{2} \vec{\alpha} \ldotp\]

Kutambua muda wa kwanza upande wa kushoto kama jumla ya torques, na mr ² kama wakati wa hali, tunawasili sheria ya pili ya Newton ya mzunguko katika fomu ya vector:

\[\sum \tau = I \alpha \ldotp \label{10.26}\]

Equation hii ni hasa Equation\ ref {10.25} lakini kwa kasi ya moment na angular kama wadudu. Jambo muhimu ni kwamba vector ya wakati ni katika mwelekeo sawa na kuongeza kasi ya angular.

Kutumia Equation ya Dynamics Rotational

Kabla ya kutumia mienendo ya mzunguko equation kwa baadhi ya hali ya kila siku, hebu tathmini mkakati wa jumla wa kutatua matatizo kwa matumizi na aina hii ya matatizo.

Mkakati wa Kutatua matatizo: Dynamics ya mzunguko

1. Kuchunguza hali ili kuamua kuwa wakati na wingi huhusika katika mzunguko. Chora mchoro wa makini wa hali hiyo.
2. Kuamua mfumo wa maslahi.
3. Chora mchoro wa bure wa mwili. Hiyo ni, kuteka na kuandika majeshi yote ya nje yanayofanya mfumo wa maslahi.
4. Tambua hatua ya egemeo. Ikiwa kitu kiko katika usawa, lazima iwe katika usawa kwa pointi zote zinazowezekana za egemeo-alichagua moja ambayo inafanya kazi yako rahisi zaidi.
5. Tumia\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), sawa na mzunguko wa sheria ya pili ya Newton, kutatua tatizo. Uangalizi lazima uchukuliwe ili kutumia wakati sahihi wa inertia na kuzingatia wakati kuhusu hatua ya mzunguko.
6. Kama siku zote, angalia suluhisho la kuona ikiwa ni busara.

Mfano 10.16: Kuhesabu Athari za Usambazaji wa Misa juu ya Merry-Go-Round

Fikiria baba kusuuza uwanja wa michezo merry-go-pande zote katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Yeye ana nguvu ya 250 N makali ya 200.0 kg merry-go-round, ambayo ina radius 1.50-m. Tumia kasi ya angular zinazozalishwa (a) wakati hakuna mtu anayezunguka na (b) wakati mtoto wa kilo 18.0 anakaa 1.25 m mbali na kituo hicho. Fikiria merry-kwenda pande zote yenyewe kuwa disk sare na msuguano usio na maana.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): baba inasubu uwanja wa michezo merry-go-pande zote katika makali yake na perpendicular kwa Radius yake kufikia moment upeo.

Mkakati

Wakati wa wavu hutolewa moja kwa moja na maneno\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), Ili kutatua\(\alpha\), lazima kwanza tuhesabu wakati wa wavu\(\tau\) (ambayo ni sawa katika matukio yote mawili) na wakati wa inertia I (ambayo ni kubwa zaidi katika kesi ya pili).

Suluhisho

1. Wakati wa inertia ya disk imara kuhusu mhimili huu hutolewa katika Kielelezo 10.5.4 kuwa $$\ frac {1} {2} MR^ {2}\ ldOTP $Tuna M = 50.0 kg na R = 1.50 m, hivyo $I = (0.500) (50.0\; kg) (1.50\; m) ^ {2} = 56.25\; kilo;\ cdotp m^ {2}\ ldOTP $Ili kupata kasi ya wavu, tunaona kwamba nguvu iliyotumiwa ni perpendicular kwa radius na msuguano ni duni, ili $$\ tau = RF\ dhambi\ theta = (1.50\; m) (250.0\; N) - 375.0\; N\;\ cdotp m\ ldOTP $Sasa, baada ya kubadilisha maadili inayojulikana, tunapata kasi ya angular kuwa $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {I} =\ frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {56.25\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 6.67\; rad/s^ {2}\ ldotp $$
2. Tunatarajia kuongeza kasi ya angular kwa mfumo kuwa chini katika sehemu hii kwa sababu wakati wa inertia ni mkubwa wakati mtoto anapokuwa kwenye furaha. Ili kupata muda wa jumla wa inertia I, sisi kwanza kupata wakati wa mtoto wa inertia I _c kwa kukadiria mtoto kama molekuli uhakika katika umbali wa 1.25 m kutoka mhimili. Kisha $I_ {c} = mR^ {2} = (18.0\; kg) (1.25\; m) ^ {2} = 28.13\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ lDOTP $Wakati wa jumla wa hali ni jumla ya wakati wa hali ya furaha ya pande zote na mtoto (kuhusu mhimili sawa): $$I = (2 8.13\; kilo\;\ cdotp m^ {2}) + (56.25\; kg\;\ cdotp m^ {2}) = 84.38\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ ldotp $$ Kubadilisha maadili inayojulikana katika equation kwa\(\alpha\) anatoa $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ Frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {84.38\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 4.44\; rad/s\ ldotp $$

Umuhimu

Kuongeza kasi ya angular ni chini wakati mtoto anapokuwa kwenye merry-kwenda pande zote kuliko wakati merry-go-round ni tupu, kama inavyotarajiwa. Accelerations angular kupatikana ni kubwa kabisa, sehemu kutokana na ukweli kwamba msuguano ilikuwa kuchukuliwa kuwa duni. Ikiwa, kwa mfano, baba aliendelea kusubu perpendicularly kwa 2.00 s, angeweza kutoa merry-goround kasi ya angular ya 13.3 rad/s wakati ni tupu lakini tu 8.89 rad/s wakati mtoto ni juu yake. Kwa upande wa mapinduzi kwa pili, kasi hizi za angular ni 2.12 rev/s na 1.41 rev/s, kwa mtiririko huo. Baba angeishia kukimbia saa 50 km/h katika kesi ya kwanza.

Zoezi 10.7

Vipande vya shabiki kwenye inji ya ndege vina muda wa inertia 30.0 kg • m ². Katika s 10, wao huzunguka kinyume chake kutoka kupumzika hadi kiwango cha mzunguko wa 20 rev/s. (a) Ni wakati gani unapaswa kutumiwa kwa vile ili kufikia kasi hii ya angular? (b) Ni nini moment required kuleta vile shabiki kupokezana katika 20 rev/s kwa wengine katika 20 s?